Iniciação ao MatLab
Eugênio Silva E Adriano Cruz
Introdução
Introdução
• MatLab – Matrix Laboratory (Universidades de Stanford e Novo México - 1970)
• originalmente escrito para trabalhar com matrizes e vetores
• evoluiu ao longo do anos até se tornar uma ferramenta de ampla abrangência.
Introdução
• o MatLab é uma poderosa ferramenta matemática e uma linguagem de programação de alto-desempenho para a computação científica
• integra cálculos matemáticos, visualização e programação em um ambiente interativo
• é de fácil utilização
Exemplo – transpor uma matriz
• Pascal
var
a, b : array [1..3, 1..3] of integer;
i, j : integer;
begin . . . for i = 1 to 3
for j = 1 to 3 b(j,i) := a(i,j);
end;
end;
• MatLab
>> a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> b = a’
b = 1 4 7 2 5 8 3 6 9
Introdução
• o elemento de dados básico é uma matriz
• matrizes e vetores são manipulados com mais facilidade e rapidez que em programas escritos em linguagens não-interativas como Pascal, C ou Fortran
Introdução
• Linha de comandos – é possível usar o matlab através de comandos emitidos a partir de linha de comandos
• scripts – arquivos que contém comandos matlab
Introdução
• toolboxes - bibliotecas de funções que permitem a resolução de classes particulares de problemas
• simulink - acessório que acrescenta uma interface de diagramas de blocos e recursos de simulação real aos demais recursos numéricos, gráficos e de linguagem
Aplicações
• matemática e computação
• desenvolvimento de algoritmos
• modelagem, simulação e prototipação
• análise de dados, exploração e visualização
• gráficos científicos em duas e três dimensões
Help
• On line
• Linha de comandos - –help
–help elfun –help abs
• demos - –demo
Comandos
Operações Elementares
>> 4 + 6 – 2 ans =
8
>> 4 * 2 + 6 * 5 + 2 * 9
ans = 56
>> 25 / 5 + 5 \ 25 ans =
10
>> 3 ^ 2 * 2 ^ 2 + 2 ans =
38
Prioridades
• Parênteses
• Potência
– 3 * 2 ^ 3 = 24
• * e /
– Resolvendo da esquerda para direita – 8 / 4 * 3 = 6
• + e -
– Resolvendo da esquerda para direita
Números
• Inteiros: 32, -12345
• Reais: 3.1789, -23.0, 1.0e-3
• Complexos: 3.2 – 23.5i
• Inf: Infinito (resultado da divisão por 0)
• NaN: Not a number 0/0
• Contas são feitas com 15 dígitos aproximadamente
• Comando format controla impressão dos resultados.
Definição de Variáveis
>> a = 10 a =
10
>> b = 20;
O ‘;’ evita que o resultado apareça na tela.
>> c = 1 + 2i ou c = 1 + 2j c =
1.0000 – 2.0000i
Nomes de Variáveis
• Combinações de letras e números, começando com letra
– n1, ab, temp
• Nomes especiais
– eps = 2.220446049250313e-16 (o menor número tal que 1 + eps é indistinguível de 1)
– pi – i, k
Variáveis Pré-definidas
• ans: váriavel padrão usada para resultados de expressões do tipo
– >> 3 + 5
• pi
• iouj: igual a raiz quadrada de -1
• realmax: maior número real utilizável – 1.797693134862316e+308
• realmin: menor número real utilizável – 2.225073858507201e-308
Variáveis Pré-definidas
• nargin: número de argumentos de entrada
• nargout: número de argumentos de saída
Funções Elementares
• abs(x) valor absoluto de x
• sin(x) seno de x
• asin(x) arc seno x
• cos(x) co-seno x
• acos(x) arc co-sen x
• tan(x) tangente x
• exp(x) e elevado a x
Funções Elementares
• log(x) log inverso de exp(x)
• log10(x) log base 10 de x
• gcd(x,y) mdc de x e y
• lcm(x,y) mmc entre x e y
• max(x) máximo de x
• min(x) mínimo de x
• inv(x) matriz inversa de x
• ...
