Superfícies de Curvatura Média Constante com Bordo Livre

Texto

(1)Universidade Federal do Piau´ı ˆncias da Natureza Centro de Cie ´ s-Graduac ˜ o em Matema ´ tica Po ¸a ´ tica Mestrado em Matema. Superf´ıcies de Curvatura M´ edia Constante com Bordo Livre. Jo˜ ao Vin´ıcius da Silva. Teresina - 2021.

(2) Jo˜ ao Vin´ıcius da Silva. Disserta¸c˜ ao de Mestrado: Superf´ıcies de Curvatura M´ edia Constante com Bordo Livre. Disserta¸caõ. submetida. à. Coordena¸cão. do Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática, da Universidade Federal do Piau´ı, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre em Matemática.. Orientador: Prof. Dr. Barnabé Pessoa Lima. Teresina - 2021.

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(4) FICHA CATALOGRÁFICA Universidade Federal do Piauí Biblioteca Setorial de Ciências da Natureza CCN Serviço de Processamento Técnico. S586s. Silva, João Vinicius da. Superfícies de curvatura média constante em bordo livre / João Vinicius da Silva 2021. 69 f.: il. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Piauí, Centro de Ciências da Natureza, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Teresina, 2021. Orientador: Prof. Dr. Barnabé Pessoa Lima 1. Geometria Diferencial. 2. Curvatura Média. 3. Estabilidade de Hipersuperfícies. I. Lima, Barnabé Pessoa. II. Titulo. CDD 516.36. Bibliotecária (o): Caryne Maria da Silva Gomes CRB3/1461.

(5) i. Dedico esse trabalho ao meu saudoso pai João Artur da Silva (in memoriam) e minha querida mãe Valda Maria da Silva..

(6) Agradecimentos Em primeiro lugar agrade¸co a` Deus por ter iluminado meu caminho nessa jornada e colocar pessoas tão especiais na minha vida. A todos os meus familiares, em especial a minha amada mãe Valda Maria, que sempre apoiou e fez de tudo no meio de tantas dificuldades para dar suporte na minha forma¸caõ, serei eternamente grato a ela, à minha irmã Geovana Maria que está por perto em todos os momentos e a confian¸ca depositada em mim e por sempre acreditar no meu potencial. Ao meu pai João Artur, que mesmo com pouco tempo de conv´ıvio me passou muitos ensinamentos e pelos quais serei eternamente grato. A minha namorada kátia Sousa, por todo companheirismo, incentivo e compreensão em todos os momentos e fazer os meus dias felizes. Agrade¸co ao meu orientador e amigo professor Barnabé Pessoa Lima por me orientar desde a inicia¸caõ cient´ıfica na gradua¸caõ até aqui, sempre servindo de exemplo para mim como pessoa e o grande profissional que é. Obrigado por me conduzir em todo o desenvolvimento do trabalho com suas dicas e sugestões, e por sempre acreditar no meu ´ uma honra ser seu aluno. potencial, pela paciência e confian¸ca. E Aos professores do departamento de matemática da UFPI, em especial, aos professores Paulo Alexandre, Halyson Baltazar, Rondinelle Marcolino, Jurandir Oliveira, João Xavier, José Francisco, Leandro Pessoa, Gleison Nascimento, Vitaliano Amaral, João Carlos, Newton Lu´ıs, Antônio Wilson, Liane Feitosa e Jefferson Leite que tiveram grande contribui¸cão na minha forma¸cão acadêmica. Aos professores José Fábio Montenegro e Rondinelle Marcolino por terem aceito o convite e participarem da banca examinadora e por todas as d´ uvidas tiradas e sugestões. ii.

(7) iii para um melhoramento do trabalho. Ao mais que amigo e sim irmão Erisvaldo Veras que ao longo desses anos fomos a dupla dinâmica do departamento de matemática da UFPI que me ajudou nos momentos bem dif´ıceis da trajetória e conhece de perto minha caminhada. Muito obrigado. Agrade¸co a todos meus amigos conquistados nesses longos anos na UFPI pelo incentivo, for¸ca e companheirismo, em especial José Edilson, José Márcio, Ruan Diego, Antônio Wesley, Hotávio Fonseca, Kevin Mar¸cal, Sara Rute, Em´ılia Amorim, Juliano Nascimento, Antônio Nilson, Jean Carlos, Marcos Carvalho, J´ ulio José, Danrley, André, Alexia, Osvaldo, George Lucas, Lucas Bandeira, Melquisedeque, Ousadia, Raylan, Dieme, Francimar, Pedro Paulo, Pedro Rodrigues, Raimundo Bruno, Christopher, Severino, Idalina, Jaciane, Leonardo Silva, Edimilson Lopes, Igor, Thiago Mayson, Douglas Rafael, Michell Dhouglas, Sillas Augusto, Raquel Lemos, Paulo Sérgio, Jonatas Arrais, Jonas Bloch, Suerlan, Bruno Vasconcelos, Gustavo, Atécio Alves, Jefferson de Brito, João Santos, Alexandre Bezerra, Rafael Emanuel, Dário Severo, Danilo, Lucas Emanuel, Maicon Ara´ ujo, Rodrigo Brito, J´ unior Amaral e Ade´ılson Rios. ´ Agrade¸co também Antônio Fágner, Welton Rodrigues, Cláudia, Ezio, Dira, padrinho Wellington, madrinha Nayana, padrinho Welton, Xislene, compadre Willamis, comadre Reizinha, Leila, comadre L´ılia, Laires, compadre Victor Hugo, Wemerson, Chico Sindô, tia Maria do Livramento (tia neném), tia Vaulene, meu avô Valdimir e meus afilhados que sempre estão por perto na minha caminhada acadêmica. Aos meus amigos de infância Ivanildo, Josenildo, Alexandre e Eduardo Sousa que nos momentos de descontra¸caõ sempre estão presentes. Por fim, agrade¸co a CAPES pelo apoio financeiro..

(8) iv. “Para quem acredita e persiste, um sonho nunca morre, ele apenas pode ser adiado”. Autor desconhecido..

(9) Resumo Nesta disserta¸caõ, temos que uma hipersuperf´ıcie com bordo livre de uma variedade é ponto cr´ıtico do funcional área restrito a todas as varia¸co˜es admiss´ıveis que preservam volume. Neste caso, temos uma caracteriza¸caõ especial, possuir curvatura média constante. Aqui, estudamos solu¸co˜es estáveis do problema e obtemos várias restri¸co˜es topólogicas e geométricas para esse tipo de superf´ıcie em dom´ınios convexos limitados. No caso particular de uma bola euclidiana unitária no R3 Antônio Ros e Enaldo Vergasta [17] obtiveram resultados bem mais satisfatórios. Tais resultados foram obtidos no artigo Stability for Hypersurfaces of Constant Mean Curvature with Free Boundary. Palavras-Chaves: Bordo livre, Curvatura Média Constante, Hipersuperf´ıcie, Superf´ıcie Estável.. v.

(10) Abstract In this dissertation, we have that a hypersurface with a free boundary of a manifold is a critical point of the functional area restricted to all admissible variations that preserve the volume. In this case, we have a special characterization, having constant mean curvature. Here, we study stable solutions to the problem and obtain several topological and geometric restrictions for this type of surface in limited convex domains. In the particular case of a single Euclidean ball at R3 Antônio Ros and Enaldo Vergasta [17] got much more satisfactory results. Such results were obtained in the article Stability for Hypersurfaces of Constant Mean Curvature with Free Boundary. Keywords: Free Boundary, Constant Mean Curvature, Hypersurface, Stable Surface.. vi.

(11) Sum´ ario Resumo. v. Abstract. vi. 1 No¸c˜ oes Preliminares. 4. 1.1. Superf´ıcies com bordo livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Operadores especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.3. Imersões isométricas e a segunda forma fundamental. 9. 1.4. Fórmulas de varia¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. . . . . . . . . . . . .. 2 Superf´ıcies Estacion´ arias. 19. 2.1. Imersões estacionárias estáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 2.2. A Forma ´ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 3 Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos. 29. 4 Estabilidade para hipersuperf´ıcies em uma bola unit´ aria. 36. 5 Apˆ endice. 54. 5.1. Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. 5.2. Princ´ıpio do Máximo de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. 5.3. Princ´ıpio do Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 57. vii.

(12) Introdu¸ c˜ ao Este trabalho descreve um resultado obtido por Antônio Ros e Enaldo Vergasta [17], publicado em 1995, sobre estabilidade para hipersuperf´ıcies de curvatura média constante com bordo livre. A motiva¸cao principal é a demonstra¸caõ do seguinte resultado: Teorema 0.1. Suponha que B ⊂ R3 uma bola e que φ : M → B seja estacionária est´ avel. Então ∂M é mergulhada e as u ńicas possibilidades são 1. φ(M) é um disco totalmente geodésico, 2. φ(M) é uma calota esférica, 3. g = 1 e r = 1 ou 2, onde g é o gênero e r é o n´ umero de componentes conexas. Inicialmente, observamos que as hipersuperf´ıcies de curvatura média constante são bem conhecidas por serem solu¸co˜es para um problema variacional. Elas são pontos cr´ıticos para o funcional a´rea para varia¸cões que deixam o funcional de volume constante. Aqui, trataremos de uma questão variacional precisa, partindo de problemas para dom´ınios convexos. Dado um dom´ınio convexo compacto suave B ⊂ Rn+1 , vamos denotar por ∂B e intB a fronteira e o interior de B, respectivamente. O problema consiste em minimizar a` a´rea n-dimensional, ou mais geralmente em estudar os pontos cr´ıticos do funcional a´rea, entre todas as hipersuperf´ıcies compactas de Rn+1 com bordo contido em ∂B e interior em intB. Sob essas restri¸cões, uma hipersuperf´ıcie é chamada de estacionária se tiver a´rea cr´ıtica, e estável quando minimiza a a´rea até a segunda ordem (essas defini¸co˜es são conhecidas durante o texto). As superf´ıcies estacionárias devem ter curvatura média constante e intersectar ∂B ortogonalmente, isto é, ter bordo livre. Quando B ⊂ Rn+1 é uma bola, além dos discos totalmente geodésicos com bordo livre em um equador da ∂B também as calotas esféricas 1.

