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INTRODUÇÃO À TEORIA

DOS CONJUNTOS

FORTIUM – Grupo Educacional

Faculdade Fortium

Docente: Jeferson de Arruda

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5.1 - CONCEITOS PRIMITIVOS

Definição 1: Chamamos de conjunto uma coleção de objetos. Podemos citar como exemplos de conjuntos,

a) O conjunto de todos os brasileiros. b) O conjunto de todos os números naturais.

c) O conjunto de todos os números reais tal que x2 −4=0.

A notação utilizada para representar um conjunto, em geral, é uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Definição 2: A cada um dos componentes do conjunto, chamaremos de elemento do conjunto. Como exemplo, temos:

a) José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros; b) 1 é um elemento do conjunto dos números naturais;

c) -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 −4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: .

z c b a, , ,_K,

Definição 3: Dizemos que um elemento pertence ao conjunto, se este elemento que faz parte deste conjunto.

Conforme a definição, observe os exemplos:

a) José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. b) 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

c) -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2 −4=0.

Para indicarmos que um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo “∈” que se lê: "pertence". Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

N

∈ 1

Para afirmar que -2 não é um número natural ou que -2 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

N

∉ − 2

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra “ ” traçada sobre o símbolo normal. /

5.2 - ALGUMAS MANEIRAS DE REPRESENTAR OS CONJUNTOS

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

} {

5.2.1 – Apresentação

Chamamos de apresentação a representação de conjuntos onde os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { }.

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Exemplos:

a) A=

{

a,e,i,o,u

}

b) N =

{

0,1,2,3,_K

}

c) P=

{

Pedro,Paulo,Marcos

}

5.2.2 – Descrição

Na descrição, o conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. Veja os exemplos:

a) A=

{

x:xéumavogal

}

;

b) N =

{

x:xéumnúmeronatural

}

c) P=

{

x:xéirmãodeJoelma

}

5.2.3 - Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler")

A representação através dos diagramas de Vem-Euler, trata-se da formação de figuras planas fechadas cujas linhas de contorno não se cruzam, onde os elementos do conjunto se encontram no interior de tais figuras. Veja algumas representações:

Pedro Marcos Paulo P

a e i

o u

A 5.2.4 - Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que “A está contido em B” (“A é subconjunto de B” ou “B contém A”), denotado por A⊂ , se todos os elementos de A também estão em B. Quando escrevemos B

B

A⊂ não se exclui a possibilidade de A=B. Neste caso, dizemos que o conjunto A está propriamente contido em B(“A é uma parte própria de B” ou “A é subconjunto próprio de B”). 5.2.4.1 - Alguns conjuntos especiais

Definição 5: Conjunto vazio é um conjunto que não possui elementos. É representado por

{ }

ou

por φ.

Propriedade 1: O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

De fato, caso não ocorresse φ⊂ A, para todo conjunto A, então existiria um elemento x∈φ tal que x∉A. Como não existe tal elemento, devemos assumir que φ⊂A, para todo conjunto A. Definição 6: Chamamos de conjunto universo o conjunto que contém todos os conjuntos do contexto em que estamos trabalhando. O conjunto universo é, normalmente, representado pela letra U. No decorrer dos próximos capítulos, salvo menção ao contrário, consideraremos o conjunto universo como sendo o conjunto dos números Reais.

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5.3 - UNIÃO DE CONJUNTOS

Definição 7: A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao

conjunto A ou ao conjunto B. } / {x x Aoux B B A∪ = ∈ ∈

Como exemplo, observe que dados A={a,e,i,o,3,5} e B={a,3,4}, temos A∪B={a,e,i,o,3,4,5}.

5.4 - INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

Definição 8: A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao

conjunto A e ao conjunto B. } / {x x Aex B B A∩ = ∈ ∈ Exemplos: a) Dados A={a,e,i,o,3,5} e B={a,3,4}, teremos A∩B={a,3}. b) Dados A={a,e,i,o,3,5} e B={u,4}, teremos A∩ B=φ.

Definição 9: Quando a interseção de dois conjuntos A e B é igual ao conjunto vazio, dizemos que

estes conjuntos são disjuntos.

5.5 - IGUALDADE DE CONJUNTOS

B

A= A⊂B B⊂ A

Definição 10: Sejam A e B dói conjuntos. Dizemos quando e .

5.5 - PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS

Propriedade 2: (Fechamento) Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B,

denotada por A∪B e a interseção de A e B, denotada por A∩B, ainda são conjuntos no universo.