Espaço de Trabalho
>>who lista variáveis na memória
>> whos lista variáveis detalhadamente
>> clear apaga variáveis da memória
>> save salva variáveis em arq .mat
>> load carrega variáveis de um .mat
>> format formato de apresentação dos resultados
Comandos do SO
>> dir ou ls arquivos do diretório
>> cd ou pwd diretório corrente
>> cd . . diretório acima do corrente
>> cd \ diretório raiz
>> delete <arquivo> apaga arquivo
>> edit <arquivo> abre arquivo para edição
>> type <arquivo> mostra o conteúdo do arquivo
>> quit ou exit sai do ambiente
Vetores
Vetores em linha
>> x = [ 1 3 5 ];
>> lenght(x) ans =
3
>> y = [ 3 4 5 ];
>> x + y ans =
4 7 10
>> z = 3 * y ans =
9 12 15
Vetores
>> x = [ 1 3 5 ];
>> v1 = [ 3 4 5 6];
>> x + v1
??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree.
Gerando vetores
>> x = [0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1] .* pi ou
>> x = (0:0.1:1).* pi ou
>> x = linspace(0,pi,11)
>> y =sin(x)
Gerando vetores
• linspace(x1,x2) gera um vetor linha com 100 pontos igualmente espaçados.
• linspace(x1,x2,n) gera vetor com n pontos entre x1 e x2
>>linspace(0,pi,11)
Gerando vetores
• a : b : c gera vetor começandoem a, incrementandopor b, atéchegarem c. Não gera além de c.
>> 0:0.1:1 ans =
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
• a : b gera vetor começando em a até chegar em b incrementando por 1
Manipulando vetores
• x = (0:0.1:1)*pi
x = 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416
• x(6) = 1.5708
• x(1:5) = 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566
• x(7:end) = 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416
• x(3:-1:1) = 0.6283 0.3142 0
• x(2:2:7) = 0.3142 0.9425 1.5708
Manipulando vetores, matrizes
x = 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416
• x([8 2 9 1]) = 2.1991 0.3142 2.5133 0
• z = x[(2:5) 4 5 7] = 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 4.0000 5.0000 7.0000
• w = [ x y ] %vetor linha
• k = [ x; y ] % matriz com duas linhas
Manipulando vetores, matrizes
• A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
• A(3,3) = 9
• A(2, 2:3) = 5 6
• A(3,:) = 7 8 9 % : todas as colunas
Manipulando vetores, matrizes
• B = A(3:-1:1, : )
• B = [78 9; 45 6; 12 3]
• C = [A B( : , [1 3])]
– C = [1 2 3 7 9; 4 5 6 4 6; 7 8 9 1 3]
• B(:,2) = [ ]
– B = [7 9; 4 6; 1 3]
• B = A(:,[2 2 2 2])
– B = [2 2 2 2; 5 5 5 5; 8 8 8]
Operações Especiais
>>eye(linhas,colunas) Cria matriz identidade
>> det(m) Determinante de m
>> zeros(n1,n2,n3,...) Matriz de zeros
>> inv(m) Inversa de m
>> ones(n1,n2,...) Matriz de uns
>> m’
Transposta de m
>> rand (n1,n2,...)
Matriz de rand entre 0 e 1.0
Matrizes
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
matriz(10) ou matriz(2,3)
Busca de Sub-Matrizes
>> x = -3:3 x =
-3 -2 -1 0 1 2 3
>> k = find(abs(x) > 1) k =
1 2 6 7
>> y = x(k) -3 -2 2 3
>> A= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> [ i , j ] = find(A > 5) i = 3 j = 1
3 2 2 3 3 3
Dimensões de Vetores e Matrizes
whos lista as variáveis e suas dimensões s = size(A) retorna o número de linhas e colunas de
A
[x,y] = size(A) x contém o núm de linhas e y o de colunas
x = size(A,1) retorna o número de linhas de A y = size(A,2) retorna o número de colunas de A n = length(A) retorna max(size(A))
Operações com Vetores e Matrizes
a = [a1 a2... an], b = [b1 b2... bn], c = <um escalar>
adição a escalar a + c = [a1 + c ... an+ c]
multiplicação por escalar a * c = [a1* c ... an* c]
soma de vetores a + b = [a1 + b1... an+ bn] multiplicação de vetores a .* b = [a1 *b1... an*bn]