(13) ou um peda¸co de uma catenóide, cada um deles intersectando ∂B em um aˆngulo reto, são exemplos de superf´ıcies estacionárias. A disserta¸caõ está dividida da seguinte maneira. No cap´ıtulo 1, apresentamos algumas defini¸cões, nota¸cões e resultados sobre geometria riemanniana e varia¸caõ de a´rea e volume que darão suporte aos próximos cap´ıtulos. No cap´ıtulo 2, introduzimos superf´ıcies estacionárias e logo em seguida, demonstramos o Teorema 0.2. Seja φ : M −→ B ⊂ Rn+1 uma imersão, onde φ(int M) ⊂ int B , φ(∂M) ⊂ ∂B e B é um disco fechado de Rn+1 . Então, φ é ponto cr´ıtico do funcional área para varia¸cões admiss´ıveis que preservam volume se, e somente se, φ é uma hipersuperf´ıcie com curvatura média constante com bordo livre. Ainda neste cap´ıtulo, mostramos o teorema seguinte. Teorema 0.3. Seja φ : M −→ Rn+1 uma imersão de uma superf´ıcie compacta M e f ∈ C∞ (M) onde vale Z f dM = 0 M. Então existe uma varia¸cão Φ que preserva volume, onde o campo variacional é dado por ξ = fN. No cap´ıtulo 3, estudamos hipersuperf´ıcies imersas estáveis estacionárias sem nenhuma restri¸caõ a priori sobre sua topologia. Para superf´ıcies estacionárias em um dom´ınio convexo B de R3 , mostramos a seguinte restri¸caõ topológica. Teorema 0.4. Se B é convexo em R3 e φ é estacionário estável, então os u ńicos valores poss´ıveis para g e r são 1. g = 0 ou 1 e r = 1, 2 ou 3 2. g = 2 ou 3 e r = 1. No cap´ıtulo 4, nos restringimos a considerar B a bola unitária de Rn+1 , o primeiro resultado que provamos é para hipersuperf´ıcies m´ınimas. Teorema 0.5. Suponha que B ∈ Rn+1 é uma bola e que φ é estacionária estável. Se φ é m´ınima, então é totalmente geodésico. 2.

(14) Mostramos também o caso em que a superf´ıcie não é m´ınima, obtendo somente um resultado parcial. Dizemos que uma hipersuperf´ıcie tem a forma de estrela em rela¸cão a um ponto ambiente se cada semi-reta se estendendo a partir dele intersecta a hipersuperf´ıcie no máximo em um ponto. Teorema 0.6. Suponha que B é a bola unitária em Rn+1 e que φ é estável estacion´ aria com L > nA. Então u nunca se anula em int M ou φ é totalmente geodésico. No primeiro caso, se além disso ∂M é mergulho, então φ(M) é uma hipersuperf´ıcie em forma de estrela em rela¸cão ao centro da bola. Para uma bola tridimensional, o seguinte teorema tem descri¸caõ mais expl´ıcita. Teorema 0.7. Suponha que B ⊂ R3 uma bola e que φ : M → B seja estacionária est´ avel. Então ∂M é mergulhada e as u ńicas possibilidades são 1. φ(M) é um disco totalmente geodésico, 2. φ(M) é uma calota esférica, 3. g = 1 e r = 1 ou 2. Por fim, incluimos também 1 apêndice. Nele, apresentamos o Teorema de GaussBonnet, Princ´ıpio do Máximo de Hopf e o Princ´ıpio do Máximo.. 3.

(15) Cap´ıtulo 1 No¸ c˜ oes Preliminares Neste cap´ıtulo apresentaremos algumas defini¸co˜es, nota¸co˜es e resultados que serão utilizados nos cap´ıtulos seguintes. Não demonstraremos todos os resultados, mas deixaremos as devidas referências. Para a leitura do texto espera-se que o leitor tenha algumas no¸co˜es de geometria, como a defini¸caõ de Variedade Riemanniana, Conexão Riemanniana, Primeira e Segunda Varia¸cão de área, Volume, Curvatura Média, Hipersuperf´ıcie e o Teorema de Gauss-Bonnet. Denotaremos por Mn (Ou simplesmente M) uma variedade Riemanniana conexa de dimensão n e classe C∞ , h , i sua métrica Riemanniana, com a correspondente norma denotada por || ||, ∇ sua conexão Riemanniana, Tp M o plano tangente a M no ponto p ∈ M e X(M) o conjunto dos campos de vetores C∞ de M. A seguir, iremos relembrar algumas defini¸co˜es e proposi¸co˜es que serão usadas ao longo do texto.. 1.1. Superf´ıcies com bordo livre. Seja o conjunto R+ ⊂ Rn , dado por R+ = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xn > 0}, onde Int(R+ ) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xn > 0} e, ∂R+ = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xn = 0}, 4.

(16) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 5. são respectivamente, o interior e a fronteira de R+ = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xn > 0}. Defini¸c˜ ao 1.1. Uma variedade topológica Mn com bordo é um espa¸co topológico, Hausdorff, com base enumerável e localmente euclidiano em que todo ponto p ∈ Mn tem uma vizinhan¸ca homeomorfa ou a um subconjunto aberto de Rn ou a um subconjunto aberto de R+ . Defini¸c˜ ao 1.2. Uma estrutura suave para M é um conjunto de cartas cujos dominios cobrem M e as aplica¸cões de transi¸cão são diferenciáveis. Defini¸c˜ ao 1.3. Uma superf´ıcie diferenciável M com bordo, é um par (M, A) em que M é uma variedade topológica com bordo e A é uma estrutura suave para M. Para mais detalhes consulte [10] e [11]. Seja Ω ⊂ Rn e considere M ⊂ Ω uma superf´ıcie compacta com ∂M 6= ∅, onde ∂M ⊂ ∂Ω. Defini¸c˜ ao 1.4. Dizemos que M é uma superf´ıcie com bordo livre quando M intersecta ∂Ω ortogonalmente. Exemplo 1.1. O catenóide cr´ıtico é um exemplo de superf´ıcie com bordo livre, onde temos um peda¸co de uma catenóide contida na bola unitária B, encontrando ∂B ortogonalmente.. B. Figura 1.1: catenóide cr´ıtico O catenóide cr´ıtico pode ser definido analiticamente como a imagem da aplica¸cão conforme.

(17) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 6. ϕ : (t, θ) ∈ [−t0 , t0 ] × S1 7→ a0 cosh(t)cos(θ)e1 + a0 cosh(t)sen(θ)e2 + a0 te3 ∈ R3 onde {e1 , e2 , e3 } é uma base ortonormal de R3 . A constante t0 é a u ńica solu¸cão positiva da equa¸cão tsenh(t) = cosh(t), enquanto que a0 = (t0 cosh(t0 ))−1 . Estas constantes são escolhidas de tal maneira que a aplica¸cão ϕ é conforme e a sua imagem é um peda¸co de um catenóide em B, encontrando ∂B ortogonalmente, e cujo eixo de simetria é a reta gerada pelo vetor e3 .. 1.2. Operadores especiais. Aqui, iremos definir as no¸cões de gradiente e Laplaciano de uma fun¸caõ, Teorema da Divergência, a Fórmula de Green e alguns outros resultados relacionados. Defini¸c˜ ao 1.5. O gradiente de uma fun¸cão diferenciável f : M → R é o campo ∇f, definido por. h∇f(p), vi = dfp (v),. (1.1). para todo v ∈ Tp M. Proposi¸c˜ ao 1.1. Se f, g : M −→ R são fun¸cões diferenciáveis , então (a) ∇(f + g) = ∇f + ∇g. (b) ∇(fg) = g · ∇f + f · ∇g. Demonstra¸cão. Considere f, g : M −→ R fun¸co˜es diferenciáveis e v ∈ Tp M , portanto temos. ∇(f + g)(p), v = d(f + g)p (v) = dfp (v) + dgp (v). . = ∇f(p), v + ∇g(p), v. = ∇f(p) + ∇g(p), v ..

(18) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 7. Agora provaremos o segundo item. De fato, note que. ∇(fg)(p), v = d(fg)p (v) = fdgp (v) + gdfp (v). = f ∇(g)(p), v + g ∇(f)(p), v. . = f∇(g)(p), v + g∇(f)(p), v. = f∇(g)(p) + g∇(f)(p), v . Isto conclui a prova da proposi¸caõ. Defini¸c˜ ao 1.6. Seja X um campo vetorial em M. A divergência de X é a fun¸cão suave X : M → R dada por. divX = tr{v 7→ (∇v X)(p)},. (1.2). onde v ∈ Tp M e tr é o tra¸co do operador dado entre chaves. Proposi¸c˜ ao 1.2. Sejam X,Y campos vetoriais suaves sobre M e f : M → R uma fun¸c˜ ao suave. Então, (a) div(X + Y) = divX + divY. (b) div(fX) = fdivX + h∇f, Xi. Demonstra¸cão. A prova do primeiro item segue do seguinte cálculo div(X + Y) = tr{v → ∇v (X + Y)(p)} = tr{v → (∇v X(p) + ∇v Y(p))} = tr{v → ∇v X(p)} + tr{v → ∇v Y(p)} = divX + divY. Concluindo a prova do primeiro item, agora tratamos do segundo. Seja {ei } um referêncial, com isso temos div(fX) = = = = =. ∇ei fX, ei. ei (f)X + f∇ei X, ei. . ei (f)X, ei + f∇ei X, ei. ei (f)ei , X + f ∇ei X, ei. ∇(f), X + fdivX..

