IF UFRJ. Minicurso apresentado na VII Semana da Física UESC Ilhéus, BA 3 a 5 de outubro de Teoria de Cordas e Aplicações. Henrique Boschi Filho

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Teoria de Cordas e Aplica¸c˜oes Henrique Boschi Filho IF – UFRJ Introdu¸c˜ao Cordas Supercordas Teoria M e Dualidades Teorias de Calibre Buracos Negros Branas Cordas ×

Teoria de Cordas e Aplica¸c˜oes

Henrique Boschi Filho IF – UFRJ

Minicurso apresentado na VII Semana da F´ısica UESC Ilh´eus, BA

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Teoria de Cordas e Aplica¸cões Henrique Boschi Filho IF – UFRJ Introdu¸cão Cordas Supercordas Teoria M e Dualidades Teorias de Calibre Buracos Negros Branas Cordas× Experiência 1 Introdu¸cão 2 Cordas 3 Supercordas 4 Teoria M e Dualidades 5 Teorias de Calibre 6 Buracos Negros 7 Branas 8 Cordas_{× Experiência} 9 AdS/CFT

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Teoria de Cordas e Aplica¸c˜oes Henrique Boschi Filho IF – UFRJ Introdu¸c˜ao Cordas Supercordas Teoria M e Dualidades Teorias de Calibre Buracos Negros Branas Cordas×

Plano do curso

1a. aula: Motiva¸cão e introdu¸cão à Teoria de Cordas. Supercordas e Teoria M. Supergravidade. Teorias de Calibre.

2a. aula: Buracos Negros. Branas. Espa¸cos de de Sitter e anti-de Sitter. D3-branas e AdS. Uma revolu¸c˜ao na Teoria

de Cordas, a correspondˆencia AdS/CFT. Aplica¸c˜oes na

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Teoria de Cordas e Aplica¸cões Henrique Boschi Filho IF – UFRJ Introdu¸cão Cordas Supercordas Teoria M e Dualidades Teorias de Calibre Buracos Negros Branas Cordas× Experiência

Motiva¸c˜ao: Por que estudar Teoria de Cordas?

•A Natureza ´e quˆantica e relativ´ıstica.

•A teoria que combina a mecˆanica quˆantica e a relatividade

especial ´e a Teoria Quˆantica dos Campos (TQC).

• Das 4 intera¸cões fundamentais da Natureza, a TQC descreve corretamente 3 delas: as intera¸cões eletromagnéticas e as intera¸cões nucleares forte e fraca.

•De fato, a descri¸c˜ao atual pela TQC das intera¸c˜oes

eletromagn´eticas e nuclear fraca ´e unificada na chamada teoria eletrofraca.

•As intera¸c˜oes fortes tamb´em podem ser unificadas com as

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Motiva¸c˜ao: Por que estudar Teoria de Cordas?

•A TQC não é compat´ıvel com a Teoria da Relatividade Geral, que descreve bem a gravita¸cão.

•A TQC toma como hip´otese que existem na Natureza

part´ıculas elementarespuntiformes.

A Teoria de Cordas é uma extensão da TQC e toma como hipótese a existência de objetos unidimensionais, cujas excita¸cões seriam as part´ıculas que observamos.

•A Teoria de Cordas contém naturalmente a gravita¸cão (o gráviton), além de poder descrever as outras 3 intera¸cões fundamentais.

•A Teoria de Cordas ´e, portanto, a candidata natural `a Teoria

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Defini¸c˜ao de Cordas

As cordas s˜ao objetos relativ´ısticos unidimensionais que se deslocam no espa¸co-tempo.

A superf´ıcie espa¸co-temporal descrita por uma corda ao se deslocar ´e chamada defolha de mundo (worldsheet):

6

-Folha de mundo

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Defini¸c˜ao de Cordas (2)

Originalmente pensou-se que as cordas existiriam num espa¸co-tempo (relativ´ıstico) de 4 dimens˜oes (3 espaciais e 1 temporal).

Porém, aoquantizar a corda percebe-se não seria poss´ıvel presevar arelatividade a menos que oespa¸co-tempo tenha uma certadimensão cr´ıtica D.

• Para uma corda que só descreve part´ıculasbosônicas (isto é, com spin inteiro, s = 0, 1, 2),D = 26.

• Para uma corda que descreve tanto b´osons quanto f´ermions

(spin semi-inteiro, s = 1/2, 3/2),D = 10. Essa ´e a chamada

supercorda, devido à simetria que é imposta entre férmions e bósons (supersimetria).

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Por que quantizar a corda?

Em geral, as teorias quânticas são obtidas a partir de teorias clássicas devidamente quantizadas.

O que significa quantizar?

Por exemplo, na quantiza¸c˜ao canˆonica, significa que devemos

impor a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao [x, px] = i~, entre os

observ´aveis x e px.

