Notas de Aula
Capítulo 6 - Deformação infinitesimal
Professor Dr. Luiz Antonio Farani de Souza
Conteúdo
6.1 Medidas de deformação unidimensional ... 3
6.1.1 Deformação de engenharia ... 3
6.1.2 Deformação de Lagrange ... 3
6.1.3 Deformação logarítmica ... 4
6.1.4 Deformação de Almansi ... 4
6.1.5 Alongamento ... 4
6.2 Descrição de movimentos de um contínuo ... 5
6.3 Campo deslocamento ... 6
6.4 Equações do movimento de corpo rígido ... 7
6.5 Deformação infinitesimal ... 8
6.1 Medidas de deformação unidimensional
A deformação de barra é caracterizada por um deslocamento u na barra (Figura 6.1). L0 é o comprimento inicial (antes da deformação) da barra e L o é seu comprimento após a deformação tal que u = L - L0.
Figura 6. 1 Alongamento da barra.
Há várias medidas de deformação que podem ser apropriadas para a análise não linear. O termo deformação usado aqui se refere ao termo em inglês strain.
6.1.1 Deformação de engenharia
A deformação de engenharia ou de Cauchy é a medida de deformação mais simples dada por:
(6.1)
A deformação de engenharia mede a deformação mesmo que a barra tenha sofrido uma grande rotação na direção de .
6.1.2 Deformação de Lagrange
Considerando a deformação de engenharia, podemos reescrevê-la da seguinte forma: (6.2) (6.3)
Nota-se que . No caso da deformação ser pequena, temos que ≈ 0. Então pode ser omitido na Eq. (6.3), e teremos:
(6.4)
que é denominada de deformação de Lagrange. Há muitos exemplos de estruturas com grandes deslocamentos, mas com pequenas deformações. Nesses casos, a deformação
de Lagrange é perfeitamente adequada. Por isso, a deformação de Lagrange e suas versões para duas e três dimensões são bastante utilizadas na análise dessas estruturas.
6.1.3 Deformação logarítmica
Se a deformação for muito grande, como ocorre em materiais semelhantes à borracha, então a medida de deformação mais adequada é a deformação logarítmica. É também conhecida por deformação natural, deformação verdadeira ou deformação de Hencky. A ideia por trás, é uma medida que some todas os incrementos infinitesimais de deformação que ocorrem durante o alongamento da barra desde o comprimento inicial L0 até o final L. O incremento infinitesimal de deformação é dado por:
(6.5)
A integração desse incremento é a definição da deformação logarítmica:
(6.6)
Apesar da deformação logarítmica poder ser generalizada para mais de uma dimensão, tal generalização é complexa e de alto custo computacional (BONET; WOOD, 2008).
6.1.4 Deformação de Almansi
A deformação de Almansi é dada por:
(6.7)
A concepção da deformação de Almansi é similar à deformação de Lagrange. A diferença é que a primeira tem como referência a configuração deformada (descrição Euleriana) e a segunda tem como referência a configuração inicial (descrição Lagrangeana).
6.1.5 Alongamento relativo
O alongamento relativo sofrido pela barra é designado por λ e é definido como sendo:
(6.8)
O alongamento relativo, λ, é uma grandeza adimensional que tem um valor unitário para a barra não deformada. Colocando as deformações em função do alongamento λ, temos:
(6.10)
(6.11)
(6.12)
6.2 Descrição de movimentos de um contínuo
A trajetória de uma partícula é descrita por um vetor em função do tempo t, chamado de vetor posição r, o qual é dado por:
(6.13) Se uma partícula de um meio contínuo estava na posição (X1, X2, X3) no tempo
t0, o conjunto de coordenadas (X1, X2, X3) pode ser usado para identificar essa partícula. Em geral, as trajetórias de toda partícula de um meio contínuo podem ser descritas pela seguinte equação vetorial:
com (6.14)
na qual é o vetor posição no tempo t para a partícula P, que estava em no tempo t0 (Figura 6.2). Em forma de componentes fica:
com (6.15) As coordenadas (X1, X2, X3) servem para identificar as diferentes partículas do corpo e são conhecidas como coordenadas materiais.
6.3 Campo deslocamento
Considere-se um corpo sólido e contínuo sujeito a uma deformação que o faz passar de um estado inicial para um estado final (Figura 6.3). Essa deformação é provocada por um conjunto de forças.
Figura 6. 3 Estado inicial e final de um corpo após a aplicação de um sistema de forças.
O vetor deslocamento u de uma partícula num meio contínuo (identificada por sua coordenada material X), da posição de referência P(t0), para a posição corrente P(t), é obtido pela adição vetorial:
(6.16)
Em notação indicial fica:
(6.17)
O vetor de deslocamento apresenta as seguintes componentes no sistema de coordenadas cartesianas:
(6.18) ______________________________________________________________________ Exercício 6.1. A posição no tempo t de uma partícula inicialmente em (X1, X2, X3) é dada por:
6.4 Equações do movimento de corpo rígido
a) Translação de corpo rígido - a equação cinemática para translação de corpo rígido é:
(6.19)
onde .
b) Rotação de corpo rígido sobre um ponto fixo - a equação cinemática é:
(6.20)
onde é o tensor ortogonal (isto é, o tensor de rotação, com = I), e b é um vetor constante.
c) Movimento geral de corpo rígido - a equação cinemática é:
(6.21)
onde é o tensor rotação com = I e é um vetor com . A equação (6.21) mostra que o movimento é descrito por uma translação de um ponto base X = b mais a rotação sobre esse ponto.
Figura 6. 4 Translação de um corpo.
Figura 6. 6 Movimento de corpo rígido mais deformação.
6.5 Deformação infinitesimal
Há vários problemas de engenharia que envolvem membros estruturais em que a deformação é muito pequena (matematicamente tratadas como infinitesimal). Considere um corpo tendo uma configuração em algum tempo t0 e muda para outra configuração no tempo t (Figura 6.7).
Figura 6. 7 Configuração de um corpo no tempo t0 e no tempo t.
Nós vamos derivar o tensor que caracteriza a deformação de tais corpos. Seja um ponto material P que sofre um deslocamento u tal que ele chega na posição:
(6.22)
Um ponto vizinho Q em X + dX chega em x + dx, os quais são relacionados por:
(6.23)
Subtraindo-se as equações (6.22) e (6.23), temos:
(6.24) Usando a definição de gradiente de um vetor função, temos:
(6.25)
na qual é um tensor de segunda ordem conhecido como gradiente de deslocamento. Podemos escrever dx = F dX, em que:
(6.26) na qual F é o gradiente de deformação.
O tensor C, conhecido como tensor de deformação de Cauchy-Green à direita, é:
(6.27)
Fazendo C = I corresponde a um movimento de corpo rígido (translação e/ou rotação). Das Equações (6.26) e (6.27) temos:
(6.28) Fazendo , temos que:
(6.29)
O tensor é conhecido como tensor de deformação de Lagrange. É um tensor de deformações finitas.
Considerando o caso em que as componentes do vetor de deslocamentos, bem como suas derivadas parciais, sejam muito pequenas (matematicamente infinitesimais), o tensor C fica:
(6.30)
na qual
(6.31) O tensor é conhecido como tensor de deformação infinitesimal. Para deformações infinitesimais de um corpo contínuo (os deslocamentos e os gradientes de deslocamentos são pequenos, ou seja, e ), é possível desempenhar uma linearização geométrica do tensor de deformações finitas Langrangeana E*. Em tal linearização, os termos não lineares ou de segunda ordem são desprezados de E*. Então, temos que:
(6.32)
(6.33)
As componentes do tensor deformações infinitesimais , também chamado do tensor de deformação de Cauchy, são:
(6.34)
(6.35)
6.5.1 Significado geométrico das componentes do tensor de deformação infinitesimal
Elementos da diagonal de :
11 é o alongamento unitário para um elemento originalmente na direção de x1; 22 é o alongamento unitário para um elemento originalmente na direção de x2; 33 é o alongamento unitário para um elemento originalmente na direção de x3. Essas componentes (elementos da diagonal de ) são conhecidas como as deformações normais.
Os elementos fora da diagonal principal de :
212 dá o decréscimo do ângulo entre dois elementos inicialmente nas direções x1
e x2;
213 dá o decréscimo do ângulo entre dois elementos inicialmente nas direções x1
e x3;
223 dá o decréscimo do ângulo entre dois elementos inicialmente nas direções x2
e x3.
______________________________________________________________________ Exercício 6.2. Num dado instante do tempo a relação entre as coordenadas de um ponto na configuração inicial e final é:
Calcule o tensor de deformação infinitesimal .
______________________________________________________________________ Exercício 6.3 Seja um campo de deslocamento bidimensional dado por:
onde k é uma constante. Determine e desenhe a forma deformada de um elemento diferencial retangular originalmente localizado com seu canto esquerdo na origem.
Referências
LAI, W. M.; RUBIN, D. H.; KREMPL, E.; RUBIN, D. Introduction to continuum mechanics. Butterworth-Heinemann, 2009.
BONET, J.; WOOD, R. D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. 2. ed. [S.l.]: Cambridge University Press, 2008.