Matemática Aplicada I

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009G

M

ATEMÁTICA

A

PLICADA

I

Matemática

Aplicada I

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Editora

Aline Palhares

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3ª Edição - Novembro/2006

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Índice

Apresentação... 7 Lição.1.–.Mínimo.Múltiplo.Comum Introdução... 9 1.Calculando.o.mmc... 9 1.1.Regra.Prática... 9 Exercícios.Propostos... 11 Lição.2.–.Frações Introdução... 13 1..Definição... 13 2..Frações.Equivalentes... 14 3..Operações.com.Frações... 15 3.1.Adição.e.Subtração.com.Denominadores.Iguais... 15 3.2.Adição.e.Subtração.com.Denominadores.Diferentes... 15 3.3.Multiplicação... 17 3.4.Divisão... 18 3.5.Potenciação... 19 3.6.Raiz.Quadrada... 19 Exercícios.Propostos... 20 Lição.3.–.Operações.Aritméticas.com.Números.Decimais Introdução... 25 1..Frações.Decimais... 25 2..Operações.com.Números.Decimais... 26 2.1.Adição.e.Subtração... 26 2.2.Multiplicação... 26 2.3.Divisão... 27 2.4.Potenciação... 28 Exercícios.Propostos... 29 Lição.4.–.Sistema.Métrico.Decimal:.as.Medidas.de.Comprimento Introdução... 33 1..Medidas.de.Comprimento... 33 2..Mudança.de.Unidade... 34 Exercícios.Propostos... 39

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Lição 5 – Números Inteiros Relativos

Introdução ... 41

1. Definição ... 41

2. Operações com Números Inteiros Relativos ... 41

2.1 Adição ... 41 2.2 Multiplicação ... 43 2.3 Divisão ... 43 2.4 Potenciação ... 43 3. Potência de 10 ... 45 Exercícios Propostos ... 47

Lição 6 – Equações de 1º Grau com Uma Variável Introdução ... 51

1. Resolvendo Equações ... 51

Exercícios Propostos ... 53

Lição 7 – Regra de Três Simples Introdução ... 55

1. Utilizando a Regra de Três ... 55

Lição 8 – Sistema de Equações de 1º Grau com Duas Variáveis Introdução ... 59

1. Cálculo pelo Método da Adição ... 59

Lição 9 – Radiciação Introdução ... 63

1. Propriedades ... 63

Lição 10 – Equações de 2º Grau com Uma Variável Introdução ... 67

1. Resolvendo Equações ... 67

Lição 11 – Sistemas de Equações do 2º Grau com Duas Variáveis Introdução ... 73

1. Resolução ... 73

Respostas dos Exercícios Propostos ... 78

Bibliografia ... 86

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Apresentação

Tudo é matemática. A afirmação pode parecer exagerada, mas não é. Todo conhecimento científico acumulado no decorrer de nossa história é permeado por ela. Por que as estrelas e o Sol brilham? Por que os pássaros voam e os rios correm para determinada direção? As respostas para essas e outras tantas perguntas passam obrigatoriamente pela matemática. Foram as ferramentas fornecidas por ela que possibilitaram ao homem conquistar o espaço, compreender o átomo, construir aviões, etc. Essa ciência não é uma disciplina de escola que, normalmente, assume a forma de um amontoado de fórmulas e teoremas. Nada mais falso. Matemática é, antes de tudo, raciocínio e criatividade.

Ela também não é só para cientistas ou engenheiros; é para todos nós. Usamos a matemática de maneira intuitiva o tempo todo, e nem nos damos conta disso! Quando os índios constróem uma oca, realizam uma obra-prima de método matemático: formas perfeitas, estrutura sólida e funcional. Se observarmos uma fotografia aérea de uma tribo, veremos que as ocas man-têm seu padrão de forma e apresentam um grande equilíbrio na distribuição pela área da tribo. Isso é fruto do domínio intuitivo de elementos de cálculo e geometria.

Outro exemplo é o futebol. Quando o jogador se prepara para receber um lançamento, sem perceber, e em poucos segundos, realiza uma infinidade de cálculos complexos: analisa a velocidade da bola, o vento, o espaço que tem para correr; determina onde a bola deverá cair e qual a velocidade que deve atingir para interceptá-la.

Mas esse conhecimento intuitivo não é suficiente para nossa vida profis-sional. Devemos ser capazes de empregar padrões e métodos compreendidos por outras pessoas. É aí que entra a matemática como disciplina teórica. Seu estudo, de forma rigorosa e padronizada, permite a troca de conhecimentos entre pessoas que sequer falam a mesma língua. A matemática é uma língua universal.

Estando a matemática tão presente em todas as áreas e atividades do conhecimento, seu domínio formal é condição imprescindível para o suces-so profissional, seja em que área for. Por issuces-so, neste fascículo, estudaremos conceitos básicos dessa fascinante matéria.

Caso você tenha ainda alguma dúvida sobre como a matemática pode ser encantadora, recomendamos o livro O Homem que Calculava, de Malba Tahan.

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1 lição

lição

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Introdução

Nesta lição, vamos recordar mínimo múl-tiplo comum (mmc). Esse conhecimento é de fundamental importância para o cálculo de adição e subtração de frações, matéria da li-ção seguinte.

1. Calculando o mmc

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é um valor, o menor possível, que di-vide os números considerados.

Por exemplo, para determinar o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6, vamos pen-sar em números que são múltiplos tanto do 4 quanto do 6.

O número 36 é múltiplo de 4, pois 4 multi-plicado por 9 resulta em 36, ou 4

.

9 = 36; por-tanto, 36 divide 4. O número 36 é também múl-tiplo de 6, pois 6

.

6 = 36, ou seja, 36 divide 6.

Além do 36, podemos pensar no número 24. Ele é múltiplo de 4, pois 4

.

6 = 24 e também é múltiplo de 6, pela mesma razão.