Operações com Vetores e Matrizes
a = [a1 a2... an], b = [b1 b2... bn], c = <um escalar>
Divisão vetores (a/b) a ./ b = [a1 /b1 ... an/bn] Divisão vetores (b/a) a .\ b = [a1\b1 ... an\bn] Potenciação vetorial c.^a = [c^a1 ... c^an]
Alguns exemplos
• x = [ 1 2 3 4], y = [ 1 1/2 1/3 1/4];
• x .* y % dot product 1 1 1 1
• x * y' % scalar product 4
• sqrt( x * x') %Comprimento vetor 5.4722
Mais exemplos: resolução de sistemas de equações
• 2x
1 - x
2 = 1
• X
1 - 2x
2 + x
3 = 0
• - x
2 + 2x
3 = 1
• Ax = b; x = A-1b; x = A \ b
Mais exemplos: resolução de sistemas de equações
• A = [ 2 -1 0; 1 -2 1; 0 -1 2];
• b = [1; 0; 1]
• Em notação matricial Ax = b
• x = A-1b;
• X = inv(A) * b;
• x = A \ b;
Gráficos
Gráficos Bidimensionais
>> x = linspace(0, 2 * pi, 30);
>> y = sin(x);
>> z = cos(x);
>> plot(x,y,x,z)
Títulos, Rótulos e Grids
>> x = linspace(0, 2 * pi, 30);
>> y = sin(x);
>> plot(x,y,x,z);
>> title('Grafico de y = sen(x)');
>> xlabel('Eixo x');
>> ylabel('Seno(x)');
Legendas
>> x = linspace(0, 2 * pi, 30);
>> y = sin(x);
>> z = cos(x);
>> plot(x,y,x,z);
>> legend('curva sen', 'curva cos');
Linhas: Estilos e Cores
>> x = linspace(0, 2 * pi, 30);
>> y = sin(x);
>> z = cos(x);
>> subplot(2,1,1)
>> plot(x,y,’go’)
>> subplot(2,1,2)
>> plot(x,z,’r*’)
Hold
• Comando plot limpa a janela do gráfico antes de desenhar o novo gráfico
• Isto não é conveniente se desejarmos adicionar outros gráficos no futuro
• Usar hold para evitar limpeza da janela
• plot(x,y,'w-'), hold on
• plot(x,y,'gx'), hold off
• hold off não limpa a janela (usar clf)
Subplots
• A janela do gráfico é dividida em uma matriz m x n de pequenas janelas.
• As janelas são contadas entre 1 e m x n
• Cada subfigura é tratada como uma figura podendo ter mais de uma curva, estilos, legendas, cores etc
Subplots
x = linspace(0,2*pi,30);
y1 = sin(x);
y2 = sin(2*x);
y3 = sin(3*x);
y4 = sin(4*x);
subplot(221), plot(x,y1), legend('y = sen(x)');
subplot(222), plot(x,y2), legend('y = sen(2*x)');
subplot(223), plot(x,y2), legend('y = sen(3*x)');
subplot(224), plot(x,y4), legend('y = sen(4*x)');
Subplots
Gráficos Bidimensionais
>> x = -2.9 : 0.2 : 2.9;
>> y = randn(5000,1);
>> hist(y,x)
Textos Formatados
• Possível aumentar ou diminuir fontes
• Alguns comandos latex podem ser usados
• É possível obter os valores de qualquer propriedade através do “handle” da figura
• handle = plot(x,y);
• get (handle, 'markersize');
Controlando os eixos
• Uma vez que um gráfico foi criado é possível mudar a excursão dos valores x e y mostrados na figura.
• clf, N=100; h=1/N; x = 0:h:1;
• y = sin(3*pi*x), plot(x,y);
• axis([-0.5 1.5 -1.2 1.2]), grid;
Controlando os eixos
Gráficos Tridimensionais
>> t = 0 : pi / 50 : 10 * pi;
>> plot3(sin(t),cos(t),t);
>> title(‘hélice’)
>> xlabel(‘sen(t)’)
>> ylabel(‘cos(t)’)
>> zlabel(‘t’)
>> grid
Gráficos Tridimensionais
%z = f(x,y)
x = -0.5*pi:0.1:0.5*pi;
y = x; % minusculas [X Y] = meshgrid(x,y);
Z = sin(2*X)+sin(3*Y); % maiusculas mesh(X,Y,Z);
title('Ex de graf 3D');
Gráficos Tridimensionais O mesmo com surf
O mesmo com surfl Gráficos Tridimensionais
>> surf(peaks)
Scripts
Arquivos M (Scripts)
• Armazenam uma sequência de comandos em um arquivo texto que é executado a partir do prompt
• Úteis quando o número de comandos a serem executados é grande, ou caso seja necessário alterar os valores das variáveis e re-executar alguns comandos
• Devem ter a extensão .m
Scripts em Matlab
• Scripts não aceitam e não retornam argumentos.