Propriedade 3: (Reflexiva) Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A A e A A A∪ = ∩ =

Propriedade 4: (Inclusão relacionada) Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

B B A A B A B A B B A A⊂ ∪ , ⊂ ∪ , ∩ ⊂ , ∩ ⊂

Propriedade 5: (Associativa) Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

C B A C B A C B A C B A ∩ ∩ = ∩ ∩ ∪ ∪ = ∪ ∪ ) ( ) ( ) ( ) (

Propriedade 6: (Comutativa) Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, temos que:

A B B A A B B A ∩ = ∩ ∪ = ∪

Propriedade 7: (Elemento neutro para a reunião) O conjunto vazio φ é o elemento neutro para a

reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A A∪φ=

Propriedade 8: (Elemento "nulo" para a interseção) A interseção do conjunto vazio φ com

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φ φ = ∩ A

Propriedade 9: (Elemento neutro para a interseção) O conjunto universo U é o elemento neutro

para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U

A∩ =

Propriedade 10: (Distributiva) Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, temos que:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C A B A C B A C A B A C B A ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ∪ ∩

5.6 - DIFERENÇA DE CONJUNTOS

Definição 11: A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que

pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. } :

{x x Aex B B

A− = ∈ ∉

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

A-B A

B

O leitor deve observar que não existe a necessidade do conjunto B estar contido no conjunto A para formar a diferença A− . B

5.7 – CONJUNTO COMPLEMENTAR

A B⊂

Definição 12: Sejam A e B conjuntos tais que . O complemento do conjunto B em relação ao

conjunto A, denotado por , é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

B CA } : {x x Ae x B B A B CA = − = ∈ ∉

Graficamente, o complemento do conjunto B em relação ao conjunto A, é dado por: C_AB

A

B

Quando não há dúvida em relação à qual conjunto (ou em relação ao universo U em que estamos trabalhando) se está definindo o conjunto complementar, simplesmente utilizamos a letra c colocada como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos de notações: φc =U e Uc =φ.

5.8 - LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN

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Propriedade 11: O complementar da união de dois conjuntos A e B é a interseção dos

complementares desses conjuntos.

c c c B A B A∪ ) = ∩ (

Propriedade 12: O complementar da união de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos

c n c c c c n A A A A A A A A ∪ ∪ ∪...∪ ) = ∩ ∩ ∩...∩ ( 1 2 3 1 2 3

Propriedade 13: O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a união dos

c c c B A B A∩ ) = ∪ (

Propriedade 14: O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a união dos

c n c c c c n A A A A A A A A ∩ ∩ ∩...∩ ) = ∪ ∪ ∪...∪ ( ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ ₃

“Tudo o que não é perfeito pode ser melhorado, mas é preciso fazer alguma coisa. Tudo o que está ruim, pode piorar ainda mais, basta não fazer nada.” Ruptura da Mente (S.R.Marks)

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EXERCÍCIOS

} 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 { = A B={1,3,5,7,9} C={−1,−2,1,3,5,7,9}

1) Sejam os conjuntos , e . Em cada item

abaixo, responda verdadeiro (V) ou falso (F). A ∈ 2 A⊃B a) d) {2}⊂A g) j) B∈C A ⊂ 2 B⊂A b) e) {2,3}⊂B h) k) {− }1,5 ⊂C c) B⊂C _f) i) C⊄A A C⊃ } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 { = A , B={1,3,5,7,9} e C={−1,−2,1,3,5,7,9}. Determine: 2) Sejam os conjuntos = ∩ B A B− A= a) e) C∪ B= i) = ∪ B A b) f) A∪ C = k) A−(B∩C)= c) C∩ B= g) A− B= d) A∩ C= h) C− B= } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 { = A B={1,3,5,7,9} C={−1,−2,1,3,5,7,9}

3) Sejam os conjuntos , e . Represente

através do diagrama de diagramas: = ∩ B A A− B= a) d) A∩ C = g) = ∪ B A b) e) C∪ B= h) C− B= c) C∩ B= f) A∪ C =

4) Em um determinado bairro de uma cidade, existem apenas pessoas de cabelos pretos, castanhos e loiros. Sabe-se que o total de habitantes deste bairro é de 300 pessoas, dentre estas, 180 tem cabelos pretos e 70 tem cabelos castanhos, determine o número de pessoas de cabelo loiro.

5) Considere o conjunto A com 25 elementos; o conjunto A∩B com 15 elementos e o conjunto com 70 elementos. Nestas condições, determine o número de elementos do conjunto B. B

A∪

6) Num concurso foram cadastrados vários candidatos que declararam falar, pelo menos, um dos indiomas: inglês, francês ou espanhol. Sabendo que 120 candidatos declararam falar inglês, francês e espanhol; 220 inglês e espanhol; 120 francês e espanhol; e 170 inglês e francês, pergunta-se: Quantos concorrentes declararam falar exatamente uma das três línguas, se eram 1500 cadastrados? 7) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem outros canais distintos de A e B. Qual o número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B?

8) Sabendo-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos jornais, determine o número de pessoas que forma consultadas.

9) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Sabrina, Bianca e Mariana. Para isso pesquisou o mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas, 600 leram Bianca, 400 leram Sabrina, 300 leram Mariana, 200 leram Bianca e Sabrina, 150 leram Bianca e Mariana, 100 leram Sabrina e Mariana, e 20 leram as três obras. Calcule:

a) o número de pessoas que leram apenas uma das três obras; b) o número de pessoas que não leram nenhuma das obras; c) o número de pessoas que leram duas ou mais obras.

10) A empresa Belas Artes, preocupada com a satisfação dos seus clientes, realizou uma pesquisa para conhecer a opinião dos clientes em relação ao atendimento recebido pelos departamentos A e B da empresa.

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Após conhecer a opinião de 500 clientes, pode constatar que, destes, 300 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelo departamento A, 350 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelo departamento B, e 200 estavam satisfeitos com o atendimento recebido pelos dois departamentos, ou seja, A e B. Determine o número de clientes que manifestaram insatisfação com o atendimento recebido dos departamentos.

11) A empresa Belas Artes, proprietária também de dois canais (A e B) de televisão, realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus telespectadores. Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais distintos de A e B. Determine o número de pessoas que assistem simultaneamente (em horários diferentes, mas freqüentemente assistem os dois canais) os canais A e B. 12) Uma cidade que tem 10000 habitantes possui dois times de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com todos os habitantes, constatou-se que 1200 pessoas não apreciam nenhum dos times, 1300 pessoas apreciam os dois times e 4500 pessoas apreciam o time A. Determine:

a) quantas pessoas apreciam apenas o time A. b) quantas pessoas apreciam o clube B. c) quantas pessoas apreciam apenas o clube B.

13) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 de História. O número de alunos que gostam de Matemática e de História é:

a) exatamente 36; d) no mínimo 7;

b) exatamente 0; e) exatamente 6;

c) no máximo 5; f) nenhuma das alternativas.

14) Uma empresa consultou 300 dos seus funcionários a respeito de três embalagens para lançamento de um novo produto. Considerando as embalagens como A, B e C, 160 pessoas indicaram a embalagem A, 120 indicaram a embalagem B, 90 indicaram a embalagem C, 30 indicaram as embalagens A e B, 40 indicaram as embalagens A e C, 50 as embalagens B e C e 10 indicaram as três embalagens. Dos funcionários consultados, quantos não tinham preferência por nenhuma das três embalagens?

a) Impossível calcular; d) menos de 78;

b) mais de 85; e) 80;

c) 55;

15) Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. Feito um levantamento de mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado:

PRODUTOS NÚMERO DE CONSUMIDORES

A 150 B 200 C 250 A e B 70 A e C 90 B e C 80 A, B e C 60 Nenhum dos três 180 Determine:

a) quantas pessoas consomem apenas o produto A;

b) quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B ou o produto C; c) quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B;

d) quantas pessoas consomem apenas o produto C; e) quantas pessoas forma consultadas.

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16) A Universidade Belas Artes preocupada com o grande número de alunos que recebem nota zero ao serem “pegos” utilizando meios ilícitos para obter notas nas referidas avaliações, resolve realizar uma pesquisa para saber se a necessidade de utilização de meios ilícitos está relacionada com a falta de estudo das teorias utilizadas na avaliação de cada disciplina. A Universidade Belas Artes, ao consultar 700 alunos sobre a sua preparação prévia para realização das avaliações, constatou que, entre estes, 250 alunos estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Matemática, 310 estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Língua Portuguesa, 280 estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Teoria de Administração, 150 estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Matemática e Língua Portuguesa, 170 estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Língua Portuguesa e Teoria de Administração, 130 estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Matemática e Teoria de Administração e 50 estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Matemática, de Língua Portuguesa e de Teoria de Administração. Determine: a) o número de alunos que não estudaram o conteúdo necessário para a realização de nenhuma das três avaliações citadas acima;

b) o número de alunos que estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Matemática ou de Teoria de Administração.

c) o número de alunos que estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Matemática, mas não estudaram o conteúdo necessário para a realização da avaliação de Teoria de Administração.

