ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

(1)

Válter Lúcio Maio 2006 ₁

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

PROGRAMA

1.Introdução ao betão armado 2.Bases de Projecto e Acções

3.Propriedades dos materiais: betão e aço 4.Durabilidade

5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6.Estado limite último de resistência à flexão simples

7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8.Disposições construtivas relativas a vigas

9.Estados limite de fendilhação

10.

10. Estados limite de deformação

Estados limite de deformação

11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada

12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção

Válter Lúcio Maio 2006

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fct_fct--UNLUNL

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10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

ÍNDICE

1. Controlo da deformação 2. Deformação elástica

3. Efeito da fendilhação do betão 4. Efeito da fluência do betão 5. Efeito da retracção do betão

6. Cálculo da deformação em vigas de betão armado a. Cálculo por integração numérica b. Cálculo aproximado

c. Momentos de Inércia em secção fendilhada e não fendilhada 7. Regras práticas para dispensa do cálculo

A deformação de um elemento de betão armado sujeito a esforços de

tracção ou flexão devem ter em consideração, para além das características de deformabilidade do betão e a existência de armaduras longitudinais, a fendilhaçãodo betão e o comportamento diferido do betão, em resultado da sua fluência e retracção.

(2)

Válter Lúcio Maio 2006 ₃

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10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

1.

1. CONTROLO DA DEFORMAÇÃOCONTROLO DA DEFORMAÇÃO

A deformação deve ser controlada para não comprometer o funcionamento e o aspecto da estrutura.

A deformação não deve condicionar o funcionamento de equipamentos ou máquinas, nem deve proporcionar a acumulação de águas pluviais ou outras. A deformação da estrutura não deve pôr em causa a integridade de elementos não estruturais, tais como: paredes divisórias, envidraçados, revestimentos ou outros acabamentos.

LIMITES PARA A DEFORMAÇÃO

Em edifícios correntes, a flecha de uma viga em relação aos seus apoios, determinadas para a combinação de acções quase permanente,

não deve exceder

a

_max

= ℓ/250

. Para reduzir a flecha pode ser utilizada uma contra-flecha, a qual também não deve exceder ℓ/250.

Para não danificar os elementos não estruturais susceptíveis de serem

danificados, a deformação que ocorre depois da construção desses elementos deve ser limitada a

a

_max

= ℓ/500

, para a combinação de acções quase permanente.

a

Contra-flecha

10

(3)

Válter Lúcio Maio 2006 ₅

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

2. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 2. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA M M r ε₁ ε₂ a r – raio de curvatura.

ε

₁e

ε

₂– extensões na fibra superior e inferior da viga, respectivamente. 1/r – curvatura. ε2 -ε1 -y₁ y₂ h (PTV) PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

M

dx

r

1 a

=

∫

h

r

1 ₌

ε

₂

−

ε

₁

h

y

I

E

M

₂

−

₁

=

I

E

M

=

E

1 1

σ

=

ε

I

y

M

E

1

₁

=

E

2 2

σ

=

ε

I

y

M

E

1

₂

=

1

+

M

+

M

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

3.

3. EFEITO DA FENDILHAÇÃO DO BETÃOEFEITO DA FENDILHAÇÃO DO BETÃO

N

ℓ

Tirante

σ σ_cI σ_sI = f_ctm σ_sII= N / A_s

Em secção não fendilhada:

N Δℓ

N

_cr

= f

_ctm

A

_ct N_cr SEC ÇÃ O N ÃO FE ND ILH AD A -I N_R SECÇ ÃO FE NDILH ADA -II

Δℓ

_I

=

ε

_sI

x ℓ =

ε

_cI

x ℓ

Em secção fendilhada:

Δℓ

_II

=

ε

_sII

x ℓ

ε ε_cI=σ_cI/E_c ε_sII=σ_sII/ E_s ε_sI=σ_sI/E_s (1-ζ)Δℓ_I ζ ΔℓII

Δℓ

_I

≤

Δℓ ≤ Δℓ

_II Seja:

ℓ

_I

= (1-

ζ) ℓ

e

ℓ

_II

=

ζ ℓ

Então: Δℓ = ζ Δℓ_II

+ (1-

ζ) Δℓ

_I

N

Zona fendilhada Zona não fendilhada ℓ_II= ζℓ ℓ_I= (1-ζ) ℓ Δℓ_I Δℓ_II Δℓ

(4)

Válter Lúcio Maio 2006 ₇

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10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

N

ℓ

Tirante

N Δℓ N_cr SE CÇ ÃO NÃ O F EN DIL HA DA -I N_R SECÇ ÃO FE NDILH ADA -II (1-ζ)Δℓ_I ζ ΔℓII

A variação de comprimento do tirante é dada pela soma das variações de comprimento de cada uma das zonas:

Δℓ = ζΔℓ

_II

+ (1-

ζ) Δℓ

_I

ε

_m

=

Δℓ/ℓ = ζ ε

_sII

+ (1-

ζ) ε

_sI

N

Zona fendilhada Zona não fendilhada ℓ_II= ζℓ ℓ_I= (1-ζ) ℓ Δℓ_I Δℓ_II Δℓ

A zona não fendilhada (1-ζ)ℓ corresponde

ao comprimento que tem um

comportamento igual ao da secção não fendilhada.