OBS.: O comutador entre duas quantidades A e B ´e definido

como [A, B] = AB_{− BA. Portanto, para duas grandezas}

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Cordas Abertas e Fechadas

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Quantiza¸c˜ao das cordas

A quantiza¸c˜ao dessas cordas leva aos seguintes resultados:

Propriedades Corda aberta Corda fechada

Spin 0 t´aquion t´aquion d´ılaton

M2 ₋_√1 2πα0 − 1 √ 4πα0 0 Spin 1 f´oton – M2 0 – Spin 2 – gr´aviton M2 _– ₀

Spin=0,1,2,... v´arios v´arios

M2 _∝ _√1

2πα0 ∝

1 √

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Quantiza¸c˜ao das cordas

A quantiza¸cão dessas cordas também implica na determina¸cão da dimensão cr´ıtrica, neste caso D = 26, para não violar a simetria de Lorentz (relatividade especial).

Como todas as excita¸c˜oes desta corda tem spin inteiro, conclu´ımos que se trata da corda Bosˆonica.

Do ponto de vista fenomenol´ogico, os modos correspondentes

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Quantiza¸c˜ao das cordas

O modo do t´aquion (M2 =_−1/√2πα0_{) ´e interpretado como}

um estado instável da corda bosônica. Porém, alguns autores argumentam que ele poderia ser útil na descri¸cão de tal situa¸cão em sistemas f´ısicos reais.

A instabilidade do modo taquiˆonico pode ser entendida por

uma analogia mecˆanica: uma part´ıcula sujeita a uma for¸ca que varia linearmente com sua posi¸c˜ao. O potencial pode ser atrativo (M2 > 0) ou repulsivo (M2 < 0).

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Modos massivos

_{× T´aquions}

6 -Modos massivos M2>0 - 6 -T´aquions M2<0 -

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Supercorda

A partir dos resultados acima ficou claro que essa corda nao poderia descrever f´ermions, que existem na Natureza.

Para permitir que as cordas tivessem modos fermiˆonicos a a¸c˜ao

foi modificada introduzindo coordenadas que anticomutam

entre si, an´alogas ao campo de Dirac.

OBS.: O anticomutador ´e definido como_{{A, B} = AB + BA.}

Além disso, por consistência é necessário impor uma simetria

que transfoma b´osons em f´ermions e vice-versa, chamada

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Supercordas

A corda com essas caracter´ısticas ´e chamada de Supercorda. Na verdade, existem 5 tipos diferentes de supercordas,

dependendo das condi¸c˜oes de contorno que satisfazem e das

suas simetrias:

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Os tipos de Supercordas

• Tipo I: A corda ´e supersim´etrica (usual, N = 1);

• Tipo II: A corda tem supersimetria extendida (N = 2, dois f´ermions p/ cada b´oson);

IIA: espinores com quiralidade oposta, teoria n˜ao-quiral

IIB: espinores com mesma quiralidade, teoria quiral

• Heteróticas: são compostas de dois setores, um supermétrico D = 10 e outro não com D = 26. A teoria resultante vive em D = 10.

As denomina¸c˜oes SO(32) e E(8)×E(8) correspondem aos grupos de simetria dessas cordas.

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Quiralidade

Um sistema quiral difere de sua imagem num espelho. A quiralidade de uma part´ıcula é definida pela sua helicidade que é a proje¸cão de seu spin em rela¸cão ao seu momentum. Part´ıculas massivas viajam em velocidades inferiores a da luz e tem qualquer quiralidade.

Neutrinos tem massa muito pequena (ainda n˜ao medida) e portanto se movem praticamente na velocidade da luz. Logo tem quiralidade definida.

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Teoria M

Existe uma Teoria M (Mist´erio, M˜ae, ou Matriz) em D = 11 de onde viriam todas as supercordas.

A Teoria M, n˜ao ´e conhecida por completo, apenas algumas de suas propriedades.

Por exemplo, n˜ao se conhece a Lagrangeana ou Hamiltoniana (completas) para essa Teoria.

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Dualidades

Dualidades s˜ao transforma¸c˜oes que levam uma teoria em outra,

ou relacionam partes diferentes de uma mesma teoria. • O exemplo clássico é do campo eletromagnético:

As equa¸c˜oes de Maxwell, no v´acuo (em unidades apropriadas)

~ ∇ · ~E = 0 ∇ · ~B = 0~ ~ ∇ × ~E = −∂~B ∂t ∇ × ~B =~ ∂~E ∂t s˜ao invariantes pelas substitui¸c˜oes ~E_{→ ~B e ~B → −~E.}

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Dualidades em cordas

As 5 teorias de supercordas e a Teoria M est˜ao relacionadas por dualidades.

S˜ao as dualidades S e T.

A dualidade S leva uma corda com acoplamento g1 numa

outra com g2= 1/g1, onde g1 e g2 s˜ao adimensionais. OBS.: (gcorda)2 ∼ GNewton_α0 .

A dualidade T leva uma corda enrolada sobre um cilindro de raio R1 numa outra com raio R2 = `2/R1, onde ` ´e um mesmo comprimento fixo para as duas cordas.

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Teorias de Supergravidade

São teorias de campo para a gravita¸cão que são também supersimétricas.

São generaliza¸cões da Relatividade Geral, de Einstein. Existem em várias dimensões: 11, 10, 9, 8, ...

A Teoria M ´e descrita, em baixas energias, pela supergravidade em D = 11.

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Mais Supergravidade

As Supercordas são também aproximadas, em baixas energias (i. e., modos não-massivos), por teorias de supergravidade em D = 10.

Em particular, as supercordas do tipo IIA s˜ao aproximadas pela supergravidade IIA.

Analogamente, a supercorda IIB ´e aproximada em baixas energias pela supergravidade IIB.

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Simetrias de Calibre

O eletromagnetismo ´e uma teoria invariante de calibre.

Para ver isto, vamos lembrar que os campos el´etrico ~E e

magn´etico ~B podem ser univocamentedeterminados pelos

potenciais escalar V e vetorial ~A: ~

B = ~∇ × ~A ~_{E =}₋∂

∂t~A− ~∇V

Note, por´em, que podemos modificar os potenciais escalar V e vetorial ~A

~

A0= ~A + ~_∇λ V0= V₋ ∂

∂tλ

onde λ = λ(x, y, z, t) ´e uma fun¸c˜ao escalar, sem alterar os campos ~E e ~B.

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Simetrias de calibre (2)

Em nota¸c˜ao relativ´ıstica, ~A e V s˜ao as componentes espacial e

temporal do quadrivetor Aµ

Aµ= (V, ~A) e a invariˆancia de calibre ´e expressa como

Aµ0= Aµ+ ∂

∂xµ λ ou em nota¸c˜ao compacta

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Teorias de calibre

Em 1954, C.N. Yang e R. Mills propuseram uma generaliza¸c˜ao do campo eletromagn´etico para um campo com simetria de calibre estendida

Aaµ0= Aaµ+ abcλbAcµ+ ∂µλa

onde a, b, c = 1, 2, 3 e portanto temos um conjunto com 3

campos Aµ

a.

Note que o termo abcλbAcµé análogo a uma rota¸cão em três

dimens˜oes, e portanto com simetria SO(3).

Usando nota¸cão complexa, essa simetria é equivalente a SU(2), análoga à de momentum angular na mecânica quântica.

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Mais Teorias de calibre

Esses campos são relevantes na descri¸cão das intera¸cões fracas, associados às part´ıculas W+, W−, e Z0, descobertas no CERN em 1983.

Essa simetria de calibre pode ser estendida para rota¸c˜oes em espa¸cos complexos de N dimens˜oes, ou seja, para o grupo SU(N).

As intera¸cões fortes são entendidas hoje como as intera¸cões entre quarks e glúons, com simetria de calibre SU(3).

Teorias de grande unifica¸cão usam grupos como o SU(5), ou maiores, porém, sem confirma¸cão experimental.

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impor-Teoria de Cordas e Aplica¸cões Henrique Boschi Filho IF – UFRJ Introdu¸cão Cordas Supercordas Teoria M e Dualidades Teorias de Calibre Buracos Negros Branas Cordas× Experiência

Como surgem as Teorias de Calibre SU(N) na

Teoria de Cordas?

Já vimos que a quantiza¸cão das cordas abertas implica na existência de modos não massivos, entre eles, o fóton, que é descrito pela Eletrodinâmica Quântica (Teoria Quântica para o eletromagnetismo).

Como surgem os campos de Yang-Mills na Teoria de Cordas?

Esse problema foi resolvido logo no in´ıcio da Teoria de cordas,

supondo que aspontas das cordascarregam certos fatores,

chamados de Chan-Paton, associados ao grupo SU(N). Dessa forma, temos v´arias cordas correspondentes aos v´arios campos do grupo SU(N).

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Cordas e Teorias de Calibre

Al´em do fato de cordas gerarem campos de calibre SU(N), existe uma rela¸c˜ao mais profunda entre essas duas teorias.

Em 1974, Gerardus ’t Hooft (∗) descobriu que amplitudes de

espalhamento de cordas s˜ao equivalentes a amplitudes de espalhamento de teorias de Yang-Mills SU(N) no limite N_{→ ∞.}

Como veremos adiante, este resultado ter´a consequˆencias muito importantes para ambas as teorias.

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Buracos Negros

São solu¸cões das equa¸cões de Einstein, da Relatividade Geral, que contém singularidades essenciais (centro do BN) e remov´ıveis (Horizonte de eventos).

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Mais Buracos Negros

Os Buracos Negros usuais s˜ao definidos em 3+1 dimens˜oes .

A solu¸c˜ao de Schwarzschild pode ser escrita como ds2 = 1₋ 2MG r dt2₋ 1₋ 2MG r −1 dr2_{− r}2dΩ2

onde M ´e sua massa, G = GNewton e dΩ2= dθ2+ senθ2dφ2.

Essa solu¸cão é estática e esfericamente simétrica.

• r → 0 é uma singularidade essencial, enquanto r = 2MG é uma singularidade de coordenadas (remov´ıvel) e representa o horizonte de eventos, além do qual nenhuma informa¸cão pode

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Buracos Negros Carregados

Existem, tamb´em, solu¸c˜oes com carga e/ou momentum

angular.

Por exemplo, a solu¸c˜ao de Reissner-Nordstrom ´e ds2= f(r)dt2− [f(r)]−1dr2− r2_dΩ2 onde f(r) = 1₋ 2MG r + Q2G r2

e Q é a carga elétrica. Essa solu¸cão tem dois horizontes

r_± = MG 1_± q 1₋ Q2 M2_G

A solu¸c˜aoextrema ocorre para M2₌ Q2

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Buracos Negros na Supergravidade

As teorias de supergravidade tamb´em admitem solu¸c˜oes tipo

Buracos Negros.

Por exemplo, nas Teorias de Supergravidade IIA e IIB, surgem diversas solu¸cões deste tipo, isto é, com singularidades e horizontes, em várias dimensões.

Alguns com simetria planar, que s˜ao as chamadas Branas Negras.

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Membranas e objetos com mais dimens˜oes

Na Teoria de Cordas, surgem naturalmente objetos

bidimensionais como uma Membrana, ou comp dimens˜oes

espaciais, que chamamos de p-branas.

Esses objetos tem um papel fundamental na moderna teoria de cordas.

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p-Branas

As extremidades de uma supercorda, que se desloca em D = 10, descrevem hipersuperf´ıcies em p=9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, ou ainda p= 2, 1 e 0 dimens˜oes.

Essas hipersuperf´ıcies (ou hipervolumes) s˜ao as p-branas. Para p = 0, 0-brana = ponto

Para p = 1, 1-brana = linha ou corda

Para p = 2, 2-brana = superf´ıcie ou membrana

Para p = 3, 3-brana = volume (mundo onde vivemos!) Para p > 3, p-brana = hipervolume

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O que acontece com as extremidades de uma corda

aberta?

No caso n˜ao-relativ´ıstico unidimensional temos duas situa¸c˜oes t´ıpicas importantes:

• extremidade fixa (condi¸c˜ao de Dirichlet)

• extremidade “livre” (condi¸c˜ao de Neumann)

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O que acontece com as extremidades de uma corda

aberta? (2)

Para as cordas relativ´ısticas, a situa¸cão é análoga, porém pode-se ter as condi¸cões de Neumann e Dirichlet simultanea-mente.

Como a supercorda vive em 9+1 dimens˜oes, ela pode satisfazer

as condi¸c˜oes de Neumann para algumas coordenadas e de

Dirichlet para outras.

Uma Dp-brana é uma p-brana que impõe à corda condi¸cões de Neumann para as coordenadas dentro da brana, ou seja, µ = 0, 1, 2, ..., p, enquanto as demais coordenadas µ = p + 1, p + 2, ..., 9, obedecem condi¸cões de Dirichlet.

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Dp-Branas e cordas abertas

Cordas abertas podem ter extremidades livres ou presas `a D-branas

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Mais Dp-branas e cordas abertas

´

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Branas e Teorias de Calibre SU(N)

Já vimos que as cordas abertas tem como uma de suas excita¸cões o fóton, e que para obter campos de calibre com simetria SU(N) devemos impor que as pontas das cordas carregem os fatores de Chan-Paton.

Por outro lado, as pontas das cordas andam sobre p-branas.

Assim podemos associar os ´ındices de Chan-Paton do grupo SU(N) com p-branas.

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Mais Branas e Teorias de Calibre SU(N)

Uma corda aberta que come¸ca e termina na mesma brana carrega o grupo U(1) (eletromegnetismo).

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Ainda sobre Branas e Teorias de Calibre SU(N)

Se uma corda aberta conecta duas branas com diferentes ´ındices de Chan-Paton, ent˜ao ela carrega o grupo SU(2).

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Branas e SU(N)

Cordas abertas come¸cando e terminando em N branas

Excita¸c˜oes das cordas _{⇒ Campos de calibre com simetria}

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Dp-branas e cordas fechadas

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Como surgem as D-branas?

Poder´ıamos simplesmente postular sua existˆencia.

Porém, o mais interessante é que as D-branas surgem como solu¸cões clássicas das a¸cões das cordas.

De fato as a¸c˜oes das cordas s˜ao aproximadas em baixas

energias por a¸cões de supergravidade, e essas a¸cões têm as

D-branas como solu¸c˜oes.

