Aula 13 - Inferência Estatística

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Introdu¸c˜ao Distribui¸c˜oes Amostrais Intervalos de Confian¸ca

Inferˆencia Estat´ıstica

Jonathas Magalh˜aes

jonathas@ic.ufal.br

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Introdu¸c˜ao Distribui¸c˜oes Amostrais Intervalos de Confian¸ca

Roteiro

1 Introdu¸c˜ao

2 Distribui¸c˜oes Amostrais

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Introdu¸c˜ao

Distribui¸c˜oes Amostrais Intervalos de Confian¸ca

Introdu¸c˜

ao

Estudo de técnicas que possibilitam a extrapola¸cão, a um grande conjunto de dados, das informa¸cões e conclusões obtidas a partir de subconjunto de valores, usualmente de dimensão muito menor.

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Introdu¸c˜ao

Inferˆ

encia Estat´ıstica

Exemplos:

Descobrir a altura m´edia dos estudantes da UFAL; Pesquisa de inten¸c˜oes de voto;

Descobrir peso m´edio de determinado fruto numa colheita; Pesquisa de mercado sobre a preferˆencia do consumidor em determinado produto.

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Introdu¸c˜ao

Inferˆ

encia Estat´ıstica

Descobrir a altura m´edia dos estudantes da UFAL.

´

E poss´ıvel entrevistar todos os alunos?

E se conseguirmos dados de 50 alunos, o que poderemos inferir?

Ser´a que essa amostra ´e representativa?

E se a nossa amostra forem os dados das sele¸c˜oes masculina e feminina de basquete e vˆolei?

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Introdu¸c˜ao

Inferˆ

encia Estat´ıstica

´

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Introdu¸c˜ao

Inferˆ

encia Estat´ıstica

´

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Introdu¸c˜ao

Inferˆ

encia Estat´ıstica

´

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Introdu¸c˜ao

Inferˆ

encia Estat´ıstica

Nota¸c˜ao:

Um amostra de tamanho n:

(x1, x2, ..., xn);

M´edia da popula¸c˜ao:

µ; M´edia da amostra:

x; Variˆancia da popula¸c˜ao:

σ2. Variˆancia da amostra:

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Introdu¸c˜ao

Inferˆ

encia Estat´ıstica

Estimadores:

M´edia da amostra:

x = x1+ x2+ ... + xn

n ;

Variˆancia da amostra: s2= 1 n − 1 n X i=1 (xi − x)2.

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Introdu¸c˜ao

Distribui¸c˜oes Amostrais

Intervalos de Confian¸ca

Distribui¸c˜

oes Amostrais

Exemplo 1

Um jogo consiste em lan¸car uma moeda honesta 3 vezes. Para cada lan¸camento, se sair cara você ganha 1 ponto, caso saia coroa, você perde um ponto. Podemos modelar essa situa¸cão por meio de uma variável x que, em uma popula¸cão, pode assumir os valores -1 e 1, com probabilidades iguais. Para uma amostra aleatória e independente de tamanho 3, vamos determinar as fun¸cões de probabilidade dos estimadores x e s2.

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Introdu¸c˜ao

Distribui¸c˜

oes Amostrais

Exemplo 1: Probabilidades e valores de x e s2. (x1, x2, x3) probabilidade x s2 (-1,-1,-1) 1/8 -1 0 (-1,-1,1) 1/8 -1/3 4/3 (-1,1,-1) 1/8 -1/3 4/3 (-1,1,1) 1/8 1/3 4/3 (1,-1,-1) 1/8 -1/3 4/3 (1,-1,1) 1/8 1/3 4/3 (1,1,-1) 1/8 1/3 4/3 (1,1,1) 1/8 1 0

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Introdu¸c˜ao

Distribui¸c˜

oes Amostrais

Exemplo 1: Distribui¸c˜oes dos estimadores x e s2_.

x -1 -1/3 1/3 1 pi 1/8 3/8 3/8 1/8 E_{(x) = −1 ∗ 1/8 + (−1/3) ∗ 1/8 + 1/3 ∗ 1/8 = 0.} s2 0 4/3 pi 1/4 3/4 E(s2_{) = 0 ∗ 1/4 + 4/3 ∗ 3/4 = 1.}

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Introdu¸c˜ao

Distribui¸c˜

oes Amostrais

Dada uma popula¸c˜ao Normal:

x ∼ N(µ, σ2).

Temos que a distribui¸cão da média amostral é: x ∼ N(µx, σx2), onde: µx = E (x) = E ( 1 n n X i=1 xi) = 1 nnµ = µ; 1Xn 1 σ2

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Introdu¸c˜ao

Distribui¸c˜

oes Amostrais

Dada uma popula¸cão Normal com média µ e variância σ2; A média amostral x também terá distribui¸cão Normal com média µ e variância σ2/n.

Notem que à medida em que o tamanho da amostra cresce, a probabilidade da média amostral estar na vizinhan¸ca da média populacional torna-se maior.

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Introdu¸c˜ao Distribui¸c˜oes Amostrais

Teorema Central do Limite

A distribui¸cão amostral das médias de amostras de qualquer distribui¸cão tende a ser uma distribui¸cão normal quando o tamanho das amostras cresce;

Temos que: x − µ σ/√n n→∞ −−−→ Z , em que: Z ∼ N(0, 1).

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Intervalos de Confian¸ca

Amostra versus Popula¸c˜ao;

Como obter uma boa estimativa da m´edia populacional se conhecemos apenas uma amostra dessa popula¸c˜ao?

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Intervalos de Confian¸ca

A ideia ´e encontrar dois limites c1 e c2 tal que exista uma alta

probabilidade (1-α) da m´edia da popula¸c˜ao (µ) estar no intervalo [c1, c2];

P[c1 ≤ µ ≤ c2] = 1 − α;

[c1, c2] ´e chamado intervalo de confian¸ca da m´edia da

popula¸c˜ao;

α é o n´ıvel de significância; 100(1 − α) é o n´ıvel de confian¸ca; (1 − α) é o coeficiente de confian¸ca.

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Intervalos de Confian¸ca

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Intervalos de Confian¸ca

Z = _σ/x−µ√_n; P_(−z_(1−α)/2_{≤ Z ≤ z}_(1−α)/2_{) = 1 − α} P_(−z_(1−α)/2_≤ x − µ σ/√n ≤ z(1−α)/2) = 1 − α P_(−z_(1−α)/2_∗_√σ n ≤ x − µ ≤ z(1−α)/2∗ σ √ n) = 1 − α P_{(x − z}_(1−α)/2_∗√σ n ≤ µ ≤ x + z(1−α)/2∗ σ √ n) = 1 − α

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Qual N´ıvel de Confian¸ca Utilizar?

Vai depender do dom´ınio que vocˆe est´a estudando; 60% de confian¸ca pode ser muito ou pouco; 95% de confian¸ca pode ser muito ou pouco; Exemplos:

Analisar o efeito de um medicamento; Analisar a precis˜ao de um algoritmo.

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Exerc´ıcio 1

A experiência com trabalhadores de uma certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador,

aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribu´ıdo de maneira aproximadamente normal, com desvio padrão de 12 minutos. Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu x = 140 min. Determinar os intervalos de confian¸ca de 95% para a média µ da popula¸cão de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado servi¸co.

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Resolu¸c˜

ao

Dados: n=25, σ=12, x = 140 e α = 5%; Temos que o desvio padr˜ao amostral ´e igual a s = σ/√n = 12/5 = 2.4;

Consultando a tabela, temos que: z_47.5%= 1.96; P_{(135.296 ≤ µ ≤ 144.704) = 0.95;}

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Exerc´ıcio 2

Uma amostra aleatória de 80 notas de matemática de uma popula¸cão com distribui¸cão normal de 5000 notas apresenta média de 5.5 e desvio padrão de 1.25.

a Quais os limites de confian¸ca de 95% para a m´edia das

amostras em rela¸cão à média das 5000 notas?

b Com que grau de confian¸ca dir´ıamos que a m´edia das notas ´e