Podemos, ainda, pensar no número 12; ele é múltiplo de 4, pois 4

.

3 = 12 e também é múl-tiplo de 6, pois 6

.

2 = 12.

Já conseguimos relacionar os números 12, 24 e 36 como múltiplos comuns de 4 e 6. Pode-ríamos pensar em outros múltiplos acima do 36, mas queremos o menor deles, e o menor é o 12. Portanto, o mínimo múltiplo comum de 4 e 6 é 12.

Podemos escrever esta conclusão de for-ma abreviada:

mmc(4, 6) = 12

1.1 Regra Prática

Há uma forma rápida e prática para cal-cular o mmc. Ela consiste na divisão sucessiva pelos números primos, que são aqueles núme-ros com apenas dois divisores: o número 1 e ele mesmo.

O número 7, por exemplo, tem somente dois divisores (1 e 7). Portanto, 7 é um número primo. Os números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.

Vamos ver agora o processo das divisões sucessivas pelos números primos.

Exemplo: para determinar o mínimo múltiplo comum de 4 e 6, colocaremos os números um ao lado do outro (separados por uma vírgula) e os dividiremos pelos números primos possíveis.

4, 6 2 → número primo 2, 3

Repare que o 4 e o 6 foram divididos pelo número primo 2 (4 : 2 = 2 e 6 : 2 = 3) e o resultado de cada divisão foi colocado embaixo de cada número. Vamos continuar, dividindo por 2:

4, 6 2 2, 3 2 1, 3

Mínimo Múltiplo Comum

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Instituto Monitor

Observamos que 3 não é divisível por 2 (divisão exata); portan-to, repetimos o número 3. Agora podemos dividir pelo próximo nú-mero primo que, no caso, é o 3:

R

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Exercícios Propostos

Determine o mmc dos seguintes números: a) 10 e 40

b) 8 e 3

c) 5, 7 e 30

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d) 8 e 6

e) 10, 5 e 25

f) 16 e 20

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2 lição

lição

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Introdução

Este é um assunto sempre presente no co-tidiano e no trabalho, já que por meio da fra-ção representamos parte de um todo. Utiliza-mos frações desde operações bastante simples, como fazer um bolo ( xícara de açúcar, 00 de xícara de mel), até em cálculos de disciplinas das mais diferentes áreas, como engenharia, eletrônica, economia, só para citar alguns exemplos.

Quando realizamos uma determinada ati-vidade, podemos calcular a parte já finalizada por meio de frações, por exemplo, . Dessa forma, sabemos que só falta para terminá-la por completo. Numa fábrica, podemos saber se as metas de produção serão atingidas: se, por exemplo, no dia 20 daquele mês tivermos 5/6 da produção pronta, sabemos que só falta produzir1/6do esperado para atingir a meta.

1. Definição

Considere uma pizza dividida em duas par-tes iguais:

A parte sombreada indica a quantidade de fatias que queremos consumir.

Podemos indicar esta quantidade pelo nú-mero fracionário ; e ele pode ser lido como

um meio ou simplesmente meio.

Na fração , o número 1 é o numerador e o 2 é o denominador. O denominador indica a quantidade de partes iguais em que foi dividi-da a pizza, e o numerador indica quantas des-sas partes tomamos.

Considere agora outra pizza. Vamos divi-di-la em 4 partes iguais, mas apenas 3 dessas partes serão consumidas.

A fração que representa esta partição é 33 (três quartos), onde 3 é o numerador e 4 é o denominador.

Façamos a leitura de outras frações:

7 3 lê-se três sétimos 8 1 lê-se um oitavo

Frações

l 2 l 2 l 3 3 4 1 4 5 6 ₁ 6 l 2 3 4

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

5 4

lê-se quatro quintos 9

7

lê-se sete nonos 10

1

lê-se um décimo 31

2

lê-se dois, trinta e um avos 43

8

lê-se oito, quarenta e três avos 100 1 lê-se um centésimo 000 . 1 3 lê-se três milésimos

2. Frações Equivalentes

Vamos considerar agora duas pizzas do mesmo tamanho:

Na primeira pizza, consideramos para a a parte sombreada a fração e, na segunda, a fração .

Mas observamos que se trata da mesma quantidade. Por isso, podemos escrever:

4 2 2 1 = , ou seja, 2 1 é equivalente a 4 2 .

Queremos dividir o numerador e o deno-minador da fração por um mesmo número. Vejamos, por exemplo, como obter a fração equivalente a .

Se dividirmos o numerador por 2, obte-mos 8 : 2 = 4. Dividindo o denominador tam-bém por 2, obtemos 6 : 2 = 3. Por isso, pode-mos dizer que a fração é equivalente a , ou seja, 8 = , e, como em não é possível fazer nenhuma outra divisão pelo mesmo nú-mero, a fração se tornou irredutível. Esse processo recebe o nome de simplificação de

fração.

Exemplos: simplifique as frações. 16 = 8 18 9 7 5 35 25 = 20 10 40 20 = 8 6 8 6 ₄ 3 8 ₌ 4 6 3 4 3 Dividimos numerador e denominador por 2 Dividimos numerador e denominador por 5 1 2 2 4

½

2/4

Dividimos numerador e denominador pelo número 2. Mas ainda é possível dividir novamente por 2.

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Antes de prosseguir seu estudo, faça o exercício

2 desta lição. 10 5 20 10 = 2 1 105 =

Mas podemos também, na fração , di-vidir numerador e denominador pelo núme-ro 20, e chegar diretamente ao mesmo resul-tado . Então, 2 1 40 20 =

3. Operações com Frações

3.1 Adição e Subtração com Denominadores Iguais

Observando os exemplos das pizzas, que-rendo adicionar obtemos , ou seja, adicionamos tão-somente os numeradores, conservando o denominador 4. Então, 4 3 4 1 4 2 = +

Ao subtrair, também conservamos o de-nominador e subtraímos apenas os numera-dores: 4 1 4 1 4 2 = −

Vejamos mais alguns exemplos.

4 9 4 2 4 7 = + 4 5 4 2 4 7 = − 5 7 10 14 10 6 10 8 = = + 3.2 Adição e Subtração

com Denominadores Diferentes

Para realizarmos adição ou subtração de frações com denominadores diferentes, será necessário encontrar frações equivalentes 20

40

1 2

Antes de prosseguir seu estudo, faça o

exercício 1 desta lição. 2 ₊ 1 4 4 3 4 14 10 7 5 Dividimos novamente o numerador e o denominador por 2

Dividimos agora numerador e denominador por 5

Repare que adicionamos os numeradores e conservamos o denominador 4.

Subtraímos os numeradores e conservamos o denominador 4.

O resultado foi sim-plificado, resultando , ou seja, dividimos nu-merador e denomina-dor pelo número 2.

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àquelas dadas, mas com denominadores iguais. Depois disso, efetuamos a adição ou subtração normalmente. Vejamos um exemplo:

Para efetuarmos a soma de será necessário encontrar denominadores iguais. Para isso, existe um processo, que é o de cal-cular o mínimo múltiplo comum entre 6 e 4.

Assim, 6, 4 2 3, 2 2 3, 1 3

1, 1 2

.

2

.

3 = 12

O resultado (12) será o novo

denomina-dor das frações. Depois disso, temos de obter

5 = 20 5 ₌ 25 4 20 3 = 12 5 20 25 + 12 = 37 20 20 20 5 6 20 28 5 7 5 + 1 6 4 10 12 5 6 1 4 3 12 1 4

Uma vez encontrados denominadores iguais, efetuamos normalmente a adição. 1 4 7 28 1 4 Retomando a operação dada:

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Multiplicamos os numeradores entre si e, em seguida, multiplicamos os denominadores também entre si. O resultado foi simplifi-cado, ou seja, dividimos o numerador e deno-minador por 2, resultando .

14 24 7 12

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Instituto Monitor ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 2) 7

.

1 = 7 4 8 32 3) 3

.

2 = 6 = 3 10 8 80 40

4) 3 de 200 corresponde a qual valor? 4

Para resolver este problema, basta multipli-car por 200, lembrando que o denominador do 200 é l.

3

_.

200 = 600 = 150

4 4

Portanto, l50 é o valor correspondente a 3 de 200.

3.4 Divisão

A divisão de frações é feita multiplican-do a primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo:

5

_:

3 ₌ 5

_.

4 ₌ 20 ₌ 5 8 4 8 3 24 6

Vamos efetuar as seguintes divisões: 1) 5

:

3 = 9 5 5

_.

5 ₌25 9 3 27 2) 8

:

6= 3 8

_.

1 = 8 = 4 3 6 18 9

Quando estudamos a associação de resis-tências em paralelo e estamos interessados no cálculo da resistência total R, encontramos expressões do tipo:

Veja que, para calcular esta expressão, iremos recorrer às operações estudadas até o momento.

Iniciaremos calculando a soma das frações no denominador. Para tanto, vamos determinar o mmc entre 4, 3 e 2, que é 12. Teremos então:

Como os denominadores são iguais, podemos efetuar a soma normalmente, conservando o denominador 12 e somando os numeradores 3, 4 e 6. 3 4 1 6 8 18 3 4

Observe que repeti-mos a primeira fra-ção e a multiplica-mos pelo inverso da segunda fração. O resultado foi sim-plificado, ou seja, di-vidimos numerador e denominador pelo número 4, resultan-do .5 6 20 24 O denominador do núme-ro 6 é 1, e o inverso é . O resultado foi simplifica-do: dividimos numerador e denominador por 2, resul-tando 11 .4 9 2 1 3 1 1 4 1 + + R = 12 12 12 3 4 1 6 + + R = 13 12 1 R = Antes de prosseguir seu estudo, faça os

exercícios 5 e 6 desta lição.

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Instituto Monitor ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 81 16 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 = × × × = ÷ ø ö ç è æ

Agora efetuamos a divisão de 1 por 13 : 12

Sua calculadora científica pode ser usada neste cálculo. Basta localizar a tecla da função inversa, que dependendo do modelo, pode ter a aparência: 1 ou 1/x ou x-1 x Exemplos: 1) 2 1 1 1 1 3 3 3 9 ⎛ ⎞ = ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2) 3 5 5 5 5 125 6 6 6 6 216 ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Antes de prosseguir seu estudo, faça o

exercício 7 desta lição. 2 3 4 13 12 R = 1 : 12 13 R = 1 . 12 13 R = 25 36 √ 25 ₌ 5 36 6 Antes de prosseguir seu estudo, faça o

exercício 8 desta lição.

3.5 Potenciação Observe:

Em 111, lemos: dois terços elevados à quarta potência. Onde: 3 2 é a base. 4 é o expoente. 81 16 é a potência.

Obs.: todo número elevado a 0 é igual 1.

3.6 Raiz Quadrada

Em potenciação, vimos que 52 _{= 5}

.

_{5 = 25.}

A raiz quadrada é a operação inversa da potenciação. No caso considerado, é √25 = 5, pois 52 _{= 25; e ainda, como 6}2 _{= 6}

.

_{6, temos que}

√36 = 6, pois 62 _{= 36.}

Ao considerar a raiz quadrada da fração cc , temos , porque 52_{= 25 e 6}2_{= 36.} Exemplos: 1) 1 = √1 = 1 √ 4 √4 2 2) 81 = √81 = 9 √ 100 √100 10

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Exercícios Propostos

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

1 - Simplifique as seguintes frações: a) 6 4 = b) 40 26 = c) 44 56 = d) 30 28 = e) 40 50 = f) 84 36 = g) 88 44 = h) 21 14 = i) 30 10 = j) 100 36 =

2 - Efetue as operações indicadas. Depois de chegar ao resultado, simplifique as frações sempre que possível.

a) 30 3 30 10 + = b) 28 21 28 26 − = c) 9 2 9 7 − = d) 5 2 5 6 5 1 − + = e) 7 1 7 5 7 11 − + = f) 15 1 154 − =

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(18)

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ g) 14 2 14 1 14 6 + − = h) 100 2 1001 + = i) 41 2 417 − = j) 8 2 8 3 − =

3 - Efetue as operações indicadas:

a) 10 1 8 5 + = b) 14 2 7 3 − = c) 10 6 153 + = d) 5 2 16 10 + = e) 4 5 7 5 3 2 − + = f) 6 2 8 10 − = g) 4 1 16 2 8 3 + + = h) 8 3 4 1 10 5 + − = i) 2 3 5 1 10 3 + + = j) 5 4 7 + =

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

4 - Uma equipe conseguiu realizar de um trabalho; no dia seguinte, a mesma equipe realizou mais do trabalho. Pergunta-se: a equipe conseguiu concluir a tarefa?

5 - Efetue as multiplicações abaixo:

a) 4 1 11 10 ⋅ = b) 8 3 4 1 ⋅ = c) 8 3 2 1 6 5 ⋅ ⋅ = d) 6 5 3 8 ⋅ = e) 4 7 2 3 8 3 ⋅ ⋅ = f) 5 7 1⋅ = g) 5 8 3⋅ = h) 5 7 6 ⋅ = i) 4 1 6 8 ⋅ = j) 9 1 7 3 ⋅ = 6 - 6 5

de 300 corresponde a que valor? 2

5 3

5

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

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(21)

9 - Extraia a raiz quadrada dos números: a) 49 1 = b) 49 36 = c) 25 16 = d) 16 9 = e) 25 64 = f) 64 9 = g) 121 100 = h) 25 4 = i) 36 1 =

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(22)

3 lição

lição

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Introdução

Os números decimais têm origem nas fra-ções decimais. Por exemplo, a fração 5/10 equi-vale ao número decimal 0,5. Em nossa vida cotidiana, tais números estão sempre presen-tes; se vamos ao supermercado e compramos algo no valor de R$ 6,40, é importante saber que se pagarmos com uma nota de R$ 10,00, nosso troco deverá ser de R$ 3,60. Nesta lição, vamos ver como se fazem operações com os nú-meros decimais.

1. Frações Decimais

Dentre as frações estudadas, temos aque-las cujos denominadores são 10, ou potência de 10. Por exemplo, 100, 1.000, 10.000, etc. Fra-ções com esta característica são chamadas de frações decimais.

Exemplos:

10 4

lê-se quatro décimos

100 6

lê-se seis centésimos

000 1

73

. lê-se setenta e três milésimos Podemos escrever as frações decimais como números decimais:

9 0 10 9 , =

lê-se nove décimos

0,9 tem uma casa após a vírgula, que corres-ponde ao zero do número 10.

09 0 100

9 ,

= lê-se nove centésimos

0,09 tem duas casas após a vírgula, que corres-pondem aos dois zeros do número 100.

009 0 000 1 9 ,

. = lê-se nove milésimos 0,009 tem três casas após a vírgula, que corres-pondem aos três zeros do número 1.000.

Exemplos: 3 7 10 73 ,

= lê-se sete inteiros e três décimos

3 0 10 3 , = lê-se três décimos 71 0 100 71 ,

= lê-se setenta e um centésimos

Operações Aritméticas

com Números Decimais

Antes de continuar seu estudo, faça o

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(23)

Instituto Monitor

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Antes de continuar seus estudos, faça o

2. Operações com Números Decimais

Encontramos situações no dia-a-dia que envolvem operações com números decimais. Por exemplo, se eu fizer uma compra no va-lor de R$ 34,5 e outra no vava-lor de R$ 56,25. Qual o total geral gasto? Para isso é impor-tante saber efetuar as várias operações com números decimais.

2.1 Adição e Subtração

Para somar ou subtrair dois números de-cimais, é preciso colocá-los de tal forma que a vírgula de um fique exatamente embaixo da vírgula do outro. Assim:

+ 34,50 56,25

Para efetuar a adição de 34,5 + 56,25: + 34,50

56,25 90,75

Os números 34,5 e 56,25 são denomina-dos parcelas e o resultado 90,75 é a soma ou

total.

Obs.: vírgula fica embaixo de vírgula e com-pletamos com zero para igualar as casas decimais. Exemplos: 1) Para somar 23 + 1,41 + 3,1: 51 27 10 3 41 1 00 23 , , , , +

Obs.: o número 23 é inteiro e, por isso, de-vemos acrescentar dois zeros para igualar as casas decimais.

2) Para efetuar a subtração 7,45 - 2,1:

35 5 10 2 45 7 , , , −

O número decimal 7,45 é denominado

minuendo; 2,1 é o subtraendo e o resultado

5,35 é a diferença.

Para verificar se o resultado está cor-reto, basta adicionar o subtraendo à dife-rença que o resultado deverá ser o minuendo. Vejamos: 45 7 35 5 10 2 , , , +

Portanto, a subtração está correta. 3) Temos, para a subtração 8,6 - 3,14:

46 5 14 3 60 8 , , , − 2.2 Multiplicação

A multiplicação é uma forma abreviada de escrever a adição com parcelas iguais.Vejamos alguns exemplos. parcela parcela parcela soma ou total minuendo subtraendo diferença

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(24)

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Se queremos somar 1,5 + 1,5 + 1,5, pode-mos escrever 3

.

1,5 = 4,5.

A montagem desta multiplicação ficará:

5 4 3 5 1 , , ×

Fazemos a multiplicação normalmente, ou seja, fizemos 3

.

5 e 3

.

1; no resultado fi-nal, contamos o total de casas decimais.

A nomenclatura é: 5 4 3 5 1 , , ×

Para efetuar a multiplicação de 4,63

.

4, fazemos: 52 18 4 63 4 , , ×

Para efetuar a multiplicação de 26,4

.

3,1:

2,36

Igualando a quantidade de casas decimais e omitindo as vírgulas, temos:

17.464 2.360 – 16.520 7

944 uma casa após a vírgula

uma casa após a vírgula

fator fator produto

duas casas decimais duas casas decimais

uma casa decimal uma casa decimal duas casas decimal

3 casas decimais 2 casas decimais

5 casas decimais 1 4,8 9 6 7 6

1 3 8 3 6 +

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(25)

Instituto Monitor

Querendo continuar o cálculo, acrescentamos vírgula no quo-ciente 7, e 0 (zero) no resto 944. Temos então:

17.464 2.360 – 16.520 7,4 9.440 – 9.440 0 2) 32

:

5 32 5 – 30 6,4 20 – 20 0 2.4 Potenciação

A potenciação com os números decimais segue o mesmo prin-cípio visto na lição sobre frações. Vejamos alguns exemplos. 1) (0,5)2 = 0,5

.

0,5 = 0,25

Onde 0,5 é denominado base, 2 é o expoente e o resultado 0,25 é denominado potência.

Obs.: o expoente indica a quantidade de vezes que devemos re-petir a base.

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(26)

Exercícios Propostos

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

1 - Escrever as frações decimais na forma de-cimal: a) 23 = 10 b) 1 = 10 c) 314 = 100 d) 76 = 1.000 e) 25 = 100 f) 32 = 100 g) 471 = 1.000 h) 25 = 10 i) 26 = 100 i) 83 = 1.000

2 - Efetue as seguintes operações: a) 3,241 + 1,48 = b) 3,89 + 16,22 = c) 4,71 – 3,2 = d) 3,4 – 2,71 = e) 11 + 3,4 + 6,12 = f) 22 + 4,8 – 1,84 = g) 0,21 + 1,3 + 0,093 = h) 6,28 – 1,4 + 5,32 = i) 23,8 – 11,43 = j) 1,43 + 0,018 =

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(27)

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(28)

Instituto Monitor 5 - Calcule as potências: a) (0,1)2₌ b) (0,5)3₌ c) (0,2)4₌ d) (1,1)2₌ e) (1,2)2₌ f) (3,12)2₌ g) (4,2)1₌ h) (3,02)1₌ i) (5,6)2₌

j) (2,3)

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2₌

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(29)

4 lição

lição

Introdução

Durante muito tempo usaram-se medidas imprecisas, como pé, pal-mo; elas podiam variar, afinal o palmo depende do tamanho da mão de quem está fazendo a medição. Assim, o sistema métrico decimal foi criado para que houvesse unidade de

medidas, ou seja, seria usada uma constante. As três primeiras unidades criadas foram o metro, o litro e o quilograma. Nesta lição, estudaremos as medidas de comprimento.

1. Medidas de Comprimento

A unidade principal das medidas de comprimento é o metro, indicado por m. A partir do metro, podemos identificar seus múlti-plos e submúltimúlti-plos.

Os múltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm) e o decâmetro (dam). Os submúltiplos são: decímetro (dm), centíme-tro (cm) e o milímecentíme-tro (mm).

• 1 quilômetro (km) corresponde a 1.000 m. • 1 hectômetro (hm) corresponde a 100 m. • 1 decâmetro (dam) corresponde a 10 m. • 1 decímetro (dm) corresponde a 0,1 m. • 1 centímetro (cm) corresponde a 0,01 m. • 1 milímetro (mm) corresponde a 0,001 m.

Sistema Métrico Decimal:

as Medidas de Comprimento

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:

10 = 88,2

882 cm = 88,2 dm

• Para transformar 178 centímetros em metros: 178

:

100 = 1,78

178 cm = 1,78 m

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(31)

Instituto Monitor

Existe um esquema muito utilizado para a aplicação de múltiplos e submúltiplos. Trata-se de uma “escada”. Observe:

Multiplicamos ou dividimos de 10 em 10 a cada degrau.

Exemplos:

• Transformar 13 km em metros.

Colocamos o número 13 no degrau km, e acrescentamos o algarismo 0 até chegar no degrau m (metros).

Observamos que estamos efetuando a multiplicação de 13 por 1.000 metros.

Dessa forma temos que 13 km é igual a 13.000 m.

• Transformar 2,45 km em metros.

Colocamos a parte inteira 2 no degrau do km e os demais algarismos nos degraus seguintes completando com o algarismo 0.

:

x

dm (10-1₎ cm (10-2₎ km (103₎ hm (102₎ dam (10) m (100₎ mm (10-3₎ 13 km 0 hm 0 dam 0 m dm cm mm

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(32)

Instituto Monitor

Assim 2,45 km é igual a 2.450 m.

Ou seja, multiplicamos 2,45 por 1000 metros. • Transformar 95 cm em metro.

Neste caso vamos “subir a escada” colocando o último algarismo 5 no degrau cm e o restante nos demais degraus completando com o algarismo 0. No degrau de chegada colocamos a vírgula.

Assim, 95 cm corresponde a 0,95 m.

Ou seja, na subida, usamos a divisão; neste caso fizemos 95 : 100.

Outras Medidas

No estudo de Potência Elétrica, temos: • GW (gigawatt) = 1.000.000.000 W = 1,0 . 109_W • MW (megawatt) = 1.000.000 W = 1,0 . 106_W • KW (quilowatt) = 1.000 W = 1,0 . 103_W • W (watt) = 1 W = 1,0 . 10o_W • mW (miliwatt) = 0,001W = 1,0 . 10-3_W 2 km 4 hm 5 dam 0 m dm cm mm km hm dam 0, m 9 dm 5 cm mm

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(33)

Instituto Monitor

• µW (microwatt) = 0,000001W = 1,0 . 10-6_W

• nW (nanowatt) = 0,000000001 W = 1,0 . 10-9_W

• pW (picowatt) = 0,000000000001W = 1.0 . 10-12_W

Neste caso, multiplicamos (descida) ou dividimos (subida) de 1.000 em 1.000 cada “degrau”.

Por exemplo:

Transformar 2,2 KW em W. 2,2 KW . 1.000 = 2.200 W

Ao estudarmos em Eletrônica os capacitores, que servem para armazenar cargas elétricas, utilizamos a unidade de capacidade medida em farad (símbolo F).

1 farad = 1 coulomb 1 volt

O farad é uma unidade muito grande; utiliza-sem com freqüên-cia os submúltiplos:

microfarad (µF) = 10-6_F

nanofarad (ηF) = 10-9_F

picofarad (pF) = 10-12_F

É mais prático escrever que um capacitor, por exemplo, tem o valor de 22 pF, ou seja, 22 .10-12_{, em vez de escrever 0,000000000022 F.}

:

x

mili (m=10-3₎ Micro (µ=10-9₎ Giga (G=109₎ Mega (M=106₎ Kilo (K=103₎ Unidade 100 nano (η=10-6₎ pico (p=10-12₎

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(34)

Instituto Monitor

Os múltiplos e submúltiplos mais usados para a corrente elétrica são:

quiloampère (KA) = 103_A

ampère (A) = 1A miliampère (mA) = 10-3_A

microampère (µA) = 10-6_A

No cálculo da tensão elétrica, os mais usados são: quilovolt (KV) = 103_V

volt (V) = 1V milivolt (mV) = 10-3_V

microvolt (µV) = 10-6_V

Na resistência da corrente elétrica, temos: megaohm (M Ω) = 106Ω

quiloohm (KΩ) = 103Ω

ohm (Ω) = 1 Ω

miliohm (mΩ) = 10-3 Ω

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(35)

Exercícios Propostos

1 - Transformar 8,4 quilômetros em metros.

2 - Transformar 539 centímetros em decímetros.

3 - Transformar 7,4 metros em centímetros.

4 - Transformar 1.487 metros em quilômetros.

5 - Transformar 0,4 quilômetros em metros.

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(36)

6 - Transformar 30000Ω para KΩ.

7 - Transformar 22KΩ para Ω.

8 - Transformar 22000pF para ηF.

9 - Transformar 0,0022 µF para pF.

10 - Transformar 1500mA para A.

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(37)

5 lição

lição

Introdução

Trabalhar com números inteiros relativos tornou-se freqüente no cotidiano. Por exemplo, quando verificamos o saldo de nossa conta bancária, podemos ter um número positivo ou negativo. Nes-ta lição, vamos conhecer esses números e Nes-também, através de exer-cícios e resolução de problemas, aprender a utilizá-los de forma prática.

1. Definição

Os números inteiros relativos são todos os números inteiros positivos ou negativos, incluindo o zero.

... – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 ... Os números negativos ficam à esquerda do zero, enquanto os positivos ficam à direita do zero. Os números positivos podem ser escritos sem o sinal ( + ), mas os negativos devem, obrigatoriamente ser escritos com o sinal ( - ).

... – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 ... Estudaremos agora as operações com os números inteiros re-lativos, dando ênfase às propriedades da potenciação.

2. Operações com Números Inteiros Relativos

2.1 Adição

1º caso) Dois números com sinais iguais.

• Ambos positivos (+ 2) + (+ 2) = + 2 + 2 = 4 • Ambos negativos (- 2) + (– 2) = - 2 - 2 = - 4

Números Inteiros Relativos

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(38)

Instituto Monitor

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Vejamos como podemos aplicar, na prá-tica, esse conceito:

a) Rogério tem no banco um saldo positivo de R$ 150,00 e deposita mais R$ 60,00. Qual é seu novo saldo?

(+ R$ 150,00) + (+ R$ 60,00) = + R$ 150,00 + R$ 60,00 = R$ 210,00

O saldo é positivo: + R$ 210,00.

b) Mariana tem, na conta bancária, um saldo negativo de R$ 30,00 e retira R$ 60,00. Qual é seu novo saldo?

(– R$ 30,00) + (– R$ 60,00) = – R$ 30,00 – R$ 60,00 = – R$ 90,00

O saldo é negativo: – R$ 90,00.

2º caso) Dois números com sinais diferentes.

Exemplos:

(+ 40) + (– 30) = + 40 – 30 = 10 (+ 30) + (– 40) = + 30 – 40 = –10

Vamos aplicar esse conceito em dois pro-blemas:

a) Alfredo tem na conta bancária um saldo negativo de R$ 30,00 e deposita R$ 50,00. Qual é o seu novo saldo?

(– R$ 30,00) + (+ R$ 50,00) = – R$ 30,00 + R$ 50,00 = + R$ 20,00

O saldo é positivo: + R$ 20,00.

b) Amélia tem um saldo negativo de R$ 65,00 e deposita R$ 20,00. Qual é o seu novo saldo? (– R$ 65,00) + (+ R$ 20,00) =

– R$ 65,00 + R$ 20,00 = – R$ 45,00 O saldo é negativo: – R$ 45,00.

Obs.: uma forma fácil de efetuar o cálculo é pensar em “saldo bancário”, onde crédito é positivo e débito é negativo.

2.1.1 Adição Algébrica Sem os Parênteses

Podemos ter expressões envolvendo a adição algébrica sem os parênteses. Exem-plificando, temos: a) + 2 + 4 + 8 = 14 b) – 3 – 4 – 10 = – 17 c) + 4 + 7 = 11 d) – 2 + 5 = 3 e) + 2 – 5 = – 3 f) + 4 + 3 – 1 – 6 + 9 = 9

Quando temos vários fatores (como no exemplo (f)), uma forma de simplificar esses cálculos é adicionar todos os números positi-vos e, em seguida, todos os negatipositi-vos. Os nú-meros positivos são 4, 3 e 9. Adicionando-os, temos + 16 como resultado. Faremos, em se-guida, o mesmo com os negativos. Os nú-meros negativos são –1 e – 6. Adicionando-os, temos – 7 como resultado.

Retomando a expressão inicial, temos: + 4 + 3 – 1 – 6 + 9 = 16 – 7 = 9 2.1.2 Como Usar o Sinal Negativo

entre Parênteses

Exemplos:

(+ 3) – (+2) = + 3 – 2 = 1 (– 2) – (– 4) = – 2 + 4 = 2

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(39)

Instituto Monitor

_.

A potenciação resulta da multiplicação de fatores iguais.

Exemplos:

a) (+ 2)3_{= (+ 2) . (+ 2) . (+ 2) = + 8}

Antes de prosseguir seus estudos, faça os exercícios 6 e 7

desta lição. Antes de prosseguir seu

estudo, faça os exercícios 1 a 5

desta lição.

2.2 Multiplicação

Na multiplicação de números inteiros relativos, usamos a seguinte regra:

a) se os dois números têm sinais iguais, o resultado da multiplicação será sempre positivo;

b) se dois números têm sinais diferentes, o resultado da multiplicação será sempre negativo.

Obs.: vale aqui o uso da regra de sinais. Vejamos, por meio de exemplos, como efetuar tais operações:

a) (+ 2)

_.

(+ 11) = + 22 b) (– 21)

_.

(– 9) = + 189

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(40)

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Antes de continuar seu estudo, faça o exercício 8

des-ta lição.

Onde + 2 é a base, 3 é o expoente (indica a quantidade de vezes que devemos repetir a base), e o resultado + 8 é a potência.

b) (+ 4)2_{= (+ 4) . (+ 4) = + 16}

c) (+ 4)3_{= (+ 4) . (+ 4) . (+ 4) = + 64}

d) (– 4)3_{= (– 4) . (– 4) . (– 4) = – 64}

c) 105_{. 10}-6_{= 10}-1

Somamos os expoentes 5 + (-6) = -1 e con-servamos a base 10

2ª propriedade) Na divisão de potências de

mesma base, conservamos a base e subtraí-mos os expoentes. Exemplos: a) 56

:

₅4_{= 5}2 Subtraímos os expoentes 6 – 4 = 2 e conservamos a base 5 b) 74

:

₇8_{= 7}-4 Subtraímos os expoentes 4 – 8 = – 4 e conservamos a base 7 c) 23

:

₂-5_{= 2}8 Subtraímos os expoentes 3 – (– 5) = 3 + 5 = 8 e conservamos a base 2 d) 73

:

₇5_{= 7}-2 Subtraímos os expoentes 3 – 5 = – 2 e conservamos a base 7

3ª propriedade) Em potência de potência,

conservamos a base e multiplicamos os ex-poentes. Exemplos: a) (25₎2_{= 2}10 Multiplicamos os expoentes 5

_.

2 = 10 e conservamos a base 2 b) (35₎3_{= 3}15 Multiplicamos os expoentes 5

_.

3 = 15 e conservamos a base 3 2.4.1 Propriedades da Potenciação

1ª propriedade) Na multiplicação de

potên-cias de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Exemplos: a) 23_{. 2}4_{. 2}5_{= 2}12 Somamos os expoentes 3 + 4 + 5 = 12 e conservamos a base 2 b) 34_{. 3 = 3}5

Somamos os expoentes 4 + 1 = 5 (1 é ex-poente do segundo 3) e conservamos a base 3

Obs.: com relação aos sinais, a potência (re-sultado) só será nega-tiva quando a base for um número negativo e o expoente for um número ímpar.

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(41)

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

3. Potência de 10

Exemplos:

1) Escrever o número 3.450 em potência de 10. Observamos que 3.450 = 3,45 . 1000 = 3,45 . 103

2) Escrever o número 853 em potência de 10. Observamos que 8531 = 8,531 . 1000 = 8,531 . 103

3) Escrever o número 745 em potência de 10. Observamos que 745 = 7,45 . 100 = 7,45 . 102

4) Escrever o número 0,00753 em potência de 10.

Observamos que 0,00753 = 7,53 : 1000 = 7,53 . 10-3

5) Escrever o número 0,0841 em potência de 10. Observamos que 0,0841 = 8,41 : 100 = 8,41 . 10-2

Observação:

Notação Científica

A notação científica é caracterizada por ter na parte inteira um algarismo de 1 a 9, mul-tiplicado por uma potência de 10.

O expoente da base 10 é a quantidade de casas decimais obtidas após a colocação da vírgula.

Assim, o resultado obtido no exemplo

ante-rior 8,41 . 10-2_{já está escrito em notação}

cien-tífica.

Agora, o número 35,4 . 103_{não está}

escri-to em notação científica. Sua representação será 3,54 . 104_.

Exemplos:

1) Consideremos o número 86.000. A notação científica será 8,6 . 104_.

2) Vamos escrever agora o número 95.000.000 em notação científica: 9,5 . 107_.

Outros casos:

0,01 = 1,0 . 10-2

0,02 = 2,0 . 10-2

0,00044 = 4,4 . 10-4

Observe que o expoente negativo do 10 é a quantidade de casas que a vírgula se deslocou.

Mais exemplos:

Efetue: (4,8 . 105_{) . (3,4 . 10}4₎

Multiplicando os números decimais 4,8 por 3,4 obtemos 16,32.

Multiplicando as potências 105_{e 10}4_{, neste}

caso usamos as propriedades da potenciação, conservamos a base e somamos os expoentes. Daí, obtemos 109_.

Assim (4,8 . 105_{) . (3,4 . 10}4_{) = 16,32 . 10}9_.

Escrevendo em notação científica, obtemos 1,632 x 1010_.