• Scripts podem alterar as variáveis do espaço de trabalho (workspace) atual.
• Scripts podem conter comandos que interagem com o usuário e/ou arquivos.
• Use scripts para:
–Automatizar a execução de uma seqüência de comandos frequentemente utilizados –Documentar os passos de um processo
Scripts em Matlab
%Exemplo de script
%
clear all;
x = 0:0.01:2*pi;
eixos = [0 2*pi -2 +2];
y1 = sin(x);
y2 = cos(x);
y3 = tan(x);
y4 = zeros(size(x));
plot (x,y1,x,y2,x,y3,x,y4,'k');
axis (eixos);
legend('Seno', 'Coseno','Tangente');
title('Graficos de seno, coseno e tangente.');
xlabel('Angulos');
ylabel('Seno, coseno e tangente');
Scripts em Matlab Scripts
• Para executar um script armazenado em um arquivo digite o nome do arquivo sem o .m
• O que aparece na tela são os resultados da execução dos comandos.
• echo on faz com que os comandos apareçam antes da execução.
• echo off faz com que os comandos
Alguns Comandos e Funções
Estrutura Condicional – if
>> if expressão_1 comandos_1;
elseif expressão_2 comandos_2;
else
comandos_3;
end
Operadores Relacionais e Lógicos
< menor que
<= menor ou igual
> maior que
>= maior ou igual
= igual
~= diferente
& e
| ou
~ não
Funções Relacionais e Lógicas
xor(x,y) ou exclusivo
ischar(x) 1 se x é um vetor de caracteres
isequal(x,y) 1 se x e y são iguais isempty(x) 1 se x é vazio ismember(x,y
)
1 se os elementos de x pertencem a y
isstruct(x) 1 se x é uma estrutura
Estrutura Condicional – switch - case
>> switch expressão
case teste_expressão_1 comandos_1 case teste_expressão_2
comandos_2 otherwise
comandos_3 end
Laços de Repetição – for / while
>> for x = vetor comandos;
end
>> while expressão comandos;
end
Laços de Repetição clf;
x = -2:0.1:2;
hold on;
for n = 1:8
plot(x,n*x .*x );
end
hold off;
Laços de Repetição
Otimização de Código
• o laço de repetição for i = 0:999
x(i+1) = sin(2*pi*i/100);
end
• pode ser substituído por
x = sin(2*pi*[0:999]/100);
Funções dos Arquivos M
disp(x) Mostra resultado sem identificar variável
echo controla a exibição dos comandos input solicita ao usuário a entrada keyboard transfere o controle para o teclado pause(n) suspende execução por n segundos pause suspende até que tecla seja
pressionada
Análise de Dados
cov(x) matriz de covariância min(x) componente mínima max(x) componente máxima mean(x) média
rand(x) núm. aleatórios uniformemente distrib var(x) variância
std(x) desvio padrão
sum(x) soma dos elementos da coluna
Funções criadas pelos
usuários
Funções em Matlab
• Uma função em Matlab é um arquivo de texto.
• Arquivos de funções devem ter um nome igual ao nome da função.
• Um conjunto de funções e scripts pode ser agrupado em um único diretório. O conjunto é chamado de toolbox.
• Toolboxes extendem as capacidades do Matlab
Funções criadas pelo usuário
• a partir da segunda vez a execução de uma função é mais rápida que da primeira
• as linhas de comentário que antecedem a primeira linha sem comentário aparecem quando se pede ajuda
Arquivos M de funções
• variáveis criadas dentro de uma função permanecem apenas no espaço de trabalho da função
• funções podem compartilhar variáveis com outras funções desde que sejam declaradas como globais
• arquivos M de funções podem conter mais de uma função, a função primária e as sub-funções
Funções em Matlab
function [d] = distPontos(p1,p2)
%
% Calcula a distancia entre dois pontos
% p1 = [x1 y1] e p2 = [x2 y2]
% em um espaco bi-dimensional
% Entradas:
% p1, p2: dois pontos
% Saída:
% d: distancia entre p1 e p2
% Uso:
% d = distPontos(p1, p2)
% Autor:
% Adriano Cruz
% Data:
% 2010/03/02
d = sqrt((p1(1) - p2(2))^2 + (p1(2) - p2(2))^2);
Funções em Matlab
p1 = [ 1 1 ];
p2 = [ 0 0 ];
d = distPontos(p1, p2)
Arquivos
Arquivos Formatados
• Parecido com C
• Lembrar que matlab anda no sentido da coluna.