(19) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 8. Como queriamos demonstrar. Defini¸c˜ ao 1.7. Seja f : M → R uma fun¸cão suave. O laplaciano de f é a fun¸c˜ ao ∆f : M → R dada por ∆f = div(∇f). Proposi¸c˜ ao 1.3. Seja f : M → R uma fun¸cão suave em M, e {ei }n i=1 um referencial geodésico em p ∈ M. Então, ∆f =. n X. ei (ei (f)).. i=1. Demonstra¸cão. Basta ver que ∇f =. ei (f)ei , e assim usando a defini¸caõ anterior temos. i=1. que ∆f = div(∇f) = div. n X. n X. ! ei (f)ei. i=1. =. n X. ei (ei (f))+h∇ei ei , ∇fi =. n X. ei (ei (f))+∇ei ei (f).. i=1. i=1. Teorema 1.1 (Divergência). Sejam M uma variedade compacta orientável com bordo ∂M e X um campo de classe Ck . Então Z Z div XdM = M. hX, ηidS,. ∂M. onde η é um campo unitário normal à ∂M apontando para fora de M. Demonstra¸cão. Esse teorema é uma consequência imediata do Teorema de Stokes para variedades. A demonstra¸caõ do Teorema de Stokes pode ser encontrada em [18] . Corol´ ario 1.1 (1ª Fórmula de Green). Sejam u, v : U −→ R, fun¸cões de classe Ck no aberto U. Seja M ⊂ U uma variedade orientável, compacta com bordo suave ∂M. Ent˜ ao: Z Z Z ∂v u · ∆vdM + h∇(u), ∇(v)idM = u· dS. ∂η M M ∂M Demonstra¸cão. Segue diretamente do Teorema da divergência e da defini¸caõ do div considerando o seguinte campo X = u · grad(v). Defini¸c˜ ao 1.8. Seja M uma Variedade Riemanniana, f : M → R uma fun¸cão suave. Dizemos que f é harmônica se ∆f = 0; f é subharmônica se ∆f > 0 e f é superharmônica se ∆f 6 0 em M..

(20) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 1.3. 9. Imers˜ oes isom´ etricas e a segunda forma fundamental n+k. Sejam Mn e M. n+k. variedades diferenciáveis e f : Mn → M. uma aplica¸caõ dife-. renciável. Defini¸c˜ ao 1.9. Dizemos que f é uma imersão quando dfp : Tp Mn → T f(p) Mn+k é injetiva para todo p ∈ Tp M. Defini¸c˜ ao 1.10. Dizemos que f é um mergulho suave quando, (i) f é uma imersão suave. (ii) f : Mn → f(Mn ) é um homeomorfismo, onde a topologia de f(Mn ) é a topologia de subespa¸co. Teorema 1.2. Seja f : Mn → f(Mn ) uma aplica¸cão suave. Então f é uma imersão se, e somente se, é um mergulho local. Demonstra¸cão. Veja [11]. n+k. Dada f : Mn → M n+k. niana M. imersão da Variedade diferenciável Mn na Variedade Riemann+k. . A métrica Riemanniana de M. induz de maneira natural uma métrica. Riemanniana em Mn . Ou seja, define-se hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if(p) , ∀p ∈ Mn e todos u, v ∈ Tp M. Nesta situa¸caõ, f passa a ser uma imersão isométrica de n+k. Mn em M. .. Considere f satisfazendo a defini¸caõ 1.10. Então, f é localmente um mergulho, e assim, para todo p ∈ M existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que f(U) ⊂ M é uma n+k. subvariedade de M. Segue da´ı que f : U ⊂ Mn → f(U) ⊂ M. local, e desta forma dfp : Tp Mn → T f(p) Mn+k é um isomorfismo. Dado p ∈ Mn , podemos escrever Tp M = Tp M ⊕ (Tp M)⊥. é um difeomorfismo.

(21) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 10. e assim, dado v ∈ Tp M, v = v> + v⊥ . Denote por ∇ a conexão de Levi-Civita de M. Se

(22)

(23) X, Y ∈ X(U) e X, Y são extensões locais de X e Y em M (isto é, X

(24) U = X e Y

(25) U = Y ), então ∇X Y = ∇X Y. T. é a conexão de Levi-Civita de Mn . (1) ∇ está bem definida. Para cada p ∈ Mn , ∇X Y (p) só depende do valor de X(P) = X(p) e dos valores n+k. do campo Y ao longo de uma curva diferenciável C : I → M tal que C(0) = p e

(26) C 0 (0) = X(p) = X(p). Escolha C em Mn e observe que Y

(27) U = Y. (2) ∇ é compat´ıvel com a métrica. Em U, temos. XhY, Zi = XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi Logo,. XhY, Zi = XhY, Zi = h ∇X Y. T. T , Zi + hY, ∇X Z i. é compat´ıvel com a métrica. (3) ∇ é simétrica. Sejam X, Y ∈ X(U) e X, Y ∈ X(U), assim. .

(28) X, Y

(29) U = [X, Y] .. Proposi¸c˜ ao 1.4. Sejam X, Y ∈ X(U) campos locais em Mn e X, Y ∈ X(U) extens˜ oes n+k. locais de X, Y em M. , a aplica¸cão σ : X(U) × X(U) → X(U)⊥ dada por σ(X, Y) = ∇X Y − ∇X Y. é bilinear e simétrica..

(30) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 11. Demonstra¸cão. Como ∇ e ∇ são conexões Riemanniana, a aditividade de σ em X e Y é imediata. Agora, seja f ∈ D(U) (anel das fun¸cões em U) σ(fX, Y) = ∇fX Y − ∇fX Y = f∇X Y − f∇X Y = fσ(X, Y) Seja f ∈ D(U) extensão de f em U. Logo, σ(X, fY) = ∇X (f Y) − ∇X (fY) = X(f)Y + f∇X Y − X(f)Y − f∇X Y.

(31) Veja que f

(32) U = f e X(f) = X(f), da´ı σ(X, fY) = f ∇X Y − f∇X Y = fσ(X, Y) Agora, observe que σ(X, Y) = ∇X Y − ∇X Y = ∇X Y + [X, Y] − ∇X Y − [X, Y]

(33) como X, Y

(34) U = [X, Y], da´ı teremos que σ(X, Y) = ∇X Y − ∇X Y = σ(Y, X).. Pode-se mostrar que σ independe das extensões locais X e Y. Além disso, sendo σ bilinear, exprimindo σ em um sistema de coordenadas o valor de σ(X, Y)(p) depende apenas X(p) e Y(p). Nossa σ acima chamaremos de segunda forma fundamental de Mn n+k. em M. .. Defini¸c˜ ao 1.11. Dado p ∈ M e η ∈ (Tp M)⊥ , defina a aplica¸cão linear autoadjunta Sη : Tp M → Tp M por hSη (x), yi = hσ(x, y), ηi. A proposi¸cão seguinte nos dá uma expressão da aplica¸caõ linear associada a` segunda forma fundamental em termos da derivada covariante. Proposi¸c˜ ao 1.5. Seja p ∈ M, x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M)⊥ . Seja N uma extensão local de η normal a M. Então Sη (x) = − ∇x N. ⊥. ..

(35) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 12. Demonstra¸cão. Considere y ∈ Tp M e X, Y extensões locais de x, y respectivamente, e tangentes a M. Logo, hSη (x), yi = hσ(X, Y), ηi = hσ(X, Y), Ni = h∇X Y − ∇X Y, Ni = h∇X Y, Ni como hN, Yi = 0, então XhN, Yi = 0 e da´ı h∇X N, Yi + hN, ∇X Yi = 0. Logo, teremos hSη (x), yi = −hY, ∇X Ni = h−∇x N, yi, ∀y ∈ Tp M =⇒ Sη (x) = − ∇x N. ⊥. . n+1. Defini¸c˜ ao 1.12. Quando a codimensão da imersão é 1, isto é, f : Mn → M. ; f(M) ⊂. M é então denominada uma hipersuperf´ıcie. Considerando p ∈ Mn e η ∈ (Tp M)⊥ , ||η|| = 1. Como Sη : Tp M → Tp M é simétrica, existe uma base ortonormal de vetores próprios {e1 , · · · , en } de Tp M com valores próprios k1 , · · · , kn , isto é , Sη (ei ) = ki ei , 1 6 i 6 n, k1 , · · · , kn são as curvaturas principais de Mn . Por exemplo: det(Sη ) = k1 · · · kn é denominada a curvatura de Gauss de f e. 1 n. (k1 + · · · + kn ) é denominada a curvatura. média de f. Defini¸c˜ ao 1.13. Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M se σ(x, y) = 0 ∀x, y ∈ Tp M. Se for geodésica em todo p ∈ M, ou seja, σ ≡ 0, neste caso dizemos que a imersão é totalmente geodésica. Defini¸c˜ ao 1.14. Uma imersão f : M → M é m´ınima se para todo p ∈ M e todo η ∈ (Tp M)⊥ tem-se tra¸co (Sη ) = 0. Defini¸c˜ ao 1.15. Escolhendo um referencial ortonormal E1 , · · · , Em de vetores em X(U)⊥ , onde U é uma vizinhan¸ca de p na qual f é um mergulho, o vetor dado por H=. 1X (tr Si ) Ei , n i. ´ claro que f é m´ınima se e s´ onde Si = SEi , é chamado o vetor curvatura média de f. E o se H(p) = 0, ∀p ∈ M. Para um melhor entendimento consulte [7]..

