cálculo vetorial

(1)

cálculo vetorial e

geometria analítica

UBIRATAN OLIVEIRA,

ANTÔNIO CARLOS CASTAÑON VIEIRA

(2)

cálculo vetorial e

geometria analítica

ubiratan

oliveira

antônio

carlos

castañon

vieira

júlio

césar

josé

rodrigues

junior

(3)

Com itêed itorial Regiane Burger, Modesto Guedes Ferreira Junior, Ubiratan Oliveira

líd erd op rojeto Ubiratan Oliveira

au toresd osorigin ais Ubiratan Oliveira, Antônio Carlos Castañon Vieira, Júlio César José Rodrigues Junior

projetoed itorial revisãotéCn iCa

Lexikon Editora Altair Ferreira Filho, D.Sc.

diretored itorial revisão

Carlos Augusto Lacerda Perla Serafim

Coord en açãoed itorial diagram ação

Sonia Hey Nathanael Souza

assisten teed itorial Cap a

Luciana Aché Sense Design

projetográfiCo

Paulo Vitor Fernandes Bastos

© 2015, by Lexikon Editora Digital Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser apropriada e estocada em sistema de banco de dados ou processo similar, em qualquer forma ou meio, seja eletrônico, de fotocópia, gravação etc., sem a permissão do detentor do copirraite. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ O52c Oliveira, Ubiratan Cálculo vetorial e geometria analítica / Ubiratan Oliveira, Antônio Carlos Castañon Vieira, Júlio César José Rodrigues Junior. – 1. ed. - Rio de Janeiro : Lexikon, 2015. 136 p. ; 28 cm. Inclui bibliografia ISBN 978-85-8300-021-1 1. Geometria analítica. 2. Cálculo vetorial. 3. Geometria. I. Vieira, Antônio Carlos Castañon. II. Rodrigues Junior, Júlio César José. III. Título. CDD: 516.3 CDU: 514.12 Lexikon Editora Digital Rua da Assembleia, 92/3º andar – Centro

(4)

Sumário

Prefácio 5

1. Vetores

7

1.1 Definição 9 1.2 Módulo de um vetor 10 1.3 Tipos de vetores 10

1.4 Operações com vetores 13

1.5 Ângulo entre vetores 16

1.6 Vetor unitário 18

1.7 Decomposição de vetores 19

1.8 Representação de um vetor conhecidos seus pontos origem e extremidade 21

1.9 Igualdade de vetores 23

1.10 Paralelismo de dois vetores 23

1.11 Módulo de um vetor 24

1.12 Vetor unitário de uma direção 27 1.13 Obtenção de um vetor dados o módulo e direção 29

2. Produto de vetores

33

2.1 Produto escalar 34

2.2 Interpretação geométrica do produto escalar 34 2.3 Produto escalar dos unitários das direções dos eixos cartesianos 35 2.4 Produto escalar dadas as coordenadas dos vetores 35

2.5 Ângulo entre vetores 36

2.6 Condição de ortogonalidade entre vetores 36 2.7 Cossenos diretores de um vetor 39 2.8 Projeção de um vetor na direção de outro vetor 41

2.9 Produto vetorial 42

2.10 Interpretação geométrica do produto vetorial de dois vetores 42

2.11 Colinearidade de vetores 43

2.12 Produto vetorial dos unitários das direções dos eixos cartesianos 43 2.13 Produto vetorial dadas as coordenadas dos vetores 44

2.14 Produto misto 47

2.15 Interpretação geométrica do produto misto 49

(5)

3. Retas

55

3.1 Equação vetorial da reta no R2 ₅₆

3.2 Equação vetorial da reta no R3 ₅₉

3.3 Equações paramétricas da reta no R3 ₆₁

3.4 Equações simétricas da reta no R3 ₆₅

3.5 Equações reduzidas da reta no R3 ₆₉

3.6 Reta ortogonal no R3 ₇₄

3.7 Ângulo entre retas no R3 ₇₄

4. Planos e distâncias

81

4.1 Definição 82

4.2 Equação geral do plano 82

4.3 Determinação de um plano 83

4.4 Ângulo de dois planos 86

4.5 Ângulo de uma reta com um plano 87

4.6 Interseção de dois planos 88

4.7 Interseção de reta com plano 89

4.8 Distâncias 90

4.9 Distância entre dois pontos 90 4.10 Distância de um ponto a uma reta 90 4.11 Distância entre duas retas paralelas 92 4.12 Distância de um ponto a um plano 93

5. Cônicas

95

5.1 Circunferência 96

(6)

5 Prefácio

Após muitos anos de magistério, resolvemos escrever uma obra que

pos-sibilite aos alunos ingressantes dos cursos de engenharia uma revisão dos

principais conceitos da geometria analítica, uma vez que será ferramenta

presente na longa caminhada acadêmica destes estudantes.

O embrião desta obra nasceu a partir da experiência em sala de aula,

tendo em vista as principais necessidades de nossos alunos. Surge,

en-tão, o estímulo para a concretização de um sonho: um material didático

de apoio à iniciação acadêmica de nossos futuros engenheiros.

Sem pretensão de esgotar o assunto, este projeto apresenta temas

cen-trais, como a discussão dos vetores e das retas no R

2

_{e R}

3

_{, e um estudo dos}

planos e das cônicas. O texto do livro é desprovido de excesso de formalismo

matemático, o que contribui muito para uma compreensão mais direta.

Di-versos problemas resolvidos são apresentados em todos os capítulos, além

de exercícios de fixação.

Aproveitamos para agradecer a todos que viabilizaram a concretização

desta obra com incentivo e valiosas contribuições. E a todos que vierem a

utilizá-la, agradecemos antecipadamente as sugestões enviadas para que,

no futuro, sejam corrigidas eventuais falhas ou omissões.

(7)

(8)

Vetores

ubiratan oliveira

(9)

O

estudo de vetores

é uma das mais importantes atividades

no estudo da engenharia. Por meio dele, podemos calcular

esforços presentes no sistema, possibilitando com isso an-tever problemas ou mesmo simular situações que envolvam

otimizações de recursos.

Figura 1.1 Imagem de estrutura metálica de telhado

Para tal, faz-se necessário o estudo desde o primeiro

pe-ríodo, de modo que o aluno possa evoluir em seus

conheci-mentos no estudo da engenharia sem maiores dificuldades.

O estudo de vetores é de caráter multidisciplinar nas

en-genharias e sua aplicação é voltada para os cálculos, as

físi-cas, a mecânica geral, a resistência dos materiais etc.

1 Vetores

CURIOSIDADE

Estudo de vetores

O Estádio Olímpico João Havelan-ge, também conhecido como En-genhão, é um dos maiores projetos arquitetônicos do mundo. Nele po-demos observar vários elementos que notabilizam a importância do estudo de vetores.

Seu projeto arquitetônico é arrojado e possui o maior vão do mundo, com 220 m de extensão e quase 90 m de altura.

Para alcançar o objetivo de proje-to e execução, foi necessária uma equipe com cerca de 50 profissio-nais especializados.

Este monumento foi construído en-tre setembro de 2003 e junho de 2007; uma obra que tem uma área de cerca de 180 mil m2_.

(10)

capítulo 1

• 9

Embora saibamos que as ferramentas tecnólogicas disponibilizadas no

mundo atual propiciam ao o engenheiro grande facilidade e rapidez em

seus projetos, há que se ressaltar que sempre será o homem que

introdu-zirá os dados iniciais no programa. Por mais perfeito que seja o software,

ele sempre dependerá do ser humano para que possa funcionar da melhor

forma possível.

Os cálculos na engenharia nunca serão abandonados, eles serão

utiliza-dos nem que seja na validação utiliza-dos dautiliza-dos obtiutiliza-dos pelas ferramentas

compu-tacionais e, em toda situação de análise de engenharia, os vetores sempre

serão ferramentas fundamentais na obtenção dos objetivos do projeto.