• Ao ler dados para uma matriz irá preencher no sentido da coluna
• Ao escrever dados de uma matriz irá ler no sentido da coluna
Arquivos Formatados
(1,1) = (1) (1,2) = (5) (1,3) = (9) (1,4)=(13) (2,1) = (2) (2,2) = (6) (2,3)=(10) (2,4)=(14) (3,1) = (3) (3,2) = (7) (3,3)=(11) (3,4)=(15) (4,1) = (4) (4,2) = (8) (4,3)=(12) (4,4)=(16
Arquivos Formatados
• Considere o arquivo 1 1
2 4 3 9 4 16 5 25
Arquivos Formatados
• Será armazenado em um vetor como 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25
Arquivos Formatados
• Novamente Considere o arquivo 1 1
2 4 3 9 4 16 5 25
Arquivos Formatados Leitura
fid=fopen('dadosin.txt', 'r');
a = fscanf(fid, '%d');
fclose(fid);
a=reshape(a,2,size(a,1)/2)';
Arquivos Formatados Escrita
x = -3:1:3;
y = x.^2;
fid = fopen('dados.txt', 'w');
temp = [ x; y ]
fprintf(fid,'%f %f\n', temp);
fclose(fid);
Arquivos Formatados Escrita
-3.000000 9.000000 -2.000000 4.000000 -1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 2.000000 4.000000 3.000000 9.000000
Extras
Temporização
• tic: começa a contar o tempo.
• toc: termina de contar o tempo.
Temporização
• tic: começa a contar o tempo.
• toc: termina de contar o tempo.
Matrizes Celulares
• são matrizes cujos elementos são células
• qualquer célula da matriz pode conter qualquer tipo de dado (matrizes numéricas, texto, matrizes celulares, etc.)
Matrizes Celulares
>> A(1,1) = { [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] };
>> A(1,2) = { 2 + 3i };
>> A(2,1) = { ‘um texto’ }
>> A(2,2) = {12 : -2 : 0};
>>A =
[3x3 double] [2.0000+ 3.0000i]
'um texto' [1x7 double]
Matrizes Celulares
>> A{1,1} = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> A{1,2} = 2 + 3i;
>> A{2,1} = ‘um texto’
>> A{2,2} = 12 : -2 : 0;
>>A =
[3x3 double] [2.0000+ 3.0000i]
'um texto' [1x7 double]
Matrizes Celulares
>> cellplot(A);
Estruturas
• são objetos que contêm “recipientes de dados” com nomes diferentes
• esses recipientes são chamados de campos
• os campos podem conter qualquer tipo de dado
• ao se referir aos campos de uma estrutura usa-se seus nomes em vez de usar índices
• estruturas podem conter outras estruturas
Estruturas
>> cliente.nome = ‘João da Silva’;
>> cliente.custo = 86.50;
>> cliente.teste.A1C = [6.3 6.8 7.1 7.0 6.7];
>> cliente.teste.CHC = [2.8 3.4 3.6 4.1 3.5];
Ajuda On-Line
• help
• helpwin
• helpdesk
• lookfor
• demo
• arquivos de ajuda
Para Saber Mais
• Hanselman, Duane; Littlefield, Bruce; Matlab 5 Guia do Usuário (versão do estudante), Makron Books, 1997.
• Matsumoto, Élia Yathie; Matlab 6 - Fundamentos de Programação, Editora Érica, 2001.
Demonstrações
matrices/graphs and matrices matrices/matrix manipulation visualization/vibration movie visualization/visualizing sound gallery/knot
gallery/slosh gallery/logo
games/sliding puzzle
Temporização
• tic: começa a contar o tempo.
• toc: termina de contar o tempo.