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(42)

Exercícios Propostos

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

1 - Efetue as seguintes adições algébricas: a) (+ 2) + (+3) = b) (+ 5) + (+ 8) = c) (– 3) + (– 7) = d) (– 9) + (– 7) = e) (+ 21) + (+ 31) = f) (– 100) + (– 150) = g) (+ 8) + (+14) = h) (–16) + (– 23) = i) (+ 17) + (+ 40) = j) 0 + (+ 20) =

2 - Efetue as adições algébricas: a) – 4 – 10 – 14 = b) – 8 – 10 – 11 = c) + 70 + 40 + 30 = d) + 1 + 1 + 1 + 1 = e) – 1 – 1 – 1 = f) + 7 + 4 = g) 8 + 10 = h) – 4 – 8 – 11 = i) + 20 + 15 = j) + 3 + 7 =

3 - Efetue as somas algébricas: a) (+ 2) + (– 3) = b) (+ 4) + (– 3) = c) (– 30) + (+ 40) = d) (+ 50) + (– 40) = e) (– 21) + (+ 30) = f) (– 4) + (+ 7) = g) (– 4) + (+ 1) =

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

h) (+ 2) + (– 7) = i) (+ 10) + (– 35) = j) 0 + (– 3) =

4 - Efetue as adições algébricas: a) – 2 + 4 = b) – 3 + 1 = c) + 4 – 3 = d) + 1 + 2 + 7 = e) – 7 + 20 = f) + 8 + 10 – 14 = g) + 8 – 0 + 7 – 3 = h) – 5 + 17 = i) + 20 – 36 = j) + 6 – 10 – 4 =

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(44)

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ j) (– 24)

:

(– 3) = 8 - Determine as potências: a) (– 2)4₌ b) (– 3)4₌ c) (+ 3)3₌ d) (+ 5)3₌ e) (– 7)3₌ f) (+ 2)5₌ g) (+ 11)2₌ h) (– 12)2₌ i) (– 21)1₌ j) (– 10)3₌

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

10- Escreva em notação científica a) 46.000.000 = b) 38.000 = c) 78.000.000.000 = d) 77.000.000 = e) 5.200 = f) 4.000 = g) 0,00001 = h) 0,055 = i) 0,000064 =

11- Qual o valor original de cada número abaixo que está escrito em notação científica? a) 7 . 104 ₌ b) 3,48 . 105 ₌ c) 1,8 . 10-3 ₌ d) 4,1 . 103₌ e) 5,4 . 102₌ f) 3,5 . 10-3₌ g) 4,2 . 10-3₌ h) 7,6 . 10-3₌

12 – Efetue as operações, expressando os re-sultados em notação científica:

a) (1,5 . 10-4_{) . (3 . 10}-5_{) =}

b) (2,7 . 10-3_{) . (5 . 10}-4_{) =}

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6 lição

lição

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Introdução

A equação de 1° grau permite que deter-minemos o valor de uma variável quando co-nhecidos os demais termos. Por exemplo, num circuito elétrico, se conhecemos o valor da re-sistência e a intensidade da corrente que está percorrendo o circuito, podemos montar uma equação e determinar o valor da voltagem.

1. Resolvendo Equações

Em geral, o valor do termo desconhecido é simbolizado pela letra x. Usando o processo prático de resolução, vamos examinar vários tipos de equações de 1° grau com uma variá-vel.

a) 3x = 15

Nesse caso, o número 3 está multiplicando a variável x. Vamos isolar essa variável usan-do a operação inversa, ou seja, a divisão. Pas-saremos o número 3 para depois do sinal de igual (=), dividindo-o pelo número 15.

53 15 15 3 = = = x x x b) 5x = 20 x = 20 5 x = 4 c) 3x + 1 = 10 3x = 10 – 1 x = 9 3 x = 3 d) 6x – 5 = 31 6x = 31 + 5 x = 36 6 x = 6 e) 5x + 4 = 8 – 3x

Neste caso, vamos deixar as variáveis an-tes do sinal de igualdade (=); os números, de-pois do sinal de igualdade (=). É importante lembrar que quando mudamos os números, os sinais deverão ser trocados.

5x + 4 = 8 – 3x 5x + 3x = 8 - 4 8x = 4 _{x =} 4 8 x = 1 2 f) 4x – 3 = 2x – 7 4x – 2x = – 7 + 3 2x = – 4 x = – 4 2 x = – 2

Equações de 1

°

Grau

com Uma Variável

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(47)

Instituto Monitor

Exercícios Resolvidos

1) 2 (3x + 1) = 4

Nesse caso, aplicaremos a propriedade distributiva para eli-minar os parênteses; para isso, multiplicamos o número 2 por todos os termos do interior dos parênteses.

2) 3 (2x + 4) = 4 (x + 5)

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(48)

Exercícios Propostos

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

1 - Calcule o valor de x para: a) 3x = 18 b) 5x = 30 c)10x = 100 d) 6x = –30 e) 7x = –70 f) 9x = 18 g) 3x = 7 h) 5x = 40 i) 2x = 10 j) 4x = 8

2 - Calcule o valor de x para: a) 6x + 4 = 18

b) 3x – 10 = 20

c) 8x + 4 = 5

d) 10x – 28 = 2

e) 2x + 4 = 16

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(49)

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ f) x + 4 = 8 g) 2x + 8 = – 16 h) 3x + 4 = 11 i) 5x – 10 = – 5 j) 3x – 14 = –7

3 - Calcule o valor de x para: a) 3x + 8 = 2x + 4 b) 8x – 5 = – 3x + 20 c) 6x – 4 = 10 – x d) 9x – 6 = 3x + 12 e) 7x + 4 = – 3x – 16 f) 4x + 18 = 2x + 6

4 - Calcule o valor de x para: a) 3(x + 4) = 8 b) 2(x + 7) = – 8 c) 6(2x – 4) = 2(4x – 6) d) – 5(2x – 4) = – 3(4x – 6) e) 6(2x + 4) = 2(4x – 2) f) 8(x + 2) = 24