1. Complete, com um dos símbolos
ou
, de modo a obter afirmações verdadeiras.
1.1.
¥
1
23
2
...
4
20
5
1.2.
¢
4 1
: ...
5 5
1.3.
22 ...
2¡
3
1.4.
¤
2 21
:
1
5...
7
14
2. Considere os conjuntos A, B, C e D.
2 , 3 , 5 , 8 ,11
A
B
1, 3 , 7 ,10
3 , 5 , 9 ,10
C
D
1, 3 , 7 , 8
Defina os conjuntos:
2.1.
A
B
2.2.
A
B
2.3.
B
C
2.4.
B
D
2.5.
A B
C
2.6.
A
B C
3. Resolva, em ¡ , cada uma das equações do 1.º grau.
3.1.
1
2
5
3
x
3.2.
1
2 1 2
0
5
x
3.3.
5
1
2
3
3 2
x
x
3.4.
2 4
1
3
3
2
x
x
3.5.
x
3 2
x
4 1
x
3.6.
2
1
3
3
5 2
x
4. Classifique em
¥
, ¢ ,
¤
e ¡ cada uma das equações. Justifique as respostas.
4.1.
1
26
5
6
2
5
x
4.2.
2
1
4
2
3
3
x
x
3
4.3.
x
3
x
4.4.
7
3
2
2
x
x
Justifique as respostas.
5.1.
4
x
1
5.2.
6 12
x
0
5.3.
2
x
0
5.4.
2
x
0
5.5.
2
x
0
5.6.
x
2
0
6. Resolva, em ¡ , cada uma das inequações.
6.1.
1
1
0
5
2
x
x
6.2.
3
1
1
2
x
x
6.3.
4
1
3
6
x
6.4.
1
2
0 1
3
2
x
x
7. Resolva, em ¡ , cada uma das equações do 2.º grau.
7.1.
3x
x
27.2.
2
x
2
16
7.3.
3
x
2
2
x
1
7.4.
24
1
2
2
3
x
x
7.5.
3
x
2
2
x
1
7.6.
2
2
0
3
3
x
x
7.7.
22
x
3
3
x
3
7.8.
3
x
1 3
x
1
17
1. Considere as expressões.
(A) : Portugal é um país europeu.
(B) : 4 + 2 = 3
(C) : π + 2
(D) : O Sul de Portugal é mais bonito que o Norte de Portugal.
(E) : Azul
Indique as que são proposições.
2. Indique o valor lógico de cada uma das proposições.
a : O número 27 é par.
b : O número 1 é primo.
c : O menor quadrado perfeito maior que 100 é 121.
d : 17 está compreendida entre 4 e 5.
e : O Sol é uma estrela.
f : A cidade de Guimarães fica situada no Norte de Portugal.
g : Portugal foi fundado no século XII.
h : O oceano Pacífico é o maior de todos os oceanos.
i : Luís Vaz de Camões escreveu Os Maias.
3. Considere as proposições.
p : Um triângulo equilátero tem os três ângulos internos obtusos.
q : Um polígono com nove lados chama-se eneágono.
r : O cubo é um poliedro convexo regular.
3.1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições.
3.2. Utilizando duas das proposições dadas e o símbolo
, escreva uma proposição:
3.2.1. verdadeira;
Item de seleção
1.
Considere a proposição.
O quadrado de qualquer número real é um número real positivo.
Qual das seguintes proposições é equivalente à proposição dada?
(A)
3 é um número irracional.
(B)
A soma dos três menores números primos é 10.
(C)
9
4
13
(D)
3
1
6
3
Item de construção
2.
Considere as proposições.
p : Uma pirâmide pentagonal tem 5 faces.
q : Um prisma hexagonal tem 12 arestas.
r : Uma pirâmide triangular tem 4 vértices.
s : A esfera é um poliedro.
2.1.
Indique o valor lógico de cada uma das proposições dadas.
2.2.
Utilizando duas das proposições dadas e o símbolo
, escreva uma proposição:
2.2.1.
verdadeira (indique todos os casos possíveis);
1. Indique o valor lógico da negação de cada uma das proposições.
1.1. A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.
1.2.
1
1
6
5
1.3.
2 2 2a b
a
b
1.4.
2 22
2
x
x
1.5. O comprimento da diagonal de um quadrado tem o dobro do comprimento do seu lado.
2. Considere as proposições:
p : 17 é um número primo
q : –3 é um número natural
2.1. Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições.
2.1.1. 17 é um número primo e –3 é um número natural.
2.1.2. Se –3 é um número natural, então 17 não é um número primo.
2.1.3. –3 é um número natural se e somente se 17 é um número primo.