EXEMPLO

Exemplo de aplicação de vetores

Construção de ponte através do rio © Chernova123

Dnipro em Kiev, Ucrânia

1.1 Definição

Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade,

direção e sentido.

O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da reta suporte

que o contém, e o sentido é para onde ele está apontado.

Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo, a direção

hori-zontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para a esquerda; a

dire-ção vertical apresenta o sentido para cima e o sentido para baixo.

(11)

Um vetor é representado geometricamente por uma seta,

que apresenta origem e extremidade.

A B

Figura 1.2 Representação geométrica de um vetor

Na figura acima, o ponto A é a origem e o ponto B é a

ex-tremidade.

Um vetor pode ser designado por uma letra,

normalmen-te minúscula, com uma seta na sua parnormalmen-te superior ou por

duas letras, normalmente indicativas da origem e

extremi-dade, também com uma seta na sua parte superior.

u→

A B

Figura 1.3 Representação e designação de um vetor

Na figura acima, vemos o vetor u

→ ou AB

→.

1.2 Módulo de um vetor

O módulo de um vetor, que indica seu tamanho, é

represen-tado pela mesma designação do vetor, porém sem a seta em

sua parte superior ou com a seta na parte superior e entre

duas barras verticais.

Vetor u→ a módulo u ou |u→|

Vetor AB→ a módulo AB ou |AB→|

1.3 Tipos de vetores

Vetores iguais

Dois vetores u

→

e v

→

são iguais se apresentam mesmo

módu-lo, mesma direção e sentido.

EXEMPLO

Composição de vetores

(12)

capítulo 1

• 11

Figura 1.4 Vetores iguais

Vetores opostos

Dois vetores u

→

e v

→

são opostos se apresentam mesmo módulo, mesma

di-reção e sentidos contrários. Neste caso o vetor v

→

também é representado

por –u

→

.

–u→ u

→

Figura 1.5 Vetores opostos

Vetor unitário

Um vetor é definido como unitário quando apresenta módulo igual a um.

Se λ→ é unitário, então λ = 1 ou |λ→| = 1.

Versor

Um versor de um determinado vetor u

→

não nulo é um vetor unitário de

mes-ma direção e sentido do vetor u

→.

Vetores colineares

Dois vetores u

→ e v→ são colineares se apresentam a mesma direção. Para tal,

podem estar sobre a mesma reta suporte, ou em retas paralelas.

(13)

v→ v→ u → u →

Figura 1.6 Vetores colineares

Vetores coplanares

No R

2

_{, dois vetores são coplanares, ou seja, estão no mesmo plano porque}

definem esse plano (desde que esses vetores não sejam colineares), tendo

em vista que são montados sobre duas retas suporte e duas retas não

coli-neares sempre definem um plano no R

2

_.

u → v→ w → α

Figura 1.7 Vetores coplanares

Três vetores podem ser coplanares ou não. Não serão coplanares se a reta

suporte de um dos vetores fizer um ângulo com o plano definido pelos

ou-tros dois.

u → v→ w → α π

(14)

capítulo 1

• 13

1.4 Operações com vetores

Adição de dois vetores com mesma origem

Quando somamos dois vetores com mesma origem, devemos completar

um paralelogramo com os vetores, traçando pela extremidade de cada vetor

uma paralela ao outro vetor. O vetor soma ou resultante é aquele que sai da

origem comum até o encontro das paralelas, no vértice oposto ao da origem.

Tal método é conhecido como método do paralelogramo.

u → v → S →

Figura 1.9 Método do paralelogramo

S

→ = u→ + v→

O módulo do vetor soma pode ser calculado por:

S2_{= u}2_{+ v}2_{+ 2.u.cos φ}

Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos dos vetores

S

→, u→ e v→ respectivamente.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1) Dados os vetores abaixo, de módulos u = 2 e v = 5, determine geometricamente o vetor soma, bem como calcule seu módulo.

a) u → v → 60º

(15)

b) u → v → 150º Solução a) S → u → v → 60º S2_{= 2}2_{+ 5}2_{+ 2.2.5.cos 60º = 4 + 25 + 20.}1 2 = 39 S = 39 b) u → v → 150º S2_{= 2}2₊₅2_{+ 2.2.5.cos 150º = 4 + 25 + 20.}

–

3 2 = 29 – 10 3

Adição de dois vetores com a extremidade de um vetor coincidindo

com a origem do outro

Quando somamos dois vetores com a extremidade de um vetor coincidindo

com a origem do outro vetor, basta que completemos o triângulo tendo os

dois vetores como dois lados do triângulo. O vetor soma ou resultante é o

que sai da origem do primeiro vetor até a extremidade do segundo vetor. Tal

método é conhecido como método do triângulo.

S → u → v →

φ

(16)

capítulo 1

• 15

S

→ = u→ + v→

O módulo do vetor soma pode ser calculado por:

S2_{= u}2_{+ v}2_{– 2.u.v.cos φ}

Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos dos vetores

S

→, u→ e v→ respectivamente.

Adição de vários vetores

Quando desejamos somar vários vetores, devemos colocá-los inicialmente

com a extremidade de um vetor coincidindo com a origem do outro vetor,

formando um só vetor. O vetor soma ou resultante é aquele que sai da

ori-gem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor. Tal método é

co-nhecido como método do polígono.

d → c → b → a → S →

Figura 1.11 Método do polígono: S→ é o vetor resultante

Diferença de vetores

Quando desejamos achar a diferença de dois vetores u

→ e v→, devemos

pri-meiro achar o oposto do vetor v

→, isto é, o vetor –v→, para poder somá-lo ao

vetor u

→.

D

→ = u→ – v→

D

(17)

–v→ →v

u → D →

Figura 1.12 Diferença de vetores

Multiplicação de um vetor por um escalar

Ao multiplicarmos um vetor u

→ por um escalar k qualquer, obteremos um

novo vetor com mesma direção e módulo multiplicado por esse escalar. O

sentido do novo vetor dependerá do sinal do escalar k, ou seja, se o sinal for

positivo, o sentido permanecerá o mesmo, se o sinal for negativo, haverá a

inversão do sentido.

–3 u→ 4 u→ 2 u→ u →

Figura 1.13 Múltiplos de um vetor

1.5 Ângulo entre vetores

Sejam dois vetores não nulos u

→ e v→. O ângulo φ que eles fazem entre si é o

ângulo que as semirretas suporte dos vetores, isto é, as semirretas que

con-têm os vetores, fazem entre si. Para verificarmos o ângulo, os vetores devem

estar dispostos com suas origens coincidentes; caso não estejam, devem ser

colocados dessa forma.

(18)

capítulo 1

• 17

φ u → →u v → v →

Figura 1.14 Ângulo entre vetores

OBSERVAÇÕES

1. Se o ângulo entre eles for 0º, os vetores u→ e v→ possuem a mesma direção e sentido. Neste caso, são chamados de colineares e são múltiplos entre si.

v → u

→

φ = 0º

Figura 1.15a Ângulo entre vetores

2. Se o ângulo entre eles for 90º, os vetores u→ e v→ são ditos ortogonais.

v → u → S → = u→ + v→ S →

Figura 1.15b Ângulo entre vetores

Neste caso, o módulo do vetor resultante pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras, onde: S2_{= u}2_{+ v}2

É importante observar que o módulo do vetor resultante obtido acima é um caso particular da fórmula de soma de vetores, onde o ângulo vale 90º.

S2_{= u}2_{+ v}2_{+ 2.u.v.cos φ}

S2_{= u}2_{+ v}2_{+ 2.u.v.cos 90º}

S2_{= u}2_{+ v}2_{+ 2.u.v.0}

(19)

3. Se o ângulo entre eles for 180º, os vetores u→ e v→ possuem a mesma direção e sentidos contrários.

φ = 180º

u

→ v→ Figura 1.15c Ângulo entre vetores

4. Se os vetores u→ e v→ forem ortogonais, o vetor u→ é ortogonal a qualquer vetor colinear ao vetor v→.

1.6 Vetor unitário

É o vetor de módulo um. Ele define uma direção porque qualquer vetor

de uma determinada direção pode ser obtido como um múltiplo do vetor

unitário daquela direção. Isto é, quando for conhecido um vetor unitário

de uma direção, qualquer vetor daquela direção pode ser obtido – basta

multiplicar este vetor pelo módulo do vetor que se deseja obter.

Se λ

→

é unitário e se os vetores u

→

e v

→

têm a mesma direção de λ, com

mó-dulos u e v, respectivamente, então u

→

= u . λ

→

e v

→

= v . λ

→

.

EXEMPLO

Se u é módulo do vetor u→ e u = 3, se u→ tem a mesma direção de →λ, com →λ unitário, então u→ = 3λ→.

3λ→ λ

→

Os vetores unitários das direções dos eixos cartesianos têm sua

represen-tação definida por i

→

, j

→

e k

→

, unitários dos eixos x, y e z, respectivamente.

(20)

capítulo 1

• 19

z y k → j → i → x

Figura 1.16 Vetores unitários dos eixos cartesianos

1.7 Decomposição de vetores

Decompor um vetor significa obter seus componentes em outras direções,

de tal sorte que se somarmos essas componentes obteremos o vetor

princi-pal. Quando as direções são os eixos cartesianos, teremos:

No R

2 u → y u → x

φ

u →

Figura 1.17 Decomposição de um vetor no R2

Os vetores u

→

_x

_e u

→

_y

_{são as componentes do vetor u}

→ nas direções dos eixos x

e y, respectivamente.

u

→ = u→

_x

_{+ u}

→

y

Cada componente do vetor u

→ pode ser expressa através dos unitários das

direções dos eixos, portanto:

u

→

x

= u

→

x

i

→

u

→

y

= u

→

y

j

→

(21)

sendo

u

→

x

= u.cos φ

u

→

y

= u.sen φ

logo

u

→

= u.cos φ i

→ + u.sen φ j→

No R

3 x y z u → x u → z u → y u → φ

θ

Os vetores u

→

_x

, u

→

_y

_{e u}

→

_z

_{são as componentes do vetor u}

→ nas direções dos eixos

x, y e z, respectivamente.

u

→ = u→

_x

+ u

→

_y

+ u

→

_z

Cada componente do vetor u

→ pode ser expressa através dos unitários das

direções dos eixos, portanto:

u

→

x

= u

x

i

→

u

→

y

= u

y

j

→

u

→

z

= u

z

k

→

sendo

u

= u.cos φ

(22)

capítulo 1

• 21

u

_y

= u.sen

φ

u

_z

= u.cos θ

logo

u

→ = u.cos φ i→ + u.sen φ j→ + u.cos θ k→

1.8 Representação de um vetor conhecidos

seus pontos origem e extremidade

Se forem conhecidos os pontos origem e extremidade de um vetor, as

coorde-nadas deste serão definidas pela diferença entre as coordecoorde-nadas dos pontos

extremidade e origem, nesta ordem. Esta forma é chamada de analítica.

A

B

Figura 1.19 Representação de um vetor por pontos

Sejam os pontos A (x

_A

, y

_A

, z

_A

) e B (x

_B

, y

_B

, z

_B

), então o vetor AB

→

é:

AB

→

= B – A

AB

→

= (x

_B

– x

_A

, y

_B

– y

_A

, z

_B

– z

_A

)

EXEMPLO

Sejam os pontos A (–2, 1, 5), B (1, 0, 2) e C (1, –2, 3) AB→ = (1 – (–2), 0 – 1, 2 – 5) = (3, –1, –3) AC→ = (1 – (–2), – 2 – 1, 3 – 5) = (3, –3, –2) BC → = (1 – 1, –2 – 0, 3 – 2) = (0, –2, 1)

Os vetores representados por suas coordenadas têm esses valores como os módulos das suas componentes nas direções x, y e z. Logo, esta representação também pode ser feita pelos uni-tários dessas direções.

(23)

No exemplo anterior:

AB→ = (3, –1, –3) = 3i→ – j→ – 3k→ AC→ = (3, –3, –2) = 3i→ – 3j→ – 2k→ BC→ = (0, –2, 1) = –2j→ + k→

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2) Dados os pontos A (1, 1, 2), B (–1, 0, 3) e C (2, –3, 2), determine os vetores: a) AB→ b) AC→ c) BC→ Solução a) AB→ = (–1 – 1, 0 – 1, 3 – 2) = (–2, – 1, 1) b) AC→ = (2 – 1, –3 – 1, 2 – 2) = (1, – 4, 0) c) BC→ = (2 – (–1), –3 – 0, 2 – 3) = (3, –3, –1)

3) Dados os vetores abaixo, determine o vetor w→. u → = 3i→ + 2j→ – k→ v → = (1, 0, –2) a) 2 (u→ + v→) – 2w→ = 3(v→ – 2w→) + u→ b) 3w→ – 4( v→ – 2u→) = 4(2w→ – v→) + 3u→ Solução

a) Podemos inicialmente representar o vetor u→ na forma analítica u

→ = (3, 2, –1)

Desenvolvendo a expressão, buscando isolar o vetor w→, vem: 2u→ + 2v→ = 3v→ – 6w→ + u→ –2w→ + 6w→ = 3v→ + u→ – 2u→ – 2v→ 4w→ = v→ – u→ 4w→ = (1, 0, –2) – (3, 2, –1) = (–2, –2, –1) w → = –2 4, –24, –1 4 = –12, –12, –14 b) 3w→ – 4v→ + 8u→ = 8w→ – 4v→ + 3u→ 3w→ – 8w→ = –4v→ + 3u→ + 4v→ – 8u→ –5w→ = –5u→

(24)

capítulo 1

• 23

w → = u→ w → = (3, 2, –1)

1.9 Igualdade de vetores

Dois vetores u

→ (u

_x

, u

_y

, u

_z

) e v→ (v

_x

, v

_y

, v

_z

) são iguais se, e somente se:

u

_x

= v

_x

u

_y

= v

_y

u

_z

= v

_z

EXERCÍCIO RESOLVIDO

4) Dados os vetores u→ = (2, –1, 4) e v→ (2 + m, –1, 3 + 2n), determinar os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.

Solução

Para que os vetores sejam iguais, suas coordenadas deverão ser iguais. Então: 2 = m + 2

–1 = –1 4 = 3 + 2n

Das igualdades acima, vê-se: m = 0 e 2n = 1, logo, n = 1 2

1.10 Paralelismo de dois vetores

Dois vetores u

→ = (u

_x

, u

_y

, u

_z

) e v→ = (v

_x

, v

_y

, v

_z

) são paralelos ou colineares se

existir um escalar k tal que u

→ = k.v→.

(u

_x

, u

_y

, u

_z

) = k.(v

_x

, v

_y

, v

_z

)

ou

(25)

EXERCÍCIO RESOLVIDO

5) Dados os vetores u→ (2, –1, 4) e (2 + m, 3, 3 + 2n), determinar os valores de m e n para que os vetores sejam paralelos.

Solução

Para que os vetores sejam paralelos, suas coordenadas devem ser proporcionais, com mesmo coeficiente de proporcionalidade. Logo

2 2+m = –1 3 = 4 3+2n

Da equação acima temos: 2 2+m = –1 3 → 6 = –2 – m → m = –8 –1 3 = 4 3+2n → 12 = – 3 – 2n → 2n = –15 → n = –15 2

1.11 Módulo de um vetor

O módulo ou intensidade de um vetor é o seu tamanho. É a parte escalar do

vetor. Sua determinação pode ser feita por:

No R

2 u_y → u_x → u →

Figura 1.20 Módulo de um vetor no R2

Na figura acima, vemos que o módulo do vetor u

→ é a hipotenusa de um

triângulo retângulo que tem como catetos, os módulos das suas

componen-tes u

→

_x

e u

→

_y

. Portanto, para sua determinação, podemos aplicar o teorema de

Pitágoras. Logo:

u

2

_{= u}

x2

+ u

v2

u =

_√

u

_x2

_{+ u}

y2

(26)

capítulo 1

• 25

Por exemplo, nos vetores:

u

→ = (3, –3) = 3i→ – 3j→

u ou |u

→| =

_√

₃

2

_{+ (–3)}

2

=

_√

_{18 = 3}

_√

₂

v

→ = (1, –2) = i→ – 2j→

v ou |v

→| =

_√

₁

2

_{+ (–2)}

2

=

√

5 w

→ = (0, –2) = –2k→

w ou |w

→| =

_√

₀

2

_{+ (–2)}

2

=

√

_{4 = 2}

Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores u

→, v→ e w→,

respectivamente.

No R

3 x y z u → x u → z u → y u →

Na figura acima, vemos que o módulo do vetor u

→ é a diagonal de um

para-lelepípedo, cujas arestas são os módulos das suas componentes u

→, u

_x

→ e u

_y

→.

_z

u_z → u_x → u_y → y u → x z

'

Figura 1.22 Módulo de um vetor no R3

(27)

Como o módulo do vetor u

→

é a diagonal do paralelepípedo, então:

u

2

_{= u}

x2

+ u

y2

+ u

z2

u =

_√

_u

x2

+ u

y2

+ u

z2

Por exemplo:

AB

→ = (3, –1, –3) = 3i→ – j→ – 3k→

AB ou |AB

→ | =

_√

₃

2

_{+ (–1)}

2

_{+ (–3)}

2

₌

_√

₁₉

AC

→ = (3, –3, –2) = 3 i→ – 3 j→ – 2k→

AC ou |AC

→ | =

_√

₃

2

_{+ (–3)}

2

_{+ (–2)}

2

=

√

22 BC

→ = (0, –2, 1) = – 2j→ + k→

BC ou |BC

→ | =

_√

₀

2

_{+ (–2)}

2

_{+ 1}

2

₌

_√

₅

Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores AB

→

, AC

→

e BC

→

,

respectivamente.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

6) Dados os pontos A (–1, 2, 0), B (2, 0, –2) e C (–2, 1, –1), determinar os módulos dos vetores AB→, AC→ e BC→.

Solução

Dados os pontos, os vetores são obtidos pela diferença das coordenadas entre os pontos ex-tremidade e origem.

AB→ = (2 – (–1), 0 – 2, –2 – 0) = (3, –2, –2) AC→ = (–2 – (–1), 1 – 2, –1 – 0) = (–1, –1, –1) BC→ = (–2 – 2, 1 – 0, –1 – (–2)) = (–4, 1, 1)

Agora que determinamos os vetores, iremos determinar os módulos: AB =

_√

₃2_{+ (–2)}2_{+ (–2)}2 =

√

_{9 + 4 + 4 =}

√

₁₇

AC =

_√

_(–1)2_{+ (–1)}2_{+ (–1)}2 =

√

_{1 + 1 + 1}=

√

₃

(28)

capítulo 1

• 27

1.12 Vetor unitário de uma direção

Dados pontos determinantes de uma direção, podemos estabelecer o

uni-tário dela. A importância disso é que a partir deste uniuni-tário qualquer vetor

desta direção poderá ser determinado, desde que se conheça seu módulo.

Seja a direção mostrada na figura abaixo, determinada por pontos A e B:

B (x_b, y_b, z_b)

A (x_a, y_a, z_a)

Figura 1.23 Direção definida por dois pontos

Desde que conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, podemos

de-terminar o vetor AB

→

.

AB→ = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A)

Seja λ

→ o vetor unitário desta direção:

B (x_b, y_b, z_b)

A (x_a, y_a, z_a)

λ →

Figura 1.24 Direção e seu unitário

O vetor AB

→ é um múltiplo do vetor unitário λ→, já que eles possuem a

mes-ma direção e, como o vetor unitário tem módulo um, o vetor AB

→ é

exatamen-te o produto do seu módulo pelo vetor unitário. Assim:

(29)

AB

→ = AB.λ→

λ

→

₌

AB

→

₌

AB

(x

_b

– x

_a

, y

_b

– y

_a

, z

_b

– z

_a

)

√

(x

b

– x

a

)

2

+ (y

b

– y

a

)

2

+ (z

b

– z

a

)

2

EXEMPLO

Sejam os pontos A (–2, 1, 5), B (1, 0, 2) e C (1, –2, 3), determinar os vetores unitários das dire-ções dos vetores AB→, AC→ e BC→.

AB→ = (3, –1, – 3) = 3i→ –j→ –3k→ AC→ = (3, –3, –2) = 3i→ –3j→ –2k→ BC→ = (0, –2, 1) = –2j→ + k→ AB ou |AB→| =

_√

₃2_{+ (–1)}2_{+ (–3)}2 =

√

₁₉ AC ou |AC→| =

_√

₃2_{+ (–3)}2_{+ (–2)}2 =

√

₂₂ BC ou |BC→| =

_√

₀2_{+ (–2)}2_{+ 1}2 =

√

₅ Portanto, λ → ab = (3, –1, –3)

√

19 = 3

√

19 , –1

√

19 , –3

√

19 = 3

√

19 i → + –1

√

19 j → + –3

√

19 k → λ → ac = (3, –3, –2)

√

22 = 3

√

22 , –3

√

22 , –2

√

22 = 3

√

22 i → + –3

√

22 j → + –2

√

22 k → λ → bc = (0, –2, 1)

√

5 = 0

√

5 , –2

√

5 , –1

√

5 = –2

√

5 j → + –1

√

5 k →

EXERCÍCIO RESOLVIDO

7) Dados os pontos A (2, –2, 0), B (–1, 1, 0) e C (0, 0, 1), determinar os vetores unitários das direções dos vetores AB→, AC→ e BC→.

Solução

Primeiro precisamos determinar os vetores AB→, AC→ e BC→. AB→ = (–1 –2, 1 – (–2), 0 – 0) = (–3, 3, 0)

AC→ = (0 – 2, 0 – (–2), 1 – 0) = (–2, 2, 1) BC→ = (0 – (–1), 0 – 1, 1 – 0) = (1, –1, 1) Feito isto, determinaremos seus módulos. AB ou |AB→| =

_√

_(–3)2_{+ 3}2_{+ 0}2 =

√

_{18 = 3}

√

₂

AC ou |AC→ | =

_√

_(–2)2_{+ 2}2_{+ 1}2 =

√

_{9 = 3}

(30)

capítulo 1

• 29

Agora podemos determinar os vetores unitários das direções dos vetores AB→, AC→ e BC→. λ → ab = (–3, 3, 0) 3

_√

₂

= –3 3

_√

₂ , 3 3

_√

₂ , 0 = –1

√

2 , 1

√

2 , 0 = –1

√

2 i → + 1

√

2 j → λ → ac = (–2, 2, 1) 3 = –2 3 , 2 3 , 1 3 = –2 3 i → + 2 3 j → + 1 3 k → λ → bc = (1, –1, 1)

√

3 = 1

√

3 , –1

_√

3 , 1

√

3 = 1 3 i → + –1

√

3 j → + 1

√

3 k →

1.13 Obtenção de um vetor dados o módulo

e a direção

Em determinadas situações, temos o módulo de um vetor e sua direção.

Por exemplo, na engenharia, em um determinado sistema em equilíbrio,

através de um dinamômetro, definimos o módulo de uma força, temos

sua direção e precisamos determinar o vetor força que apresenta aquele

módulo, seja para levantar outras forças atuantes em outras partes do

sis-tema, seja para calcular o momento desta força em relação a um ponto ou

eixo etc.