(36) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 1.4. 13. F´ ormulas de varia¸ c˜ ao. Dada (Mm , g) uma variedade riemanniana e ε > 0. Por varia¸caõ de φ queremos m. dizer que a aplica¸caõ diferenciável Φ : (−ε, ε) × Mn → M. m. tal que Φt : Mn → M ,. t ∈ (−ε, ε) , n < m, definida por Φt = φ(t, p), p ∈ M, é imersão, e Φ0 = φ. E dAt é o elemento de volume dado por q dAt = det(gt )ij dx m. onde gt = φ∗t g é a métrica em Mn dada pelo pullback da métrica g em M. por Φt .. Denotamos (gt )ij a matriz inversa de (gt )ij , e fazendo um pequeno abuso de nota¸cão consideraremos g0 = g. Lema 1.1. Dada gt uma fam´ılia a um parâmetro de métricas, temos que o elemento de volume evolui como ∂ 1 dvg = tr(h)dvg , ∂t 2 onde h =. ∂gt . ∂t. Demonstra¸cão. Pondo o elemento de volume em coordenadas temos que q dvg = det(gt )ij dx1 ∧ · · · ∧ dxn . Da´ı, 1 ∂ dvg = ∂t 2. . ∂ ln(det(gt )ij ) ∂t. q det(gt )ij dx1 ∧ · · · ∧ dxn .. Usando variedades diferenciáveis (consulte [11]) o determinante de uma matriz é dada por detA(t) = det(gt )ij =. X. sign(σ)A1σ(1) · · · Anσ(n) ,. σ. onde o somatório é sobre todas as permuta¸cões de 1, · · · , n. Supondo que A(t) só depende de t, e derivando a expressão acima, obtemos o seguinte X ∂ ∂ detA(t) = (A(t))ij · ∂t ∂t i,j=1. X. \ sign(σ)A1σ(1) · · · A iσ(i) · · · Anσ(n) ,. σ:=σ(i)=j. \ onde A e omitido, e esse somatório é sobre todas permuta¸co˜es σ; iσ(i) significa que o fator ´ σ(i) = j.. Pela regra de cramer tem-se que (A−1 (t))ij =. 1 · detA(t). X σ:=σ(i)=j. \ sign(σ)A1σ(1) · · · A iσ(i) · · · Anσ(n) ..

(37) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 14. Portanto, 1 ∂ ∂ ln(detA(t)) = detA(t) = tr(h). ∂t detA(t) ∂t Logo, ∂ 1 dvg = tr(h)dvg . ∂t 2. Defini¸c˜ ao 1.16. Dada uma varia¸cão Φ, definimos a fun¸cão área A : (−ε, ε) → R por Z dAt ,. A(t) = M. onde dAt é o elemento de volume de M na métrica induzida por Φt , e a fun¸cão volume V : (−ε, ε) → R por Z Φ∗ dV,. V(t) = [0,t]×M. onde dV é o elemento de volume canônico de Rn+1 . O Teorema da Divergência nos d´ a que o volume é igual a 1 V(t) = n+1. Z hΦ, N(t)idAt . M. V(t) representa o volume fechado entre a hipersuperf´ıcie φ e Φt . Dizemos que a varia¸c˜ ao preserva o volume se V(t) = V(0) ∀t. Seja

(38) ∂Φ

(39)

(40) ξ(p) = (p)

(41) ∂t t=0 o campo variacional de Φ. Denotamos por v o normal unitário exterior ao longo da ∂M e por ds o elemento de volume da ∂M induzido por φ. N denotará um campo vetorial normal unitário ao longo de φ e H a curvatura média de φ. Defini¸c˜ ao 1.17. Uma varia¸cão é chamada normal se ξ = fN, e admiss´ıvel se Φt (int M) ⊂ int B e Φt (∂M) ⊂ ∂B ∀t. Vamos enunciar e da uma prova para as fórmulas de varia¸cão, para isso precisamos fazer mais algumas considera¸co˜es antes..

(42) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 15. Observa¸c˜ ao 1.1. Veja que para ε > 0 suficientemente pequeno, (−ε, ε)×M tem dimens˜ ao n + 1. Da´ı, tomando um sistema de coordenadas locais x1 , · · · , xn , t em uma vizinhan¸ca p de V ⊂ (−ε, ε) × M, conseguimos uma base de Tp ((−ε, ε) × M)

(43). ∂ ∂ ∂ β= (p), (p), · · · , (p) , ∂t ∂x1 ∂xn onde os campos de vetores i = 1, · · · , n e. ∂Φ ∂t. ∂ , ∂ ,··· ∂t ∂x1. , ∂x∂n , ao longo de Φ. Onde,. ∂Φ ∂xi. = dΦ. ∂ = dΦ ∂t , e satisfazem ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ , , = = 0, ∂xi ∂xj ∂xi ∂t. . ∂ ∂xi. . para. (1.3). pelo fato que dΦ [X, Y] = [dΦ(X), dΦ(Y)]. m. Teorema 1.3. (Fórmula da Primeira Varia¸cão)Seja φ : Mn → M. uma imersão com. m. vetor curvatura média HM . Se Φ : (−ε, ε) × Mn → M é uma varia¸cão de φ, então Z Z 0 A (0) = −n fHdA + hξ, vids, M. ∂M. ∂φ (0, p), Ni = hξ, Ni é a componente normal do vetor varia¸c˜ ao ∂t ξ e v é o vetor exterior ao longo de ∂M.. onde dA = dA0 e f = h. Demonstra¸cão. Pela observa¸cão anterior, fazendo Xt =. ∂Φ ∂t. e por abuso de nota¸cão escre-. veremos X0 = ξ. Veja que ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂Φ ∂Φ (gt )ij = Xt , = ∇Xt , + , ∇Xt . ∂t ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj Sabendo que a conexão é compat´ıvel com a métrica e de 1.3, tem-se que ∂Φ ∂Φ . Xt (gt )ij = ∇ ∂x + , ∇ ∂x ∂Φ Xt , ∂Φ Xt i j ∂xj ∂xi. (1.4). (1.5). Derivando o funcional área, temos que Z 0. A (t) = M. ∂ dAt . ∂t. Do lema 1.1, vale que ∂ 1 dAt = tr ∂t 2. . ∂gt ∂t. dAt ,. o que nos dá ∂ 1 dAt = (gt )ij ∂t 2. ∂Φ ∂Φ ∇ ∂x + , ∇ ∂x dAt ∂Φ Xt , ∂Φ Xt i j ∂xj ∂xi. (1.6).

(44) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 16. =⇒ ∂ ∂Φ ij dAt = (gt ) dAt , ∇ ∂x ∂Φ Xt , i ∂t ∂xj. (1.7). ⊥ > pois (gt )−1 é simétrica. Escrevendo Xt = X> e a componente tangente e t + Xt , onde Xt ´. X⊥ ı temos t a componente normal, da´ ∂Φ ∂ ij > ⊥ dAt = (gt ) ∇ ∂x dAt Xt + Xt , ∂Φ i ∂t ∂xj > ∂Φ ⊥ ∂Φ ij ij = (gt ) ∇ ∂x dAt + (gt ) ∇ ∂x dAt ∂Φ Xt , ∂Φ Xt , i i ∂xj ∂xj ⊥ = divX> t dAt + divXt dAt .. Observa¸c˜ ao 1.2. Acima estamos fazendo abuso de nota¸cão, pois o divergente está definido para campos tangentes, porém, para facilitar os cálculos vamos considerar ⊥ ∂Φ ⊥ ij ∇ ∂x divXt = (gt ) . ∂Φ Xt , i ∂xj. (1.8). E assim, temos Z 0. A (t) = M. Perceba que, por. X⊥ t. ∂ dAt = ∂t. Z. Z divX> t dAt. M. divX⊥ t dAt .. +. (1.9). M. E D ⊥ ∂Φ ser um campo normal, segue que Xt , ∂xj = 0, ∀j = 1, · · · , m,. o que faz para cada i = 1, · · · , m ∂Φ ∂Φ ⊥ ∂Φ ⊥ ∂Φ ⊥ Xt , = ∇ ∂x + Xt , ∇ ∂x . ∂Φ Xt , ∂Φ i i ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj De 1.3 e sabendo que a conexão é simétrica, segue que ∂Φ ∂Φ ⊥ ∂Φ ⊥ ∂Φ ⊥ Xt , = ∇ ∂x + Xt , ∇ ∂x = 0. ∂Φ Xt , ∂Φ i j ∂xi ∂xi ∂xj ∂xj Logo, ∂Φ ⊥ ∂Φ ij ⊥ (gt ) ∇ ∂x = −(gt ) Xt , ∇ ∂x . ∂Φ Xt , ∂Φ i j ∂xi ∂xj ij. (1.10). > ⊥ ⊥ Denotando X> e o vetor 0 = ξ , X0 = ξ , HA = HA0 e σA = σA0 , onde HA = nHN e σA ´. curvatura média e a segunda forma fundamental de M, respectivamente. Feito isso, e usando a defini¸cão de segunda forma fundamental, obtemos que * > + ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ −(gt )ij X⊥ = −(gt )ij X⊥ + σAt , ∂Φ ∂Φ t , ∇ ∂x t , ∇ ∂x j ∂xi j ∂xi ∂xi ∂xj ∂Φ ∂Φ ⊥ ij = − Xt , (gt ) σAt , . ∂xi ∂xj.

(45) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 17. Lembrando que vetor curvatura média HAt é dado por ∂Φ ∂Φ ij , HAt = (gt ) σAt , ∂xi ∂xj temos que dessa expressão, de 1.8 e 1.10 que. ⊥. divX⊥ t = − Xt , HAt .. (1.11). Fazendo uma substitui¸caõ de 1.11 em 1.9 e tomando t = 0, tem-se Z Z. ⊥. 0 > A (0) = divξ dA − ξ , HA dA. M. M. Agora usando o Teorema da Divergência, temos o seguinte Z Z. ⊥. > 0 A (0) = − ξ , HA dA + ξ , v ds, M. ∂M. onde v é o vetor exterior normal ao longo de ∂M. Por fim, veja que hξ, nHNi = hξ, HA i =. ⊥. ξ , HA e hξ, vi = ξ> , v , pois ξ = ξ> + ξ⊥ . Portanto, Z Z 0 hξ, nHNi dA + hξ, vi ds A (0) = − M ∂M Z Z hξ, vi ds =− nH hξ, Ni dA + M ∂M Z Z = −n fHdA + hξ, vids. M. ∂M. Para a Primeira Varia¸caõ de Volume temos o seguinte: Proposi¸c˜ ao 1.6. A primeira varia¸cão do volume V(t) é dada por Z 0 V (0) = fdA, Mn. onde f = h. ∂Φ (0, p), Ni é a componente normal do vetor ξ. ∂t n+1. Demonstra¸cão. Dada Φ : (−ε, ε) × Mn → M. uma varia¸caõ de φ. Sejam p ∈ Mn fixo. e {e1 , · · · , en , en+1 = N} um referencial ortonormal positivo adaptado numa vizinhan¸ca de φt (p). Da´ı, podemos escrever Φ∗ dV = b(t, p)dt ∧ dA,.

(46) Cap´ıtulo 1. No¸co ˜es Preliminares. 18. onde . ∂ , e1 , · · · , en ∂t. . b(t, p) = b(t, p)dt ∧ dA ∂Φ = dA , dφt (e1 ), · · · , dφt (en ) ∂t ∂Φ , dφt (e1 ), · · · , dφt (en ) = vol ∂t q ∂Φ , Nt = det (hdφt (ei ), dφt (ej )i), ∂t e Nt é o campo vetorial normal a` imersão φt . Logo, Z

(47)

(48) d ∂V ∗ 0 (0) = Φ dV

(49)

(50) V (0) = ∂t dt [0,t]×Mn t=0 Z

(51)

(52) d = b(t, p)dt ∧ dA

(53)

(54) dt [0,t]×Mn t=0 Z = b(0, p)dA Mn Z ∂Φ(0, p) , N dA = ∂t Mn Z = fdA. Mn. Observe que a fun¸caõ volume foi definida com elemento de volume em Rn+1 . Para um melhor entendimento a primeira varia¸caõ de volume foi demonstrada no caso geral..

(55) Cap´ıtulo 2 Superf´ıcies Estacion´ arias Seja B um dom´ınio convexo suave em Rn+1 . Ao longo de todo este trabalho, M denotará uma variedade diferencial compacta conexa n-dimensional orientável com bordo ∂M, e φ: M → Rn+1 é uma imersão que leva intM em intB e ∂M em ∂B e é suave mesmo na fronteira de M. Nesta se¸caõ, derivamos alguns resultados gerais básicos para a hipersuperf´ıcie φ. Assumimos a convexidade de B como uma hipótese geral durante este trabalho, embora as defini¸co˜es e resultados sejam válidos de forma mais geral, exceto para o Lema 2.2 e a proposi¸caõ 2.2. Apresentamos aqui as no¸co˜es de hipersuperf´ıcie estacionária e estabilidade em uma versão que também é válida no caso não necessariamente mergulhada.. 2.1. Imers˜ oes estacion´ arias est´ aveis. Defini¸c˜ ao 2.1. Dizemos que a imersão φ é estacionária se A 0 (0) = 0 para qualquer varia¸cão admiss´ıvel φ que preserva volume. Teorema 2.1. Seja φ : M −→ B ⊂ Rn+1 uma imersão, onde φ(int M) ⊂ int B , φ(∂M) ⊂ ∂B e B é um disco fechado de Rn+1 . Então, φ é ponto cr´ıtico do funcional área para varia¸cões admiss´ıveis que preservam volume se, e somente se, φ é uma hipersuperf´ıcie com curvatura média constante com bordo livre. Demonstra¸cão.. Z 0. A (0) = −. Z hv, ξi ds,. nHhN, ξi dA + M. ∂M. e, 19.

(56) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 20. Z 0. hN, ξidA.. V (0) = M. Usando os multiplicadores de Lagrange, temos que existe λ ∈ R tal que A 0 (0) = λ · V 0 (0). Donde, temos que Z. Z. −. Z hv, ξi ds = λ.. nHhN, ξi dA + M. hN, ξidA.. ∂M. M. E ass´ım, Z. Z. hv, ξi ds.. (λ + nH)hN, ξi dA = ∂M. M.

(57) ∂Φ

(58)

(59) Veja que, se p ∈ ∂M então ξ(p) = é um vetor tangente a fronteira, pois ∂t

(60) t=0 Φp : (−, ) → ∂B. Como v é normal a fronteira então teremos hv, ξi = 0. Se tomarmos ξ = (λ + nH)N, obtemos: Z. Z (λ + nH)2 dA = 0.. (λ + nH)hN, (λ + nH)Ni dA = 0 =⇒ M. M. Ora, como (λ + nH)2 > 0 e a integral acima é nula, então obrigatoriamente deveremos ter λ (λ + nH)2 = 0 =⇒ λ + nH = 0 =⇒ H = − . n Segue que a imersão tem curvatura média constante e bordo livre. Reciprocamente, suponha que Φ(M) intersecta ∂B ortogonalmente. Ass´ım, é direto que hv, ξi = 0. Desta forma, Z. Z 0. A (0) = −. hv, ξi ds. nHhN, ξi dA + MZ. ∂M. hN, ξi dA. = −nH M 0. = −nHV (0) = 0. Pois, temos uma preserva¸caõ de volume, e assim esse volume é constante..

(61) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 21. Denotaremos por N : M → Sn a aplica¸caõ de Gauss da imersão φ, por σ a segunda forma fundamental de φ com rela¸caõ a N, e por II a segunda forma fundamental de ∂B em Rn+1 em rela¸caõ a` dire¸cão normal da unitário que aponta para dentro. A suposi¸cão de convexidade sobre B significa que II(X, X) > 0 para qualquer vetor X tangente a fronteira ∂B. Teorema 2.2. Seja φ : M −→ Rn+1 uma imersão de uma superf´ıcie compacta M e f ∈ C∞ (M) onde vale Z f dM = 0. M. Então existe uma varia¸cão Φ que preserva volume, onde o campo variacional é dado por ξ = fN. Demonstra¸cão. Considere φ : M −→ Rn+1 tal imersão e Φ : M × (−, ) × (−, ) −→ Rn+1 , a varia¸caõ dada por. Φ(p, t, s) = φ(p) + (tf(p) + sg(p))N(p), onde g ∈ C∞ (M) com Z g dA 6= 0. M. Desta forma, V(p, t, s) = = = =. Z 1 hΦ, NidAt,s n+1 M Z 1 hφ + (tf + sg)N, NidAt,s n+1 M Z 1 (hφ, Ni + h(tf + sg)N, Ni)dAt,s n+1 M Z 1 (hφ, Ni + tf + sg) dAt,s . n+1 M. Calculando as derivadas parciais com respeito à t e s, obtemos: ∂V 1 (t, s) = ∂t n+1 e,. Z. Z. ∂ f dAt,s + (hφ, Ni + tf + sg) dAt,s ∂t M M. .

(62) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. ∂V 1 (t, s) = ∂s n+1. 22 Z. Z. ∂ (hφ, Ni + tf + sg) g dAt,s + dAt,s ∂s M M. . Agora, ao aplicarmos em t = s = 0 teremos:. ∂V (t, s) = 0 ∂t e, ∂V 1 (t, s) = ∂s n+1. Z g dA 6= 0. M. Assim, como V é de classe Ck , k > 1, teremos pelo teorema da fun¸caõ impl´ıcita que existe I × J vizinhan¸ca de (0, 0) e uma fun¸caõ ϕ : I → J, também de classe Ck , onde ϕ é o gráfico de V, com ϕ(0) = 0. Da´ı, V(t, ϕ(t)) = c = cte, onde consideramos V(0, 0) = c. Desta forma, considere a varia¸caõ dada por. Φ(p, t, ϕ) = φ(p) + tf(p)N(p) + ϕ(t)g(p)N(p) Claramente tal varia¸caõ preserva volume. Observe que,. V 0 (t, ϕ(t)) =. ∂V ∂V 0 .1 + .ϕ (t) ∂t ∂s. Em t = 0, iremos ter ∂V ∂V (0).1 + (0).ϕ 0 (0) ∂t ∂s Z 1 0 = ϕ (0). g dA n+1 M. 0 = V 0 (t, ϕ(t))|t=0 =. Segue-se que ϕ 0 (0) = 0. Assim,

(63)

(64) ∂ Φt (p)

(65)

(66) = fN + ϕ 0 (0)fN ξ(p) = ∂t t=0 = fN..

(67) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 23. Um cálculo padrão mostra que, para qualquer varia¸cão normal de preserva¸caõ de volume admiss´ıvel, temos Z Z 00 2 2 A (0) = − (f∆f + ||σ|| f )dA +. ∂f 2 f − II(N, N)f ds, ∂v ∂M. M. onde ∆ é o laplaciano da métrica induzida por φ e. ∂f ∂v. (2.1). é a derivada parcial de f em rela¸cão. ao normal externo v. Defini¸c˜ ao 2.2. Uma imersão estacionária φ : M → B ⊂ Rn+1 é considerada estável se A 00 (0) > 0 para todas as varia¸cões normais de φ que preservam volume.. 2.2. A Forma ´ındice. Defini¸c˜ ao 2.3. Seja F = {f ∈ C∞ (M) :. R M. fdA = 0}, e vamos definir a forma ´ındice I. de φ com a forma bilinear simétrica em C∞ (M), Z. Z h∇f, ∇gi − ||σ|| fg dA − 2. I(f, g) =. . II(N, N)fgds,. M. (2.2). ∂M. onde ∇f significa o gradiente de f para métrica induzida por φ. Proposi¸c˜ ao 2.1. Seja φ uma imersão estacionária. φ é estável se, e somente se, I(f, f) > 0 para toda f ∈ F. Demonstra¸cão. Seja φ : M −→ B ⊂ Rn+1 uma imersão e Φ uma varia¸caõ admiss´ıvel que preserva volume. Desta forma, a fórmula da segunda varia¸caõ de a´rea nos dá que: Z. Z. f∆f + ||σ|| f. 00. 2 2. A (0) = −. . M. ∂f 2 dA + f − II(N, N)f ds > 0 ∂v ∂M. (2.3). Pela Primeira identidade de Green, temos que Z. Z h∇f, ∇gi dA +. M. Z f∆g dA =. M. ∂M. ∂f gds. ∂v. Ass´ım, teremos Z −. Z h∇f, ∇gi dA −. f∆g dA = M. Z. M. ∂M. ∂g fds. ∂v. (2.4).

(68) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 24. Trocando g por f em 2.4 e substituindo em 2.3, temos que Z Z Z ∂f 2 00 ||∇f|| dA − A (0) = f ds − ||σ||2 f2 dA ∂v ∂M M M Z Z ∂f f II(N, N)f2 ds. + ds − ∂v ∂M Z∂M Z 2 2 2 II(N, N)f2 ds = ||∇f|| − ||σ|| f dA − M. ∂M. = I(f, f) > 0. Reciprocamente, suponha I(f, f) > 0 para toda f ∈ F. Como. R M. f dA = 0, então. existe uma varia¸caõ normal Φ de φ, admiss´ıvel preservando volume, onde Z. Z. ∂f 2 A (0) = − f∆f + ||σ|| f dA + f − II(N, N)f ds ∂v M ∂M Z Z = ||∇f||2 − ||σ||2 f2 dA − II(N, N)f2 ds 00. 2 2. . M. ∂M. = I(f, f) > 0. Segue-se que a imersão estacionária φ é estável se e somente se I(f, f) > 0, ∀ f ∈ F.. Dado f ∈ F. O campo vetorial fN é um campo de Jacobi quando I(f, g) = 0, ∀g ∈ F. O próximo lema segue diretamente da defini¸caõ da forma ´ındice I. Lema 2.1. Seja φ : M → B uma imersão estacionária e f ∈ F. 1. fN é um campo de Jacobi se e somente se f ∈ C∞ (M), e ∆f + ||σ||2 f = constante em M, ∂f = II(N, N)f em ∂M. ∂v 2. Se φ é estacionária estável e I(f, f) = 0, então fN é um campo de Jacobi. Demonstra¸cão. Supondo que f ∈ F e fN é um campo de Jacobi. Mostraremos que ∂f = II(N, N)f ∂v em ∂M. Defina a fun¸caõ g(p) =.   . 0, se ∂f ∂v. − II(N, N), se. p∈M p ∈ ∂M.. (2.5).

(69) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 25. Observe que g ∈ F(M), e como fN é um campo de Jacobi, então por defini¸cão I(f, g) = 0 para toda fun¸caõ g ∈ F(M), em particular para nossa g. Da´ı, Z. . 0 = I(f, g) = ∂M. 2 ∂f − II(N, N)f ds. ∂v. ∂f = II(N, N)f em ∂M. ∂v ∆f + ||σ||2 f = constante em M.. Isto nos dá que. Feito isso resta mostrar que. Para isso, defina a fun¸caõ F(p) = ∆f + ||σ||2 f e considere F0 = R A = M dA.. 1 A. R M. FdA, onde. Afirmamos que F ≡ F0 . Suponha que isso não ocorre, então existe pelo menos um ponto p ∈ M, tal que (F − F0 ) (p) 6= 0. Sem perder a generalidade, suponha que (F − F0 ) (p) > 0. Adote os seguintes subconjuntos de M. M+ = {q ∈ M| (F − F0 ) (q) > 0} e M− = {q ∈ M| (F − F0 ) (q) < 0}. Perceba que M+ é não vazio, pois p ∈ M+ , e sendo F − F0 uma fun¸caõ cont´ınua, temos que M+ é aberto. Sejam U ⊂ M aberto com U ⊂ M+ e uma aplica¸cão ϕ : M → R, de classe C∞ , com suporte compacto em M+ tal que 0 6 ϕ(q) 6 1, para todo q ∈ M e ϕ(q) = 1 se q ∈ U. Da´ı,. Z ϕ (F − F0 ) dA > 0.. K=. (2.6). M. R Afirmamos que M− também é não vazio. Note que M (F − F0 ) dA = 0, pois Z Z Z Z Z (F − F0 ) dA = FdA − F0 dA = FdA − FdA = 0. M. M. M. M. (2.7). M. Dessa forma, se M− = ∅, então pela defini¸caõ do conjunto ter´ıamos que (F − F0 ) (q) > 0 R ∀q ∈ M, mas como (F − F0 ) (p) > 0, isso implica que M (F − F0 ) dA > 0, o que não ocorre por 2.7. Logo M− 6= ∅. De maneira parecida, podemos definir uma fun¸caõ ψ : M → R de classe C∞ , de suporte compacto em M− . Seja V ⊂ M aberto com V ⊂ M− , tal que 0 6 ψ(q) 6 1 para todo q ∈ M e ψ(q) = 1 se q ∈ V, e então Z L= ψ (F − F0 ) dA < 0. M. (2.8).

(70) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 26. Fa¸ca g = (ϕ + ξ) (F − F0 ), onde ξ = − K ψ > 0. Observe que g ∈ F(M), pois L Z Z (ϕ + ξ) (F − F0 ) dA gdA = M M Z Z = ϕ (F − F0 ) dA + ξ (F − F0 ) dA M M Z K =K− ψ (F − F0 ) dA L M = 0. ∂f = II(N, N)f em ∂M, temos que ∂v Z g ∆f + ||σ||2 f dA 0 = I(f, g) = − Z ZM gdA gFdA + F0 =− M M Z =− g (F − F0 ) dA M Z (ϕ + ξ) (F − F0 )2 dA < 0 =−. Sendo fN um campo de Jacobi, e sabendo que. M. o que não pode acontecer, portanto F ≡ F0 . Agora suponhamos que f ∈ C∞ (M) satisfaz 2.5 . Mostraremos que I(f, g) = 0 para toda g ∈ F, ou seja, fN é um campo de Jacobi. Da´ı, de 2.5, como f ∈ C∞ (M) e pelo Teorema da divergência, temos que Z Z ∂f 2 I(f, g) = − g ∆f + ||σ|| f dA + g − II(N, N)f ds ∂v M ∂M Z 2 = − ∆f + ||σ|| f gdA M. = 0, para toda g ∈ F. Mostremos 2. agora. Por hipótese φ é estacionária estável, então por defini¸caõ I(g, g) > 0 ∀g ∈ F. Da´ı, dado ε > 0, com ε ∈ R, tem-se que 0 6 I(f + εg, f + εg) = I(f, f) + 2εI(f, g) + ε2 I(g, g). Multiplicando a expressão acima por ε−1 e que I(f, f) = 0, ganhamos que 0 6 2I(f, g) + εI(g, g).. (2.9). De maneira similar para I(f − εg, f − εg), temos 0 6 −2I(f, g) + εI(g, g).. (2.10).

(71) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 27. Por fim, como ε é arbitrário, fazendo ε → 0, de 2.9 temos que de um lado I(f, g) > 0 e de outro por 2.10, I(f, g) 6 0. Logo, I(f, g) = 0, e assim fN é um campo de Jacobi. Lema 2.2. Se B ⊂ Rn+1 é uma bola unitária centrada na origem e φ : M → B é uma imersão estacionária, então 1. O vetor normal unitário externo v ao longo de ∂M é uma dire¸cão principal de φ; 2. A segunda forma fundamental de ∂M em M com repeito a −v é dada por h, i. Em particular, se n = 2, então a curvatura geodésica de ∂M em M em qualquer ponto é igual a 1. Demonstra¸cão. Sendo B uma bola unitária, v coincide com o vetor posi¸caõ de φ ao longo de ∂M. Da´ı para qualquer vetor X tangente em ∂M, obtemos que h−∇v N, Xi = hσ(X, v), Ni = h∇X v − ∇X v, Ni = h∇X v, Ni = h∇X φ, Ni = hX, Ni = 0, onde ∇ denota a conexidade usual de Rn+1 . Isso prova 1, pois como φ coincide com o vetor posi¸caõ ao longo da fronteira, temos que ∇X φ = X . Isto garante que −∇v N é normal a fronteira ∂M, ou seja, -∇v N = λv. Para mostrar 2, tome outro campo vetorial Y tangente a ∂M. Como hY, vi = 0, pois v é normal a fronteira, então h∇X Y, vi = h−∇X v, Yi. E assim, pelo fato de hv, vi = 1 tem-se que h∇X v, vi = 0. Logo S−v (X) = −∇X (−v). Portanto, a segunda forma fundamental de ∂M em M aplicada a −v, é dada por. −h∇X Y, vi = h∇X v, Yi = h∇X φ, Yi = hX, Yi. Usando é claro o fato que ∇X φ = X. Por fim, naturalmente dada α : I → ∂M uma parametriza¸caõ regular pelo comprimento. de. arco,. então. a. curvatura. geodésica. é. dada. por. kg = h∇α 0 φ, α 0 i = hα 0 , α 0 i = 1. Proposi¸c˜ ao 2.2. Se φ : M → B é uma superf´ıcie estacionária em uma bola unitária B de R3 , então H2 A + L > 2π.. (2.11). Se além disso ∂M não estiver mergulhada, então H2 A + L > 4π.. (2.12).

(72) Cap´ıtulo 2. Superf´ıcies Estacion´ arias. 28. Demonstra¸cão. Suponha que B esteja centrada na origem de R3 (caso contrário fa¸ca uma transla¸caõ). Considere {nλ |λ ∈ R} o grupo de um parâmetro λ > 0 de transforma¸co˜es conformes de R3 ∪ {∞}, dado por nλ (p) = π−1 ◦ π−1 ◦ Tλ ◦ π(p) sendo Tλ (x) = λx , π e π são proje¸co˜es estereográficas de S3 em R3 , aqui enquanto π é sobre o pólo norte N, π é sobre o ponto x0 = (1, 0, 0). Observe o seguinte diagrama π. π−1. T. π. π−1. λ R3 ∪ {∞} −→ S3 −→ R3 ∪ {∞} −→ R3 ∪ {∞} −→ S3 −→ R3 ∪ {∞}.. Dessa maneira temos este grupo de transforma¸co˜es conformes que preserva a bola B e fixa um par de pontos ant´ıpodas x0 , −x0 ∈ S2 . Assim, quando λ → ∞, nλ (x) converge para −x0 para qualquer x ∈ R3 − {x0 }. Denotando por H, K e dA respectivamente a curvatura média, a curvatura de Gauss e o elemento de volume induzido em M pela imersão nλ ◦ φ, temos Z. Z 2. H − K dA = M. Z. Z. 2. . 2. H dA −. KdA = H A −. M. M. Z. 2 H − K dA.. KdA = M. M. A igualdade acima decorre do fato que a integral no lado direito é invariante por transforma¸co˜es conformes ( veja [12]). Como as transforma¸cões conformes preservam a ortogonalidade, a prova de 2 do Lema 2.2 mostra que a curvatura geodésica da ∂M em rela¸caõ a nova métrica também é igual a 1 em cada ponto. Portanto, usando o Teorema de Gauss-Bonnet (consulte o apêndice), temos Z 2πχ(M) =. Z KdA + L =. M. KdA + L, M. onde L é o comprimento de ∂M em rela¸cão a métrica induzida por nλ ◦ φ, e das equa¸co˜es acima obtemos Z 2. H A+L=. 2. (2.13). H dA + L M. Se tomarmos x0 = φ(p0 ) para algum p0 ∈ ∂M, então, quando λ → ∞, nλ ◦ φ(∂M) converge para um ou mais equadores da esfera unitária S2 e assim lim L > 2π. Isto λ→+∞. prova 2.11. Se φ não for um mergulho em ∂M e escolhermos p0 ∈ ∂M tal que φ(p0 ) seja um ponto m´ ultiplo de φ, temos que nλ ◦ φ(∂M) converge, para λ → ∞, para dois (ou mais) equadores de S2 e então lim L > 4π mostrando 2.12. λ→+∞.

(73) Cap´ıtulo 3 Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos Daqui em diante consideraremos apenas as hipersuperf´ıcies estacionárias φ : M → B que são estáveis. Sob esta hipótese, se ∂M = ∅ foi provado por Barbosa e do Carmo([4]) que é uma esfera umbilical, ver El Soufi e Ilias([8]) para outra prova. Portanto, sempre assumiremos que M tem uma fronteira não vazia. Proposi¸c˜ ao 3.1. Seja φ : M → Rn+1 uma imersão com curvatura média constante. Então ∆f + ||σ||2 f = 0;. (3.1). ∆u + ||σ||2 u = −nH,. (3.2). onde a ∈ Rn+1 , f = hN, ai e u = hN, φi. Demonstra¸cão. Fixado p ∈ M, consideremos um referencial geodésico ortonormal {ei }n i=1 em torno de p e seja N ∈ (X(M))⊥ . Feito isso, podemos expressar a como a=. n X ha, ej iej + ha, NiN.. (3.3). j=1. Como nosso referencial é geodésico ∇ei ei (p) = 0, e de N ser unitário tem-se que. 29.

(74) Cap´ıtulo 3. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos. 30. h∇ei N, Ni = 0. Segue que o Laplaciano de f é dado por ∆f =. n X. ei ei hN, ai. i=1. = = =. n X. ei h∇ei N, ai. i=1 n X. h∇ei ∇ei N, ai. i=1 * n X. n X ha, ej iej + ha, Ni ∇ei ∇ei N,. i=1. =. n X j=1. +. j=1. ha, ej i. n X. !. h∇ei ∇ei N, ej i. n X h∇ei ∇ei N, Niha, Ni. +. i=1. i=1. Calculemos essas duas parcelas. Usando a aplica¸cão SN (h) = −∇h N, observe que X. SN (ei ) =. aij ej ,. i,j. sendo aij = −h∇ei N, ej i. Da´ı, como nossa base é ortonormal ||σ||2 =. X. aii =. i,j. X h∇ei N, ej ih∇ej N, ei i.. (3.4). i,j. Veja que hN, ei i = 0 para todo i = 1, · · · , n, obtemos que h∇ej N, ei i = −hN, ∇ej ei i. Note que SN é autoadjunta, donde temos ||σ||2 =. n X. h∇ei N, ej i2 .. i,j=1. Por outro lado, n n X X h∇ei N, ∇ei Ni = i=1. =. i=1 n X. n X. ! h∇ei N, ej ihej , ek i. j,k=1. h∇ei N, ej i. 2. = ||σ||2 .. i,j=1. Além disso, derivando a igualdade h∇ei N, Ni = 0 tem-se que 0 = ei h∇ei N, Ni = h∇ei ∇ei N, Ni + h∇ei N, ∇ei Ni, isto é,. n n X X − h∇ei ∇ei N, Ni = h∇ei N, ∇ei Ni. i=1. i=1.

(75) Cap´ıtulo 3. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos Portanto, n X. ||σ|| = 2. n n X X h∇ei N, ej i = h∇ei N, ∇ei Ni = − h∇ei ∇ei N, Ni, 2. i,j=1. i=1. i=1. e lembrando que nH = tr(SN ) =. X. aii. i. ganhamos que. n X h∇ei ei , Ni. nH = i=1. Se H é constante é poss´ıvel mostrar que n X h∇ei ∇ei N, ek i = 0, ∀k = 1, · · · , n. i=1. Segue-se que ∆f = −f||σ||2 . Para a segunda parte, temos ∇ei φ = ei e hei , Ni = 0, obtemos:. ∆u = = =. n X i=1 n X i=1 n X. (ei (ei hφ, Ni)) (p) (ei (h∇ei φ, Ni + hφ, ∇ei Ni)) (p) ei hφ, ∇ei Ni (p). i=1. =. n X. h∇ei φ, ∇ei Ni + hφ, ∇ei ∇ei Ni (p). i=1. =. n X. hei , ∇ei Ni + hφ, ∇ei ∇ei Ni (p). i=1 n n X X =− h∇ei ei , Ni(p) + hφ, ∇ei ∇ei Ni(p). i=1. i=1. =⇒ n X ∆u(p) = − h∇ei ei , Ni(p) − ||σ||2 hφ, Ni(p) i=1 n X =− h∇ei ei , Ni(p) − ||σ||2 u(p) i=1. = −nH − ||σ||2 u(p).. 31.

(76) Cap´ıtulo 3. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos. 32. Lema 3.1. Suponha que B é estritamente convexa em Rn+1 e que é uma hipersuperf´ıcie R estável estacionária em B. Então M NdA 6= 0, onde N : M → Sn (1) ⊂ Rn+1 é a aplica¸cão de gauss de M. n+1 Demonstra¸cão. Dada β = {ai }n e Ni = hN, ai i. Da´ı temos 1 uma base ortonormal de R. que para cada i = 1, · · · , n + 1, a fun¸cão coordenada Ni de N por 3.1, satisfaz ∆Ni + ||σ||2 Ni = 0,. (3.5). Assim Z. ∂Ni 2 Ni (3.6) I(Ni , Ni ) = − II(N, N)Ni ds. ∂v ∂M R R Suponha que M NdA = 0. Segue que M Ni dA = 0 para cada i = 1, · · · , n + 1. O que faz Ni ∈ F para todo i, e como φ é estacionário estável, tem-se que I(Ni , Ni ) > 0. Por outro lado, n+1 X i. ∂Ni X 1 ∂ 2 1 ∂ Ni = N = ∂v 2 ∂v i 2 ∂v i=1 n+1. n+1 X. ! N2i. i. =. 1 ∂ (1) = 0. 2 ∂v. Somando 3.6 em i, obtemos n+1 XZ. n+1 X. ∂Ni 2 − II(N, N)Ni ds 06 I(Ni , Ni ) = Ni ∂v i=1 i=1 ∂M # Z "n+1 X ∂Ni 2 = Ni − II(N, N)Ni ds ∂v ∂M i=1 # Z "n+1 n+1 X ∂Ni X = Ni − II(N, N) N2i ds ∂v ∂M i=1 i=1 Z =− II(N, N)ds. ∂M. Mas, lembre-se que B é estritamente convexa, então II(N, N) > 0 e assim n+1 X. Z I(Ni , Ni ) = −. II(N, N)ds < 0 ∂M. i. contradiz a desigualdade acima. Portanto. R M. NdA 6= 0 .. Denotaremos por g o gênero de M e por r o n´ umero de componentes conexas da ∂M. Lembre-se da fórmula da caracter´ıstica de Euler Poincaré (Veja 5.2) χ(M) = 2 − 2g − r..

(77) Cap´ıtulo 3. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos. 33. As ideias na prova do teorema a seguir foram usadas por vários autores para estudar as condi¸coes de estabilidade para superf´ıcies com bordo. Teorema 3.1. Se B é convexo em R3 e φ é estacionário estável, então os u ńicos valores poss´ıveis para g e r são 1. g = 0 ou 1 e r = 1, 2 ou 3 2. g = 2 ou 3 e r = 1. f uma superf´ıcie Riemanniana compacta obtida de M colando um Demonstra¸cão. Seja M disco em cada componente conexa da ∂M. Então existe uma aplica¸caõ não constante e:M f → S2 ⊂ R3 tal que (ver [9], p.261) holomorfa ψ g + 1 e 61+ , grau(ψ) 2. (3.7). onde [x] denota o maior n´ umero inteiro menor ou igual a x. g+1 Observa¸c˜ ao 3.1. Observe que se g é par natural, então 2 = g, enquanto que se 2 g+1 = g + 1. g for um n´ umero ´ımpar natural, então 2 2 e a M. Seja ψ : M → S2 (1) ⊂ R3 a restri¸caõ de ψ Sabemos que existe um difeomorfismo (ver por exemplo [12]) ϕ : S2 → S2 tal que Z (ϕ ◦ ψ)i dA = 0 M. para i = 1, 2, 3. Comparando ψ com um difeomorfismo conforme de S2 podemos assumir que. Z ψi dA = 0, i = 1, 2, 3, M. onde cada ψi são fun¸cões coordenadas de ψ. Pelo fato de φ ser estável e II(N, N) > 0, temos que Z 0 6 I(ψi , ψi ) =. Z ||∇ψi || − ||σ|| 2. ZM. 2. ψ2i. . (3.8). ∂M. ||∇ψi ||2 − ||σ||2 ψ2i dA. 6. II(N, N)ψ2i ds. dA −. (3.9). M. Passando o somatório em i na inequa¸caõ acima e usando o teorema de Gauss-Bonnet (consulte o apêndice) e o fato que 2 2 4H2 − 2K = 4 k1 +k − 2k1 k2 = k21 + 2k1 k2 + k22 − 2k1 k2 = k21 + k22 = ||σ||2 , k1 e k2 2.

(78) Cap´ıtulo 3. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos. 34. curvaturas principais. Tem-se que. Z. Z ||∇ψ|| − ||σ|| 2. 06. 2. . ||∇ψ||2 − 4H2 + 2K dA. dA =. M. M. Z. e − 4H2 A + 4πχ(M) − 2 < 8πgrau(ψ). kg ds,. (3.10). ∂M. onde a u ´ltima integral significa a soma das integrais da curvatura geodésica em M para cada componente conexa da ∂M. Observe que kg = II(N, N) > 0, onde N é tangente a` fronteira de M e essa condi¸cão vem de ser fronteira livre. Usando esse fato e a estimativa e obtemos acima para o grau de ψ, g+1 0 < 8π 1 + − 4H2 A + 4π(2 − 2g − r) 2 g+1 = 4π 2 + 2 − 4H2 A + 4π(2 − 2g − r) 2 g+1 − 2g − r − 4H2 A. = 4π 4 + 2 2 Então g+1 4π 4 − 2g + 2 − r > 4H2 A > 0, 2. (3.11). e, a partir disso, analisemos a desigualdade para g par e ´ımpar. Primeiro caso: Se g for um n´ umero natural par, por 3.11 temos g+1 − 2g − r 0<4+2 2 ⇔ 0 < 4 + g − 2g − r ⇔g+r<4 Logo neste caso, temos que se g = 0, então as possibilidades para r são 1,2 ou 3. Se g = 2 então r = 1. Segundo caso: Se g for um n´ umero natural ´ımpar, de 3.11 temos g+1 0<4+2 − 2g − r 2 ⇔ 0 < 4 + (g + 1) − 2g − r ⇔0<5−g−r Para este caso, temos que se g = 1, então as possibilidades para r são 1,2 ou 3. Se g = 3, então só tem uma possibilidade para r, que é r = 1. Por fim, dos dois casos, chegamos a conclusão que.

(79) Cap´ıtulo 3. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em dom´ınios convexos (i) g = 0 ou 1 e r = 1, 2 ou 3. (ii) g = 2 ou 3 e r = 1.. 35.

(80) Cap´ıtulo 4 Estabilidade para hipersuperf´ıcies em uma bola unit´ aria Nesta se¸cão, nos restringimos a considerar B como uma bola n-dimensional, que assumiremos ter raio unitário e centro na origem. Neste caso, com a mesma nota¸caõ de antes, ao longo da ∂M temos II(N, N) = 1 e a normal externa v do mergulho ∂M ⊂ M (que identificamos com sua imagem por φ∗ ) coincide com a normal externa da esfera unitária, ou seja, o vetor posi¸caõ φ. Podemos mostrar que a divergência da componente tangente φ−hφ, NiN de φ é dada por div(φ−hφ, NiN) = n (1 + Hhφ, Ni). De fato, considerando {ej }n esico, observe o seguinte j=1 um referencial geod´ div(φ − hφ, NiN) =. =. =. =. =. n X h∇ej (φ − hφ, NiN) , ej i j=1 n X j=1 n X j=1 n X j=1 n X. . h∇ej φ, ej i − h∇ej (hφ, NiN) , ej i. . h∇ej φ, ej i − hej (hφ, Ni) N − hφ, Ni∇ej N, ej i. . h∇ej φ, ej i − ej (hφ, Ni) hN, ej i − hφ, Nih∇ej N, ej i. . h∇ej φ, ej i + hSN ej , ej ihφ, Ni. j=1 n X = h∇ej φ, ej i + nHhφ, Ni j=1. = n + nHhφ, Ni.. 36. . . . .

(81) Cap´ıtulo 4. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em uma bola unit´ aria Como o referencial é geodésico, temos ∇ej φ n n X X h∇ej φ, ej i = hej , ej i = n. Segue-se que j=1. ej .. =. 37. E por isso vale. i=1. div(φ − hφ, NiN) = nHhφ, Ni + n = n (Hhφ, Ni + 1) . Integrando esta fórmula sobre M com o aux´ılio do Teorema da divergência e usando que v = φ em ∂M, obtemos a Primeira fórmula de Minkowski Z L=n A+ Hhφ, NidA .. (4.1). M. De fato, sendo Z. Z div (φ − hφ, NiN) dA =. M. hφ − hφ, NiN, vids. ∂M. Por φ = v em ∂M, obtemos Z. Z hv − hv, NiN, ηids =. ∂M. hv, ηids. ∂M. E sabendo que v e η são paralelos e unitários, por Cauchy-Schwarz, temos Z Z Z div (φ − hφ, NiN) dA = hv, ηids = ||v||||η||ds = L, M. ∂M. e portanto. Z L=n A+. ∂M. Hhφ, NidA .. M. Teorema 4.1. Suponha que B ⊂ Rn+1 é uma bola e que φ é estacionária estável. Se φ é m´ınima, então é totalmente geodésico. 1 A. Demonstra¸cão. Vamos definir φ = φ − c, onde c = coordenadas φi de φ pertencem a F, pois Z Z Z Z (φ − c) dA = φdA = φdA − c M. M. Então. R M. M. M. R M. φdA. Veja que as fun¸co˜es. Z. . dA =. φdA − M. 1 A. Z. φdA A = 0.. M. φdA = 0. Agora, usando as condi¸cões de estabilidade de φ e que a segunda. forma fundamental de B é II(N, N) = 1 em ∂M, temos Z Z 2 2 2 0 6 I(φi , φi ) = ||∇φi || − ||σ|| φi dA − M. ∂M. Reescrevendo a desigualdade acima como Z Z Z 2 2 2 ||∇φi || dA > ||σ|| φi dA + M. M. ∂M. 2. φi ds.. 2. φi ds..

(82) Cap´ıtulo 4. Estabilidade para hipersuperf´ıcies em uma bola unit´ aria Portanto,. Z. Z. 2. ||∇φi || dA > 2. φi ds,. 38. (4.2). ∂M. M. e a igualdade 4.2 se mantém se e somente se φ for totalmente geodésica. e − h∇φ, e NiN, então ||∇φ||2 6 n. Da´ı de por 4.2, obtemos que Agora, como ∇φ = ∇φ Z Z Z 2 hφ − c, φ − cids = ||φ||2 − 2hφ, ci + ||c||2 ds. nA > ||φ|| ds = ∂M. ∂M. ∂M. Sendo φ = v ao longo da ∂M, então ∂φi e i , vi = hei , vi = vi = φi . = h∇φi , vi = h∇φ ∂v Lembrando que as fun¸co˜es coordenadas de uma superf´ıcie m´ınima é harmônica, tem-se pelo Teorema da Divergência que Z. Z. 0= R. Note o seguinte, como temos que. ∆φdA = M. φds. ∂M. φi ds = 0 para cada i = 1, 2, 3 e c = (c1 , c2 , c3 ) é constante,. ∂M. Z. Z. 3 X. hφ, cids = ∂M. ∂M. ! φi ci. ds = 0.. i=1. Consequentemente, Z ||φ||2 + ||c||2 ds = L 1 + ||c||2 .. nA > ∂M. Então temos nA > L (1 + ||c||2 ). Por outro lado, por 4.1 temos L = nA. O que implica que L||c||2 6 0. Então c=0. Portanto Z Z nA > ||∇φ||dA > M. ||φ||2 ds = L = nA,. ∂M. e a igualdade acontece em 4.2 e σ ≡ 0. Disto conclu´ımos que φ é totalmente geodésica. Observe que se considerarmos o problema de Plateau para hipersuperf´ıcies m´ınimas com bordo livre (sem restri¸caõ quanto ao volume) em uma bola de Rn , é fácil ver que não há solu¸co˜es estáveis estacionários para este problema. Os argumentos usados na prova do teorema mostram que a u ńica solu¸caõ do ´ındice 1 é a totalmente geodésica. Lema 4.1. Suponha φ que seja estável e estacionário e que B seja uma bola unitária. Se f ∈ C∞ (M) é uma solu¸cão de ∆f + ||σ||2 f = 0. (4.3).