Essas D-branas guardam certas rela¸cões com as teorias de cordas (supergravidade) das quais são solu¸cões.

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D-branas e cordas

As solu¸c˜oes encontradas s˜ao:

Supercordas Dp-branas

I p = 1, 5, e 9

IIA p = 0, 2, 4, 6, e 8

IIB p = 1, 3, 5, e 7

Heter´oticas v´arias

Para as cordas bosˆonicas (em 26 dim.) existem Dp-branas para

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Como usar a Teoria de Cordas para descrever a

F´ısica que observamos?

A corda bosônica vive em D=26 e contém táquions.

As supercordas contém excita¸cões bosônicas e fermiônicas e vivem em D=10.

Para conectar as cordas com o mundo que observamos com D=3+1, em geral propõe-se que as dimensões extras, além das 4 usuais, sejam curvas ou enroladas, com tamanhos muito pequenos.

Esse procedimento ´e chamado de compactifica¸c˜ao das

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Compactifica¸c˜ao

A compactifica¸cão mais simples para uma supercorda é aquela que supõe que as 10 dimensões do espa¸co-tempo são

decom-postas em um espa¸co de Minkowski com 4 dim. _{× hiperesfera}

com 6 dimens˜oes.

Nessa compactifica¸cão, o raio da hiperesfera seria muito menor que um próton ou nêutron e por isso não teria sido ainda observada em experimentos.

Essa compactifica¸cão, assim como outras, prevê ainda a existência de uma torre infinita de part´ıculas, numa situa¸cão análoga a um po¸co quântico infinito.

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Po¸co quˆantico infinito

Uma part´ıcula presa num po¸co quˆantico infinito possui infinitos autoestados, n= 1, 2, 3, ...

Essa situa¸c˜ao corresponde a uma part´ıcula presa numa caixa com paredes impenetr´aveis.

Essa situa¸cão é também análoga à corda presa numa (hiper)esfera.

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Mais compactifica¸c˜ao

Existem compactifica¸c˜oes menos sim´etricas e mais sofisticadas do que a da hiperesrefera.

Os espa¸cos compactos gerais são as chamadas variedades de Calabi-Yau e constituem uma área ativa de pesquisa da F´ısica e da Matemática.

Uma idéia também explorada é considerar cordas em espa¸cos curvos. Esse problema em geral é bastante complexo. Porém, para alguns espa¸cos curvos simples (simétricos) é poss´ıvel encontrar alguns resultados interessantes.

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Os espa¸cos de de Sitter

Os espa¸cos de de Sitter são, juntamente com o espa¸co de Minkowski, os espa¸cos mais simétricos, entre as solu¸cões das equa¸cões de Einstein, da Relatividade Geral.

O espa¸co de de Sitter (dS) usual corresponde à superf´ıcie de uma esfera. A geometria desse espa¸co é R1_{× S}3, onde R1é um eixo

real representando o tempo, e S3

´e uma hiperesfera tridimensional.

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O espa¸co de anti-de Sitter

O espa¸co chamado de anti-de Sitter (AdS) corresponde `a superf´ıcie de um hiperbol´oide

x2₁ a2 + x2₂ b2 − x2₃ c2 = 1 ou − x2₁ a2 − x2₂ b2 + x2₃ c2 = 1

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Qual a importˆancia do espa¸co AdS para as Cordas?

Já vimos que as branas são solu¸cões da supergravidade que descrevem as cordas no regime de baixas energias.

As branas tˆem massa e carga e portanto deformam o espa¸co onde vivem as as cordas encurvando-o.

Portanto seria importante considerar as cordas nesse espa¸co curvo produzido pelas branas.

Maldacena, em 1997, considerou uma pilha de N D3-branas extremas justapostas, resultando na seguinte m´etrica

ds2= [f(r, R)]−1/2(_−dt2+ d~x2) + [f(r, R)]1/2(dr2+ r2dΩ2₅) onde f(r, R) = 1 +R_r44 e R4= N/(2π2T3) , sendo T3a tensão de cada D3-brana. Nesta solu¸cão, o horizonte está em

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AdS e Cordas

Na regi˜ao longe do horizonte, r >> R , este espa¸co reduz-se

ao espa¸co chato de Minkowski em 10 dimens˜oes.

Na região próxima do horizonte, r << R , este espa¸co reduz-se ao espa¸co de anti-de Sitter em 5 dimensões vezes uma hi-peresfera de 5 dimensões (AdS5× S5):

ds2= r 2 R2(−dt 2_{+ d~x}2_{) +} R2 r2(dr 2_{+ r}2_dΩ2 5) ´

E conveniente introduzir a vari´avel z_{≡ R}2/r, de modo que este espa¸co pode ser reescrito, nas chamadas coordenadas de Poincar´e, como:

ds2= R

2

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AdS e Cordas (2)

Dessa forma, as branas produzidas pelas cordas encurvam o espa¸co, que bem pr´oximo a elas, se aproxima do espa¸co de anti-de Sitter vezes uma hiperesfera.

