Função do 2º grau

Função do 2º grau

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Aproveite, e resolva em seu caderno, as equações do segundo grau acima.

Gráfico de uma função do 2º grau:

Representação gráfica Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola

x y = f(x) = x² -

1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da parábola y=x²- 4x+3

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Logo, as coordenadas do vértice serão V= ( , _) Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico: Concavidade da parábola

a>0 a<0

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a

concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste)

Exemplos:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

1) Sendo a>0:

y = f(x) = x²+5x+6 .

2) Sendo a < 0:

Y = f(x) = -x² + 4

Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra- se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos

anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

Resumindo:

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

a<0 a<0 a<0

Esboçando o gráfico

Para finalizarmos, vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3 1ª etapa: Raízes ou zeros da função

a>0 a>0 a>0

Exercícios

1) Qual a parábola abaixo que poderia representar uma função quadrática com discriminante negativo

2) Observe o gráfico abaixo:

A função representada no gráfico pode ser definida por:

a) X² -4x + 3 b) X² + 4x – 3 c) – x² + 4x – 3 d) – x² - 4x – 3

3) (ACAFE - SC) - A função f(x) = x² - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

4) (PUC - MG) - O valor máximo da função f(x) = - x² + 2x + 2 é:

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

5) (UEL-PR)- Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x² -5x + 9, então x + y é igual a:

a. 5/6 b. 31 /14 c. 83/12 d. 89/18 e. 93/12

ingestão do mesmo. Nessas condições, o tempo necessário para atingir o nível máximo de concentração desse antibiótico, no sangue desses cobaias, é:

a) 3 b) 5 c) 6 d) 12 e) 15

8) O gráfico de f(x) = x² bx c , onde b e c são constantes, passa pelos

7) Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias, varia de acordo com a função y = 12x – 2 x ² , onde x é o tempo decorrido, em horas, após a

pontos (0,0) e (1,2).Então f(-2/3) vale:

a) -2/9 b) 2/9 c) -1/4 d) 1/4

10) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t – t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir:

I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima.

II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m.

III. Essa função possui duas raízes reais.

É correto afirmar que:

a) todas as afirmativas são verdadeiras b) todas as afirmativas são falsas c) somente a afirmativa I é falsa d) somente a afirmativa II é verdadeira e) somente a afirmativa III é verdadeira

11) Esboce o gráfico das funções abaixo:

a)f(x) = x² – 13x + 42 b)f(x) = -2x² – 5+6 c)f(x)=3x² + x – 14 d)f(x)= 5x² – 3x – 2

e) f(x)=12 – 2x² -8x - 2 f) f(x) =2x (5 – x) -x² - 3 g) f(x) = 5x² – 2x + 1

h) f(x) = (x – 1)(3x + 2)