Parte 1. Espaços de Banach. 1.1 Espaços Normados

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Parte 1

Espa¸

cos de Banach

1.1 Espa¸

cos Normados

Defini¸cão 1.1. Seja X um espa¸_{co vetorial sobre K (K = C ou K = R). Uma semi-norma} em X é uma aplica¸cão p : X → [0, +∞[ que satisfaz as seguintes propriedades:

(N 1) p(λx) = |λ| · p(x), ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;

(N 2) (Desigualdade triangular) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X.

Se p satisfaz a propriedade adicional

(N 0) p(x) = 0 ⇒ x = 0,

p ´e dita uma norma em X e neste caso ´e comum escrever kxk no lugar de p(x).

Observe que se p é uma semi-norma em X então segue imediatamente de (N 1) que p(0) = 0. Assim, p será uma norma se o único vetor x ∈ X com p(x) = 0 é o vetor nulo. Estaremos mais interessados nas normas, embora as semi-normas aparecerão em alguns momentos.

Um espa¸co normado ´_{e um espa¸co vetorial sobre K munido de uma norma. Vejamos} alguns exemplos.

Exemplo 1.2. O corpo K (visto como espa¸co vetorial sobre si pr´oprio) ´e um espa¸co nor-mado se o equiparmos com a norma kλk = |λ|. Mais geralmente, Kp_´_{e um espa¸co normado,}

pois sabemos que kxk = p|x(1)_|2_{+ |x}(2)_|2_{+ · · · + |x}(p)_|2_{, onde x = (x}(1)_{, x}(2)_{, . . . , x}(p)_{), ´}_e

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uma norma em Kp. E f´´ acil verificar que kxk1 = |x(1)| + |x(2)| + · · · + |x(p)| e

kxk∞ = max{|x(1)|, |x(2)|, . . . , |x(p)|} também são normas em Kp. As duas últimas normas

são mais fáceis de se trabalhar e equivalentes à primeira (num sentido que precisaremos mais adiante).

Para o próximo exemplo, lembramos que se A é um espa¸co topológico e f uma fun¸cão f : A → K, então f é cont´ınua em a ∈ A se, para todo ε > 0, existir um aberto V de A contendo a tal que |f (x) − f (a)| < ε, se x ∈ V .

Exemplo 1.3. Seja A 6= ∅ um espa¸co topológico, e consideremos agora o espa¸co vetorial Cb(A) constitu´ıdo de todas as fun¸cões f : A → K que são cont´ınuas e limitadas. Definimos

para f ∈ Cb(A)

kf k = sup

x∈A

|f (x)|.

Observe que pelo fato de f ser limitada tal supremo é finito. Então kf k ∈ [0, +∞[. Afirmamos que k · k é uma norma em Cb(A). De fato, se kf k = supx∈A|f (x)| = 0, então

|f (x)| = 0 para todo x ∈ A. Logo, f é a fun¸cão nula e (N 0) está mostrada. Para mostrar (N 1) observe que para cada x ∈ A

|λf (x)| = |λ| |f (x)| ≤ |λ| sup

x∈A

|f (x)| = |λ| kf k.

Então |λ| kf k é uma cota superior do conjunto {|λf (x)| : x ∈ A}. Então sup_x∈A|λf (x)| ≤ |λ| kf k, o que nos mostra que kλf (x)k ≤ |λ| kf k. Por outro lado, se λ 6= 0, temos que |f (x)| = |λ| |λ−1_{| |f (x)| = |λ}−1_{| |λf (x)| ≤ |λ}−1_{| kλf k, e portanto, tomando o supremo,}

kf k ≤ |λ−1_{| kλf k, ou seja |λ| kf k ≤ kλf k. Assim |λ| kf k = kλf k, se λ 6= 0. Por´em, se}

λ = 0 a igualdade ´e imediata e portanto ela ´_{e valida para qualquer λ ∈ K. Finalmente,} se f, g ∈ Cb(A) e x ∈ A, |f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ sup x∈A |f (x)| + sup x∈A |g(x)| = ||f k + kgk. Portanto kf + gk ≤ ||f k + kgk, o que demonstra (N 2).

1.2 A topologia da norma

Se X é um espa¸co normado, então X é também um espa¸co métrico, onde a métrica ´

e dada por d(x, y) = kx − yk. É quase que imediato que d é de fato uma métrica em X. Dizemos que d é induzida pela norma de X.

(3)

1.2. A topologia da norma 3

A topologia de X ´e definida a partir desta m´etrica: A bola aberta centrada em x0

de raio r > 0 ´e o conjunto B(x0, r)

def

= {x ∈ X : kx − x0k < r}. Um conjunto ´e aberto

em X se é a reunião (finita ou não) de bolas abertas. Equivalentemente, um subconjunto V ⊂ X será aberto se para todo x0 ∈ V existir um r > 0 tal que B(x0, r) ⊂ V .

Os outros conceitos topológicos são definidos a partir destes abertos. Um conjunto F será fechado em X se seu complementar X \ F for aberto em X. Denotaremos a bola fechada centrada em x0 de raio r > 0 por B[x0, r]

def

= {x ∈ X : kx − x0k ≤ r}. Verifique

que de fato B[x0, r] ´e um conjunto fechado.

Um ponto x0 ∈ X ´e chamado de aderente ao conjunto Z ⊂ X se toda bola centrada

em x0 intercepta Z. Isso significa que h´a pontos de Z arbitrariamente pr´oximos de x0. O

fecho de um subconjunto Z de X é conjunto de seus pontos aderentes e é denotado por Z. É fácil ver que Z é o menor fechado que contém Z.

Uma sequˆencia (xn)n∈N⊂ X converge para x ∈ X se, para todo ε > 0 existe n0 ∈ N

tal que n > n0 ⇒ kxn−xk < ε. Neste caso, dizemos que (xn)n´e uma sequˆencia convergente

em X e que x é limite de (xn)n. Algumas propriedades das sequências convergentes estão

destacadas nos exerc´ıcios.

Vejamos agora algumas propriedades da topologia da norma. Lembramos que se Y e Z são espa¸cos normados, estaremos considerando em Y × Z a topologia produto. Um conjunto é aberto em tal topologia se é reunião de conjuntos da forma U × V onde U é aberto em Y e V é aberto em Z.

Proposi¸cão 1.4. Seja X um espa¸co normado. Então, são cont´ınuas as aplica¸cões

• S : X × X → X dada por S(x, y) = x + y; • M : K × X → X dada por M(λ, y) = λy; • N : X → X dada por N (x) = kxk.

Demonstra¸c˜ao. Mostraremos primeiramente que a soma ´e cont´ınua. Seja (x0, y0) ∈ X ×X.

Dado ε > 0, tomando o aberto W = B(x0,ε₂) × B(y0,₂ε), teremos que

(u, v) ∈ W ⇒ ku − x0k < ε 2 e kv − y0k < ε 2 ⇒ k(u + v) − (x0+ y0)k ≤ ku − x0k + kv − y0k < ε ⇒ kS(u, v) − S(x0, y0)k < ε,

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o que mostra que S ´e cont´ınua em (x0, y0).

Deixaremos a multiplica¸cão como exerc´ıcio. Para mostrar que a norma é cont´ınua, observe que para quaisquer vetores x, y ∈ X vale a desigualdade |kxk − kyk| ≤ kx − yk. De fato x, y ∈ X, kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kyk e portanto kxk − kyk ≤ kx − yk. Trocando y por x, obtemos kyk − kxk ≤ kx − yk. Logo, |kxk − kyk| ≤ kx − yk. Isso mostra que |N (x) − N (y)| ≤ kx − yk, sendo N uma contra¸cão e portanto (uniformemente) cont´ınua.

A proposi¸cão anterior mostra que as opera¸cões de espa¸co vetorial são compat´ıveis com a topologia da norma. Vejamos uma consequência. Antes, lembramos da seguinte caracteriza¸cão computacionalmente mais simples: O fecho de Z é o conjunto de todos elementos x ∈ X para os quais existe uma sequência contida em Z convergindo para x.

Proposi¸cão 1.5. Seja X um espa¸co normado e S um subespa¸co vetorial de X. Então o fecho que S também é um subespa¸co vetorial de X

Demonstra¸cão. Claro que 0 ∈ S, pois 0 ∈ S e S ⊂ S. _{Sejam x, y ∈ S e λ ∈ K.} Então existem sequências (xn)n, (yn)n ⊂ S com xn → x e yn → y. Pela continuidade

das opera¸cˆoes em X segue que xn + λyn → x + λy e como S ´e um subespa¸co de X,

(xn+ λyn)n ⊂ S. Logo x + λy ∈ S.

1.3 Normas Equivalentes

Dizemos que duas normas k · k e k · k0 definidas em um espa¸co vetorial X s˜ao

equiv-alentes se geram a mesma topologia em X. Ou seja, se um subconjunto de X ´e aberto segundo k · k se, e somente o for segundo k · k. Assim, os valores kxk e kxk0 podem

ser distintos mas todos os conceitos topol´ogicos permanecem invariantes se trocarmos a norma k · k pela norma k · k0 em X.

´

E facil verificar que duas normas s˜ao equivalentes se, e somente se, toda bola aberta centrada em x0 segundo uma norma cont´em uma bola aberta centrada em x0 segundo a

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1.4. Espa¸cos de Banach 5

Proposi¸c˜ao 1.6. Se existirem constantes positivas a e b tais que akxk0 ≤ kxk ≤ bkxk0,

∀x ∈ X, ent˜ao k · k e k · k0 s˜ao equivalentes.

Demonstra¸c˜ao. Considere uma bola aberta Bk·k(x0, r) segundo a norma k·k. Ent˜ao, se x ∈

Bk·k0(x0, r b) ent˜ao kx − x0k0 < r b e portanto kx − x0k ≤ bkx − x0k0 < r. Logo Bk·k0(x0, r b) ⊂

Bk·k(x0, r). De maneira an´aloga mostramos que Bk·k(x0, r · a) ⊂ Bk·k0(x0, r).

Exemplo 1.7. As normas de Kp _{do exemplo 1.2 s˜}_{ao equivalentes, pois}

kxk∞ ≤ kxk ≤ kxk1 ≤ pkxk∞.

A rec´ıproca da proposi¸cão anterior é verdadeira. Veremos a demostra¸cão mais adiante quando estudarmos as aplica¸cões lineares.

1.4 Espa¸

cos de Banach

Lembramos que uma sequência (xn)n∈N em um espa¸co métrico M é dita de Cauchy

se, para todo ε > 0, exitir um n0 ∈ N tal que d(xn, xm) < ε, se n, m > n0. ´E imediato

que toda sequência convergente é de Cauchy. Porém, nem toda sequência de Cauchy é converge. Um espa¸co metrico é dito completo se toda sequência de Cauchy converge (em M , claro).

Defini¸cão 1.8. Um espa¸co normado X é chamado de Espa¸co de Banach se toda sequência de Cauchy em X converge.

Assim, um espa¸co normado é um espa¸co de Banach se é um espa¸co métrico completo em rela¸cão à metrica induzida por sua norma. Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 1.9. O espa¸cos normado R é um espa¸co de Banach, pois sabemos do curso de análise real que toda sequência de Cauchy de números reais converge.

Exemplo 1.10. Vamos mostrar que Rp _´_{e um espa¸co de Banach.} _{Seja (x}

n)n∈N uma

sequˆ_{encia de Cauchy em R}p_{. Note que aqui cada x}

n ´e uma p-upla de n´umeros reais:

xn = (x (1)

n , x(2)n , . . . , x(p)n ). Como (xn)n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy, para todo ε > 0,

existe algum n0 ∈ N tal que

n, m > n0 ⇒ kxn− xmk =

q

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Em particular, para cada i = 1, 2, . . . , p, se n, m > n0 ent˜ao |x(i)n − x(i)m| < ε. Isso nos

mostra que cada sequência (x(i)n )n é uma sequência de Cauchy em R e portanto converge,

pelo exemplo anterior. Defina ent˜ao x(i) = limnx(i)n e considere x = (x(1), x(2), . . . , x(p)).

Claro que x ∈ Rp e vamos mostrar que este é o limite da sequência (xn)n. Seja então

ε > 0. Como x(i) = limnx(i)n , para cada i = 1, 2, . . . , p, existe nital que |x(i)n −x(i)|2 < ε2/p,

se n > ni. Se k0 = max{ni : i = 1, 2, . . . , p}, ent˜ao

n > k0 ⇒ kxn− xk =

q

(x(1)n − x(1))2+ (x(2)n − x(2))2+ · · · + (x(p)n − x(p))2 < ε,

o que mostra que (xn)n converge para x em Rp.

Observa¸c˜_{ao 1.11. Como espa¸cos normados, C é identico a R}2. Segue então pelo exemplo anterior que C é um espa¸co de Banach. Consequentemente, Cp também é um espa¸co de Banach.

Exemplo 1.12. Consideremos agora o espa¸co Cb(A). Seja (fn)numa sequˆencia de Cauchy

em Cb(A). Ent˜ao para todo ε > 0, existe algum n0 ∈ N tal que

n, m > n0 ⇒ kfn− fmk = sup x∈A

|fn(x) − fm(x)| < ε.

Como no exemplo anterior, vemos que para cada x ∈ A a sequˆencia (fn(x))n uma

sequˆ_{encia de Cauchy em K e portanto converge (pela observa¸c˜ao anterior) para algum} α(x) ∈ K. Defina f : A → K pondo f (x) = α(x). Observe que, se x ∈ A e n, m > n0

< ε + |fm(x) − f (x)|.

Fazendo m → ∞, obtemos que |fn(x) − f (x)| ≤ ε para qualquer x ∈ A. Ent˜ao,

sup

x∈X

|fn(x) − f (x)| ≤ ε, se n > n0 (∗)

Devemos mostrar que f est´a em Cb(A):

Mostremos inicialmente que f ´e cont´ınua. Sejam x0 ∈ A e ε > 0. Usando (∗) com ε₃,

obtemos n fixo tal que |fn(x) − f (x)| ≤ ε₃, para qualquer x ∈ X. Ora, fn est´a em Cb(A).

Ent˜ao, existe um aberto Vε contendo x0 tal que |fn(x) − fn(x0)| < ε₃, se x ∈ Vε. Assim,

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o que mostra que f ´e cont´ınua. Claramente f ´e limitada, pois usando (∗) com ε = 1, obtemos n fixo tal que |fn(x) − f (x)| ≤ 1, para qualquer x ∈ A, e portanto

|f (x)| ≤ |f (x) − fn(x)| + |fn(x)| ≤ 1 + kfnk.

Finalmente, ´e imediato por (∗) que (fn)n converge para f em Cb(A). Isso completa a

demonstra¸c˜ao.

O exemplo anterior ´e bem gen´erico. A seguir daremos dois exemplos particulares importantes baseados no anterior.

Exemplo 1.13. (O espa¸co `∞) O espa¸co `∞ ´e definido fazendo A = N no exemplo

anterior. Assim, `∞

def

= Cb(N). Note que como toda fun¸c˜ao f : N → K ´e cont´ınua (pois N

é discreto), segue que `∞é o espa¸co de Banach das sequências limitadas de escalares. Se

x = (xn)n∈ `∞, ent˜ao kxk = sup_n∈N|xn|.

Exemplo 1.14. (Espa¸cos C(K)) Seja agora A = K um espa¸co topológico compacto. Então toda fun¸cão continua em K é limitada. Denotamos então o espa¸co Cb(K)

simples-mente por C(K), o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes cont´ınuas no compacto K.

Observa¸c˜ao 1.15. Veremos adiante que `∞ pode ser visto como um espa¸co da forma

C(K), onde K é a compactifica¸cão de Stone- ˘_{Cech de N (N não é compacto!!).} Vejamos agora um exemplo de espa¸co normado não completo.

Exemplo 1.16. (Um espa¸co normado que n˜ao ´e Banach) Seja X = c00 o espa¸co das

sequˆencias quase nulas. Ou seja, uma sequˆencia pertence a c00 se possui apenas zeros a

partir de um certo ´ındice. Mostraremos que c00 n˜ao ´e um espa¸co de Banach. Para tanto,

devemos exibir uma sequˆencia de Cauchy em c00 que n˜ao converge.

Considere a sequˆencia (de sequˆencias quase nulas) (xn)n definida por

x1 = (1, 0, 0 . . . , 0, 0, . . .), x2 = (1, 1 2, 0 . . . , 0, 0, . . .) .. . xn = (1, 1 2, 0, . . . , 1 n, 0, . . .) .. .

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Note que (xn)n ´e de Cauchy, pois dado ε > 0, existe n0 ∈ N, n0 > 1_ε. Assim, se n > m > n0, kxn− xmk = (0, 0 . . . , 1 m + 1, 1 m + 2, . . . , 1 n, 0, 0, . . .) = 1 m + 1 < 1 n0 < ε.

Por´em, (xn)nn˜ao converge em c00. De fato, suponha por absurdo que x = (x(1), x(2), . . . , ) ∈

c00 seja o limite de (xn)n. Ent˜ao existe um k ∈ N tal que x(i) = 0, se i ≥ k. Assim, se

n ≥ k, kxn− xk = sup n∈N |xn− x| ≥ 1 k, contradizendo o fato de (xn)n convergir para x.

Note que c00é um subespa¸co (vetorial e normado) de `∞ que não é completo, apesar

deste ser. A proposi¸cão seguinte nos dá um critério para decidir se um subrespa¸co S de X é Banach. Quando nos referirmos a subespa¸co significará sempre que a norma de S é a induzida por X.

Proposi¸cão 1.17. Todo subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach é Banach. Recipro-camente, todo subespa¸co de Banach de um espa¸co normado é fechado.

Demonstra¸cão. Suponha que S seja fechado em X Banach. Tomamos um sequência de Cauchy (xn)n ⊂ S. Mas (xn)ntambém é uma sequência de Cauchy em X que é completo.

Logo, (xn)n converge para algum x ∈ X. Isso implica que x ∈ ¯S. Sendo S fechado, temos

que x ∈ S. Mostramos então que toda sequência de Cauchy em S converge (em S). Logo, S é completo.

Reciprocamente, seja S completo no normado X. Considere x ∈ ¯S. Então existe uma sequência (xn)n⊂ S que converge para X. Ora, toda sequência convergente é de Cauchy.

Assim, (xn)n é uma sequência de Cauchy em S que é completo e portanto converge para

algum y ∈ S ⊂ X. Pela unicidade do limite em X (todo espa¸co normado ´e Hausdorff), temos que x = y, e portanto x ∈ S, sendo este fechado.

A proposi¸cão anterior é útil para mostrar que determinados espa¸cos normados são Banach. Vejamos alguns exemplos

Exemplo 1.18. Seja A um espa¸co topol´ogico Hausdorff e considere C0(A) o subconjunto

das fun¸c˜oes f ∈ Cb(A) tais que para cada ε > 0, o conjunto Vε(f )

def

= {x ∈ A : |f (x)| ≥ ε} ´

e compacto. Vamos mostrar que C0(A) ´e um espa¸co de Banach. Como uma aplica¸c˜ao da

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Note que C0(A) é um subespa¸co vetorial de Cb(A). De fato, a aplica¸cão nula está

em C0(A) pois Vε(0) = {x ∈ A : 0 ≥ ε} = ∅. Al´em disso, se λ 6= 0 ´e um escalar e

f ∈ C0(A), ent˜ao Vε(λf ) = {x ∈ A : |λf (x)| ≥ ε} = {x ∈ A : |f (x)| ≥ _|λ|ε } = V_|λ|ε (f ),

sendo compacto. Finalmente, sejam f, g ∈ C0(A). Como Vε(f + g) ⊂ Vε/2(f ) ∪ Vε/2(g)

segue que Vε(f + g) é compacto, pois é fechado (f e g são cont´ınuas) e está contido em

um compacto. Logo f + g ∈ C0(A).

Mostremos agora que C0(A). Seja f ∈ C0(A) e tome uma sequˆencia fn ⊂ C0(A)

convergindo para f . Temos que mostrar que para todo ε > 0, Vε(f ) ´e compacto. Sejam

então ε > 0 arbitrário e x ∈ Vε(f ). Então |f (x)| ≥ ε. Como fn converge para f , existe

N ∈ N tal que kfN − f k < ε/2. Assim

ε ≤ |f (x)| ≤ |f (x) − fN(x)| + |fN(x)| ≤ kfN − f k + |fN(x)| <

ε

2+ |fN(x)|,

ou seja, |fN(x)| ≥ ε₂, o que mostra que x ∈ Vε₂(fN). Logo, Vε(f ) ⊂ Vε₂(fN) e este ´ultimo

é compacto. Isso mostra que Vε(f ) também é compacto (pois é um fechado contido em

um compacto) e conclui a demonstra¸c˜ao.

Vejamos agora um importante caso particular do exemplo anterior.

Exemplo 1.19. Suponha que A = N e considere C0(N). Note que

(xn) ∈ C0(N) ⇔ {n ∈ N : |xn| ≥ ε} ´e compacto, ∀ε > 0 ⇔ {n ∈ N : |xn| ≥ ε} ´e finito, ∀ε > 0 ⇔ xn → 0. Logo c0 def = C0(N) = {(xn) ∈ `∞: xn → 0}.

Lembrando que a norma ´e a induzida por `∞.

Finalizamos esta parte com a generaliza¸c˜_{ao de um resultado conhecido de R. Dizemos} que uma s´erie X

k∈N

xk em um espa¸co normado X ´e absolutamente convergente se a s´erie

num´erica X

k∈N

kxkk for convergente.

Teorema 1.20. Seja X um espa¸co normado. Então X é Banach se, e somente se, toda série de elementos de X absolutamente convergente é convergente.

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Demonstra¸c˜ao. Seja X Banach. Tomamos uma s´erie X

k∈N

xk absolutamente convergente.

Temos que mostrar que a sequˆencia de suas somas parciais (sn)nconverge. Como

X

k∈N

kxkk

converge ela é uma série de Cauchy. Então, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que m > n ≥

n0 ⇒ m X k=n+1 kxkk. Assim, se m > n ≥ n0, ksm− snk = k m X k=n+1 xkk ≤ m X k=n+1 kxkk < ε.

Logo, (sn)n é uma sequência de Cauchy em X que é completo. Logo, (sn)n converge.

Reciprocamente, Considere uma sequˆencia (xn)nde Cauchy em X. Ent˜ao, para j = 1,

existe n1 ∈ N tal que kxm− xnk < 2−1, se m, n ≥ n1. Para j = 2 existe n2 > n1 tal que

kxm − xnk < 2−2, se m, n ≥ n2. Prossegindo desta forma, construimos uma sequˆencia

crescente de ´ındices (nj) tal que kxm − xnk < 2−j, se m, n ≥ nj. Definimos y0 = xn1 e

yj = xnj+1− xnj, para j ∈ N. Vemos ent˜ao que

∞ X j=0 kyjk < ky0k + ∞ X j=1 2−j < ∞,

o que mostra que

∞

X

j=0

yj ´e absolutamente convergente em X e portanto converge, por

hip´otese, para algum y ∈ X. Mas lim

k xnk = limk k−1

X

j=0

yj = y. Vemos ent˜ao que a sequˆencia

de Cauchy (xn)n possui um subsequˆencia convergente. Logo, (xn)n ´e convergente.

1.5 Os Espa¸

cos `

_p

e L

_p

Defini¸cão 1.21. O espa¸co vetorial das sequências de escalares absolutamente p-somáveis ´

e denotado por `p. Ou seja,

`p = n x = (xk)k∈N∈ KN : X k∈N |xk|p < ∞ o .

Tal espa¸co ´e munido de uma norma natural, dada por kxkp =

P

k∈N|xk|p

_p1 .

(11)

1.5. Os Espa¸cos `p e Lp 11

Primeiramente, temos que verificar que `p ´e de fato um espa¸co vetorial e que k · kp

é uma norma. Se λ é um escalar qualquer e x ∈ `p, então kλxkp =

P k∈N|λxk|p 1_p = |λ| P k∈N|xk|p 1_p

= λkxkp. Isso mostra que a opera¸cão de multiplica¸cão por escalar está

bem definida em `p e que kλxk1 = λkxk1. ´E imediato que a sequˆencia nula pertence a `p

e que kxkp = 0 ⇒ x = 0.

Quando p = 1, é fácil ver que `1 a soma em `1é bem definida e que vale a desigualdade

triangular: Sejam x, y ∈ `1. Ent˜ao, para todo n ∈ N, n X k=1 |xk+ yk| ≤ n X k=1 |xk| + |yk| ≤ ∞ X k=1 |xk| + ∞ X k=1 |yk| < ∞. Assim, P∞ k=1|xk + yk| ≤ P∞ k=1|xk| + P∞

k=1|yk|. Isso mostra que x + y ∈ `1 e que

kx + yk1 ≤ kxk1+ kyk1.

Por´em, para mostrar o mesmo quando 1 < p < ∞, precisamos de alguns resultados preliminares.

Lema 1.22. Sejam p, q > 1, tais que 1_p+1_q = 1 (dizemos que q ´e conjugado de p). Ent˜ao

ab ≤ a

p

p + bq

q , ∀a, b ≥ 0.

Demonstra¸cão. Fixe b e considere a fun¸cão ϕ(a) = a_pp + b_qq − ab. É um exerc´ıcio simples de Cálculo 1 verificar que o m´ınimo absoluto de ϕ ocorre em a = bp−11 _{. Assim, para todo}

a ≥ 0 (note que _p−1p = q = q+p_p ), ϕ(a) ≥ ϕ(bp−11 ) = b p p−1 p + bq q − b 1 p−1b = b q p + bq q − b q+p p = b q p + bq q − b q _{= 0,} e portanto a_pp +b_qq ≥ ab.

Teorema 1.23. (Desigualdade de H¨older) Sejam p, q > 1, tais que 1_p+1_q = 1. Ent˜ao para quaisquer ak, bk ∈ K (k = 1, . . . , n), temos n X k=1 |akbk| ≤ n X k=1 |ak|p !1_p · n X k=1 |bk|q !1_q .

Demonstra¸cão. Se todos ak’s ou todos bk’s são nulos, então a desigualdade é trivial.

(12)

de-fina Ak= ak n X k=1 |ak|p !1_p e Bk = bk n X k=1 |bk|q !1_q .

Aplicando o lema anterior para cada Ak e Bk, obtemos

n X k=1 AkBk≤ 1 p =1 z }| { n X k=1 Ap_k+ 1 q =1 z }| { n X k=1 Bq_k= 1 p+ 1 q = 1, e portanto n X k=1 |akbk| = n X k=1 AkBk ! · n X k=1 |ak|p !1_p · n X k=1 |bk|q !1_q ≤ n X k=1 |ak|p !1_p · n X k=1 |bk|q !1_q .

Teorema 1.24. (Desigualdade de Minkowski) Se p ∈ [1, ∞[ e ak, bk ∈ K (k = 1, . . . , n),

ent˜ao n X k=1 |ak+ bk|p !_p1 ≤ n X k=1 |ak|p !1_p · n X k=1 |bk|p !1_p .

Demonstra¸cão. A desigualdade para p = 1 já foi mostrada no in´ıcio desta se¸cão. Suponha então que p > 1 e seja q seu conjugado. Podemos assumir que ak, bk ≥ 0. Por Hölder

obtemos que (Note que (p − 1)q = p)

n X k=1 (ak+ bk)p ! = n X k=1 (ak+ bk)p−1(ak+ bk) = n X k=1 (ak+ bk)p−1ak+ n X k=1 (ak+ bk)p−1bk (H ¨older) ≤ n X k=1 (ak+ bk)(p−1)q !1_q · n X k=1 |ak|p !1_p + n X k=1 (ak+ bk)(p−1)q !1_q · n X k=1 |bk|p !1_p = n X k=1 (ak+ bk)p !1_q ·   n X k=1 |ak|p !1_p + n X k=1 |bk|p !1_p ,

(13)

1.5. Os Espa¸cos `p e Lp 13 e portanto n X k=1 (ak+ bk)p !q−1_q ≤ n X k=1 |ak|p !1_p + n X k=1 |bk|p !1_p . Como q−1_q = 1_p, obtemos a desigualdade.

Vamos mostrar agora que a soma em `p ´e bem definida a desigualdade triangular.

≤ kxkp+ kykp, o que mostra que x + y ∈ `p e que kx + ykp ≤

kxkp+ kykp.

Se p = ∞, o espa¸co `∞ foi definido em 1.13 e ´e um espa¸co de Banach. O proximo

teorema diz que os outros `p’s tamb´em s˜ao completos.

Teorema 1.25. Seja 1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ao `p ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Se p = ∞ já sabemos. Suponha então que 1 ≤ p < ∞. Seja (xn)n∈N

uma sequência de Cauchy em `p. Note que aqui cada xn é uma sequência de escalares

xn = (x (1) n , x

(2)

n , . . .) ∈ `p. Como (xn)n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy, para todo ε > 0,

n, m > n0 ⇒ kxn− xmkp = ∞ X i=1 |x(i) n − x (i) m| p !1_p < ε. (∗)

Em particular, para cada i ∈ N, se n, m > n0 ent˜ao |x(i)n − x(i)m| < ε. Isso nos mostra que

cada sequência (x(i)n )né uma sequência de Cauchy em K e portanto converge, por este ser

completo.

Defina ent˜ao x(i) _{= lim} nx

(i)

n e considere x = (x(1), x(2), . . .). Vamos mostrar que x ∈ `p.

Como a sequência (xn)n é de Cauchy, então é limitada (Exec´ıcio). Logo, existe M > 0

tal que ∞ X i=1 |x(i) n | p !1_p

≤ M , para todo n ∈ N. Ent˜ao

k X i=1 |x(i) n | p !1_p ≤ M , para todo

n, k ∈ N. Fazendo n → ∞, obtemos que

k

X

i=1

|x(i)_|p

!1p

≤ M , para todo k ∈ N. Ent˜ao

∞

X

i=1

|x(i)_|p

!1_p

(14)

Resta mostrar que (xn)n converge para x (na norma de `p). Dado ε > 0, fazendo m → ∞ em (∗), obtemos que k X i=1 |x(i) n − x (i)_|p !p1 ≤ ε, para n > n0 e k ∈ N. Ent˜ao, kxn− xkp = ∞ X i=1 |x(i)_n − x(i)|p !1_p ≤ ε, se n > n0.

Defini¸c˜ao 1.26. • Seja 1 ≤ p < ∞. Denotamos por Lp[0, 1] o espa¸co vetorial

das classes de equivalências das fun¸cões escalares (Lesbesgue)-mensuráveis tais que R

[0,1]|f (t)|

p_{dt < ∞ (Aqui duas fun¸}_c˜_{oes est˜}_{ao na mesma classe se s˜}_{ao iguais quase}

sempre), munido de uma norma natural

kf kp = Z [0,1] |f (t)|p_dt 1_p .

• Denotamos por L∞[0, 1] o espa¸co vetorial das classes de equivalˆencias das fun¸c˜oes

escalares (Lesbesgue)-mensur´aveis que s˜ao limitadas quase sempre munido da norma

kf k∞= inf{α > 0 : µ{t ∈ [0, 1] : f (t) > α} = 0},

onde µ denota a medida de Lesbeguem em [0, 1].

Os espa¸co acima definidos s˜ao espa¸cos de Banach. A demonstra¸c˜ao pode ser encon-trada em qualquer livro sobre a medida de Lesbegue.

1.6 Espa¸

cos Separ´

aveis

Seja X um espa¸co métrico e suponha que D ⊂ A ⊂ X. Dizemos que D é denso em A se toda bola aberta centrada em elementos de A contém algum elemento de D. Observe que isso significa que todo elemento de A é aderente a D. Então, D é denso em A se D ⊃ A. É fácil ver que se D é denso em A e A é denso em X, então D é denso em X. Também é imediato que A é denso em ¯A. Verifique como exerc´ıcio.

Um subconjunto A ⊂ X é dito separável se possui um conjunto enumerável denso. Por exemplo, sabemos que um intervalo da reta é separável, pois o conjunto dos racionais deste intervalo é enumerável e denso. Em particular a reta é um espa¸co separável.

Estaremos interessados em saber quando um espa¸co normado é separável. O seguinte critério é útil para decidir. Lembramos que se A é um subconjunto de X, então [A] denota o subespa¸co gerado por A (no sentido da Álgebra Linear).

(15)

1.6. Espa¸cos Separ´aveis 15

Proposi¸c˜ao 1.27. Seja X um espa¸_{co normado sobre K.}

(a) Se X possui um subconjunto A enumerável (podendo ser finito) tal que X = [A], então X é separável.

(b) Se X possui um subconjunto B não enumerável tal que, para algum r > 0, kx−yk ≥ r, para qualquer par de elementos distintos x, y de B, então X não pode ser separável.

Demonstra¸cão. (a) Seja S = [A]. Um elemento de S é portanto uma combina¸cão linear (finita!!) de elementos de A. Seja D o subconjunto de S formado apenas pelas combina¸cões lineares com coeficientes racionais (Se K = C, coeficientes com parte real e imaginária racionais). Então D tem a cardinalinada das fun¸c˜_{oes finitas de N em Q e portanto é} enumerável (aqui é importante que seja combina¸cão finita). É fácil ver que D é denso em em S. Claramente, S é denso em S = [A] = X. Logo, D é denso em X, sendo separável. (b) Seja D um conjunto denso qualquer em X. As bolas centradas em elementos de B e raio r/2 são disjuntas. Cada uma dessas bolas deve conter pelo menos um elemento de D. Como há uma quantidade não enumerável dessas bolas, segue que D não pode ser enumerável. Logo, X não possui conjunto enumerável denso.

Vamos usar a proposi¸cão anterior para dar exemplo de espa¸cos separáveis e não separáveis.

Exemplo 1.28. c0 é um espa¸co separável. De fato, considere a sequência unitária

canˆonica en = (0, . . . , 0,

n−esima

z}|{

1 , 0, . . .). Vamos mostrar que c0 = [en : n ∈ N] e portanto c0

será separável pela parte (a) da proposi¸cão anterior. Seja então x = (xn) ∈ c0 e ε > 0.

Ent˜ao, existe n0 tal que |xn| < ε, se n > n0. A sequˆencia xε = (x1, x2, . . . , xn0, 0, 0, . . .)

est´a em [en : n ∈ N] e kx − xεk < ε. Como ε era arbitr´ario, segue que x ∈ [en: n ∈ N].

Exemplo 1.29. `∞ não é separável. Considere, para cada subconjunto N ⊂ N a

sequˆencia caracter´ıstica de N . Ou seja, a sequˆencia x = xN = (xn), onde xn = 1 se

n ∈ N e xn = 0 se n /∈ N . Claro que cada uma destas sequˆencias est´a em `∞. Tomamos

o conjunto B = {xN : N ⊂ N} ⊂ `∞. Ent˜ao a cardinalidade de B ´e a das partes de N e

portanto não enumerável. Além disso, kxN − xN0k = 1, se N0 6= N . Então, pela parte (b)

da proposi¸cão anterior, `∞ não é separável.

Exemplo 1.30. Qualquer espa¸co normado de dimensão finita é separável, pois é gerado por um conjunto finito. (Que conjunto é esse?)

Exemplo 1.31. Pelo Teorema de Aproxima¸cão de Weierstrass, os polinômios são densos em C[0, 1] (Veja por exemplo o livro do Elon de Espa¸cos Métricos). Então, [tn_{: n = 0, 1, . . .] =}

(16)

1.7 Aplica¸

c˜

oes Lineares

Estaremos agora tratando das aplica¸cões lineares entre espa¸cos normados. Os as-pectos algébricos destas aplica¸cões são estudados no curso de Álgebra Linear. Como um espa¸co normado também possui uma estrutura topológica, é natural estudá-las também no que diz respeito à continuidade.

Se X ´e um espa¸co normado denotaremos por BX a bola fechada de raio 1 centrada

na origem. Ou seja BX = {x ∈ X : kxk ≤ 1}. A esfera unit´aria de X ´e o conjunto

SX = {x ∈ X : kxk = 1}. Come¸camos com o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.32. Sejam x e Y espa¸cos normados e T : X → Y linear. Então são equivalentes:

(a) T ´e cont´ınua;

(b) T ´e cont´ınua na origem;

(c) existe uma constante M > 0 tal que kT (x)k ≤ M para qualquer x ∈ BX.

(d) existe uma constante M > 0 tal que kT (x)k ≤ M kxk para qualquer x ∈ X.

Demonstra¸c˜ao. (a) ⇒ (b): ´E evidente.

(b) ⇒ (c): Como T ´e cont´ınua na origem, para ε = 1, existe δ > 0 tal que, para qualquer x ∈ X, com kxk < δ, temos que kT (x)k < 1. Se x ∈ BX, temos que kδx₂ k < δ e

portanto kT δx₂ k < 1. Ent˜ao, pela linearidade de T , kT (x)k < 2_δ.

(c) ⇒ (d): Se x ∈ X \ {0}, temos que _kxkx tem norma 1 e portanto T _kxkx ≤ M . Então, kT (x)k ≤ M kxk. Se x = 0, temos que T (x) = 0 e a desigualdade também é satisfeita.

(d) ⇒ (a): Se existe M > 0 tal que kT (x)k ≤ M kxk para qualquer x ∈ X, ent˜ao dados u, v ∈ X temos que kT (u) − T (v)k = kT (u − v)k ≤ M ku − vk. Isso mostra que T ´

e lipschitziana e portanto (uniformemente) cont´ınua.

O item (c) nos mostra que aplica¸cões lineares cont´ınuas são limitadas sobre BX. É

(17)

1.7. Aplica¸c˜oes Lineares 17

Antes do pr´oximo exemplo, salientamos que se k · k e k · k0 s˜ao normas equivalentes

em X então uma fun¸cão f definida em X será cont´ınua segundo k · k se, e somente se, o for segundo k · k0.

Exemplo 1.33. Qualquer aplica¸c˜_{ao linear definida em K}p _´_{e cont´ınua. Vamos demonstar}

este fato usando a norma da soma de Kp_{. Como sabemos, ela ´}_{e equivalente `}_{a norma}

euclidiana e mais simples de se trabalhar. Seja {e1, e2, . . . , ep} a base canˆonica de Kp e

considere uma aplica¸c˜_{ao linear T : K}p _{→ Y linear. Ent˜}_ao

kT (x1, . . . , xp)k = kx1T (e1) + · · · + xpT (ep)k

≤ |x1|kT (e1)k + · · · + |xp|kT (ep)k

≤ max

i=1,...,pkT (ei)k · (|x1| + · · · + |xp|)

= M k(x1, . . . , xp)k1,

onde M = maxi=1,...,pkT (ei)k. Logo T ´e cont´ınua pela proposi¸c˜ao anterior.

Exemplo 1.34. Considere o espa¸co vetorial P(R) de todos os polinômios reais munido da norma kpk = sup_t∈[0,1]|p(x)|. Então o operador deriva¸c˜_{ao D : P(R) → P(R) não é} cont´ınuo, pois para cada n ∈ N o polinômio tn está em B_P(R) mas sua derivada ntn−1 tem norma n. Como n pode ser suficientemente grande, segue que é imposs´ıvel encontrar M como na proposi¸cão anterior.

Um isomorfismo entre espa¸cos normados, ou simplesmente isomorfismo, é uma aplica¸cões linear cont´ınua invers´ıvel e com inversa cont´ınua. Ou seja, é um isomorfismo no sentido da

´

Algebra Linear e um homeomorfismo. Se há um isomorfismo entre X e Y , então diremos que X e Y são isomorfos e escreveremos X ∼= Y .

Lembramos que inversa de aplica¸cão linear é sempre linear, mas nem sempre é cont´ınua, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 1.35. Considere X = c00 e o operador linear T : c00 → c00 dado por

T (x1, x2, x3, . . .) = (x1,x₂2,x₃3, . . .). Temos que, se x = (x1, x2, x3, . . .) ∈ c00, kT (x)k = k(x1, x2 2 , x3 3 , . . .)k = supn∈N {|x1|, | x2 2|, | x3 3 |, . . .} ≤ supn∈N {|x1|, |x2|, |x3|, . . .} = kxk.

Logo, T é cont´ınua pelo item (c) da proposi¸cão. Porém, a inversa de T é dada por T−1(x1, x2, x3, . . .) = (x1, 2x2, 3x3, . . .). Para cada n ∈ N, os vetores

en = (0, . . . , 0,

n−esima

z}|{

1 , 0, . . . , ) tˆem norma 1 mas kT (en)k = n. Logo, T−1 n˜ao satisfaz

(18)

Observe que no exemplo anterior o espa¸co normado em questão não era completo, como vimos em 1.16. Isso não foi por acaso. Veremos mais para frente que se os espa¸cos forem completos, então a inversa é sempre cont´ınua. Será uma consequência do Teorema da Aplica¸cão Aberta.

O seguinte critério é tão simples quanto útil.

Proposi¸cão 1.36. Uma bije¸cão linear T : X → Y é um isomorfismo, se, e somente se, existem constantes positivas a e b tais que akxk ≤ kT (x)k ≤ bkxk, ∀x ∈ X.

Demonstra¸cão. De fato, a segunda desigualdade nos diz que T é cont´ınua. A primeira que T−1 é cont´ınua, pois dado y ∈ Y , existe x ∈ X tal que T (x) = y e portando kT−1_{(y)k = kxk ≤ a}−1_{kT (x)k = a}−1_kyk.

Corolário 1.37. Para que duas normas k · k e k · k0 sejam equivalentes é necessário e

suficiente que existam constantes positivas a e b tais que akxk0 ≤ kxk ≤ bkxk0, ∀x ∈ X.

Demonstra¸cão. Que a condi¸cão acima é suficiente foi visto na proposi¸cão 1.6. Para mostrar que é necessária, basta observar que as normas serem equivalente significa que a identidade de X, k · k em X, k · k0 é um isomorfismo.

Teorema 1.38. Seja T : X → Y um isomorfismo entre espa¸cos normados. Então, se X for de Banach, então Y também será.

Demonstra¸c˜ao. Seja (yn)numa sequˆencia de Cauchy em Y . Temos que mostrar que (yn)n

converge. Seja ent˜ao ε > 0. Para cada n, yn = T (xn), com xn ∈ X. Ent˜ao,

kxn− xmk = kT−1(yn) − T−1(ym)k = kT−1(yn− ym)k ≤ M kyn− ymk,

pois T−1 ´e cont´ınua. Logo, como (yn)n´e de Cauchy existe n0 ∈ N tal que kyn− ymk < _Mε ,

se n, m > n0. Assim, se n, m > n0, temos que kxn− xmk ≤ M kyn− ymk < M_Mε = ε.

Vemos que (xn)n ´e uma sequˆencia de Cauchy em X e portanto converge para algum

x ∈ X, j´a que X ´e completo. Pela continuidade de T , yn= T (xn) → T (x), o que mostra

que (yn)n converge.

Observa¸cão 1.39. O teorema anterior nos diz que ‘ser Banach’ é preservado por isomor-fismos. Talvez seja interessante observar que em espa¸cos métrico em geral nem sempre ser completo ´_{e preservado por homeomorfismos. Por exemplo, N e {1/n : n ∈ N} são} homeo-morfos pois ambos são enumeráveis e discretos. Por´_{em, N é completo e {1/n : n ∈ N} não} (conven¸ca-se disso). O que acontece é que os isomorfismos são sempre homeomorfismos uniformes, pela proposi¸cão 1.32. Estes sempre preservam a completude.

(19)

1.7. Aplica¸c˜oes Lineares 19

Como uma aplica¸cão do teorema anterior, vamos mostrar que todo espa¸co de di-mensão finita é de Banach.

Proposi¸cão 1.40. Seja V um espa¸_{co normado sobre K de dimensão finita p. Então V é} isomorfo a Kp_{. Consequentemente, todo espa¸}_{co normado de dimens˜}_{ao finita ´}_{e de Banach.}

Demonstra¸c˜ao. Tomamos uma base {v1, v2, . . . , vp} de V . Definimos a aplica¸c˜ao T : Kp →

V pondo T (x1, . . . , xp) = x1v1+ · · · + xpvp. Pela defini¸c˜ao de base, T ´e um isomorfismo

algébrico. Pelo exemplo 1.33, T é cont´ınua. Resta mostrar que T−1 é cont´ınua. S_Kp é

um subconjunto limitado e fechado de Kp _{e portanto compacto. Ent˜}_{ao a fun¸c˜}_{ao cont´ınua}

x 7→ kT (u)k admite m´ınimo M em S_Kp. Mas como T ´e injetora, segue que T (u) 6= 0, para

todo u ∈ S_Kp e portanto kT (u)k ≥ M > 0. Assim, se x ∈ Kp\ {0}, kT ( x

kxk)k ≥ M > 0 e

portanto kT (x)k ≥ M kxk. Isso mostra que T ´e um isomorfismo, pela proposi¸c˜ao 1.36.

Que V ´e um espa¸co de Banach segue imediatamente do teorema anterior.

Corolário 1.41. Se X é um espa¸co normado, então todo subespa¸co V ⊂ X de dimensão finita é fechado.

Demonstra¸cão. Se V tem dimesão finita, V é Banach e portanto fechado pela proposi¸cão 1.17.

Corolário 1.42. Toda aplica¸cão linear definida em um espa¸co normado de dimensão finita é cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. Seja T : V → Y , V de dimens˜_{ao finita. Tomamos S : K}p _{→ V}

iso-morfismo. Ent˜ao T ◦ S ´e cont´ınua pois est´_{a definida em K}p _{(exemplo 1.33).} _Mas

T = (T ◦ S) ◦ S−1 e portanto ´e cont´ınua.

Corolário 1.43. Quaisquer duas normas definida em um espa¸co vetorial de dimensão finita são equivalentes.

Demonstra¸cão. Se V tem dimensão finita então a aplica¸cão identidade de V, k · k em V, k · k0 é sempre isomorfismo. Logo V, k · k e V, k · k0 têm a mesma topologia.

(20)

1.8 O espa¸

co L(X; Y )

Sejam X e Y espa¸cos normados. Denotaremos por L(X; Y ) o espa¸co vetorial das aplica¸cões lineares cont´ınuas (ou limitadas) de X em Y . As opera¸cões de espa¸co vetorial em L(X; Y ) são as usuais.

Em particular, se Y = K denotaremos L(X; K) por X∗. Ou seja, X∗ é o espa¸co de todos os funcionais lineares cont´ınuos definidos em X. Note que X∗ é sempre Banach, pois K é completo. Para evitar confusão, o espa¸co vetorial dos funcionais lineares em X será chamado de dual algébrico de X e o denotaremos por X#_{. Como vimos, se V tem}

dimensão finita, então todo funcional linear é cont´ınuo e portanto V∗ = V#_{. Por´}_{em, se}

X tem dimens˜ao infinita X# _{sempre possui funcionais descont´ınuos. Veja os exerc´ıcios.}

Considere a fun¸c˜ao T ∈ L(X; Y ) 7→ kT k = sup_x∈B

XkT (x)k. Pela proposi¸c˜ao 1.32

temos que sup_x∈B

XkT (x)k ´e finito e portanto kT k est´a bem definida. Se kT k = 0,

kT (x)k = 0 para todo x em BX e portanto T ´e identicamente nula em BX. Pela

lin-earidade, T é a aplica¸cão nula. De maneira indêntica ao exemplo 1.3 mostramos que kλT k = |λ|kT k e kT + Sk ≤ kT k + kSk. Vemos então que kT k = sup_x∈B

XkT (x)k ´e uma

norma em L(X; Y ).

Note que se T ∈ L(X; Y ) então é imediato pela linearidade de T e pela defini¸cão de supremo que kT (x)k ≤ kT kkxk, para todo x ∈ X. O próximo teorema é sobre a completude de L(X; Y ).

Teorema 1.44. O espa¸co normado L(X; Y ) ´e um espa¸co de Banach, se Y o for.

Demonstra¸cão. Seja (Tn)numa sequência de Cauchy em L(X; Y ). Então para todo ε > 0,

n, m > n0 ⇒ kTn− Tmk = sup x∈BX

k(Tn− Tm)(x)k < ε. (∗)

Assim, para cada x ∈ X, kTn(x) − Tm(x)k = k(Tn− Tm)(x)k ≤ kTn− Tmkkxk. Ent˜ao,

para cada x fixado temos por (∗) que a sequˆencia (Tn(x))n uma sequˆencia de Cauchy em

Y e portanto converge (pois Y ´e Banach). Defina T : X → Y pondo T (x) = lim

n→∞Tn(x).

Observe que, se x ∈ BX e n, m > n0

kTn(x) − T (x)k ≤ kTn(x) − Tm(x)k + kTm(x) − T (x)k ≤ kTn− Tmk + kTm(x) − T (x)k

(21)

1.8. O espa¸co L(X; Y ) 21

Fazendo m → ∞, obtemos que kTn(x) − T (x)k ≤ ε para qualquer x ∈ BX. Ent˜ao,

sup

x∈BX

kTn(x) − T (x)k ≤ ε, se n > n0 (∗∗)

Devemos mostrar que T ∈ L(X; Y ). T ´e claramente linear, pois

T (x + λy) = lim

n→∞Tn(x + λy) = limn→∞(Tn(x) + λTn(y)) = n→∞lim Tn(x) + λ limn→∞Tn(y)

= T (x) + λT (y),

pela continuidade das opera¸c˜oes.

Mostremos agora que T ´e cont´ınua. Fazendo ε = 1 em (∗∗), encontramos n tal que kTn(x) − T (x)k < 1 para qualquer x ∈ BX e portanto

kT (x)k ≤ kT (x) − Tn(x)| + kTn(x)k ≤ 1 + kTnk, ∀x ∈ BX.

Logo, T ´e limitada em BX.

Finalmente, ´e imediato por (∗∗) que (Tn)n converge para T .

Se Y não é Banach não há motivo de L(X; Y ) ser. Daremos exemplo nos exerc´ıcios.

O proximo resultado é sobre extensão de aplica¸cões lineares.

Teorema 1.45. Sejam X um espa¸co normado e Y um espa¸co de Banach. Se M um subespa¸co de X e T ∈ L(M ; Y ), então T admite uma única extensão cont´ınua T : M → Y . Tal extensão é também linear e kT k = kT k.

Demonstra¸cão. Seja x ∈ M . Então existe uma sequência (xn)n convergindo para x. A

sequência (xn)n, por ser convergente, é de Cauchy em M . Então T (xn)n também é de

Cauchy em Y e portanto converge, por Y ser completo. Definimos T (x) = limn→∞T (xn).

Note que se (yn)né outra sequência que converge para x, então, limn→∞T (xn)−limn→∞T (yn) =

limn→∞T (xn− yn) = T (limn→∞(xn− yn)) = 0. Logo, T est´a bem definida.

´

E fácil ver que T é linear. Se m ∈ M , então tomando a sequência constante igual a m, vemos que T (m) = limn→∞T (m) = T (m). Logo, T estende T .

Pela densidade de BM em BM e pelo modo que T foi definida, vemos que supx∈MkT (x)k =

sup_x∈MkT (x)k = kT k, o que mostra que T ´e cont´ınua e kT k = kT k.

A unicidade segue do fato de que se duas fun¸c˜oes cont´ınuas coincidem em um conjunto denso do dom´ınio, ent˜ao coincidem em todo dom´ınio.

(22)

1.9 Isometrias

Uma aplica¸cão linear T : X → Y é uma imersão isomética se kT (x)k = kxk, ∀x ∈ X. As seguintes propriedades são imediatas.

Proposi¸cão 1.46. Seja T : X → Y uma imersão isomética. Então

(a) T ´e cont´ınua;

(b) T ´e injetora;

(c) T é invers´ıvel sobre sua imagem e T−1 : Im T → X também é uma imersão isométrica e portanto é cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. (a) Basta tomar M = 1 na proposi¸c˜ao 1.32.

(b) ´E injetora pois T (x) = 0 ⇒ kT (x)k = 0 ⇒ kxk = 0 ⇒ Ker T = {0}. (c) Dado y ∈ Im T , seja x ∈ X tal que T (x) = y. Ent˜ao

kT−1(y)k = kT−1 T (x)k = kxk = kT (x)k = kyk.

Logo T−1 : Im T → X é uma imersão isométrica e portanto cont´ınua pelo item (a).

Tendo em vista a proposi¸cão anterior, para uma imersão isométrica ser um isomor-fismo basta que seja sobrejetora. Chameremos então uma imersão isométrica sobreje-tora de isomorfismo isométrico ou simplesmente isometria. Se existir um isomorfismo isométrico entre X e Y escreveremos X ≡ Y . Quando dois espa¸cos são isométricos, existe uma correspondência entre seus elementos que preserva tanto a estrutura algébrica quanto a norma. Ou seja, podem ser diferentes como conjunto, mas são idênticos como espa¸cos normados.

Veremos um exemplo importante de imers˜ao isom´etrica quando estudarmos os espa¸cos duais.

1.10 O espa¸

co Quociente

Seja X um espa¸co vetorial e M um subespa¸co de X. Lembramos que o espa¸co quociente de X por M ´e o espa¸co vetorial X/M formado pelas classes de equivalˆencias

(23)

1.10. O espa¸co Quociente 23

x + M = {x + m : m ∈ M }, munido das opera¸c˜oes (x + M ) + (y + M ) = (x + y) + M e λ(x + M ) = (λx) + M.

Note que a classe x0 + M ´e igual a classe x + M se, e somente se, x0 − x ∈ M . De fato, se x0 + M = x + M ent˜ao existem m, m0 ∈ M tais que x0 _{+ m}0 _{= x + m.}

Logo x0− x = m0 _{− m ∈ M . Reciprocamente, se x}0 _{− x ∈ M , ent˜}_{ao dado um elemento}

x + m ∈ x + M podemos escrever x + m = x + x0− x0_{+ m = x}0_{+ (x − x}0_{+ m) ∈ x}0_{+ M}

e portanto x + M ⊂ x0+ M . A outra inclusão se vê de maneira idêntica.

A partir dai é fácil ver que as opera¸cões estão bem definidas. Por exemplo,

x0+ M = x + M ⇒ x0− x ∈ M ⇒ λ(x0_{− x) ∈ M ⇒ λx}0_{− λx ∈ M ⇒ λx}0_{+ M = λx + M .}

A soma se faz de maneira an´aloga.

As propriedades de espa¸co vetorial são fáceis de serem verificadas usando as de X. Salientamos apenas que o elemento neutro de X/M é 0 + M = M .

Agora suponha que X seja normado. Estamos interessados em definir uma norma em X/M . Considere a fun¸c˜ao kx + M k = inf

m∈Mkx + mk. Como M ´e um subespa¸co, ent˜ao

inf

m∈Mkx + mk = infm∈Mkx − mk = d(x, M ) s˜ao outras formas de se calcular kx + M k. Temos

o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.47. Seja X um espa¸co normado e M um subespa¸co de X. Então a fun¸cão definida em X/M por kx+M k = inf

m∈Mkx+mk ´e uma semi-norma. Se M for um subespa¸co

fechado, ent˜ao k · k ser´a uma norma.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x + M e y + M elementos de X/M . Para quaisquer m1, m2 ∈ M

temos que

k(x + M ) + (y + M )k = k(x + y) + M k = inf

m∈Mkx + y + mk ≤ kx + y + (m1+ m2)k

≤ kx + m1k + ky + m2k.

Tomando o ´ınfimo obtemos k(x + M ) + (y + M )k ≤ kx + M k + ky + M k.

Considere agora λ ∈ K \ {0}. Ent˜ao kλ(x+M )k = kλx+M k = inf

m∈Mkλx+mk = infm∈Mkλx+λmk = |λ| infm∈Mkx+mk = |λ|kx+M k.

O caso λ = 0 é trivial (note que 0 ∈ M !). Vemos então que k · k é uma semi-norma.

Suponha agora que M seja fechado. Ent˜ao kx + M k = 0 significa que d(x, M ) = 0 e portanto x ∈ M = M . Ent˜ao x + M = M = 0.

(24)

O proposi¸cão anterior nos diz que X/M é mais interessante quando M for fechado, pois neste caso X/M é normado. Além disso, se X é completo, tal propriedade é repassada para X/M :

Teorema 1.48. Seja X um espa¸co de Banach e M um subespa¸co fechado de X. Ent˜ao X/M ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Pela proposi¸cão anterior X/M é um espa¸co normado. Temos apenas que mostrar que é completo. Usaremos a caracteriza¸cão vista em 1.20. SejaX

n∈N

xn+ M uma

série absolutamente convergente em X/M . Pela defini¸c˜_{ao de ´ınfimo, para cada n ∈ N} existe yn ∈ xn+ M com kynk < kxn+ M k + 2−n. Então a série

X

n∈N

yn ´e absolulamente

convergente no espa¸co de Banach X e portanto converge. Seja y seu limite e considere a classe y + M . Como k(y + M ) − k X n=1 (xn+ M )k ≤ ky − k X n=1 ynk k→∞ −→ 0, vemos queX n∈N

xn+M converge para y+M . Mostramos ent˜ao que toda s´erie absolutamente

convergente em X/M converge, o que equivale dizer que X/M ´e Banach.

Seja M subespa¸co fechado do normado X. A aplica¸cão quociente de X em X/M é definida por π(x) = x + M . Veremos agora algumas propriedades dessa aplica¸cão.

Teorema 1.49. Se M ´e um subespa¸co fechado de um espa¸co normado X, aplica¸c˜ao quociente π : X → X/M tem as seguinte propriedades:

(a) π ´e aplica¸c˜ao linear cont´ınua.

(b) π leva a bola unit´aria aberta de X na de X/M .

(c) π ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

(d) Ker π= M

Demonstra¸cão. (a) Pela defini¸cão das opera¸cões em X/M , π é claramente linear. Dado x ∈ X, pela defini¸cão da norma em X/M temos que kπ(x)k = kx + M k ≤ kxk, o que mostra que π é cont´ınua.

(25)

1.10. O espa¸co Quociente 25

(b) Sejam U1 e U2 as bolas unit´arias abertas de X e X/M respectivamente. Se

x ∈ U1, kπ(x)k = kx + M k ≤ kxk < 1. Logo π(x) = x + M ∈ U2. Seja agora x + M ∈ U2.

Então kx + M k < 1. Novamente pela defini¸cão de ´ınfimo, existe y ∈ x + M tal que kx + M k ≤ kyk < 1. Então y ∈ U1 e π(y) = y + M = x + M , e portanto π(U1) ⊃ U2.

(c) Considere um conjunto U 6= ∅ aberto em X. Seja x + M ∈ π(U ) arbitr´ario. Como U ´e um conjunto aberto, deve existir r > 0 tal que x + rU1 ⊆ U . Logo, pela linearidade

de π e pelo item anterior, π(y) + rπ(U1) = (x + M ) + rU2 ⊂ T (U ). Segue ent˜ao que T (U )

´e um conjunto aberto.

(d) Claro que M está contido no núcleo de π. Por outro lado, se π(x) 6= 0, então x + M 6= 0 = M e assim kx + M k = d(x, M ) 6= 0. Logo x 6∈ M .

Para definirmos uma aplica¸cão em X/M temos que tomar certo cuidado para não depender da escolha dos representantes das classes. Veja como fizemos quando definimos as opera¸cões em X/M . Neste sentido, o teorema seguinte é útil.

Teorema 1.50. Sejam X e Y espa¸cos normados e T : X → Y linear. Suponha que M seja um subespa¸co fechado de X contido no núcleo de T . Então existe uma única fun¸cão S : X/M → Y tal que T = S ◦ π. Tal fun¸cão S é linear e tem a mesma imagem de T . Se M = Ker T , S será injetora. A aplica¸cão S será cont´ınua se, e somente se, T o for. Neste caso, kSk = kT k. Analogamente, S será aberta se, e somente se, T também for aberta.

Demonstra¸cão. Defina S(x + M ) = T (x) para cada x ∈ X. Se x + M = y + M , então x − y ∈ M ⊂ Ker T e portanto T (x) = T (y). Então S está bem definida. É imediato que T = S ◦ π e portanto está provada a existência. Suponha que S0 : X/M → Y seja tal que T = S0◦ π. Então S0(x + M ) = S0(π(x)) = T (x) = S(x). Isso mostra a unicidade.

Também é imediato que S é linear e que T e S têm a mesma imagem. Suponha então que M = Ker T . Então

S(x + M ) = 0 ⇒ S(π(x)) = 0 ⇒ T (x) = 0 ⇒ x ∈ Ker T ⇒ x ∈ M ⇒ x + M = M = 0.

Logo S ´e injetora.

Se U1 e U2 denotam as bolas abertas unit´arias de X e X/M respectivamente, ent˜ao

pelo Teorema 1.49 π(U1) = U2 e portanto

sup x+M ∈U2 kS(x + M )k = sup x∈U1 kS(π(x))k = sup x∈U1 kT (x)k.

(26)

Assim, S ser´a cont´ınua se, e somente se, T for cont´ınua e em caso afirmativo, kSk = kT k.

Finalmente, se S for aberta, T também será, como composta de aplica¸cões abertas. Reciprocamente, se T é aberta, então dado um aberto U em X/M temos que

S(U ) = S π(π−1(U )) = T (π−1(U )).

Pelo Teorema 1.49, π é cont´ınua e portanto π−1(U ) é aberto em X/M . como T é aberta, segue que S(U ) é aberto em X. Logo, S também é aberta.

Nos exerc´ıcios há algumas aplica¸cões do teorema anterior. Dele também resultará o Teorema do Isomorfismo para espa¸cos de Banach, que é uma versão do conhecido teorema homônimo para grupos. Mas antes precisaremos do Teorema da Aplica¸cão Aberta, que veremos na parte seguinte.

1.11 Exerc´ıcios

Topologia dos espa¸

cos normados

1. Seja X um espa¸co normado.

(a) Mostre que toda sequência convergente em X é limitada, de Cauchy e possui um único limite.

(b) Mostre que se uma sequência (xn) ⊂ X é convergente, então qualquer

sub-sequˆencia de (xn) ⊂ X converge para o mesmo limite.

(c) Mostre que se uma sequência de Cauchy possui uma subsequência convergente, então ela é convergente.

2. Seja X um espa¸co normado.

(a) Mostre que se x0 ∈ X e λ ∈ K \ {0} então são homeomorfismos as aplica¸côes

x ∈ X 7→ x + x0 ∈ X e x ∈ X 7→ λx ∈ X.

(b) Conclua que um subconjunto A de X ´e aberto se, e somente se, x0 + A

def

= {x0 + a : a ∈ A} ´e aberto. Mostre o resultado an´alogo para

λA def_{= {λa : a ∈ A} com λ ∈ K \ {0}.}

(c) Mostre que se A é aberto e B é um conjunto qualquer, então A + B def= {a + b : a ∈ A, b ∈ B} é aberto em X. Sugestão: Escreva A + B como união de conjuntos abertos.

(27)

1.11. Exerc´ıcios 27

um contra-exemplo.

(e) Mostre que se F é fechado e K é compacto então F + K é fechado. Sugestão: Use a caracteriza¸cão de compacidade por sequência, válida para espa¸cos métricos. (f) Mostre que A + B ⊂ A + B. É válida a inclusão contrária? O item (d) pode ajudar.

3. (Conjuntos convexos) Um subconjunto C de um espa¸co vetorial é convexo se, para todo escalar λ ∈ [0, 1] e x, y ∈ C temos que λx+(1−λ)y ∈ C. Por exemplo, as bolas de um espa¸co normado são convexas (verifique). Mostre que se C é um subconjunto convexo de um espa¸co normado, então seu fecho também é convexo.

4. (Distâcia de ponto a conjunto) Se A é um subconjunto de um espa¸co normado X, definimos a distância de x ∈ X a A pondo d(x, A) = inf{kx − ak : a ∈ A}. Prove que x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0.

Espa¸

cos de Banach

5. Mostre que c o espa¸co vetorial das sequˆencias convergentes munido da norma do supremo ´e um espa¸co de Banach.

6. Mostre que `1 equipado com a norma do sup n˜ao ´e um espa¸co de Banach.

7. (Soma direta externa) Sejam (X, k · k) e (Y, k · k0) espa¸cos normados.

(a) Mostre que ||| · ||| : X × Y → R+ dada por |||(x, y)||| = max{k x k, k y k0} ´e

uma norma em X × Y .

(b) Se X e Y são espa¸cos de Banach, mostre que X × Y, ||| · ||| é um espa¸co de Banach. X × Y, ||| · ||| é chamado de soma direta externa de X e Y .

8. (a) Mostre kf k1 =

Z 1

0

|f (x)|dx ´e uma norma em C[0, 1]. (b) Verifique se C[0, 1], k · k1 ´e um espa¸co de Banach.

(c) Qual a rela¸c˜ao entre as topologias geradas por k · k1 e k · k∞?

9. Mostre que `p e Lp[0, 1] são separáveis se 1 ≤ p < ∞. Sugestão: Use o fato de que

as fun¸c˜oes cont´ınuas s˜ao densas em Lp[0, 1] (com a norma p!) se 1 ≤ p < ∞.

10. Mostre que se X é separável, qualquer subconjunto de X é separável. Consequente-mente, qualquer subespa¸co de X é separável.

(28)

Aplica¸

c˜

oes Lineares

11. (a) Mostre que se X é um espa¸co normado de dimensão infinita e Y 6= {0}, então existe uma aplica¸cão linear de X em Y descont´ınua. Sugestão: Use uma base algébrica de X e construa uma aplica¸cão linear não limitada

(b) Conclua que se X é um espa¸co normado de dimensão infinita então X∗ 6= X#_.

12. Se T ∈ L(X, Y ), é imediato da continuidade de T que kerT = T−1({0}) é fechado em X (por que?). Mostre que a rec´ıproca é falsa exibindo uma aplica¸cão linear descont´ınua de núcleo fechado. Sugestão: Pense em alguma aplica¸cão injetora de-scont´ınua.

13. Mostre que a imagem de um operador linear cont´ınuo n˜ao precisa ser fechada.

14. Sejam X e Y espa¸cos normados.

(a) Mostre se Tn → T em L(X, Y ), ent˜ao Tn(x) → T (x), ∀x ∈ X. Ou seja, a

convergˆencia em L(X, Y ) implica convergˆencia pontual.

(b) Mostre que a rec´ıproca não é verdadeira. Para isso, considere a sequência en : c0 → K definida por e∗n (xm)m = xn. Mostre que (e∗n) converge pontualmente

para o funcional nulo mas n˜ao em norma.

15. Mostre que se Y não for Banach, então L(X, Y ) pode não ser completo. Sugestão: Talvez seja fácil construir uma sequência de Cauchy em L(`∞, c00) não convergente.

Na verdade, sempre que Y não for completo L(X, Y ) também não será. Veremos isso mais adiante.

16. Sejam X, Y e Z espa¸cos normados sobre K. Sejam T ∈ L(X, Y ) e S ∈ L(Y, Z). (a) Prove que S ◦ T ∈ L(X, Z) e que k S ◦ T k ≤ k S k k T k.

(b) Dˆe um exemplo para mostrar que a desigualdade pode ser estrita.

17. Seja T : C[0, 1] → C[0, 1] dada por T (f ) = g, onde g(t) =R₀1k(t, s)f (s)ds e k é uma fun¸cão cont´ınua em [0, 1] × [0, 1]. Prove que T é um operador linear cont´ınuo.

18. Verifique que uma aplica¸cão linear entre espa¸cos normados é cont´ınua se, e somente se, é limitada em alguma bola.

19. Mostre que se D ´e um subconjunto denso em BX e T ∈ L(X, Y ), ent˜ao kT k =

sup

d∈D

kT (d)k.

20. Mostre que se T ∈ L(X, Y ), ent˜ao kT k = sup

kxk=1

kT (x)k = sup

kxk<1

(29)

1.11. Exerc´ıcios 29

21. Mostre que c é isomorfo a c0 mas não isométrico. Sugestão: Para mostrar que não

s˜ao isom´etricos mostre que dado um elemento x ∈ c0 de norma 1, existem x1 e x2

distintos em c0 tamb´em de norma 1 tais que x = 1₂(x1+ x2).

22. Mostre que `p pode ser isometricamente imerso em Lp[0, 1]. Ou seja, que `p ´e

isom´etrico a um subespa¸co de Lp[0, 1].

23. Mostre que L∞[0, 1] não é separável.

24. Mostre que `∞ é isométrico a C(βN), onde βN é a compactifica¸cão de Stone- ˘Cech

dos Naturais. A compactifica¸cão de Stone- ˘_{Cech βN dos Naturais é o único espa¸co} topológico compacto (a menos de homeomorfismo) que cont´_{em N densamente com} a propriedade de que toda fun¸c˜_{ao de N em [0, 1] se estende continuamente a βN.}

Quociente

25. Seja M = {f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0}. Mostre que M é um subespa¸co fechado de C[0, 1]. Dê uma expressão mais simples para a norma quociente de C[0, 1]/M . Este quociente é isométrico a qual espa¸co conhecido? Explicite a isometria.

26. Seja M o subespa¸co de c formado pelas sequˆencias constantes. c/M ´e isomorfo a qual espa¸co conhecido?

27. (Operadores de Posto Finito) Um operador linear tem posto finito se sua imagem (que é sempre um subespa¸co vetorial) tem dimensão finita. Mostre que um operador linear de posto finito é cont´ınuo se, e somente se, seu núcleo é fechado.

Sugestão: Um lado é direto. Para o outro, use o quociente do dom´ınio do operador por seu núcleo.

Compare com o exerc´ıcio 12. Observe que funcionais lineares tˆem posto finito.

(30)

Os Teoremas Fundamentais

2.1 Consequˆ

encias do Teorema de Baire

Lembramos que um subconjunto de um espa¸co topológico X é de primeira categoria em X se pode ser escrito como união enumerável de conjuntos cujos respectivos fechos têm interior vazio. Por exemplo, Q é de primeira categoria em R, pois Q é união enumerável de seus pontos que evidentemente têm interior vazio. Um subconjunto é de segunda categoria se não é de primeira categoria. Ou seja, se não é poss´ıvel escrevê-lo como união enumerável de conjuntos cujos fechos têm interior vazio. Destacamos a seguir o Teorema de Baire.

Teorema 2.1. (de Baire) Seja M um espa¸co m´etrico completo. Ent˜ao cada aberto de M ´

e de segunda categoria em M . Em particular, M ´e de segunda categoria em si pr´oprio.

A demonstra¸cão pode ser encontrada, por exemplo, no livro de Espa¸cos Métricos do Elon. Veremos como o Teorema de Baire é usado para demonstrar os três teoremas fundamentais para espa¸cos de Banach, o Princ´ıpio da Limita¸cão Uniforme, o Teorema do Gráfico Fechado e o Teorema da Aplica¸cão Aberta. Daremos aqui uma demonstra¸cão adaptada da obtida originalmente por P.P. Zabre˘ıko para espa¸cos vetorias topológicos metrizáveis e completos.

Defini¸c˜ao 2.2. Seja X um espa¸co normado. Uma fun¸c˜_{ao p : X → R}+ ´e dita enumerav-elmente sub-aditiva se p P∞

n=1xn ≤ P ∞

n=1p(xn) para toda s´erie covergente

P∞

n=1xn de

termos em X.

(31)

2.1. Consequˆencias do Teorema de Baire 31

Seja p uma semi-norma cont´ınua definida em um espa¸co normado X. Então p é enumeravelmente subaditiva. De fato, segue imediatamente por indu¸cão que p Pm

n=1xn ≤ P m

n=1p(xn), para qualquer m ∈ N. Usando a continuidade de p, obtemos

que p P∞ n=1xn = lim_m→∞p m X n=1 xn ≤ lim m→∞ m X n=1 p(xn) = ∞ X n=1 p(xn).

O Lema de Zabre˘ıko trata da rec´ıproca para espa¸cos de Banach. Antes de demonstr´ a-lo, vejamos um resultado sobre a continuidade de semi-normas.

Proposi¸c˜ao 2.3. Seja X espa¸_{co normado e p : X → R}+ _{uma semi-norma. Ent˜}_{ao, s˜}_ao

equivalente:

(a) p ´e cont´ınua;

(b) p ´e cont´ınua na origem;

(c) p ´e limitada em alguma bola centrada na origem.

Demonstra¸cão. A única implica¸cão que não é imediata é (c) ⇒ (a). Para demonstrá-la, suponha que p(x) ≤ M para x ∈ B[0, r]. Então, se x, y ∈ X, temos que p r_kx−ykx−y ≤ M e portanto p x − y ≤ Mr−1_{kx − yk. Ent˜}_ao

|p(x) − p(y)| ≤ |p(x − y)| ≤ M r−1kx − yk, O que mostra que p ´e cont´ınua.

Teorema 2.4. (Lema de Zabre˘ıko) Se X é um espa¸co de Banach, então toda semi-norma enumeravelmente sub-aditiva é cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. Para cada ε > 0, definimos o conjunto

∆(ε) = {x ∈ X : p(x) ≤ ε}.

Claramente X = S

n∈Nn∆(ε/2), pela propriedade N1) de semi-norma. Pelo teorema de

Baire, para algum n, n∆(ε/2) = n∆(ε/2) tem interior não vazio. Consequentemente ∆(ε/2) também tem interior não vazio (pois são homeomorfos). Então existe uma bola B(x0, rε) ⊂ ∆(ε/2). Como ∆(ε/2) é simétrico,

(32)

ou seja, ∆(ε/2) tamb´em cont´em a bola B(−x0, rε). Assim

B(0, rε) ⊂ B(x0, rε) + B(−x0, rε) ⊂ ∆(ε/2) + ∆(ε/2) ⊂ ∆(ε/2) + ∆(ε/2) ⊂ ∆(ε),

ou seja, ∆(ε) cont´em uma bola centrada na origem B(0, rε). Podemos supor que rε≤ ε.

Ent˜ao, definindo o conjunto

A(ε)def= B(0, rε) ∩ ∆(ε),

temos que A(ε) ´e um subconjunto denso em B(0, rε) (∗).

Considere ent˜ao, fazendo ε = 1, a bola B = B(0, r1). Para mostrar que p ´e cont´ınua,

pela proposi¸cão anterior basta mostrar que é limitada nesta bola. Seja então x ∈ B(0, r1).

Pela densidade, existe x1 ∈ A(1) com kx − x1k ≤ r1

2. Fazendo ε =

1

2 em (∗), encontramos

x2 ∈ A(1₂) com kx − x1− x2k < r1

22. Prosseguindo assim, para cada n ∈ N, encontraremos

xn ∈ A(₂n−11 ) com kx − x1 − x2 − · · · − xnk < r 1

2n. Vemos ent˜ao que a s´erie

P∞

n=1xn

converge para x (note que supusemos r 1 2n ≤

1

2n). Como p ´e enumeravelmente sub-aditiva

e cada xn∈ A(₂n−11 ), p(x) ≤ ∞ X n=1 p(xn) ≤ ∞ X n=1 1 2n−1 = 2.

Como x ∈ B era arbitr´ario, vemos que p(x) ≤ 2, ∀x ∈ B, sendo p cont´ınua.

Teorema 2.5. (Princ´ıpio da Limita¸cão Uniforme) Seja F uma fam´ılia não-vazia de operadores lineares cont´ınuos definidos num espa¸co de Banach X e tomando valores no espa¸co normado Y . Se, para cada x ∈ X, cx = sup{kT (x)k : T ∈ F } é finito, então

sup{kT k : T ∈ F } ´e finito. Em outras palavras, toda fam´ılia pontualmente limitada ´e limitada em norma.

Demonstra¸c˜ao. Defina a aplica¸c˜_{ao p : X → R como sendo, para cada x ∈ X,} p(x) = sup{kT (x)k : T ∈ F }.

Como a fam´ılia é pontualmente limitada, tal supremo é finito. Ainda, pela linearidade de T vemos que p é uma semi-norma. Para mostrar que p é enumeravelmente sub-aditiva, suponha que seja dada uma série convergenteP∞

n=1xnde termos em X. Para cada T ∈ F

fixado, T _X∞ n=1 xn = ∞ X n=1 T (xn) ≤ ∞ X n=1 kT (xn)k ≤ ∞ X n=1 p(xn).

(33)

Portanto, pP∞

n=1xn

≤ P∞

n=1p(xn). Assim, p ´e uma semi-norma enumeravelmente

sub-aditiva definida no espa¸co de Banach X. Ent˜ao p ´e cont´ınua, pelo Lema de Zabre˘ıko. Logo, para ε = 1, existe δ > 0 tal que kxk ≤ δ ⇒ p(x) ≤ 1. Assim, se x ∈ BX, kδxk ≤ δ

e portanto p(δx) ≤ 1, o que implica p(x) ≤ δ−1. Vemos ent˜ao que, para cada x ∈ BX

fixado, kT (x)k ≤ sup{kT (x)k : T ∈ F } ≤ δ−1, donde segue que kT k ≤ δ−1, ∀ T ∈ F . Logo, sup{kT k : T ∈ F } < ∞.

Corol´ario 2.6. Seja Tn uma sequˆencia de operadores lineares cont´ınuos definidos em um

espa¸co de Banach X e tomando valores em um espa¸co normado Y . Então se para cada x ∈ X, (Tn(x))n converge, então a aplica¸cão definida por T (x) = limn∈NTn(x) é linear e

cont´ınua.

Demonstra¸cão. Claramente T é linear. Como (Tn(x))n converge então, para cada x ∈ X

a sequência (Tn(x))n é limitada. Pelo princ´ıpio da Limita¸cão Uniforme, existe M tal que

kTnk ≤ M , ∀n ∈ N. Seja x ∈ BX. Dado ε > 0, existe N ∈ N tal que kTN(x) − T (x)k < ε,

e portanto

kT (x)k ≤ kTN(x) − T (x)k + kTN(x)k < ε + M, ∀ε > 0.

Ent˜ao, kT (x)k ≤ M , ∀x ∈ BX, o que mostra que T ´e cont´ınua com kT k ≤ M .

Outra aplica¸cão do Lema de Zabre˘ıko (e portanto do teorema de Baire) é o Teorema da Aplica¸cão Aberta. Lembramos que Uma aplica¸cão ϕ : A → B entre dois espa¸cos topológicos é dita aberta se ϕ(U ) for um conjunto aberto em B sempre que U for aberto em A.

Teorema 2.7. (da Aplica¸cão Aberta) Toda transforma¸cão linear cont´ınua e sobrejetora entre dois espa¸cos de Banach é uma aplica¸cão aberta.

Demonstra¸cão. Seja T : X → Y cont´ınua e sobrejetora. Mostraremos inicialmente que T (UX) é um conjunto aberto em Y , onde é UX é a bola aberta unitária centrada na origem

de X.

Definimos a aplica¸c˜_{ao p : Y → R}+ pondo p(y) = inf{kxk : x ∈ X, T (x) = y}. Note

que p está bem definida, pois T é sobrejetora. Se y ∈ Y e λ é um escalar não nulo,

{x ∈ X : T (x) = λy} = {x ∈ X : T1 λx

(34)

Logo, p(λy) = inf{kxk : x ∈ X, T (x) = λy} = inf{|λ|kxk : x ∈ X, T (x) = y} = |λ|p(y). Como o caso λ = 0 é trivial, segue-se que p(λy) = |λ|p(y) para qualquer vetor y ∈ Y e escalar λ ∈ K. Note que a desigualdade triangular seguirá imediatamente se mostrarmos que p é enumeravelmente sub-aditiva.

Mostremos então que p é enumeravelmente sub-aditiva. Considere uma série conver-genteP∞

n=1ynem Y . Observe que como queremos mostrar que p

P∞

n=1yn ≤ P ∞

n=1p(yn),

podemos supor, sem perda de generalidade, que P∞

n=1p(yn) ´e convergente, pois caso

contr´ario ter´ıamos P∞

n=1p(yn) = +∞ e a desigualdade seria trivial. Seja ε > 0. Pela

defini¸c˜ao de ´ınfimo, podemos tomar uma sequˆencia (xn)n∈N em X tal que, T (xn) = yn e

kxnk < p(yn) + 2−nε. Logo, P∞ n=1kxnk ≤ P∞ n=1p(yn) + ε, e portanto P∞ n=1xn´e uma s´erie

absolutamente convergente em X e, como este espa¸co é de Banach, tal série converge. Portanto, como T é um operador cont´ınuo, TP∞

n=1xn = P∞ n=1T (xn) = P∞ n=1yn. Logo, p ∞ X n=1 yn ≤ ∞ X n=1 xn ≤ ∞ X n=1 kxnk ≤ ∞ X n=1 p(yn) + ε.

Como ε > 0 era arbitr´ario, segue que pP∞

n=1yn

≤ P∞

n=1p(yn), e portanto p ´e

uma semi-norma enumeravelmente sub-aditiva. Como est´a definida no espa¸co de Banach Y p ´e cont´ınua pelo Lema de Zabre˘ıko. Assim, como T (UX) = {y ∈ Y : p(y) < 1} =

p−1(] − ∞, 1[), segue que T (UX) ´e aberto em Y .

O caso geral segue facilmente da linearidade de T : Considere um conjunto U 6= ∅ aberto em X, e tome y ∈ T (U ) arbitr´ario. Seja x ∈ U tal que T (x) = y. Como U ´e um conjunto aberto, deve existir r > 0 tal que x + rUX ⊆ U . Logo, pela linearidade de T ,

y + rT (UX) ⊂ T (U ). Pelo que mostramos anteriormente T (UX) ´e um conjunto aberto em

Y . Segue ent˜ao que T (U ) ´e um conjunto aberto.

Corolário 2.8. Toda bije¸cão linear cont´ınuas entre dois espa¸cos de Banach é um isomor-fismo.

Demonstra¸cão. Pois tal bije¸cão será aberta pelo teorema anterior, o que implica a con-tinuidade de sua inversa.

(35)

Corol´ario 2.9. Sejam k · k e k · k0 s˜ao duas normas em um espa¸co vetorial X munido

das quais X ´e completo. Ent˜ao, se existir M > 0 tal que kxk ≤ M kxk0, para todo x ∈ X,

ent˜ao as normas s˜ao equivalentes.

Demonstra¸c˜ao. De fato, as hip´oteses implicam que a identidade de X, k · k0 em X, k·k

é uma bije¸cão linear cont´ınua. Basta então usar o corolário anterior para concluir que é um isomorfismo. Logo, X, k · k0 em X, k · k têm a mesma topologia.

Como uma última aplica¸cão do Teorema da Aplica¸cão Aberta, demonstraremos o Teorema do Isomorfismo para espa¸cos de Banach:

Teorema 2.10. (do Isomorfismo para espa¸cos de Banach) Sejam X e Y espa¸cos de Banach e T ∈ L(X, Y ). Suponha que a imagem de T seja fechada em Y . Ent˜ao X/Ker T ∼= T (X)

Demonstra¸cão. Seja S : X/Ker T → T (X) a aplica¸cão obtida pelo Teorema 1.50 com M = Ker T . Então pelo referido teorema, S é uma bije¸cão linear cont´ınua. Como T (X) é Banach pois é fechado em Y , segue que S é um isomorfismo.

Vejamos agora o Teorema do do Gráfico Fechado. Lembramos que se A e B conjuntos não vazios e f : A → B uma fun¸cão, então o gráfico de f é o subconjunto Graf(f ) = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)} de A × B.

Se X e Y forem espa¸cos normados então o gráfico de uma aplica¸cão f : X → Y cont´ınua é sempre fechado, pois é a imagem inversa do vetor nulo de Y pela aplica¸cão cont´ınua (x, y) 7→ ky − f (x)k. Na verdade, é um exerc´ıcio simples de topologia que o gráfico de uma aplica¸cão cont´ınua entre dois espa¸cos topológicos Hausdorff é sempre fechado. O teorema do Gráfico Fechado é a rec´ıproca deste fato, porém para espa¸cos de Banach.

Teorema 2.11. (do Gráfico Fechado) Seja T uma transforma¸cão linear definida num espa¸co de Banach X tomando valores num espa¸co de Banach Y . Se o gráfico de T é um subconjunto fechado de X × Y , então T é cont´ınua.

Demonstra¸cão. Seja p(u) = kT (x)k, x ∈ X. É imediato que p é uma semi-norma em X. Provemos p que é enumeravelmente sub-aditiva. De fato, dada uma série conver-gente P∞