2.1.4. 17 não é um número primo ou –3 não é um número natural.
2.2. Indique o valor lógico das proposições p e q, assim como das indicadas em 2.1..
3. Considere as proposições p e q tais que p é verdadeira e
p q
é falsa.
Indique o valor lógico de cada uma das proposições:
3.1.
~ q
3.2.
~ p q
3.3.
p
~
q
3.4.
~ p
q
1.
Das seguintes proposições, apenas uma é verdadeira. Identifique-a.
(A)
Se zero é um número real não positivo, então 2 não é um número
primo.
(B)
21
2
e 3
9
3
5
(C)
1
1 ou 4 2 5
5
(D)
2
não é um número irracional se e somente se
2 22
2
.
Item de construção
2.
Considere as proposições.
a : 7 é um número racional.
b :
7 7
c :
2
3
2.1.
Indique o valor lógico de cada uma das proposições dadas.
2.2.
Escreva em linguagem natural cada uma das proposições e indique o respetivo valor
lógico.
2.2.1.
~ a b
2.2.2.
a
~
b
2.2.3.
~ a
c
2.2.4.
~ c
b
1. Considere as proposições.
a : Paris é uma cidade francesa.
b : Rio de Janeiro é a capital do Brasil.
c : Roma é a capital da Áustria.
d : Barcelona fica situada no nordeste de Espanha.
1.1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições.
1.2. Determine o valor lógico das proposições.
1.2.1.
a
~
b
1.2.2.
~
a
~
b
1.2.3.
~ ~ a b
1.2.4.
c
~
d
1.2.5.
~
d
~
c
2. Considere as proposições p e q tais que
p
~
q
é uma proposição falsa.
Indique o valor lógico de cada uma das proposições.
2.1.
~
p
~
q
2.2.
~
p
~
q
q
3. Identifique as operações lógicas e as proposições elementares envolvidas na proposição
seguinte e escreva-a em linguagem simbólica, como no exemplo apresentado.
Se nem 100 é um número racional nem π é um número irracional,
então 100π é um número real.
Exemplo: A proposição “3 < 4 se e somente se
3
2
4
2ou
2 2
1
1
3
4
” pode traduzir-se, simbolicamente, por
a
b c
, sendo as proposições elementares
2 2 2 21
1
: 3 4 , : 3
4 e
:
3
4
a
b
c
.
Item de seleção
p : O menor número inteiro pertencente a
3 ,
é o 3.
q : O maior número inteiro pertencente a
5 , 2
é o 6.
(A)
~ ~
p
~
q
(B)
~ p q
(C)
~
p
~
q
(D)
~
p
~
q
Item de construção
2.
Considere as proposições.
a : 3 é divisor de 12.
b : 8 é múltiplo de 4.
c : 4 não é divisor de 18.
2.1.
Aplique as leis de De Morgan e escreva cada uma das proposições obtidas em linguagem
natural.
2.1.1.
~ a b
2.1.2.
~
b
~
c
2.2.
Escreva a proposição em linguagem simbólica.
3 não é divisor de 12 quando 8 é múltiplo de 4,
a menos que 4 seja divisor de 18.
1. Considere as proposições p e q.
Verifique, utilizando tabelas de verdade, que:
1.1.
p
q
~
q
~
p
1.2.
q
p
~
p
~
q
2. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique cada uma das proposições:
2.1.
b
a
~
b
2.2.
~ ~ a b
b
2.3.
~
a b
~
a b
2.4.
a
~
b
a
3. Dadas as proposições p e q, a disjunção
p q designa-se por disjunção exclusiva e é
&
verdadeira quando e apenas quando p e q têm valores lógicos distintos.
Prove, utilizando tabelas de verdade, que
p
~
q
~
p q
p q
&
.
Item de seleção
1.
Considere a proposição
a
b
.
Admita que
a
p
~
q
e b p q
.
Qual das seguintes opções é a contrarrecíproca da proposição
a
b
?
(A)
p
(B)
p q
p
~
q
(C)
q
(D)
:
p
:
q
:
p q
Item de construção
2.
Considere a proposição
a
~
a b
~
a
.
Prove que a proposição é falsa independentemente do valor lógico de a e de b.
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno Turma N.º Data
Professor / /20
1. Considere o conjunto
1
7
5 ,
, 2 , ,
2
3
A
.
1.1. Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições.
1.1.1. Todo o elemento de A é um número racional.
1.1.2. Há pelo menos um elemento de A que é um número não racional.
1.1.3. Qualquer elemento de A é um número real.
1.2. Traduza para linguagem natural cada uma das proposições e indique o seu valor lógico.
1.2.1.
x A
:
x
2
5 0
1.2.2.
x A
,
x
0
2. Considere as condições:
2:
1
a
x
b
:
x
2
1
c
:
x
2
1
d
:
x
2
1
2.1. Para cada uma das condições dadas, indique se é universal, possível ou impossível em ¡ .
2.2. Classifique as seguintes condições, definidas em ¡ , em universais, possíveis ou
impossíveis.
2.2.1.
x
2
1
x
2
1
2.2.2.
x
2
1
x
2
1
2.2.3.
x
2
1
x
2
1
2.2.4.
x
2
1
x
2
1
3. Classifique cada uma das condições.
3.1.
x
1
x
¥
3.2.
x
1
x
¢
3.3.
x
1
x
¥
3.4.
x
0
x
¡
3.5.
x
x
¡
Item de seleção
1.
Qual das proposições é verdadeira?
(A)
x
¢ : 2
x
1 0
(B)
x
¡ ,
x
1
(C)
x
¡ : 1000
x
x
(D)
x
¡ ,
x
0
Item de construção
2.
Seja D o conjunto de todos os divisores de 72.
Escreva em linguagem natural cada uma das proposições e indique o seu valor lógico.
2.1.
x D x
:
é primo
2.2.
x D x
,
é múltiplo de 3
2.3.
x D x
:
é múltiplo de 5
2.4.
x D x
,
1
1. Escreva uma afirmação equivalente à negação de cada uma das proposições, utilizando as
segundas leis De Morgan.
1.1. Não é verdade que o Rui estude ou vá ao cinema.
1.2. Não é verdade que o Rui jogue futebol e seja bom aluno.
1.3. Existe um aluno na minha escola que não estuda.
1.4. Todos os alunos da minha escola estão a estudar.
2. Considere a proposição
x
¡ , 2
x
0
x
2
.
2.1. Indique o valor lógico da proposição dada.
2.2. Escreva a negação da proposição dada sem utilizar o símbolo ~.
3. Utilize um contraexemplo para mostrar que é falsa a proposição:
Todos os quadriláteros convexos com os lados geometricamente iguais
têm as diagonais com o mesmo comprimento.
Item de seleção
1.
Considere a proposição: “Se um aluno estuda, então é aprovado no exame.”
Qual das proposições é a negação da proposição dada?
(A)
O aluno estuda e é aprovado no exame.
(B)
O aluno estuda ou não é aprovado no exame.
(C)
O aluno estuda e não é aprovado no exame.
(D)
O aluno estuda ou é aprovado no exame.
Item de construção
2.
Determine, para cada caso, a negação das proposições, sem utilizar o símbolo ~.
2.1.
x
¥
,
x
2
1
2.2.
x
¡ :
x
1
2.3.
x A x
:
é par
x
2
2.4.
x B x
,
1
x
3
1. Considere os conjuntos.
¥ :
2
10
A
x
x
B
x
¡
: 6
x
x
2
C
x
¡
:
2
x
2
4
Defina, sob a forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos, os subconjuntos de ¡ .
1.1.
A
C
1.2.
B C
\
A
1.3.
A B C
\
1.4.
\
A B
Questão-aula 6
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno Turma N.º Data
2. Indique se, para qualquer concretização de variáveis no conjunto U, se obtém, das seguintes
condições, implicações verdadeiras e escreva as respetivas contrarrecíprocas.
2.1. x é múltiplo de 8
x
é par
U
¥
2.2.
x
3
x
8
U
¡
2.3. Se um triângulo tem um ângulo interno obtuso, então não é equilátero (U é o conjunto dos
triângulos de um dado plano).
2.4. Se um losango tem as diagonais perpendiculares, então é um quadrado (U é o conjunto
dos losangos de um dado plano).
3. Considere os conjuntos
¡
1
:
é um número real
A
x
x
e
B
x
¡ :
x
0
.
Mostre que A = B.
Item de seleção
1.
Considere a proposição: “Trabalhar é condição necessária para ter dinheiro.”
Qual das proposições corresponde à negação da proposição p?
(A)
Se tem dinheiro, então trabalha.
(B)
Tem dinheiro e não trabalha.
(C)
Se não trabalha, então tem dinheiro.
(D)
Não tem dinheiro ou não trabalha.
Item de construção
2.
Considere os conjuntos de números reais.
¡
1
2
:
1 5
3
3
x
A
x
,
B
x
¡ : 4
4
x
e
C
x
¡
:
:
x
3
x
6
Defina, sob a forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos, cada um dos conjuntos
dados e, em seguida, estabeleça uma relação de inclusão entre eles.
Questão-aula 7
Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno Turma N.º Data
