– FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU –
1- Analisando os valores mensais arrecadados com impostos em um município, percebeu-se que eles poderiam ser matematicamente modelados por uma função cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima.
Dentre as funções mostradas a seguir, a que possui um gráfico que é uma parábola com concavidade voltada para cima está corretamente indicada em
a) F(x) = 10 b) F(x) = 32x + 47 c) F(x) = −5x + 101 d) F(x) = 23x² + 8x + 29 e) F(x) = −53x² + 923x + 4 Resolução da questão:
Vamos analisar as alternativas:
a) F(x) = 10 → Essa não é uma função do 2º grau, é uma função constante.
b) F(x) = 32x + 47 → Essa não é uma função do 2º grau, é uma função do 1º grau, pois o maior expoente da sua variável é 1
c) F(x) = −5x + 101 → Essa não é uma função do 2º grau, é uma função do 1º grau, pois o maior expoente da sua variável é 1
d) F(x) = 23x² + 8x + 29 → Essa é uma função do 2º grau com a maior que zero, o que quer dizer que a concavidade será para cima.
e) F(x) = −53x² + 923x + 4 → Essa é uma função do 2º grau com o a menor que zero, o que indica que a concavidade da parábola é voltada pra baixo.
Gabarito: D
2- Dadas as funções f(x) = 2x2 − 32 e g(x) = −2x2 + 32, um possível valor de x que satisfaz a igualdade f(x) = g(x) é:
a) −2.
b) −16.
c) 16.
d) −4.
e) 2.
Resolução da questão:
Para isso, vamos igualar as funções:
2x² - 32 = -2x² + 32 2x² +2x² = 32 + 32 4x² = 64
x² = 64/4 x² = 16 x = √16 x = ± 4
Portanto, os números 4 e -4 satisfazem essa igualdade.
Gabarito: D
3- Se em f(×) = 20 em f(×) = x² − 5 , então “x” é igual a:
a) 20.
b) ou -5 ou 5.
c) Exatamente -5.
d) Exatamente 5.
e) 15.
Resolução da questão:
A questão fornece o valor de f(x) e a função a ser usada, vamos nem trocar ideia, é só substituir:
f(x) = x² - 5 20 = x² - 5 x² = 20 + 5 x² = 25 x = ±√25 x = ±5
Logo, x1 = 5 e x2 = -5 Gabarito: B
4- Para que a função seja uma função f(×) = (a − 5)x² +6x + 7 do segundo grau, é necessário e suficiente que “a”:
a) Seja o número real igual a 5.
b) Seja um número real maior do que 5.
c) Seja um número real diferente de 5.
d) Seja um número real menor do que 5.
e) Não seja um número real.
Resolução da questão:
Vimos que uma função com forma ax² + bx + c é uma função do segundo grau, onde a deve ser diferente de 0.
Na função apresentada nessa questão (a – 5) deve ser diferente de zero, para que seja caracterizada um função do 2º grau.
Portanto:
a – 5 ≠ 0 a ≠ 5
Concluímos que a pode ser qualquer número real diferente de 5.
Gabarito: C
5- A equação do segundo grau recebe esse nome pelo fato de o grau da função (expoente de maior valor) ser igual a dois. Considere a seguinte equação e o seu gráfico plotado:
Avalie agora as seguintes proposições:
I - A função apresenta duas raízes reais.
II - O ponto de mínimo da função é (3, 1).
III - A função não apresenta valores negativos (y < 0) para todo o domínio de x.
É/são CORRETA(S) somente a(s) proposição(ões):
a) I.
b) II.
c) III.
d) II e III.
e) I e II.
Resolução da questão:
Avaliando as afirmações:
I - A função apresenta duas raízes reais. → Incorreta. Vemos claramente no gráfico que essa função não apresenta raízes reais, visto que a parábola não corta o eixo x.
II - O ponto de mínimo da função é (3, 1). → Correta. Para descobrir o mínimo de uma função temos que calcular o x do vértice e o y do vértice:
xv = -b/2a xv = 6/2. 1 xv = 6/2 xv = 3
yv = -∆/4a
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-6)² - 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = -4
yv = 4/4.1 yv = 4/4 yv = 1
Concluímos que o mínimo dessa função é (3,1)
III - A função não apresenta valores negativos (y < 0) para todo o domínio de x.
É/são CORRETA(S) somente a(s) proposição(ões): → Correta. Podemos ver claramente no gráfico que não existem valores negativos para y. Outra prova é que vimos na afirmação anterior que o mínimo da função é 1.
Com isso, concluímos que apenas as afirmações II e III estão corretas.
Gabarito: D
6- O valor mínimo da função f(x) = x² − 5x + 6 é:
a) 0.
b) 1/4.
c) −1/4.
d) 2.
e) -3.
Resolução da questão:
Sabemos que o ponto mínimo da função é o y do vértice que é dado pela fórmula: -∆/4a
f(x) = x² − 5x + 6 a= 1, b= -5, c = 6
∆ = (-5)² - 4 . 1 . 6
∆ = 25 – 24
∆ = 1
yv = -1/4.1 yv = -1/4
Logo, o y do vértice – ¼ Gabarito: C
7- O gráfico que melhor representa a parábola da função: y = Kx² + Kx – K, K ∈ R* é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução da questão:
Vamos por eliminação:
De primeira, eliminamos as alternativas “b” e “d”, pois ambas apresentam gráfico com concavidade pra baixo e a função y = Kx² + Kx – K possui a positivo, logo, sua concavidade será para cima.
Em seguida, analisamos o c, o c = -k, sabendo que o c é negativo, a parábola deverá tocar no eixo y na parte abaixo do zero. O que não acontece nas alternativas “c” e “e”.
Por isso, o gráfico que melhor representa a parábola da função:
y = Kx² + Kx – K é o gráfico apresentado na letra a.
Gabarito: A
8- Se f(x) = x² + 4x + 10, então f(1) é:
a) 1.
b) 4.
c) 10.
d) 12.
e) 15.
Resolução da questão:
Função rima com substituição.
Para saber o valor de f(1) é só substituir onde tem x por 1:
f(x) = x² + 4x + 10 f(1) = 1² + 4.1 + 10 f(1) = 1 + 4 + 10 f(1) = 15
Gabarito: E
9- Sobre a função f: R→R, cuja representação algébrica é y = f(×) = x² – 144, é correto afirmar que o vértice de sua representação gráfica é um ponto:
a) de máximo e tem coordenadas (–144, 0).
b) de mínimo e tem coordenadas (–144, 0).
c) de máximo e tem coordenadas (0, –144).
d) de mínimo e tem coordenadas (0, –144).
e) de máximo e tem coordenadas (0, 144).
Resolução da questão:
Vimos que quando o a é positivo, a parábola tem a concavidade voltada pra cima e tem o ponto mínimo. E quando o a é negativo, a parábola tem a concavidade voltada pra baixo e tem ponto máximo.
Como essa função tem o a maior que zero, ela terá ponto mínimo.
Para encontrar as coordenadas do ponto mínimo, usamos as fórmula do x e y do vértice:
a = 1, b = 0, c = -144
Xv = -b/2a Xv = 0/2 Xv = 0 Yv = -∆/4a
Vamos descobrir o valor de ∆:
∆ = 0² - 4 . 1 . (-144)
∆ = 576
Yv = -576/4.1 Yv = -144
Portanto, as coordenadas do ponto mínimo são (0, -144) Gabarito: D
10- Observe atentamente a figura abaixo, a qual representa o gráfico de y = ax² + bx + c.
Assinale a única afirmativa FALSA em relação a esse gráfico.
a) a é positivo.
b) b² – 4.a.c é positivo.
c) ele tem um ponto máximo.
d) c é negativo.
Resolução da questão:
Analisando as afirmações:
a) a é positivo. → Verdadeira. A concavidade está voltada pra cima, isso indica que o a é positivo.
b) b² – 4.a.c é positivo. → Verdadeira. b² – 4.a.c indica a fórmula do delta e quando o delta é positivo a função possui 2 raízes reais e distintas.
c) ele tem um ponto máximo. → Falsa. A função onde o a é maior que zero não possui ponto máximo, possui ponto mínimo.
d) c é negativo. → Verdadeira. A parábola está tocando o eixo y abaixo de zero.
Apenas a alternativa C apresenta uma afirmação falsa.
Gabarito: C