17) Responda verdadeiro(V) ou falso (F), em cada uma das afirmativas abaixo:

a) ( ) Podemos dizer que um conjunto A é um subconjunto do conjunto B quando algum dos elementos do conjunto A estão no conjunto B.

b) ( ) Dois conjuntos, digamos A e B, são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

{

1, ,3,3 8,−2

}

= π A =

{

−1,30,−3,3 7,5

}

B =

{

−1, 3 7,−2

}

C

c) ( ) Sejam , e . Podemos dizer

que A∪C=

{

1,π,3,3 8,−2,−1,3 7

}

e que os conjuntos A e C são disjuntos.

{

x x Ae x B

}

B

A∩ = / ∈ ∈ , A∪B=

{

x/x∈Aou x∈B

}

d) ( ) Podemos afirmar que e

.

{

x x Ae x B

}

B

A− = / ∈ ∉

18) Considerando os conjuntos A=

{

1,2,7

}

e B=

{

1,−2,7

}

e C =

{

−1,−2,−7

}

, marque somente a alternativa correta:

{ }

1,7 = ∩ B

A

a) ( ) Os conjuntos B e C são disjuntos e ;

{ }

1,7 = ∪ B

A

b) ( ) Os conjuntos A e C são disjuntos e ;

{ }

−2 = ∩ C

B

c) ( ) Os conjuntos A e C são disjuntos e ;

{ }

−2 = ∪ C

B

d) ( ) Os conjuntos A e C são disjuntos e ;

e) ( ) Nenhuma das alternativas está correta.

19)(CESPE/2004) Uma escola do Distrito Federal disponibiliza a 80 de seus alunos cursos extras de inglês, francês e espanhol, em horários distintos. Sabe-se que ao todo 73 alunos freqüentam esses cursos e que

• 35 alunos cursam inglês; • 25 alunos cursam francês;

• 7 alunos cursam inglês e francês, 5 alunos cursam inglês e espanhol e 5 alunos cursam francês e espanhol;

• 2 alunos cursam as 3 disciplinas.

Com base nesses dados, julgue os itens seguintes referentes a esses 80 alunos. ( ) Menos de 20 alunos cursam somente inglês.

( ) Mais de 15 alunos cursam somente espanhol. ( ) Cinco alunos cursam somente inglês e francês.

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GABARITO

Exercício 1: j) F g) V d) V a) V k) V h) V e) F b) F i) V f) F c) V Exercício 2: a) A∩ B={1,3,5,7,9} f) A∪C={−1,−2,1,2,3,4,5,6,7,8,9} b) A∪ B={1,2,3,4,5,6,7,8,9} g) A− B ={2,4,6,8} c) C∩ B={1,3,5,7,9} h) C− B={−1,−2} d) A∩C={1,3,5,7,9} i) B− A=φ e) C∪ B={−1,−2,1,3,5,7,9} k) A−(B∩C)={2,4,6,8} Exercício 3: a) b) A B 2 4 6 8 1 3 5 7 9 A B 2 4 6 8 1 3 5 7 9 c) d) e) f) g) h)

Exercício 4: Resp. ₅₀ Exercício 5: Resp. ₄₅ Exercício 6: Resp. ₁₂₃₀ Exercício 7: Resp. ₁₈₀

Exercício 8: Foram consultadas 340 pessoas.

A C 2 4 6 8 -1 -2 1 3 5 7 9 C -1 -2 B 1 3 5 7 9 A C 2 4 6 8 -1 -2 1 3 5 7 9 C -1 -2 B 1 3 5 7 9 C B -1 -2 1 3 5 7 9 A 2 4 6 8 1 3 B 5 7 9

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Exercício 9: a) 460 b) 130 c) 410 Exercício 10: 50 clientes Exercício 11: 100 pessoas Exercício 12: a) 3200 b) 5600 c) 4300

Exercício 13: (e) 6 alunos Exercício 14: (d) 40 funcionários Exercício 15: a) 150 b) 420 c) 280 d) 140 e) 600 Exercício 16: Exercício 17: F V F V Exercício 18: F F V F F Exercício 19: E C C C