Função do 2º grau
Thiago Lainetti
A palavra parábola está, para os estudantes do ensino médio, associada ao gráfico da função polinomial do segundo grau. Embora quase todos conheçam as antenas parabólicas, nem todos fazem ligação entre uma coisa e outra. Os espelhos dos telescópios e dos faróis dos automóveis também são parabólicos
É toda função da forma:
Onde:
é o termo independente
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 , com a ≠ 0.
é o coeficiente de x²
é o coeficiente de x
𝑎 𝑏 𝑐
= 3
Nas funções abaixo determine o valor de a, b e c.
= -8
= 4
𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 8𝑥 + 4 𝑎 𝑏 𝑐
= -1
= 2
= -1
𝑓(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥 − 1 𝑎 𝑏 𝑐
A PARÁBOLA terá concavidade voltada para cima se a for positivo.
a>0
A PARÁBOLA terá
concavidade voltada para baixo se a for negativo.
a<0
O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva chamada PARÁBOLA.
para cima (alegre)
para baixo
(triste)
PONTO DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO 0y
Para obter esse ponto, atribuímos o valor zero à variável x da equação da parábola,
Logo, o ponto de intersecção da parábola com o eixo 0y é (0, c).
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑎 . 02 + 𝑏 . 0 + 𝑐 𝑦 = 𝑐
Raízes da função quadrática
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau, dada por f(x) = ax² + bx +c, com a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
Então as raízes da função são as soluções da equação do 2º grau, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥 = −𝑏 ± 𝛥
2𝑎 , 𝑐𝑜𝑚 𝛥 = 𝑏² − 4𝑎𝑐
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante (), a saber:
• Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• Quando é zero, há só uma raiz real;
• Quando é negativo, não há raiz real.
Observação:
Soma e produto das raízes
Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Vamos calcular x1 + x2 e x1.x2.
Forma fatorada
y = a.(x - R1)(x - R2), 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏
𝑎 𝑥1. 𝑥2 = 𝑐
𝑎
Raízes
a b
−2 a
4
−
y
x
a < 0
a b
−2
a 4
− x
y
a > 0
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a < 0
Em qualquer caso, as coordenadas de V são −2𝑎𝑏 , −4𝑎𝛥 . ponto de mínimo V;
ponto de máximo V.
Quando a > 0
Eixo de simetria
Exemplo: Construa o esboço do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6 𝑎 𝑏 𝑐
a) Determine o valor de a, b e c
= 1
= -5
= 6
Observe e responda:
b) Determine sua concavidade.
Como a = 1 (a > 0) , sua concavidade será voltada para cima.
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6
c) Determine a intersecção com o eixo 0y.
Como y = c , temos:
Observe e responda:
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6y = 6
E portanto, o ponto (0,6)
d) Determine os zeros da função.
Resolvendo Delta: Resolvendo BASKARA:
Observe e responda:
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = (−5)² − 4(1)(6) 𝛥 = 25 − 24
𝛥 = 1
𝑥 = −𝑏 ± 𝛥 2𝑎
𝑥 = −(−5) ± 1 2
𝑥 = 5 ± 1 2
3 2
e) Determine as coordenadas do vértice.
Como V(x
v, y
v), temos:
Observe e responda:
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6𝑥𝑣 = − 𝑏
2𝑎 = − −5
2 = 5 2
𝑦𝑣 = − 𝛥
4𝑎 = − 1 4
f) Construa o gráfico.
2 3 6
Observe e responda:
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6−1 4
5 2
Estudo do sinal da função quadrática
O sinal depende do valor de e do coeficiente a:
1) a > 0
• a função é crescente no intervalo x > xV.
• a função é decrescente no intervalo x < xV.
Estudo do sinal da função quadrática
O sinal depende do valor de e do coeficiente a:
2) a < 0
• a função é crescente no intervalo x < xV.
• a função é decrescente no intervalo x > xV.
Observe:
1º) Como a parábola tem concavidade voltada para baixo a é negativo.
2º) Os zeros da função são distintos e negativos.
3º) A intersecção com o eixo y é negativa.
4º) xv é negativo e yv é positivo.
Observe:
1º) Como a parábola tem concavidade voltada para cima a é positivo.
2º) Os zeros da função são iguais e positivo (um ponto).
3º) A intersecção com o eixo y é positiva.
4º) xv é positivo e yv = 0. Obs.: O zero da função é igual ao xv.
Observe:
1º) Como a parábola tem concavidade voltada para cima a é positivo.
3º) A intersecção com o eixo y é positiva.
Obs.: Sempre que for negativo a parábola não toca o eixo x
4º) xv é negativo e yv é positivo.
2º) Não tem zero da função, 0.