Quando temos o módulo de um vetor u

→ e a sua direção, podemos

deter-minar um vetor daquela direção. Logo podemos definir o unitário daquela

direção. Se temos o unitário e conhecemos o módulo do vetor u

→, basta

mul-tiplicarmos o módulo do vetor pelo unitário daquela direção.

λ → A (x_a, y_a, z_a) B (x_b, y_b, z_b) u →

(31)

Seja a figura anterior, na qual conhecemos os pontos A e B por onde

pas-sa uma determinada direção, seja um vetor u

→ qual conhecemos apenas seu

módulo e desejamos descobrir o vetor. Primeiramente, devemos definir um

vetor desta direção, o vetor AB

→

. Logo:

AB→ = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A)

Em seguida, devemos determinar o unitário desta direção, isto é, o vetor

λ

→

_{. Portanto:}

λ

→ = AB

→

AB

=

(x

_b

– x

_a

, y

_b

– y

_a

, z

_b

– z

_a

)

√

(x

_b

– x

_a

)

2

+ (y

b

– y

a

)

2

+ (z

b

– z

a

)

2

O vetor u

→ será obtido pelo produto do seu módulo u pelo unitário λ→.

u

→ = u. λ→

EXEMPLO

Sejam os pontos A (–1, 1, 3), B (1, –1, 1) e C (1, 0, 2). Sejam u = 20, v = 30 e w = 50, módulos dos vetores u→, v→ e w→, que se encontram nas direções dos vetores AB→, AC→ e BC→, respectivamente. Determinar os vetores u→, v→ e w→. AB→ = 1 – (–1), –1 – 1, 1 – 3) = (2, –2, –2) AC→ = (1 – (–1), 0 – 1, 2 – 3) = (2, –1, –1) BC→ = (1 – 1, 0 – (–1), 2 – 1) = (0, 1, 1) AB ou |AB→ | =

_√

₂2_{+ (–2)}2_{+ (–2)}2 =

√

_{12 = 2}

√

₃ AC ou |AC→ | =

_√

₂2_{+ (–1)}2_{+ (–1)}2=

√

₆ BC ou |BC→ | =

_√

₀2_{+ (–1)}2_{+ 1}2 =

√

₂ λ → ab = (2, –2, –2) 2

_√

3 = 2 2

_√

3 , –2 2

√

₃ , –2 2

√

₃ = ( 1

√

3 , –1

√

3 , –1

√

3 ) = 1

√

3 i → + –1

√

3 j → + –1

√

3 k → λ → ac = (2, –1, –1)

√

6 = 2

√

6 , –1

√

6 , –1

√

6 = 2

√

6 i → + –1

√

6 j → + –1

√

6 k → λ → bc = (0, 1, 1)

√

2

= 0 , 1

√

2

, 1

√

2

= 1

√

2

j → + 1

√

2

k → u → = u.λ→ab = 20. 1

√

3 , –1

√

3 , –1

√

3 = 20

√

3 , –20

√

3 , –20

√

3 = 20

√

3 i → + –20

√

3 j → + –20

√

3 k → v→ = v.λ→ac = 30. 2

√

6 , –1

√

6 , –1

√

6 = 60

√

6 , –30

√

6 , –30

√

6 = 60

√

6 i → + –30

√

6 j → + –30

√

6 k →

(32)

capítulo 1

• 31

w →_= w.→_λ bc = 50. 0, –1

√

2,

–1

√

2 = 0, 50

√

2, 50

√

2 = 50

√

2 j → + 50

√

2 k →

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1) Dados os vetores u→ = (1, –5, 2) e v→ = (0, 3, 3), determinar o vetor w→, tal que: a) 2(u→ + 3 v→) + 2w→ = u→ – 2(v→ + 3 w→)

b) 2w→ + 5(v→ – u→) = 2u→ + 2v→

2) Dados os pontos M (1, 2, 3), N (0, 1, –2) e P (–1, –1, 0), determinar o ponto Q, tal que PQ→ = 2MN→ .

3) Verificar se os pontos M (1, 2, –2), N (0, 1, 2) e P (–1, 3, 1) são colineares.

4) Determinar o valor de x de modo que sejam colineares os pontos M (–1, 2, 3), N (1, –1, 2) e P (x, 2, 1).

5) Determinar x e y de modo que os vetores u→ = (2, 1, –2) e v→ = (8, x, y) sejam paralelos. 6) Determinar os valores de x e y, tal que w→ = xu→ + yv→, sendo u→ = (1, 2, 5), v→ = (–1, 2, 2) e

w

→ = (–1, 2, 1).

7) Dados os pontos M (–1, 2, 3), N (1, 3, 0) e P (2, –2, 4), determinar os unitários das direções dos vetores M⟶N, M⟶P e N⟶P.

IMAGENS DO CAPÍTULO

(33)

(34)

Produto de

vetores

ubiratan de carvalho

oliveira

(35)

2 Produto de vetores

2.1 Produto escalar

O produto escalar ou produto interno de dois vetores u

→ e v→ é um escalar, e

sua representação é feita por u

→.v→, lê-se “u→ escalar v→”.

Seu valor é definido por:

u

→.v→ = u.v.cos Ø

onde u e v são os módulos dos vetores u

→e v→, respectivamente, e Ø é o ângulo

entre os vetores.

2.2 Interpretação geométrica do produto

escalar

Sejam dois vetores u

→ e λ→, sendo λ→ unitário e Ø o ângulo entre eles. Seu

pro-duto escalar, então, é definido por:

u

→.λ→ = u.λ.cos Ø

Como λ

→ é unitário, seu módulo vale 1, logo:

u

→. λ→ = u.1.cos Ø = u.cos Ø

Sua representação na figura abaixo:

u.cos Ø u → λ → Ø

(36)

capítulo 2

• 35

Pela figura, vê-se que o produto escalar, quando feito com um dos vetores

sendo unitário, representa a projeção de um vetor na direção do unitário.

2.3 Produto escalar dos unitários das direções

dos eixos cartesianos

Sejam os vetores unitários i

→

, j

→

e k

→

, das direções cartesianas x, y e z,

respec-tivamente. Então, seus produtos escalares são:

i

→

. i

→ = 1.1.cos 0º = 1 = j→. j→ = k→. k→

i

→

. i

→ = 1.1.cos 90º = 0 = j→. i→ = i→ = k→ = k→. i→ = j→. k→ = k→. j→

RESUMO

O produto escalar de vetores unitários iguais vale 1 e o produto escalar de vetores unitá-rios diferentes vale zero.

2.4 Produto escalar dadas as coordenadas dos

vetores

Sejam dois vetores u

→ e v→ de coordenadas:

u

→ = u

_x

→ + u

_i

_y

→ + u

_j

_z

k

→

e

v

→ = v

_x

→ + v

_i

_y

→ + v

_j

_z

k

→

então:

u

→.v→ = u

_x

.v

_x

→. i→ + u

i

_x

.v

_y

→. j→ + u

i

_x

.v

_z

→. k→ + u

i

_y

.v

_x

j→. i→ + u

_y

.v

_y

j→. j→ + u

_y

.v

_z

j→. k

→ +

+ u

_z

.v

_x

k

→. i→ + u

_z

.v

_y

k

→. j→ + u

_z

.v

_z

k

→. k→

u

→.v→ = u

_x

.v

_x

+ u

_y

.v

_y

+ u

_z

.v

_z

(37)

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1) Dados os vetores abaixo, determine os produtos escalares pedidos: u → = (1, 2, –1), v→ = (1, 0, –3) e w→ = (0, –2, –3) a) u→.v→ b) u→.w→ c) v→.w→ Solução a) u→.v→ = 1.1 + 2.0 + (–1).(–3) = 1 + 0 + 3 = 4 b) u→.w→= 1.0 + 2.(–2) + (–1).(–3) = 0 – 4 + 3 = –1 c) v→.w→ = 1.0 + 0.(–2) + (–3).(–3) = 0 + 0 + 9 = 9

2.5 Ângulo entre vetores

Seja Ø o ângulo entre dois vetores u

→ e v→. Sua determinação é feita pelo

pro-duto escalar entre eles. Assim:

u

→.v→ = u.v.cos Ø

cos Ø = →.v→uu.v

Se o produto escalar for positivo, então 0º ≤ Ø < 90º, ou seja, Ø é agudo

ou nulo.

Se o produto escalar for negativo, então 90º < Ø ≤ 180º, ou seja, Ø é

ob-tuso ou raso.

Se o produto escalar for nulo, então Ø = 90º, ou seja, os vetores são

orto-gonais entre si.

2.6 Condição de ortogonalidade entre vetores

Tendo em vista a definição de produto escalar entre dois vetores, pode-se

afirmar que dois vetores são ortogonais entre si se, e somente se, seu

produ-to escalar é nulo.

u →.v→ = 0

(38)

capítulo 2

• 37

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2) Dados os vetores abaixo: u

→ = (–1, 1, –1), v→ = (1, 2, –3) e w→ = (0, 2, –2) Determine os ângulos entre:

a) u→ e v→ b) u→ e w→ c) v→ e w→ Solução a) cos Ø = →.v→u u.v, u→.v→ = (–1).1 + 1.2 + (–1).(–3) = – 1 + 2 + 3 = 4 u =

_√

_(–1)2_{+ 1}2_{+ (–1)}2

= √

₃ v =

_√

₁2_{+ 2}2_{+ (–3)}2 =

√

₁₄ cos Ø = 4

√

3 .

√

14 = 4

_√

₄₂ = 2

√

42 21 Ø = arc cos 2

√

42 21 b) cos Ø = →.wu→ u.w , u→.w→ = (–1).0 + 1.2 + (–1).(–2) = 0 + 2 + 2 = 4 u =

_√

_(–1)2_{+ 1}2_{+ (–1)}2

= √

₃ w =

_√

₀2_{+ 2}2_{+ (–2)}2 =

√

_8 = 2

√

2 cos Ø = 4

√

3 .2

√

2 = 2

√

6 =

√

6 3 Ø = arc cos

√

6 3 c) cos Ø = →.wv → v.w , v→.w→ = 1.0 + 2.2 + (–3).(–2) = 0 + 4 + 6 = 10 v =

_√

₁2_{+ 2}2_{+ (–3)}2 =

√

14 w =

_√

₀2_{+ 2}2_{+ (–2)}2₌

√

_8 = 2

√

₂

(39)

cos Ø = 10

√

14 .2

√

2 = 5

√

28 = 5

√

7 14 Ø = arc cos 5

√

7 14

3) Se os vetores u→ e v→ formam entre si um ângulo de 45º e suas coordenadas são u→ = (2, –1, 5) e v→ = (–1, 2, n), calcule n.

Solução

Como cos Ø = →.v→u

u.v , e Ø = 45º, então cos Ø =

√

₂2 u →.v→ = 2.(–1) + (–1).2 + 5.n = –2 – 2 + 5n = –4 + 5n u =

_√

22_{+ (–1)}2_{+ 5}2 =

√

30 v =

_√

_(–1)2_{+ 2}2_{+ n}2 =

√

5+n2

√

2 2 = –4+5n

√30

.

_√

_5+n2

√

2 2 2 = –4+5n

√

30 .

√

5+n2 2 1 2 = 16 – 40n + 25n2 30 (5+n2₎ 150 + 30n2_{= 32 – 80n + 50n}2 20n2_{– 80n – 118 = 0} n = 10 ±

√

235 5

4) Se os vértices de um triângulo são os pontos A (1, –1, 1), B (0, 1, 2) e C (1, 1, 0), determine o ângulo B^.

Solução

Para determinarmos o ângulo B^ vê-se pela figura que: B

C A

(40)

capítulo 2

• 39

cos B^ = BA→ .BC → BA.BC BA→ = (1, –2, –1) BC→ = (1, 0, –2) BA→ .BC→ = 1.1 + (–2).0 + (–1).(–2) = 1 + 0 + 2 = 3 BA =

_√

₁2_{+ (–2)}2_{+ (–1)}2 =

√

6 BC =

_√

₁2_{+ 0}2_{+ (–2)}2 =

√

5 cos B^ = 3

√

6 .

√

5 = 3

√

30 =

√

30 10 B ^= arc cos

√

30 10

2.7 Cossenos diretores de um vetor

Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos diretores. Ângulos

di-retores são os ângulos α, β e γ, que um vetor faz com os unitários i→, j→ e k

→

,

respectivamente.

k

→

u

j

→

z

x

y

α

β

γ

i

→

Figura 2.2 Ângulos diretores

Então:

cos α =

→. i→

u

_{u.i =}

(u

x

, u

y

, u

z

).(1, 0, 0)

u.1

=

u

_x

(41)

cos β = u

→. j→

_u.j

=

(u

x

, u

y

, u

z

).(0, 1, 0)

u.1

=

u

y

cos γ = u

→.k→

_u.k

=

(u

x

, u

y

, u

z

).(0, 0, 1)

u.1

=

u

z

Seja um vetor u

→ = (u

_x

, u

_y

, u

_z

). Seja λ

→

o unitário da sua direção. Então:

λ

→

=

→

u

_u

=

(u

x

, u

y

, u

z

)

u

=

u

_x

u

,

u

y

,

u

z

= (cos α, cos β, cos γ)

Como λ

→

é unitário, λ = 1, então:

√ (cos α)

2

_{+(cos β)}

2

_{+(cos γ)}

2

= 1

ou

(cos α)

2

_{+ (cos β)}

2

_{+ (cos γ)}

2

_{= 1}

Isto é, a soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

5) Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor u→ = (1, –2, 2).

Solução u =

_√

₁2_+(–2)2₊₂2_{= 3} cos α = 1 3  α = arc cos 1 3 cos β = –2 3  β = arc cos –2 3 cos γ = 2 3  γ = arc cos 23

6) Dados os pontos A (1, 1, 4) e B (2, 0, 3), calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor AB→.

Solução

AB→ = (2 – 1, 0 – 1, 3 – 4) = (1, –1, –1) AB =

_√

₁2_{+ (–1)}2_{+ (–1)}2₌

√

₃

(42)

capítulo 2

• 41

cos α = 1

√

3 =

√

3 3  α = arc cos

√

3 3 cos β = –1

√

3 = –

√

3 3  β = arc cos –

√

3 3 cos γ = –1

√

3 = –

√

3 3  γ = arc cos –

√

3 3

2.8 Projeção de um vetor na direção de outro

vetor

Sejam dois vetores u

→ e v→. Para determinar o vetor projeção do vetor u→ na

di-reção do vetor v

→, inicialmente deve-se calcular o módulo desse vetor,

fazen-do o produto escalar fazen-do vetor u

→ com o vetor direção do vetor v→, isto é, com

seu unitário. Portanto:

|proj→_v→| = u→. vu

→ v

Uma vez calculado o módulo da projeção, para se determinar o vetor

pro-jeção, deve-se multiplicar este módulo pelo unitário dessa direção. Logo:

proj

_v→

→ = |proj

u

_v→

→|. v→

u

v

= u

→.v→

v

. v

→

v

proj

_v→

→ = u→.v→

u

v

→.v→

.v

→

EXERCÍCIO RESOLVIDO

7) Determinar o vetor projeção do vetor u→ = (1, 2, 2) sobre o vetor v→ = (2, –1, 1). Solução proj→_v→ = uu →.v→ v →.v→ .v→ u →.v→ = 1.2 + 2.(–1) + 2.1 = 2 v→.v→ = 2.2 + (–1).(–1) + 1.1 = 6 proj→_v→ = uu →.v→ v →.v→ .v→ = 26 .(2, –1, 1) = 2 3 , – 1 3 , 1 3

(43)

2.9 Produto vetorial

Dados dois vetores u

→ = u

_x

i→ + u

_y

j→ + u

_z

→

k

e v

→ = v

_x

i→ + v

_y

j→ + v

_z

→

k

, o produto

vetorial de u

→ e v→, escrito por u→ x v→, lê-se “u→ vetorial v→, é um vetor, cujo

mó-dulo é definido por:

| u→ x v→ | = u.v.sen Ø

Onde Ø é o ângulo entre os vetores.

Como o produto vetorial é um vetor, necessita de um módulo, direção e

sentido. Seu módulo é definido como acima; sua direção é sempre

perpen-dicular aos dois vetores; seu sentido é definido pela regra da mão direita.

A regra da mão direita para a determinação do sentido do produto vetorial

é realizada espalmando-se a mão direita, com os dedos unidos na direção do

primeiro vetor, em seguida fechando-se a mão na direção do segundo vetor,

pelo menor dos ângulos formados entre eles. O polegar indicará o sentido

do produto vetorial. Tendo em vista que os vetores estão no plano, existe

uma simbologia que define o vetor perpendicular ao plano, assim definida:

vetor saindo do plano

vetor entrando no plano

v → x u→ u → x v→ u → v → Ø

Figura 2.3 Sentidos dos produtos vetoriais entre os vetores u→ e v→

2.10 Interpretação geométrica do produto

vetorial de dois vetores

Partindo da definição do módulo do produto vetorial de dois vetores u

→ e v→:

(44)

capítulo 2

• 43

Vê-se, pela figura abaixo, que v.sen Ø é a altura do paralelogramo

forma-do pelos forma-dois vetores.

u → v → Ø v.sen Ø

Figura 2.4 Interpretação geométrica do produto vetorial

O produto desta altura pelo módulo do vetor u

→ resulta na área do

parale-logramo formado pelos vetores u

→ e v→. Portanto:

Área do paralelogramo = |u→ x v→|

2.11 Colinearidade de vetores

Dois vetores são colineares se seu produto vetorial é nulo, isto é, eles não

formam paralelogramo. Ou seja, a área do paralelogramo formado é nula.

Como eles são colineares, o ângulo entre eles é nulo. Logo:

A = |u

→ x v→| = u.v.sen Ø = u.v.sen 0º = 0

Se o vetor u

→ é colinear ao vetor v→, então:

u → = t v→

ou seja,

(u

_x

, u

_y

, u

_z

) = t.(v

_x

, v

_y

, v

_z

)

(u

_x

, u

_y

, u

_z

) = (t.v

_x

, t.v

_y

, t.v

_z

)

2.12 Produto vetorial dos unitários das

direções dos eixos cartesianos

Sejam os vetores unitários i→, j→ e k

→ das direções cartesianas x, y e z,

respecti-vamente. Então, os módulos dos seus produtos vetoriais são:

(45)

| i→x i→| = 1.1.sen 0º = 0 = | j→ x j→| = | k

→ x k→|

| i→x j→| = 1.1.sen 90º = 0 = | j→ x i→| = | i→ x k

→| = | k→ x i→| = | j→ x k→| = | k→ x j→|

RESUMO

O módulo do produto vetorial de vetores unitários iguais vale zero, e o módulo do produto vetorial de vetores unitários diferentes vale um, e, dessa forma, é um vetor unitário. Como a direção do produto vetorial é perpendicular aos dois vetores e, sendo ele é unitário, o produto vetorial de dois unitários é o terceiro unitário da direção dos eixos, restando apenas definir se positivo ou negativo. Sejam os unitários dos eixos cartesianos na figura abaixo:

z y x k → j→ i→

Figura 2.5 Unitários das direções dos eixos cartesianos

Utilizando-se a regra da mão direita, vê-se que:

i→x j→ = k→, j→ x i→ = –k→ i→ x k→ = – j→, k→ x i→ = j→

j→ x k→ = i→, k→ x j→ = –i→

2.13 Produto vetorial dadas as coordenadas

dos vetores

Sejam dois vetores u

→ e v→ de coordenadas:

u

→ = u

_x

i→ + u

_y

j→ + u

_z

k→

e

v→ = v

_x

i→ + v

_y

j→ + v

_z

k→

então:

u

→ x v→ = u

_x

.v

_x

i→ x i→ + u

_x

.v

_y

i→ x j→ + u

_x

.v

_z

i→ x k

→ + u

_y

.v

_x

j→ x i→ + u

_y

.v

_y

j→ x j→+ u

_y

.v

_z

j→ x k

→ +

+ u

_z

.v

_x

→ x i→ + u

k

_z

.u

_y

→ x j→ + u

k

_z

.v

_z

→ x k→

k

(46)

capítulo 2

• 45

Como

i→ x i→ = j

→ x j→ = k→ x k→ = 0 e

i→x j→ = k

→, j→ x i→ = –k→

i→ x k

→ = – j→, k→ x i→ = j→

j

→ x k→= i→, k→ x j→ = –i→

Então:

u

→ x v→ = u

_x

.v

_x

0 x + u

_x

.v

_y

.k

→ + u

_x

.v

_z

.(– j→) + u

_y

.v

_x

.(–k

→) + u

_y

.v

_y

.0

+ u

_y

.v

_z

.i→ + u

_z

.v

_x

.j→ + u

_z

.v

_y

.(– i→) + u

_z

.v

_z

.0

u

→ x v→ = (u

_y

.v

_z

– u

_z

.v

_y

) i→ + (u

_z

.v

_x

_{– u}

_x

.v

_z

) j

→ + (u

_x

.v

_y

– u

_y

.v

_x

) k

→

Tal modelo também é obtido na resolução de um determinante, em que

na primeira linha ficam os unitários das direções dos eixos cartesianos; na

segunda linha ficam as coordenadas do primeiro vetor, e na terceira linha,

as coordenadas do segundo vetor.

Assim, tem-se:

i→ j

→ k→

u

→ x v→ = u

_x

u

_y

u

_z

v

_x

v

_y

v

_z

Ao se resolver o determinante, será definido o resultado do produto

veto-rial dos vetores u

→ e v→, u→ x v→.

Uma forma de resolver é pelo método de Sarrus, para tal repetem–se as

duas primeiras filas, somam-se os produtos dos números da diagonal

prin-cipal e suas paralelas com os da diagonal secundária e suas paralelas, sendo

estes últimos, diagonal secundária e suas paralelas, com o sinal trocado.

i→ j

→ k→ i→ j→

u

→ x v→ = u

_x

u

_y

u

_z

u

_x

u

_y

v

_x

v

_y

v

_z

v

_x

v

_y

– (u

_y

v

_x

→ + u

k

_z

v

_y

i→ + u

_x

v

_z

j→) + u

_y

v

_z

i→ + u

_z

v

_x

j→ + u

_x

v

_y

→

k

Separando por unitários:

u

(47)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

8) Dados os vetores v→ = (1, 0, 3) e u→ = (–1, 2, 1), calcular: a) 2u→ x (u→ – v→) b) (u→ – v→) x (u→ + 3v→) Solução a) 2u→ = (–2, 4, 2) u → – v→ = (–2, 2, –2) i→ j→ k→ i→ j→ 2u→ x (u→ – v→) = –2 4 2 –2 4 –2 2 –2 –2 2 = – [4.(–2) k→ + 2.2i→ + (–2).(–2)j→] + 4.(–2)i→ + 2.(–2)j→ + (–2).2k→ = – [(–8)k→ + 4i→ + 4j→] + (–8)i→ + (–4)j→ + (–4)k→ 2u x (u→ – v→) = –12i→ – 8j→ + 4k→ b) u→ – v→ = (–2, 2, –2) u → + 3 v→ = (2, 2, 10) i→ j→ k→ i→ j→ (u→ – v→) x (u + 3v→) = –2 2 –2 –2 2 2 2 10 2 2 = – [2.2k→ + (–2).2i→ + (–2).10j→] + 2.10 i→ + (–2).2j→ + (–2).2k→ = – [4k→ + (–4)i→ + (–20)j→] + 20i→ + (–4)j→ + (–4)k→ (u→ – v→) x (u + 3v→) = 24i→ + 16 j→ – 8k→

9) Determinar um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal aos vetores u→ = (1, 0, 3) e v→ = (–1, 2, 1).

Solução

Um vetor que seja simultaneamente ortogonal a dois outros vetores é o produto vetorial entre eles. Como o problema pede um unitário, basta que se ache o unitário da direção do produto vetorial entre os vetores.

i→ j→ k→ i→ j→ u→ x v→ = 1 0 3 1 0 –1 2 1 –1 2

(48)

capítulo 2

• 47

= – [0.(–1)k→ + 3.2i→ + 1.1j→] + 0.1i→ + 3.(–1) j→ + 1.2k→ = – [0k→ + 6i→ + 1j→] + 0i→ + (–3)j→ + 2k→ u → x v→ = –6i→ + 4j→ + 2k→ |u→ x v→| =

_√

_(–6)2 _{+ (–4)}2_{+ 2}2 =

√

_56 = 2

√

14

Seja λ este unitário. Então

λ

→ =

→ x v→u |u→ x v→|

=

(–6, –4, 2)

2√

14

=

–

3√

1414

,

2

√

14 14

,

√

14 14

=

= –

3

√

14 14

i→ –

2

√

14 14

j→ +

√

14 14

k

→

10) Dados os vetores u→ = (–1, 2, 0) e v→ = (1, 1, –1), calcular a área do paralelogramo determi-nado pelos vetores 2u→ e v→ + u→.

Solução

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial dos vetores indicados.

Assim: 2u→ = (–2, 4, 0) v→ + u→ = (0, 3, –1) i→ j→ k→ i→ j→ 2u→ x (u→ x v→) = –2 4 0 –2 4 0 3 –1 0 3 = – [4.0k→ + 0.3i→ + (–2).(–1)j→] + 4.(–1)i→ + 0.0j→ + (–2).3k→ = – [0k→ + 0i→ + 2j→] + (–4)i→ + 0 j→ + (–6)k→ 2u→ x (u→ x v→) = –4i→ – 2j→ – 6k→

Área = |2u→ x (u→ x v→)| =

_√

_(–4)2 _{+ (–2)}2_{+ (–6)}2 =

√

_56 = 2

√

₁₄

2.14 Produto misto

Dados três vetores u

→, v→ e w→, define-se o produto misto dos vetores, nesta

ordem, indicado por (u

→, v→, w

→), como sendo o escalar u→.(v→ x w→).

(49)

u

→ = u

_x

i→ + u

_y

j→ + u

_z

k→

v→ = v

_x

i→ + v

_y

j→ + v

_z

k→

w

→ = w

_x

i→ + w

_y

j→ + w

_z

k→

Então:

v→ x w

→ = (v

_y

.w

_z

– v

_z

.w

_y

) i→ + (v

_z

.w

_x

– v

_x

.w

_z

) j→ + (v

_x

.w

_y

– v

_y

.w

_x

)k

→

u

→.(v→ x w→) = (u

_x

i→ + u

_y

j→ + u

_z

→).(v

k

_y

.w

_z

– v

_z

.w

_y

)i→ + (v

_z

.w

_x

– v

_x

_.wz)j

→ + (v

_x

.w

_y

– v

_y

.w

_x

)k

→

u

→.(v→ x w→) = u

_x

.v

_y

.w

_z

– u

_x

.v

_z

.w

_y

+ u

_y

.v

_z

.w

_x

– u

_y

.v

_x

.w

_z

_{+ u}

_z

.v

_x

.w

_y

– u

_z

.v

_y

.w

_x

Tal modelo também é obtido na resolução de um determinante, em que

na primeira linha ficam as coordenadas do primeiro vetor; na segunda linha

ficam as coordenadas do segundo vetor, e na terceira linha, as coordenadas

do terceiro vetor.

Assim, tem-se:

u

_x

u

_y

u

_z

u

_x

u

_y

u

→ x (v→ x w→) = v

_x

v

_y

v

_z

v

_x

v

_y

w

_x

w

_y

w

_z

w

_x

w

_y

= – u

_z

.v

_y

.w

_x

– u

_x

.v

_z

.w

_y

– u

_y

.v

_x

.w

_z

+ u

_x

.v

_y

.w

_z

+ u

_y

.v

_z

.w

_x

+ u

_z

.v

_x

.w

_y

Vê-se que o resultado do determinante coincide com o resultado do

pro-duto misto, tornando-se, então, um método prático de resolução do

produ-to misprodu-to.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

11) Calcular o produto misto dos vetores u→ = (1, 0, –2), v→ = (2, –1, 3) e w→ = (0, 1, –1).

Solução 1 0 –2 1 0 u →.(v→ x w→) = 2 –1 3 2 –1 0 1 –1 0 1 = – (–2).(–1).0 – 1.3.1 – 0.2.(–1) + 1.(–1).(–1) + 0.3.0 + (–2).2.1 = 0 – 3 – 0 + 1 +0 – 4 u →.(v→ x w→) = –6

(50)

capítulo 2

• 49

2.15 Interpretação geométrica do produto

misto

Dados três vetores u

→, v→ e w→, a interpretação geométrica do produto misto

deles é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo cujas arestas são

esses três vetores.

Ø v→ x w→ v→ w→ u→

Figura 2.6 Paralelepípedo formado por três vetores não coplanares

Como a interpretação geométrica do módulo do produto vetorial é a área

do paralelogramo formado pelos vetores, e como se vê pela figura anterior

que o módulo da projeção do vetor u

→

na direção perpendicular aos vetores

v

→ e w→ é a altura do paralelepípedo, o produto do módulo do produto vetorial

por essa projeção é o volume do paralelepípedo. Assim:

V = |v→ x w→|.|u→| |cos Ø|

O cosseno do ângulo deve ser em módulo, pois ele poderá ser obtuso, e

assim seu cosseno será negativo. Então:

V = |u→.(v→ x w→)| = |(u→, v→, w→)|

Outra interpretação geométrica que pode ser dada ao produto misto

tam-bém envolve cálculo de volume de figuras geométricas espaciais. Como os

paralelepípedos podem ser divididos em dois prismas triangulares iguais e

cada prisma em três pirâmides ou tetraedos com base e altura equivalentes à

base e à base e a altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é

1

(51)

v→ w→ u→

Figura 2.7 Tetraedro formado pelos vetores não coplanares

Assim:

V = 1

6 |( u→, v→, w→)|

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

12) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A (1, 1, 2), B (0, 1, 3), C (1, 0, 1) e D (–1, –2, 0).

Solução

Primeiramente, deve-se determinar os vetores que comporão o tetraedro.

AB→ = (–1, 0, 1) AC→ = (0, –1, –1) AD→ = (–2, –3, –2) Como: V = 1 6 |(AB→ , AC→ , AD→ )| Então: –1 0 1 (AB→ , AC→ , AD→ ) = 0 –1 –1 = –1 –2 –3 –2 Portanto: V = 1 6 |–1| = 1₆ u.v. (u.v. – unidades de volume)

(52)

capítulo 2

• 51

13) Dados os vetores u→ = (–1, 0, 2), v→ = (2, x, –1) e w→ = (0, –1, –1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u→, v→ e w→ seja 10 u.v.

Solução

Como o volume do paralelepípedo é: V = |( u→, v→, w→ )| e no problema |( u→, v→, w→ )| = 10 Então: –1 0 2 |( u→, v→, w→ )| = 2 x –1 = x – 3 0 –1 –1 Logo: |x – 3| = 10 Então: x – 3 = 10 ou x – 3 = –10 Portanto: x = 13 ou x = –7