A fronteira desse espa¸co corresponde à região z = 0, além do

“ponto”z_{→ ∞.}

´

E importante observar que a fronteira do AdS5, nessas

coordenadas, ´e o espa¸co de Minkowski com 4 dimens˜oes.

Como ´e a fronteira do AdS5× S5 ?

Note que a m´etrica do AdS “explode”em z_{→ 0, enquanto o}

raio R do S5 permanece constante. Dessa forma, o raio da

hiperesfera vai a zero quando comparado ao tamanho do AdS.

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AdS e Cordas (3)

Este resultado levou Maldacena a deduzir que existe uma

rela¸c˜ao entre a teoria de supercordas IIB (que gera as D3-branas) num espa¸co AdS5× S5 de 10 dimens˜oes e

teorias de campo num espa¸co de Minkowski de 4 dimens˜oes.

Ele deduziu este resultado no limite de baixas energias da teoria de cordas em que ela é aproximada pela supergravidade, e conjecturou que este resultado vale para qualquer energia. Essa conjectura ainda não foi demonstrada, mas existem várias evidências de que estaria correta.

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A correspondˆencia AdS/CFT

Teorias de supercorda em 10d e a teoria M em 11d, definidas em espa¸cos AdSd+1× Sn, s˜ao equivalentes a

teorias de campo SU(N) supersim´etricas, com N_{→ ∞,} no espa¸co de Minkowski em d dimens˜oes.

De fato, essas teorias de campo SU(N) supersimétricas têm supersimetria extendida (vários férmions para cada bóson) e são conformes (CFT), isto é, não possuem nenhuma escala (energia, comprimento, massa, etc) com a qual possamos fazer compara¸cões.

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Teorias Conformes

Teorias conformes n˜ao tˆem qualquer escala.

Ainda assim, têm aplica¸cão em várias áreas da F´ısica, por exemplo:

• Teoria das transi¸c˜oes de fase (mat´eria condensada);

• Cromodinâmica quântica em altas energias, isto é, em energias E >> MProtonc2.

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AdS/CFT e a F´ısica de Part´ıculas

A correspondˆencia AdS/CFT abre a possibilidade de interpretar a teoria de cordas em 10d (AdS5× S5) como

uma teoria de campos SU(N) supersim´etrica em 4d, e vice-versa.

Como já vimos, os campos que descrevem as 3 intera¸cões fundamentais, exceto a gravidade, são descritos por teorias de calibre com grupos de simetria U(1), SU(2) e SU(3).

De fato, o grupo SU(N), com N >> 1 cont´em os grupos citados acima como casos particulares.

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Mais AdS/CFT

Na proposta original de Maldacena, a teoria M em 11d no

AdSd+1× Sntamb´em ´e equivalente a teorias de calibre SU(N)

supersim´etricas em d dimens˜oes chatas.

Em particular, ele mostrou que a teoria M no espa¸co

AdS7× S4´e dual a uma teoria de Yang-Mills em 6 dimens˜oes .

Outro exemplo ´e o da teoria M no AdS4× S7que ´e dual a

teoria de calibre SU(N) com supersimetria extendida N = 8

em 3 dimens˜oes chatas.

Este exemplo, em particular, tem sido usado em várias aplica¸cões na F´ısica da matéria condensada onde o sistema de interesse tem simetria planar, isto é, pode ser descrito

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Cordas e a Caverna de Plat˜ao

No mito da caverna de Plat˜ao, algumas pessoas vivem presas `a parede de uma caverna, sem nunca ter sa´ıdo dela.

S´o o que veem s˜ao sombras de objetos e pessoas que vivem

fora da caverna projetadas sobre uma de suas paredes.

S´o ouvem as vozes e os sons produzidos fora da caverna.

Assim, s´o percebem o mundo como uma proje¸c˜ao

bidimen-sional do que ocorre fora da caverna.

A partir da correspondˆencia AdS/CFT, podemos imaginar que

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O Princ´ıpio Hologr´afico

Bekenstein e Hawking mostraram que buracos negros têm entropia diferente de zero e que ela é proporcional à área de seu horizonte, e não ao seu volume.

Inspirado neste resultado, ’t Hooft, enunciou em 1993 o princ´ıpio hologr´afico:

Toda teoria quântica incluindo a gravita¸cão num espa¸co de D dimensões é descrita por uma teoria quântica (sem gravita¸cão)

em D_{− 1 dimens˜oes.}

A correspondência AdS/CFT pode ser interpretada como uma realiza¸cão do princ´ıpio holográfico.

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Mais AdS/CFT e part´ıculas

´

E claro que na proposta de Maldacena, a teoria SU(N) em 4d tem N >> 1, ´e supersim´etrica (N = 4) e conforme.