A zona fendilhada ζ ℓ corresponde ao

comprimento que tem um comportamento igual ao da secção fendilhada.

Como

Δℓ

_I

=

ε

_sI

x ℓ

e

Δℓ

_II

=

ε

_sII

x ℓ

então:

ε

ε_cI=σ_cI/E_c

ε_sII=σ_sII/ E_s

ε_sI=σ_sI/E_s

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

ζ designa-se por coeficiente de distribuição, corresponde à percentagem do

elemento de betão armado que tem um comportamento semelhante ao de uma

secção fendilhada: ₂ s sr

1 _⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σ

⋅

β

−

=

ζ

ζ = 0 se a zona em análise não possui secções fendilhadas, isto é, se N ≤ N_crno

caso de tracção pura, ou se M ≤ M_crno caso de flexão simples.

β é um coeficiente que tem em conta a influência da duração, ou da sua repetição,

da acção na extensão média e toma o valor:

β = 1.0 para um único carregamento de curta duração; β = 0.5 para cargas repetidas ou de longa duração.

σ_sé a tensão na armadura traccionada calculada para a secção fendilhada e para a combinação quase permanente de acções;

σ_sré a tensão na armadura traccionada calculada para a secção fendilhada e para o efeito das acções que provocam a fendilhação, isto é, para N_crno caso de

tracção pura, ou M_crno caso de flexão simples.

2 cr

M

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

2 cr

N

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

Devido à linearidade entre as tensões

σ_se σ_sre os esforços N ou M, ζ pode

(5)

Válter Lúcio Maio 2006 ₉

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

EM VIGAS

Podemos generalizar o modelo de comportamento anterior para a flexão em vigas, uma vez que a curvatura por flexão também pode ser traduzida em termos de deformações no aço e no betão:

Zona não fendilhada ℓ_II= ζℓ ℓ_I= (1-ζ) ℓ Zona fendilhada M M x

ℓ

M M d r 1 ε_s −ε_c = I E M = M 1/r M_cr SE CÇ ÃO NÃ O F EN DIL HA DA -I M_R SECÇ ÃO FE NDILH ADA -II 1/r_I 1/r_II 1/r_m

Então, na zona não fendilhada (zona I):

I I E I M r 1 c = e na zona fendilhada (zona II):

M

_cr

= f

_ctm

w

_c II II E I M r 1 c =

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

dx

M

r

1 a

m

∫

=

A flecha numa viga pode então ser determinada por:

Nas zonas não fendilhadas (M < M_cr) ζ=0.

1

+

M

+

M

_M cr M ≥ M_cr

Zona não fendilhada: M < M_cr Zona fendilhada: M ≥ M_cr

1/r

_m

= [

ζ 1/I

_II

+ (1-

ζ) 1/I

_I

] M/E

_c

1/r

_m

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I

Esta integração pode ser efectuada usando métodos numéricos.

I I E I M r 1 c = II II E I M r 1 c = com e

(6)

Válter Lúcio Maio 2006 ₁₁

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10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

4.

4. EFEITO DA FLUÊNCIA DO BETÃOEFEITO DA FLUÊNCIA DO BETÃO

Fluência (creep em inglês)é a deformação do betão ao logo do tempo sob carga constante. ε_c t t₀ 0 ε_c0 ε_c_∞ ε_c,t t ε_cc

ε

_c,t

=

ε

_c0

+

ε

_cc

ε

_cc(t,t₀)

=

ϕ

(t,t₀) x

ε

_c0

O betão, sujeito a uma tensão no instante t₀sofre uma deformação instantânea ε_c0, a qual aumenta com o tempo, atingindo o valor ε_c,tno instante t.

ε_cc é a deformação por fluência entre t₀e t. A tempo infinito t_∞a deformação toma o valor ε_c_∞.

O coeficiente de fluência ϕ(t,t₀) é a relação entre a deformação por fluência e a deformação instantânea: ϕ(t,t₀) = ε_cc/ ε_c0

ε

_cc(t,t₀)

=

ϕ

(t,t₀) x

σ

_c

/E

_c

O coeficiente de fluência é função do módulo de elasticidade tangente E_c= 1.05 E_cm

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

ε

_c,t

=

ε

_c0

+

ϕ

(t,t₀) x

ε

_c0

ε

_c,t

= (1+

ϕ

(t,t₀))

ε

_c0

ε

_c,t

= (1+

ϕ

(t,t₀))

σ

_c

/E

_c

ε

_c,t

=

σ

_c

/ [E

_c

/(1+

ϕ

(t,t₀))]

E

_c,eff

= E

_c

/(1+

ϕ

(∞,t₀)) Das expressões anteriores:

A fluência depende, principalmente:

•da idade do betão t₀em que é aplicado a tensão, •da idade do betão t em que é medida a deformação, •da geometria da secção (h₀),

•da humidade relativa RH,

•da classe de resistência do cimento

Designa-se por módulo de elasticidade efectivo o valor do módulo de elasticidade que tem em consideração a deformação total por fluência do betão:

Nas expressões anteriores, usadas para determinação da deformação, deve ser usado o módulo de elasticidade efectivo:

Igualmente, na quantificação do coeficiente de homogeneização para

determinação das características geométricas das secções de betão armado, deve ser usado o módulo de elasticidade efectivo: α_e= E_s/ E_c,eff

I I E I M r 1 eff , c = II II E I M r 1 eff , c = e

(7)

Válter Lúcio Maio 2006 ₁₃

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10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 100 50 30 1 2 3 5 10 20 t0 ϕ(∞, t0) S N R 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 C55/67 C60/75 C70/85 C90/105 C80/95 h0 (mm) t0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 100 50 30 1 2 3 5 10 20 ϕ(∞, t0) S N _R C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C55/67 C70/85 C90/105 C80/95 C45/55 C40/50 C60/75 C50/60 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 h0 (mm) 1 2 ₃ 4 5 ϕ(∞,t₀) é o valor final do coeficiente de fluência. t0 é a data do carregamento em dias. h₀ é a espessura equivalente da secção = 2Ac/u, onde Acé a área da secção transversal de betão e u é o perímetro da parte da parte da secção exposta à secagem. N, R e S são diferentes classes de resistência do cimento (ver EC2 3.1.2(6)).

Ambiente interior – RH = 50%

Ambiente exterior – RH = 80% COEFICIENTE DE

FLUÊNCIA

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

5.

5. EFEITO DA RETRACÇÃO DO BETÃOEFEITO DA RETRACÇÃO DO BETÃO

A retracção (shrinkage em inglês) do betão consiste na redução gradual de volume do elemento de betão, devido à secagem, auto-dessecação e carbonatação da massa de betão endurecida.

A deformação por retracção é independente do estado de tensão.

A retracção por auto-dessecação, ou retracção autogénea, está associada à hidratação do cimento, desenvolvendo-se principalmente nos primeiros dias da cura do betão.

A retracção por secagem do betão evolui lentamente e resulta da migração da água através do betão endurecido. É a parcela mais importante na deformação por retracção do betão. A retracção por carbonatação corresponde à reacção entre o dióxido de carbono do ar com a pasta de cimento hidratado ao longo do tempo.

A retracção plástica do betão ocorre na fase de betão fresco, não sendo de considerar para efeito da deformação dos elementos de betão, e pode ser controlada através de uma cura, compactação e composição do betão convenientes.

O valor da extensão por retracção ε_cspode ser dado pela soma das duas principais parcelas: a retracção por secagem ε_cde a retracção autogénea ε_ca.

(8)

Válter Lúcio Maio 2006 ₁₅

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

ε

_cd

(

∞) = k

_h

ε

_cd,0

O valor final da retracção por secagem é dado por:

ε_cd,0designa-se por retracção livre por secagem e é função da humidade relativa do ambiente.

ε_sd.0 x103 0,00 0,13 0,24 0,38 0,46 0,48 C40/50 0,00 0,17 0,30 0,49 0,58 0,62 C20/25 100 90 80 60 40 20

Humidade Relativa (em 0_/ 0) Betão

k_hdepende da espessura equivalente h₀. 0,851,0 0,75 0,70 100 200 300 ≥ 500 k_h h₀

ε

_ca

(

∞) = 2.5 (f

_ck

– 10) 10

-6

O valor final da extensão por retracção autogénea é:

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

DEFORMAÇÃO POR RETRACÇÃO Considere-se uma viga de betão sujeita a uma deformação por retracção ε_cs.

Se não houver armadura, a retracção é uniforme na altura da viga. Havendo armadura, esta reagiria com

uma força igual à força de compressão que a retracção do betão lhe impõe:

N = -ε_csE_sA_s

Surgindo no betão, por equilíbrio, uma força e um momento: N = ε_csE_sA_s ; M = ε_csE_sA_s(d-x)

ε

_cs

N

d

N

x

M

+

=

I E M r 1 c cs =

Sendo a curvatura dada por:

(

)

I E x d A E c s s cs − ε = Ou seja: I S r 1 e cs cs α ε =

onde α_e= E_s/E_c,eff; S = A_s(d-x) é o momento estático da armadura em relação à linha neutra e I é o momento de inércia da secção fendilhada, ou não fendilhada.

(9)

Válter Lúcio Maio 2006 ₁₇

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

6.

6. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO EM VIGAS DE BETÃO ARMADOCÁLCULO DA DEFORMAÇÃO EM VIGAS DE BETÃO ARMADO

dx

M

r

1 a

m

∫

=

Nas zonas não fendilhadas (M < M_cr) ζ=0.

1/r

_m

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I I I E I M r 1 eff , c = II II E I M r 1 eff , c =

Onde a curvatura média é dada por:

e

Resumindo, o cálculo da flecha numa viga pode ser obtida usando o princípio dos trabalhos virtuais:

Com: I S r 1 e cs cs α ε =

Às curvaturas anteriores pode ser adicionada a curvatura devido à retracção do betão:

Onde E_c,eff tem em conta a fluência do betão A fluência do betão deve também ser considerada na determinação de I_Ie I_II, respectivamente os momentos de inércia da secção não fendilhada e da secção fendilhada, onde deve ser usado o coeficiente de homogeneização efectivo

α_e= E_s/E_c,eff 2 cr

M

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

ζ é o coef. de distribuição:

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

Designa-se por deformação ou flecha instantâneaflecha instantâneaa que não tem em consideração

os efeitos diferidos do comportamento do betão: fluência e retracção. Neste caso t=t₀, E_c,eff= E_cme:

I I E I M r 1 cm = II II E I M r 1 cm =

dx

M

r

1 a

0 , m 0

=

∫

1/r

_m,0

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I

Designa-se por deformação ou flecha a longo prazoflecha a longo prazo, ou valor máximo, a que tem

em consideração os valores máximos dos efeitos diferidos. Neste caso t = t_∞, ϕ = ϕ (∞, t₀), E_c,eff= E_c/(1+ϕ), ε_cs= ε_cs(∞) e:

dx

M

r

1 a

, m

∫

_∞ ∞

=

1/r

_m,_∞

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I

(10)

Válter Lúcio Maio 2006 ₁₉

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

a. Cálculo por integração numérica

A integração anterior pode ser calculada usando um método numérico:

•considere-se a viga representada na figura, a

qual pode ser dividida num determinado número de secções equidistantes. Quanto maior for o número de secções consideradas menor será o erro do resultado.

•determina-se a carga para a combinação

quase permanente, M_cr, α_eeε_cs;

•a integração numérica pode ser efectuada

usando, por exemplo, o método de Simpson 1/r_m 1/r_II 5 4 3 2 1 f 1/r_I ζ S I_II I_I M As Secção M _r Mdx f dx 1 a m

∫

= =

1

+

M

+

M

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Δx ∫ f dx = Δx/3{f₁+ + 4 (f₂+ f₄+ f₆+ …) + + 2 (f₃+ f₅+ f₇+ …) + f_n}

•para cada secção determinam-se: A_s, M, M, I_I,

I_II, para a retracção S, ζ, 1/r_I, 1/r_IIe 1/r_m.

10

(11)

Válter Lúcio Maio 2006 ₂₁

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10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

b. Cálculo aproximado

Este método aproximado considera apenas as características de certas secções que se consideram determinantes no cálculo da flecha.

Essas Secções DeterminantesSecções Determinantesno cálculo da flecha correspondem às secções de

máximos momentos, as quais coincidem, em regra, com as secções de máxima curvatura de flexão.

+

M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

D MD

-M

VIGA EM CONSOLA D M_D +

M

VIGA ENCASTRADA APOIADA

D₁ M_D,1 D₂ M_D,2 -+

M

VIGA BI-ENCASTRADA D1 M_D,1 D2 M_D,2 - -M_D,2 D2

Nos casos em apenas existe uma Secção DeterminanteSecção Determinante

considera-se as características dessa secção.

Nos casos em que existem duas ou mais

Secções Determinantes

Secções Determinantes, considera-se a média das flechas calculadas com base em cada uma das

Secções determinantes.

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

•FLECHA INSTANTÂNEA (t=0)

a

₀

=

ζ a

_II0

+ (1-

ζ) a

_I0

a

_I0

= a

_c

/ (I

_I

/I

_c

)

e

a

_II0

= a

_c

/ (I

_II

/I

_c

)

I_I e I_IIdeterminados com ϕ=0.

a_I0é a flecha instantânea, determinada considerando as características da Secção Determinante não fendilhada.

a_II0é a flecha instantânea, determinada considerando as características da Secção Determinante fendilhada.

Seja a_ca deformação elástica (*)_{, determinada com base nas características}

da secção de betão ( I_c= bh3_{/12 , E}

cm), desprezando a presença das armaduras,

a fendilhação e a fluência do betão.

É, então, fácil determinar a_I0e a_II0fazendo:

(*) _{para uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída, por}

exemplo: a_c= (5/384) p l4_{/ E} cmIc

ζ será determinado na Secção Determinante, com o respectivo

momento flector M determinado para a combinação quase

permanente de acções e o momento de fendilhação M_cr, e β = 1.0.

2 cr

M

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

(12)

Válter Lúcio Maio 2006 ₂₃

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

•FLECHA A LONGO PRAZO (t=∞)

a

∞

=

ζ a

II∞

+ (1-

ζ) a

I∞

a

_I_∞

= [(1+

ϕ) a

_c

/1.05] / (I

_I

/I

_c

)

e

a

_II_∞

= [(1+

ϕ) a

_c

/1.05] / (I

_II

/I

_c

)

I_Ie I_IIdeterminados com ϕ = ϕ(∞,t₀)

a_I_∞é a flecha a longo prazo, determinada considerando as características da Secção Determinante não fendilhada.

a_II_∞é a flecha a longo prazo, determinada considerando as características da Secção Determinante fendilhada.

É fácil determinar a_I_∞ e a_II_∞ com base em a_c, modificado para ter em conta E_c,eff:

Para a flecha a longo prazo, no cálculo deζ deverá ser considerado β = 0.5.

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

CARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO NÂO FENDILHADA

(

I

)

SECÇÃO RECTANGULAR

A secção é homogeneizada com α_e= E_s/ E_c,eff onde E_c,eff= 1.05 E_cm/(1+ϕ)

e ϕ é o coeficiente de fluência.

No caso de acções instantâneas E_c,eff= E_cm Posição da linha neutra:

(

_s _s

)

s s 2

'

A

bh

'

A

a

A

d

2 bh

x

+

α

+

α

⋅

+

α

⋅

+

=

Com ρ = A_s/bd , ρ’ = A’_s/bd: Para β = 0 : d x h As b L N A’_s a

(

+

β

)

αρ

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

_β

αρ

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1 d

h

d

a

1 d

h

2

1 d

x

k

2 αρ + αρ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = d h d h 2 1 d x k 2

e com β = A’_s/A_s= ρ’/ρ vem:

(

'

)

bd

bh

'

a

bd

2 bh

x

2 2

ρ

+

ρ

α

+

αρ

⋅

+

αρ

+

=

(13)

Válter Lúcio Maio 2006 ₂₅

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

Momento de Inércia em secção não fendilhada:

SECÇÃO RECTANGULAR d x h A’_s A_s b a L N

I

_I

= bh

3

_{/12 + bh (x-h/2)}

2

₊

_{α A}

s

(d-x)

2

+

α A’

s

(x-a)

2

I

_I

= bh

3

_{/12 + bh (x-h/2)}

2

₊

_{αρ bd}

3

_[(1-x/d)

2

₊

_{β (x/d-a/d)}

2

_]

I

_I

= bh

3

_{/12 { 1 + 3(2x/h-1)}

2

_{+ 12}

αρ (d/h)

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_{] }}

I

_I

= I

_c

{ 1 + 3(2x/h-1)

2

_{+ 12}

αρ (d/h)

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_{] }}

Com

I

_c

= bh

3

_/12

Cálculo de tensões:

x

I

M

I c

=

−

σ

−

(

x

a

)

I

M

'

I s

=

−

α

−

σ

(

d

x

)

I

M

I s

=

α

−

σ

ε_c Com

ρ = A

_s

/bd e

β = A’

_s

/ A

_s ε’_s ε_s

)

x

h

(

I

M

I c

=

−

σ

+ σ_s σ’_s σ_c -σ_c+

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

CARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO FENDILHADA

(

II

)

SECÇÃO RECTANGULAR A secção é homogeneizada com α_e= E_s/ E_c,eff onde E_c,eff= 1.05 E_cm/(1+ϕ)

e ϕ é o coeficiente de fluência.

No caso de acções instantâneas E_c,eff= E_cm Posição da linha neutra:

(

_s _s

)

s s 2

'

A

bx

'

A

a

A

d

2 bx

x

+

α

+

α

⋅

+

α

⋅

+

=

d x h A’_s A_s b a L N

bx

2

₊

α (A

s

+ A’

s

)x - bx

2

/2 -

α (dA

s

+ aA’

s

) = 0

0.5 x

2

_{+ x}

_{α (ρ + ρ’) d - α (ρ d + ρ’a) d = 0}

Com ρ = A_s/bd e ρ’ = A’_s/bd ; fazendo β = A’_s/A_s= ρ’/ρ vem:

0.5 (x/d)

2

_{+ x/d}

_{αρ(1+β) - αρ(1 + β a/d) = 0}

(

)

(

)

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

β

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

_β

αρ

+

β

+

αρ

=

1 d

a

1

2

1 d

x

k

2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − αρ + αρ = = 1 2 1 d x k Para β = 0 : ou:

(14)

Válter Lúcio Maio 2006 ₂₇

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

s

_z

_A

M

=

σ

Momento de Inércia da secção fendilhada:

SECÇÃO RECTANGULAR d x h A’_s A_s b a L N

I

_II

= bx

3

_{/3 +}

_{α A}

s

(d-x)

2

+

α A’

s

(x-a)

2

I

_II

= bx

3

_{/3 +}

_{αρ bd}

3

_[(1-x/d)

2

₊

_{β (x/d-a/d)}

2

_]

I

_II

= bh

3

_{/12 { 4(x/h)}

3

_{+ 12}

_{αρ (d/h)}

3

_[(1-x/d)

2

₊

_{β (x/d-a/d)}

2

_{] }}

I

_II

= I

_c

{ 4(x/h)

3

_{+ 12}

αρ (d/h)

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_{] }}

Com

I

_c

= bh

3

_/12

Cálculo de tensões:

x

I

M

II c

=

−

σ

(

x

a

)

I

M

'

II s

=

−

α

−

σ

(

d

x

)

I

M

II s

=

α

−

σ

Ou: σ_s σ’_s σ_c ε_c ε’_s ε_s σ_c F_s Fc+F’_s z≈ 0.9d Com

ρ = A

_s

/bd e

β = A’

_s

/ A

_s Com ₍ ₎ x d A I z s II − α =

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

3.37 4.00 3.09 3.60 2.75 3.14 2.33 2.62 1.82 2.00 0.50 3.06 3.70 2.82 3.34 2.52 2.93 2.17 2.47 1.73 1.93 0.45 2.75 3.40 2.54 3.08 2.29 2.73 1.99 2.32 1.63 1.86 0.40 2.44 3.10 2.26 2.82 2.06 2.51 1.81 2.17 1.52 1.78 0.35 2.12 2.80 1.98 2.56 1.82 2.30 1.62 2.01 1.39 1.69 0.30 1.80 2.50 1.70 2.30 1.57 2.09 1.42 1.86 1.25 1.60 0.25 1.48 2.20 1.40 2.04 1.31 1.88 1.21 1.70 1.09 1.50 0.20 1.15 1.90 1.10 1.78 1.04 1.66 0.98 1.53 0.90 1.39 0.15 0.80 1.60 0.78 1.52 0.75 1.44 0.71 1.36 0.68 1.27 0.10 0.44 1.30 0.43 1.26 0.42 1.22 0.41 1.18 0.40 1.14 0.05 0.19 1.12 0.19 1.10 0.19 1.09 0.19 1.07 0.18 1.06 0.02 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic αρ 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 β 1.00 d/h= 1.12 1.97 1.08 1.84 1.02 1.70 0.96 1.53 0.88 1.34 0.45 1.02 1.86 0.99 1.75 0.94 1.62 0.89 1.48 0.83 1.31 0.40 0.92 1.76 0.89 1.66 0.86 1.55 0.82 1.42 0.78 1.28 0.35 0.82 1.65 0.80 1.56 0.77 1.47 0.75 1.37 0.71 1.25 0.30 0.71 1.54 0.70 1.47 0.68 1.39 0.66 1.31 0.64 1.22 0.25 0.60 1.43 0.59 1.38 0.58 1.32 0.57 1.25 0.56 1.18 0.20 0.48 1.32 0.48 1.28 0.47 1.24 0.47 1.19 0.46 1.14 0.15 0.35 1.22 0.35 1.19 0.35 1.16 0.35 1.13 0.35 1.10 0.10 0.20 1.11 0.20 1.09 0.20 1.08 0.20 1.07 0.20 1.05 0.05 0.10 1.04 0.09 1.04 0.09 1.03 0.09 1.03 0.09 1.02 0.02 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic αρ 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 β 0.80 d/h= MOMENTOS DE INÉRCIA EM SECÇÕES RECTANGULARES DE BETÃO ARMADO

em secção não fendilhada: I_I= (I_I/I_c) bh3_/12

em secção fendilhada: I_II= (I_II/I_c) bh3_/12 d h A’s As b a x ρ = As/bd β = A’_s/ A_s α = E_s/ E_c,eff E_c,eff= 1.05 E_cm/(1+ϕ) a= h-d ρ = A_s/bd β = A’_s/ A_s 1.91 2.73 1.79 2.50 1.65 2.24 1.47 1.94 1.26 1.60 0.45 1.72 2.54 1.62 2.33 1.50 2.10 1.36 1.85 1.19 1.55 0.40 1.54 2.34 1.46 2.17 1.36 1.97 1.24 1.75 1.10 1.50 0.35 1.35 2.15 1.28 2.00 1.21 1.83 1.12 1.65 1.01 1.44 0.30 1.16 1.96 1.11 1.83 1.05 1.70 0.99 1.55 0.91 1.38 0.25 0.96 1.77 0.93 1.67 0.89 1.56 0.84 1.45 0.79 1.32 0.20 0.75 1.58 0.73 1.50 0.71 1.42 0.69 1.34 0.66 1.25 0.15 0.54 1.38 0.53 1.33 0.52 1.28 0.51 1.23 0.49 1.17 0.10 0.30 1.19 0.30 1.17 0.30 1.14 0.29 1.12 0.29 1.09 0.05 0.14 1.08 0.14 1.07 0.14 1.06 0.13 1.05 0.13 1.04 0.02 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c αρ 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 β 0.90 d/h=

(15)

Válter Lúcio Maio 2006 ₂₉

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

FLECHAS ELÁSTICAS EM VIGAS

FLECHAS ELÁSTICAS EM VIGAS p ℓ a p ℓ a p ℓ a a = 5.0 a_A a = 2.5 a_A a = 3.2 a_A M ℓ a a = (1/16) Mℓ2_/EI ℓ a P a = 2.08 a_A a = 1.17 a_A a = 1.4 a_A a = 0.45 a_C p ℓ a p ℓ a p ℓ a p ℓ a ℓ a P a = 0.92 a_A a = 0.50 a_A a = 0.70 a_A a = 0.25 a_C p ℓ a p ℓ ℓ P a = 0.73 a_B a = 0.46 a_B a = (1/3) Pℓ3_/EI p ℓ p ℓ p ℓ p ℓ ℓ a = 0.27 a_B p ℓ a a a a a a a a P a_A= (1/384) pℓ4_/EI a_B= (1/8) pℓ4_/EI a_C= (1/48) Pℓ3_/EI

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

FLECHA A CURTO PRAZO (t=0)

EXEMPLO DE APLICA

EXEMPLO DE APLICAÇÇÃOÃO

+ M_D

M VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

p_{qp = 30kN/m} ℓ= 5.0mD

Viga: bxh = 0.25x0.45m d=0.40m d/h≈0.9 Armadura: A500NR β = 0

3φ20 → A_s= 9.42cm2 _{ρ = 0.94%}

Secção determinante a meio vão

Betão: C20/25 → E_cm= 30GPa → f_ctm= 2.2MPa M_D= p_qpℓ2 _{/ 8 = 93.8kNm} _I c= bh3/12 = 1.9x10-3 Flecha elástica: a_c= (5/384) pℓ4_/E cmIc= (5/384) 30x5.04/ (30x106x1.9x10-3) = 4.3mm α= E_s/ E_cm= 200/30 = 6.7 αρ= 6.7x0.94% = 0.063 das tabelas: I_I/ I_c= 1.12 I_II/ I_c= 0.35 Momento de fendilhação: M_cr= f_ctmbh2_{/6 = 2200 x 0.25x0.45}2_{/6 = 18.6kNm}

M_D> M_cr→ a viga está fendilhada na zona da secção determinante

ζ= 1- β (M_cr/M_D)2 _{= 1 – 1.0 (18.6 / 93.8)}2_{= 0.96}

a₀= ζ a_II0+ (1-ζ) a_I0 = 0.96 x 12.3 + (1-0.96) x 3.8 = 12.0mm

a_I0= a_c/ (I_I/I_c) = 4.3mm / 1.12 = 3.8mm e a_II0= a_c/ (I_II/_Ic) = 4.3mm / 0.35 = 12.3mm

(16)

Válter Lúcio Maio 2006 ₃₁

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

Coef. de fluência ϕ=2.5

FLECHA A LONGO PRAZO (t=∞)

α= E_s/ E_c,eff= 200/9 = 22.2 αρ= 22.2x0.94% = 0.21 das tabelas: I_I/ I_c= 1.33 I_II/ I_c= 0.81 ζ= 1- β (M_cr/M_D)2_{= 1 – 0.5 (18.6 / 93.8)}2_{= 0.98} a₀= ζ a_II0+ (1-ζ) a_I0= 0.98 x 18.6 + (1-0.98) x 11.3 = 18.5mm a_I_∞= (1+ϕ) a_c/ (I_I/I_c) = (1+2.5) x 4.3mm / 1.33 = 11.3mm a_II_∞= (1+ϕ) a_c/ (I_II/_Ic) = (1+2.5) x 4.3mm / 0.81 = 18.6mm <

ℓ

/250 = 5000/250 = 20mm OK! E_c,eff = 1.05 E_cm/(1+ϕ) = 1.05x30 / (1+2.5) = 9.0GPa

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

7.

7. REGRAS PRÁTICAS PARA DISPENSA DO CÁLCULOREGRAS PRÁTICAS PARA DISPENSA DO CÁLCULO

Nos casos correntes, podem ser usadas regras simplificadasregras simplificadasde limitação da rela

relaçção vão / altura ão vão / altura úútiltilda viga para evitar flechas elevadas.

O cálculo das flechas só será necessário quando não forem respeitadas estas regras ou quando a situação em análise não se enquadrar nos pressupostos definidos para as regras simplificadas.

Considere-se que para a combinacombinaçção quase permanenteão quase permanentede acções M_qp= M_Ed/1.4 Então: σs= fyd/ 1.4 = 435 / 1.4 = 310MPa para o A500

a_∞= k₁p_qpℓ4_{/ E} c,effIm

Para uma viga, em geral,

Onde I_m é o valor médio do momento de inércia da secção transversal da viga, tendo em conta o momento de inércia em secção não fendilhada I_I, o momento de inércia em secção fendilhada I_IIe o coeficiente de distribuição ζ.

1/I_m= ζ 1/I_II + (1-ζ) 1/I_I

Tomando agora σ_s= α_eM_qp(d-x) / I_II com M_qp= p_qpℓ2_{/ k} 2

ou seja σ_s= α_ep_qpℓ2 _{(d-x) / (k}

(17)

Válter Lúcio Maio 2006 ₃₃

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

em a_∞= k₁p_qpℓ4_{/ E}

c,effIm = k1k2ℓ2 σs,qp(III /Im) / [Ec,effαe(d-x)]

com E_c,effα_e= E_c,eff(E_s/ E_c,eff) = E_s

Para uma viga simplesmente apoiada k₁= 5/384 e k₂= 8

considere-se a_∞/ℓ = 1/250 e, como valor aproximado: I_m/I_II= 1.2

Substituindo na expressão anterior:

ℓ/d = (1/250) (0.65) (1.2) / [(40/384) (310 MPa / 200 000 MPa)] = 19.3 donde a_∞/ℓ = k₁k₂(ℓ/d) (σ_s,qp/ E_s) (I_II/I_m) / (1-x/d)

ou seja, a relação entre o vão e a altura útil deve respeitar:

ℓ/d = (a

_∞

/ℓ) (1-x/d) (I

_m

/I

_II

) / [k

₁

k

₂

(

σ

_s,qp

/ E

_s

) ]

Como exemplo, tome-se ρ = 0.5% e α_e= 20 para determinar (1-x/d) = 0.65

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ρ α + ρ α = 1 2 1 d x e e

isto é, para ℓ/d ≤ 19.3 a flecha da viga é inferior a ℓ/250 e verifica a segurança. Aplicando este princípio a outras situações obtém-se a tabela seguinte.

Substituindo p_qpℓ2 _{= k}

2σsIII / [ αe(d-x)]

10

10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

24 17

Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão)

20 14

Viga simplesmente apoiada,

laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções

26 18

Vão extremo de uma viga contínua

ou de uma laje contínua armada numa direcção ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior

30 20

Vão interior de uma viga

ou de uma laje armada numa ou em duas direcções

• Se σ_s≠ 310MPa , ou no caso de aço A400, multiplicar os valores anteriores por 500 / (f_ykA_s,req/A_s,prov)

• No caso de vigas em T com b ≥ 3 b_wos valores acima devem ser multiplicados por 0.8.

• Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível utilizar

elementos mais esbeltos.

• Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.

• Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

8 6 Consola Betão levemente solicitado ρ= 0,5% Betão fortemente solicitado ρ = 1,5% Sistema estrutural VALORES MÁXIMOS DE

VALORES MÁXIMOS DE ℓℓ/d/dEM VIGAS E LAJES QUE EM VIGAS E LAJES QUE GARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMA

GARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÇÃO ÃO SEM NECESSIDADE DE C

(18)

Válter Lúcio Maio 2006 ₃₅

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10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

PROGRAMA

1. Introdução ao betão armado 2. Bases de Projecto e Acções

3. Propriedades dos materiais: betão e aço 4. Durabilidade

5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6. Estado limite último de resistência à flexão simples

7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8. Disposições construtivas relativas a vigas

9. Estados limite de fendilhação 10.Estados limite de deformação

11.Estados limites últimos de resistência à flexão composta com

esforço normal e à flexão desviada

12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção