Ano letivo 2021/21
1º Exame - 14 de Junho de 2021
Número : __________ Nome: _________________________________________________________________________________________________________
Grupo I (8 valores)
1. Para a construção de modelos de simulação segundo o método das três fases (ou ABC), os acontecimentos são classificados em “condicionados” e “não condicionados”.
a) Explique a(s) diferença(s) entre estes dois tipos de acontecimentos e a forma como estes são tratados pelo executivo de simulação.
b) Tipicamente, uma qualquer atividade que se desenvolva no sistema em estudo é modelada através de dois acontecimentos: um que corresponde ao início e outro ao fim dessa atividade. Como são classificados estes dois acontecimentos (ainda no âmbito do método das três fases)?
Respostas: 1.a)_________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ 1.b)_________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________
2. É habitual dizer-se ser desejável que o tempo de simulação (duração de cada experiência ou “run”) seja o mais dilatado possível. Explique por palavras suas a razão de ser daquela afirmação.
Resposta: 2.___________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________
3. Um sistema de filas de espera com múltiplos servidores admite duas configurações básicas: servidores universais (que prestam todo o tipo de serviços) ou dedicados (cada um presta um determinado tipo de serviço).
a) Explique por palavras suas porque é inferior o tempo médio de espera dos clientes no caso da configuração com serviços universais (mantendo-se tudo o mais constante, como número de servidores ou taxas de chegada e de serviço, etc.)
b) Identifique os fatores que poderão justificar a opção por serviços dedicados.
Respostas: 3.a)_________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ 3.b)_________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ 4. No algoritmo Simplex (para a resolução de problemas de Programação Linear), há uma regra rígida que determina a escolha da variável não básica (nula) que deverá entrar para a base na iteração seguinte. Explicite esta regra, explique a sua razão de ser e analise criticamente esta opção (nomeadamente em termos de garantias de convergência para a solução ótima e rapidez dessa convergência).
Resposta: 4.___________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ 5. Considere um problema de Programação Linear para o qual se determinou a solução ótima.
a) Suponha que uma das restrições incluída no modelo não existe na realidade. A solução do modelo corrigido (isto é, eliminando a restrição em causa) pode melhorar a solução que se tinha encontrado antes? Justifique.
b) Suponha agora que se verificou depois que, por lapso, não se incluiu na formulação do modelo uma restrição. A solução do modelo completo (incluindo esta restrição) pode melhorar a solução que se tinha encontrado antes? Justifique.
Respostas: 5.a)_________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ 5.b)_________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ ////////////////////////////////////////////////|||||||||||||||||\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Grupo II (4 valores)
Uma empresa de construção civil tem de fornecer um preço global para a execução de uma piscina municipal, dispondo para o efeito de um projeto de estrutura.
Como analista de Investigação Operacional encarregue de toda a operação associada à implementação do projeto, percebeu que a otimização do seu custo implica minimizar a quantidade de aço (em kg) que deve adquirir para a execução da piscina. Deste modo, verificou que são necessários varões de três diâmetros diferentes (de 12, 16 e 20 mm) com comprimentos de 4,5 e 7,0 m, nas quantidades que se indicam no quadro abaixo. Neste apresenta-se ainda o peso do varão por metro de comprimento, para os diâmetros referidos.
Diâmetro do varão
(mm) Peso do varão (kg/m)
Número de varões com comprimento de:
4,5 m 7,0 m
12 0,96 314 610
16 1,57 495 847
20 2,41 669 234
Os varões, comprados a uma empresa metalúrgica, possuirão todos 12 m de comprimento e serão posteriormente cortados de forma a obter os varões de 4,5 e 7,0m requeridos, para os vários diâmetros. Torna-se assim necessário determinar o número de varões (de cada diâmetro) a adquirir.
1. Formule este problema em Programação Linear. Para isso: a) Explicite as variáveis de decisão, indicando o seu significado.
b) Indique a expressão analítica da função objetivo e descreva o seu significado. c) Indique as expressões analíticas das restrições e descreva o seu significado.
2. Ao aplicar o algoritmo do Simplex para resolver o problema, que dificuldades poderão surgir na implementação prática da solução obtida? Justifique. Nota: responda à questão sem efetuar qualquer cálculo.
Grupo III (4 valores)
Numa empresa dedicada à produção de elementos pré-fabricados de betão, com capacidade para produzir cinco tipos de produtos distintos, a determinação das quantidades a produzir semanalmente (X1 a X5, em centenas de unidades) foi obtida após resolução do seguinte problema de Programação Linear, onde se pretende maximizar o lucro obtido com a venda dos referidos produtos.
Max L = 1,5 X1+ 3,5 X2 + 4 X3 + X4 + 5 X5 (em 10² €)
Sujeito a:
R2: 4 X1 + 2 X3 + 3 X4 + X5 110 (Disponibilidade de espaço em centenas de m²) R3: X1+ X2 + 2 X3 + X4 + 5 X5 60 (Disponibilidade de equipamento em horas/semana)
X1 0, X2 0, X3 0, X4 0, X5 0
Após resolução, obteve-se o seguinte quadro ótimo do Simplex (onde Fi designa a variável de folga da restrição Ri, i = 1,2,3): X1 X2 X3 X4 X5 F1 F2 F3 TI 0 1 0 0 -5/2 1/2 0 -1 10 3 0 0 2 -13/2 1/2 1 -2 60 1/2 0 1 1/2 15/4 -1/4 0 1 25 -1/2 0 0 -1 -5/4 -3/4 0 -1/2 -135
Nota: admita que toda a produção é absorvida pelo mercado.
a) Caracterize a solução ótima: indique os valores das variáveis de decisão e de folga, elucidando o significado de cada uma, e apresente o valor do lucro.
b) Uma revisão dos preços oferecidos pela concorrência levou a que o lucro unitário do produto tipo 1 aumentasse de 1,5 para 2,5 (10² €).
b1) Efetue a revisão do quadro ótimo, para esta alteração, e justifique que a solução anterior deixou de ser ótima mas continua a ser uma solução básica possível do problema.
Nota: caso não saiba resolver a alínea b1), considere na resolução da alínea b2) que o coeficiente da variável X1 no quadro ótimo revisto é igual a 1,5.
b2) Efetue uma iteração do algoritmo do Simplex, a partir do quadro ótimo revisto, e indique se a solução encontrada é ótima. Justifique.
Nota: nas alíneas seguintes considere o problema e o quadro ótimo apresentados inicialmente, ou seja, sem as alterações da alínea b).
c) A empresa está a pensar aceitar uma encomenda. De acordo com essa encomenda, a produção semanal deverá cumprir uma restrição adicional em que o somatório das unidades produzidas deve ser, no mínimo, de 40 (centenas de unidades). Nestas condições, o atual planeamento semanal da produção deverá manter-se? Justifique a resposta.
d) A empresa, face a solicitações do mercado, decidiu aumentar a sua capacidade produtiva mobilizando recursos adicionais. Sabendo que todos os recursos necessários ao processo produtivo possuem o mesmo custo adicional por unidade e que a empresa apenas pretende recorrer ao aumento de disponibilidade de um destes, qual dos recursos deve ser incrementado de forma a que o aumento do lucro (por unidade do recurso) seja máximo? Justifique.
e) Até que quantidade deve ser incrementada a disponibilidade deste recurso? Indique como procederia para calcular este valor, mencionando todos os passos relevantes, porém sem concretizar o cálculo.
Grupo IV (4 valores)
Uma oficina é composta por dois subsistemas (ou estações) em sequência, Mecânica I e Mecânica II, nos quais ocorre a reparação de pequenas peças de uso na indústria da construção. A oficina opera 12h por dia, e 22 dias por mês. A esta oficina chegam 30 pedidos de reparação por hora segundo um processo Poissoniano.
O subsistema Mecânica I possui dois mecânicos, cada um capaz de despachar um pedido em 2min, em média. O tempo de serviço neste subsistema segue uma distribuição exponencial. Dos pedidos que chegam a esta estação, sabe-se que 40% saem da oficina sem necessitarem de intervenção na estação Mecânica II. Os restantes 60% dos pedidos seguem diretamente para a Mecânica II, a qual possui apenas um mecânico, que ultima alguns pormenores do pedido e avalia a qualidade do serviço de reparação. Este mecânico demora cerca de 3min a despachar um pedido, tempo esse que pode ser considerado constante. Porém, são detetados defeitos em cerca de 30% dos pedidos aí avaliados, pelo que estes regressam à estação Mecânica I para nova reparação. Neste cenário, o pedido não regressa à estação Mecânica II, ou seja, a mesma peça não é avaliada duas vezes pela Mecânica II.
a) Usando a teoria de Filas de Espera (FE), represente e caracterize os subsistemas da oficina em termos do tipo de modelo de FE respetivo. Calcule as taxas de chegada e de serviço (atendimento) de cada estação e discuta as condições de estabilidade do sistema. Mencione todas as hipóteses que considerar necessárias para a resolução do problema.
Considere daqui em diante que não são detetadas peças defeituosas na estação Mecânica II. Resolva as seguintes questões com base nesse pressuposto.
b) Qual a probabilidade de, num dado momento, não existir qualquer pedido na estação Mecânica I? Justifique c) Quantos pedidos, em média, aguardam atendimento pela Mecânica I? Justifique.
d) Quanto tempo, em média, espera um pedido para ser atendido, sabendo que o mesmo é reparado nas estações Mecânica I e Mecânica II? Justifique. Apresente o resultado expresso em minutos.
e) Quanto tempo, em média, se encontra um pedido dentro do sistema? Justifique. Apresente o resultado expresso em minutos.
f) Face ao tempo de permanência no sistema, que se considera exagerado pela gestão da oficina, decidiu-se pelo aluguer de uma máquina de apoio à estação Mecânica II. Essa máquina é tal que permite reduzir o tempo médio nesse servidor para 90 segundos por pedido, sendo que o tempo segue uma distribuição exponencial. Determine o custo de aluguer mensal máximo que justifica o aluguer dessa máquina, sabendo que a gestão da oficina atribui o valor de 5u.m. por cada hora que um pedido permanece no sistema. (u.m. refere-se a unidades monetárias)