Portanto, para obter uma teoria mais próxima da F´ısica do modelo padrão das part´ıculas é preciso quebrar a supersimetria e a simetria conforme, além de reduzir N.

Algum progresso já foi conseguido nessa dire¸cão, sem entretanto, chegar ao modelo padrão.

Vamos, agora, descrever alguns modelos com essas propriedades e algumas de suas aplica¸c˜oes.

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Modelo de Witten para a QCD hologr´afica

Para descrever a QCD, que tem pelo menos uma escala (massa

do Pr´oton, por exemplo), devemos modificar a correspondˆencia

AdS/CFT de modo a introduzir alguma escala.

Witten propˆos que a QCD pode ser obtida da Teoria de cordas num espa¸co AdS com um buraco negro em seu interior. Neste caso, o raio do horizonte do buraco negro define uma escala de comprimento para o modelo, quebrando a simetria conforme.

Witten também propôs que os férmions desse modelo satisfa-riam condi¸cões antiperiódicas nas dimensões compatas, en-quanto os bósons satisfariam condi¸cões periódicas, quebrando a supersimetria.

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Cordas e o espalhamento de Glueballs

Em 2001, Polchinski e Strassler usaram o fato que uma escala m´ınima de energia na teoria de calibre SU(N) corresponde a uma certa regi˜ao do espa¸co AdS (fatia) para calcular o espa-lhamento de glueballs.

Neste trabalho eles reobtiveram a amplitude de Veneziano, corrigida por um fator envolvendo a curvatura do espa¸co AdS, de modo a descrever corretamente o espalhamento de h´adrons no regime de ˆangulos fixos.

Com isso, uma das obje¸cões à descri¸cão das intera¸cões fortes pela teoria de cordas estava superada.

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O modelo de parede r´ıgida

Usando a id´eia de Polchinski e Strassler, Boschi e Braga propuseram considerar que as cordas (e os campos) na fatia do AdS satisfariam uma condi¸c˜ao de contorno (Neumann ou Dirichlet, p. ex.) sobre uma “parede”(fim da fatia) e com isso calcular massas para glueballs, sem a necessidade de incluir um BN no AdS.

Os glueballs escalares no AdS são descritos pelo campo do d´ılaton (escalar) e nesse espa¸co esses campos são descritos por fun¸cões de Bessel J2(kz) onde z é a quinta dimensão.

As massas dos glueballs escalares, vem então da condi¸cão de contorno imposta sobre as funcões de Bessel.

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Massas para Glueballs escalares em 3+1d

QCD3+1 Rede, N=3 BN-AdS Fatia AdS

0++ 1.61 1.61 (dado) 1.61 (dado) 0∗₊₊ 2.8 2.38 2.64 0∗∗₊₊ - 3.11 3.64 0∗∗∗₊₊ - 3.82 4.64 0∗∗∗∗₊₊ - 4.52 5.63 0∗∗∗∗∗₊₊ - 5.21 6.62

Rede: Morningstar e Peardon; Teper 1997

BN-AdS: Csaki, Ooguri, Oz e Terning, JHEP 1999 Fatia AdS: HBF e N Braga, JHEP 2003.

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Massas para Glueballs escalares em 2+1d

QCD2+1 Rede Rede BN-AdS Fatia AdS

N=3 N_{→ ∞} 0++ 4.329 4.065 4.07 (dado) 4.07 (dado) 0∗₊₊ 6.52 6.18 7.02 7.00 0∗∗₊₊ 8.23 7.99 9.92 9.88 0∗∗∗₊₊ - - 12.80 12.74 0∗∗∗∗₊₊ - - 15.67 15.60 0∗∗∗∗∗₊₊ - - 18.54 18.45

Rede: Morningstar e Peardon; Teper 1997

BN-AdS: Csaki, Ooguri, Oz e Terning, JHEP 1999 Fatia AdS: HBF e N Braga, JHEP 2003.

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Massas para b´arions leves

O modelo de parede r´ıgida foi posteriormente aplicado ao cálculo de massa para bárions leves de spin 1/2 e 3/2 As massas também são deter-minadas pelos zeros de fun¸cões de Bessel Teramond e Brodsky PRL 2005, 2006; 2 0 4 6 8 N (939) N (1520) N (2220) N (1535) N (1650) N (1675) N (1700) N (1680) N (1720) N (2190) N (2250) N (2600) 2 4 6 8 ∆ (1232) ∆ (1905) ∆ (2420) ∆ (1700) ∆ (1910) ∆ (1920) ∆ (1950) (b) (a) (GeV 2) ∆ (1930) S=3/2

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Massas para m´esons leves

Idem para m´esons leves (Teramond e Brodsky PRL 2005, 2006)

L L 0 2 4 (GeV 2 ) (a) (b) 0 2 4 0 2 4 1-2005 8694A10 ω (782) ρ (770) π (140) b₁ (1235) π2 (1670) a0 (1450) a2 (1320) f1 (1285) f₂ (1270) a₁ (1260) ρ (1700) ρ3 (1690) ω3 (1670) ω (1650) f4 (2050) a4 (2040)

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Mais m´esons leves

O modelo de parede r´ıgida tamb´em foi aplicado por Erlich, Katz, Son e Stephanov (PRL 2005) para calcular as massas de m´esons vetoriais 1 2 3 4 5 6 Experiment 0.93*n m2n, GeV 2 ρ(770) ρ(1450) ρ(1700) ρ(1900) ρ(2150)

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Glueballs de spins mais altos

O modelo de parede r´ıgida tamb´em foi usado para calcular as massas de Glueballs com v´arios spins:

Dirichlet lightest 1st excited 2nd excited

glueballs state state state

0++ 1.63 2.67 3.69 2++ 2.41 3.51 4.56 4++ _3.15 _4.31 _5.40 6++ 3.88 5.85 6.21 8++ _4.59 _5.85 _7.00 10++ 5.30 6.60 7.77

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Mais Glueballs de spins mais altos

Neumann lightest 1st excited 2ndexcited

glueballs state state state

0++ _1.63 _2.98 _4.33 2++ 2.54 4.06 5.47 4++ _3.45 _5.09 _6.56 6++ 4.34 6.09 7.62 8++ 5.23 7.08 8.66 10++ 6.12 8.05 9.68

Massas dos estados de glueballs JPC (com J par) expressas em

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Trajet´oria de Regge para Glueballs e o Pomeron

Uma vez determinadas as massas para os Glueballs, como conhecemos seus spins, podemos determinar seus

comportamentos J × M2

As curvas nesses gráficos correspondem as trajetórias de Regge. No caso de trajetórias lineares temos:

J = α0 + α0M2.

Para Neumann e estados J++ com J = 2, 4, ..., 10 achamos

α0 = ( 0.26_{± 0.02 )GeV}−2 ; α0 = 0.80± 0.40

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Trajet´oria de Regge para Glueballs e o Pomeron (2)

5 10 15 20 25 30 35 40 2 4 6 8 10 M2 (GeV2 ) J

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Plasma de quarks e gl´

uons

Em altas temperaturas, as intera¸c˜oes fortes ficam

desconfinadas, formando um plasma de quarks e gl´uons.

Esse plasma existe em estrelas muito densas e quentes e ´e criado em colis˜oes de ´ıons pesados, realizadas no RHIC, em Brookhaven, EUA.

Os resultados do RHIC indicam que esse plasma se comporta como um fluido ideal, isto ´e, um sistema fortemente

interagente por´em com viscosidade muito pequena.

O primeiro c´alculo de viscosidade desse sistema compat´ıvel com os resultados experimentais foi feito por Policastro, Son e Starinets (PRL 2001) usando o modelo de Witten (buraco

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AdS/CFT e Confinamento

Maldacena (PRL 1998) mostrou como usar a correspondˆencia AdS/CFT para calcular as linhas de Wilson, que descrevem o comportamento confinante/desconfinante de teorias de calibre. Ele calculou essa quantidade para a teoria SU(N)

supersi-m´etrica_{N = 4 em 4d, a partir de cordas no AdS}5× S5.

O resultado que ele encontrou foi que essa teoria não é confinante, isto é, um par part´ıcula antipart´ıcula pode ser separado com uma energia finita.

No modelo de parede r´ıgida, foi mostrado que a teoria ´e confinante, como ocorre com quarks e antiquarks num m´eson (HBF, Braga e Ferreira, PRD 2006).

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Glueballs a temperatura finita

Modos quasinormais dos Glueballs a temperatura finita

Alex Miranda, H.B.-F., N. R. F. Braga e M. A. C. Torres JHEP 2009.

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Outras aplica¸c˜oes

Outros problemas na F´ısica de part´ıculas, como o espalhamento profundamente inelástico, também podem ser descritos através de modelos inspirados na correspondência AdS/CFT. Veja, por exemplo:

• Polchinski e Strassler, JHEP 2002;

• Ballon Bayona, HBF e Braga, JHEP 2008 a, b, c; • Ballon Bayona, HBF, Braga e Torres, JHEP 2010.

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Teoria de Cordas e Aplica¸cões Henrique Boschi Filho IF – UFRJ Introdu¸cão Cordas Supercordas Teoria M e Dualidades Teorias de Calibre Buracos Negros Branas Cordas× Experiência Colaboradores

Alex dos Santos Miranda (UESC) Carlos A. Ballon Bayona (Durham) Cristine N. Ferreira (IFF-Campos-RJ) Hector L. Carrion (UFRN)

Marcus A. C. Torres (UFRJ) Matthias Ihl (Dublin) Nelson R. F. Braga (UFRJ)

Para mais informa¸c˜oes acesse minha p´agina: