DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES DE UMA MATRIZ

DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES DE UMA MATRIZ

Professor: Angel Ramírez Gutiérrez1

1_{Instituto de Matemática y Ciencias Afines (IMCA), Lima, Perú} 2_{Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú}

Introdução

Neste trabalho vamos apresentar alguns resultados básicos de decomposição em valores singulares de uma matriz qualquer, assim como algumas de suas aplicações para motivar seu estudo. Com este objetivo, serão introduzidos alguns

resultados prévios conhecidos para matrizes quadradas e em particular para as matrizes simétricas.

Neste tópico vamos ver a importância da álgebra linear na formação como engenheiros, pois faremos uso de conceitos de matrizes, autovalores e autovetores, diagonalização, etc.

Resultados prévios

Seja A ∈ Rn×numa matriz simétrica. Então é possível obter uma matriz P ∈ Rn×n ortogonal tal que A = PDPT, onde D é uma matriz diagonal que em sua diagonal principal estão os autovalores da matriz A.

No caso seja A ∈ Rn×n uma matriz não simétrica, dizemos que é diagonalizável quando existe uma matriz S não singular e uma matriz diagonal D tal que A = SDS−1. Os autovalores da matriz A estão na diagonal principal da matriz D.

Mas, nem toda matriz A ∈ Rn×n é diagonalizável. E as matrizes retangulares A ∈ Rm×n?

Algoritmo para diagonalizar uma matriz

Entrada: Uma matriz quadrada A ∈ Rn×n. Saída: Uma matriz não singular S ∈ Rn×n

Uma matriz diagonal D ∈ Rn×ntal que D = SAS−1. Passo 1: Obter os autovalores λ da matriz A resolvendo:

det(A − λI) = 0.

Passo 2: Determine a multiplicidade algébrica da cada λ.

Passo 3: Calcular os subespaços associados a cada autovalor λ: S(λ) = {v ∈ Rn_{/ (A − λI)v = 0}}

Passo 4: Determine a multiplicidade geométrica de cada λ.

Algoritmo para diagonalizar uma matriz

Passo 5: Se m.a.(λ) = m.g.(λ) para todo autovalor λ então a matriz A é diagonalizável.

Passo 5.1:

Para cada autovalor λi escolha os autovetores

vi ∈ S(λi)que sejam uma base de S(λi).

Passo 5.2:

Defina a coluna ” i ” de S como sendo o autovetor vi.

Fim.

Passo 6: Se m.a.(λ) 6= m.g.(λ) para algum autovalor λ então a matriz A não é diagonalizável. Fim.

Algoritmo para diagonalizar uma matriz simétrica

Lembre que toda matriz simétrica A pode-se diagonalizar de forma ortogonal, isto é, pode-se obter uma matriz ortogonal (PPT =I) tal que D = PAPT.

Entrada: Uma matriz quadrada simétrica A ∈ Rn×n. Saída: Uma matriz não singular P ∈ Rn×n

Uma matriz diagonal D ∈ Rn×ntal que D = PAPT. Passo 1: Obter os autovalores λ da matriz A resolvendo:

det(A − λI) = 0.

Passo 2: Determine a multiplicidade algébrica de cada λ.

Passo 3: Calcular os subespaços associados a cada autovalor λ: S(λ) = {v ∈ Rn/ (A − λI)v = 0}

Passo 4: Determine a multiplicidade geométrica de cada λ.

Algoritmo para diagonalizar uma matriz simétrica

Passo 5:

Passo 5.1:

Para cada autovalor λi escolha os autovetores vi ∈ S(λi)

que sejam uma base de S(λi).

Passo 5.2:

Se necessário, use o proceso de Gram-Schmidth para obter uma base ortogonal de Rn.

Passo 5.3:

Exemplo:

Diagonalizar ortogonalmente a matriz: A =   1 −2 2 −2 4 −4 2 −4 4  . Solução:

Passo 1: Cálculo de autovalores da matriz A:

PA(λ) =det   1 − λ −2 2 −2 4 − λ −4 2 −4 4 − λ  = −λ3+9λ2= −λ2(λ−9) Os autovalores de A são λ1=0 e λ2=9.

Passo 2: Cálculo das multiplicidades algébricas:

m.a.(0) = 2 e m.a.(9) = 1.

Passo 3:

Cálculo de autovetores v ∈ R3_{\{0} tal que (A − λI)v = 0:}

Para λ = 0: (A − λI|0) =   1 −2 2 0 −2 4 −4 0 2 −4 4 0  ∼   1 −2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0  , portanto: v1− 2v2+2v3=0 ⇒ v1=2v2− 2v3,e assim: v =   v1 v2 v3  =   2v2− 2v3 v2 v3  =v₂   2 1 0  +v₃   −2 0 1  . Então m.g.(λ = 0) = 2 e os autovetores associados são:

     2 1 0  ,   −2 0 1     

Passo 3:

Para λ = 9: (A − λI|0) =   −8 −2 2 0 −2 −5 −4 0 2 −4 −5 0  ∼   2 −4 −5 0 0 −9 −9 0 0 0 0 0  , resolvendo obtemos v2= −v3e v1= v3 2, logo: v =   v1 v2 v3  =   v3/2 −v3 v3  = v3 2   1 −2 2  , então m.g.(9) = 1 e assim um autovetor associado ao autovalor λ = 9 é:      1 −2 2     

Passo 4: Construir a matriz ortogonal P.

Considere: u1=   2 1 0  ,u₂=   −2 0 1  e u₃=   1 −2 2  .

Os vetores {u1,u2,u3} ainda não são ortogonais. Portanto,

usamos o processo de Gram-Schmidth para ortonormalizar os vetores e assim obtemos:

   √ 5 5   2 1 0  , √ 5 3   −2/5 4/5 1  , 1 3   1 −2 2      .

assim obtemos as seguintes matrizes: P =           2√5 5 − 2√5 15 1 3 √ 5 5 4√5 15 − 2 3 0 √ 5 3 2 3           e D =   0 0 0 0 0 0 0 0 9  .

Pode-se verificar que A = PDPT.

Matrizes retangulares diagonais

Seja uma matriz retangular A ∈ Rm×n. Adiagonal principal da

matriz A está formada pelas entradas aii com

i ∈ {1, . . . , m´ın(m, n)}.

Uma matriz D ∈ Rm×nchama-seretangular diagonal se todas

suas entradas fora da diagonal principal são nulas:

Decomposição em valores singulares

Seja a matriz A ∈ Rm×n_{. Então existem matrizes ortogonais}

U ∈ Rm×m e V ∈ Rn×n tais que A = UDVT, onde D é uma matriz retangular diagonal m × n da forma:

D =        σ1 0 · · · 0 0 0 σ2 · · · 0 0 .. . ... ... ... 0 0 · · · σr 0 0 0 · · · 0 0        com σ1≥ σ2≥ . . . ≥ σr >0 e r ≤ m´ın(m, n) é o número de

valores singulares não nulos. Às vezes se definem também σi =0 para todo i > r .

Definición 1

Os valores σ1, σ2, . . . , σr da diagonal principal de S são

chamados devalores singulares de A. Definición 2

As colunas da matriz U são chamadas devetores singulares à esquerda da matriz A. As colunas da matriz V são

Não parece trivial que qualquer matriz A ∈ Rm×nadmita uma decomposição em valores singulares. Mas supondo que A = UDVT_{, então A}T _=VDT_UT _{e assim:}

AAT = (UDVT)(VDTUT) =UD(VVT)DTUT =UDDTUT ⇒ UT(AAT)U = DDT

mas como D ∈ Rm×né uma matriz real diagonal, então o produto DDT é uma matriz diagonal com entradas σ2_i de mesma ordem que D, isto é:

     σ1 0 0 . . . 0 0 σ2 0 . . . 0 .. . . . . ... . . 0 0 . . . 0 σm . . . 0                 σ1 0 0 . . . 0 σ2 0 . . . .. . . . .. ... .. . . . .. σm .. . . . .. . . . 0 . . . 0 0           

Então obtemos uma diagonalização da matriz AAT e os valores singulares de A são as raízes quadradas dos autovalores da matriz AAT_.

Observe também:

UT(AAT)U = DDT ⇒ (AAT)U = U(DDT) = (DDT)U pois DDT é uma matriz diagonal. Se uj é a coluna ” j ” da

matriz U, então temos que (AAT)uj = σ2uj, isto é, as colunas

Algoritmo para diagonalizar uma matriz qualquer

A análise anterior dá o seguinte algoritmo para obter a decomposição singular da matriz A.

Entrada: Uma matriz A ∈ Rm×n_.

Saída: Matrizes ortogonais U ∈ Rm×m,V ∈ Rn×n e os valores singulares σi.

Uma matriz retangular diagonal D ∈ Rn×n_.

Passo 1: Obter os autovalores λ da matriz AAT resolvendo: det(AAT − λI) = 0.

Passo 2: Calcular os subespaços associados a cada autovalor λ: S(λ) = {v ∈ Rn_{/ (AA}T _{− λI)v = 0}}

Algoritmo para diagonalizar uma matriz qualquer

Passo 3: Calcule os valores singulares σi =

√ λi

para todo i = 1, . . . , m. Passo 4:

Passo 4.1:

Para cada autovalor λi escolha os autovetores ui ∈ S(λi)

que sejam uma base de S(λi).

Passo 4.2:

Se necessário, use o proceso de Gram-Schmidth para obter uma base ortonormal de Rn.

Passo 4.3:

Defina a coluna ” i ” de U como sendo o autovetor ui.

Passo 5:

Exemplo:

Calcule a decomposição em valores singulares da matriz A =  1 2 0 2 0 2  . Solução:

Passo 1: Calculamos os autovalores da matriz AAT =  5 2 2 8  : det  5 2 2 8  − λ  1 0 0 1  =0 ⇒ (λ − 9)(λ − 4) = 0 isto implica que λ1=9 e λ2=4, portanto os valores singulares

da matriz A são: σ1= √ λ1=3 e σ2= √ λ2=2, logo: D =  3 0 0 0 2 0  .

Passo 2: Calcular as colunas da matriz U, isto é, calculamos os autovetores da matriz AAT para cada autovalor resolvendo o sistema (AAT _{− λI)u = 0.}

Para λ = 9 temos:  −4 2 0 2 −1 0  ⇒  2 −1 0 0 0 0  ⇒ u1=  1/√5 2/√5  . Para λ = 4 temos:  1 2 0 2 4 0  ⇒  1 2 0 0 0 0  ⇒ u2=  −2/√5 1/√5  . Portanto U = [u1 u2], isto é: U =  1/√5 −2/√5 2/√5 1/√5  .

Passo 3: Cálculo da matriz V mediante: AV = UD ⇒  1 2 0 2 0 2  V =  1/√5 −2/√5 2/√5 1/√5   3 0 0 0 2 0 

Se vi é a coluna i da matriz V , logo temos:

 1 2 0 0 −4 2  [v1 v2 v3] =  3/√5 −4/√5 0 0 2√5 0 

Cálculo de v

1

unitário

Se v1= (x , y , z), logo:  1 2 0 0 −4 2    x y z  =  3/√5 0  ⇒  x = 3/√5 − z/2 y = z/2 Como kv1k2=x2+y2+z2=1 ⇒ z = 4 3√5. Logo: v1=           5 3√5 2 3√5 4 3√5          

Cálculo de v2e v3: Se procede de forma análoga e obtemos: v2=     0 −2/√5 1/√5     , v3=     −2/3 1/3 2/3    

assim obtemos a matriz V :

V =           5 3√5 0 − 2 3 2 3√5 − 2 √ 5 1 3 4 3√5 1 √ 5 2 3          

pode-se verificar que A = UDVT.

Teorema 1

Toda matriz A ∈ Rm×n possui uma decomposição em valores singulares.

Teorema 2

Os valores singulares σi da diagonal são únicos.

Observação:

A decomposição em valores singulares não é única, pois se A = In, então para toda matriz ortogonal V tem-se

Teorema 3

Seja A ∈ Rm×n_{com valores singulares σ}

1≥ σ2≥ . . . ≥ σr ≥ 0

e seja r o posto de A. Sejam u1, . . . ,ur os vetores singulares à

esquerda e sejam v1, . . . ,vr os vetores singulares à direita de A

correspondentes aos valores singulares. Então: A = σ1u1v1T + σ2u2v2T + . . . + σrurvrT

Número de condição

Dada uma norma em Rn, pode-se definir uma norma matricial induzida dada por:

kAk = m´ax kAxk

kxk /x 6= 0 

= m´ax{kAx k / kx k = 1}. Vamos considerar a norma euclidiana. Sabemos que

A = UDVT e lembrando que matrizes ortogonais conservam a norma, então kAx k = k(UDVT_{)x k e = kV}T_{x k = kx k pois V}

também é ortogonal, portanto:

kAxk = m´ax{kAx k / kx k = 1} = m´ax{kDVTx k / kx k = 1} = m´ax{kD(VT_{x )k / kV}T_{x k = 1} = kDk}

Por outro lado, considerando kx k = 1, então: kDxk = v u u t r X j=1 |σ_jxj|2≤ σ1 v u u t r X j=1 |xj|2≤ σ1kxk = σ1

desta forma kx kσ1. E se pegamos x0=e1= (1, 0, . . . , 0) temos

que kx0k = 1, então:

kDk = m´ax{kDx k / kx k = 1} ≥ kDx0k = σ1

concluindo que kAk = σ1, que é o maior valor singular de A.

e temos que A−1=VD−1UT, assim obtemos que os valores singulares de A−1são: 1 σn ≥ . . . ≥ 1 σ1 portanto kA−1k = 1 σn

. Lembrando que Cond2(A) = kAk kA−1k,

obtemos:

Cond2(A) = kAk kA−1k =

σ1

σn

Solução de sistemas de equações lineares

Se A = UDVT então do sistema Ax = b obtemos (UDVT)x = b e aproveitando que U é ortogonal, tem-se:

D(VTx ) = UTb

se A é invertível, então σi 6= 0 para todo i, portanto:

VTx = D−1UTb e VT _{também é ortogonal, assim resulta:}

x = VD−1UTb

Compressão de imagens

Figura 2:r = 50. Tamanho: 49.4 Kb.

Figura 4:r = 200. Tamanho: 53.2 Kb.

Referencias bibliograficas

Ascher, U.M., Greif, C., A First Course in Numerical Methods, Siam. Computational Science & Engineering, 2011.

Domínguez Jiménez, M. Matrices: un modelo para las fotografías digitales. Modelling in Science Education and Learning, 2011.

Grossman, S., Álgebra Lineal, Mc Graw Hill, 2008.

Burden, R. Faires, Douglas., Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1985.