Capítulo 5 Modulação CW Exponencial

Capítulo 5 – Modulação CW Exponencial

Na modulação linear, o espectro modulado consiste no espectro da mensagem transladado pela frequência da portadora, cuja largura de banda de transmissão nunca excede o dobro da banda de mensagem (W ).

Será estudado no Capítulo 10 que, em caso de modulação linear, a relação sinal/ruído (SNR) no destino não é melhor que na transmissão em banda base, podendo ser melhorada apenas pelo aumento da potência transmitida.

________________________________________________________________________________________

Por sua vez, a modulação exponencial (ou angular) é um processo não-linear, e assim, a largura de banda de transmissão é maior que o dobro da banda de mensagem (≥2W).

Porém, nesse tipo de modulação, podem ser obtidas relações sinal/ruído (SNR) elevadas, sem a necessidade de se aumentar a potência de transmissão.

Constituem vantagens da modulação exponencial:

•As perdas de potência durante a transmissão não são tão preocupantes como em AM;

•Tem menos problemas com tensão de ruptura dielétrica devido aos picos na forma de onda;

•A distorção não-linear de amplitude não afeta a mensagem recebida.

Como a modulação exponencial é um processo não-linear, o espectro do sinal modulado não se relaciona de forma simples (por uma translação em frequência) com o espectro da mensagem.

Questão:

x(t)

0 t

0 t

cosx(t) 2t

t

0 t

cosx(t) cost cos 2t

Qual a aparência dessa forma de onda

Nota histórica:

Após o advento da radiodifusão AM, iniciou-se uma procura por técnicas que reduzissem o ruído na recepção.

Como a potência de ruído é proporcional à largura de banda do sinal transmitido, a atenção foi dirigida à busca de um processo de modulação que reduzisse a largura de banda.

A ideia de modulação em frequência (ou fase), onde a frequência (fase) da portadora pudesse ser variada em proporção com a mensagem x(t) parecia promissora: modulação FM (PM).

Assim, na modulação PM, a amplitude de sinal de mensagem produziria uma variação proporcional na fase.

Modulação de fase, PM

a defasagem é proporcional ao valor da mensagem em cada t

AM: FM:

a ‘frequência’ é proporcional ao valor da mensagem em cada t

A frequência da portadora, agora escrita como f(t), poderia ser variada com o tempo, tal que, f(t) = f_c+k x(t), onde k é uma constante arbitrária.

Assim, se o pico de amplitude de x(t) fosse x_pico, então, os valores máximo e mínimo da frequência portadora seriam f_c+k x_picoe f_c−k x_pico, respectivamente (kmedido em Hz V/V).

Portanto, as amplitudes espectrais poderiam permanecer dentro dessa banda, com uma largura 2k x_pico, centrada em f_c. (na figura, k x_pico= 0.015 MHz = 15 kHz)

A largura de banda seria controlada pela constante arbitrária k, cujo valor poderia ser selecionada à vontade. (na figura, sendo x(t) normalizada, x_picos= 1 e k x_pico= 15 kHz →k= 15 kHz V/V)

Usando-se um k arbitrariamente pequeno, poderia se fazer a largura de banda de informação arbitrariamente pequena. (se desejado, a largura de banda poderia ser ajustada inclusive menor que 30 kHz) E estaria resolvido o problema

excursão = 30 kHz A ideia da FM:

Assim, por exemplo, se em vez de modular a amplitude da portadora, se modulasse a sua frequência, fazendo-a oscilar dentro de uma banda de ±50 Hz (por exemplo), então, a largura de banda de transmissão (B_T) seria de apenas 100 Hz, independentemente da largura de banda da mensagem (W).

Infelizmente, resultados práticos mostraram que largura de banda de FM obtida experimentalmente sempre resultava maior que (ou, na melhor das hipóteses, igual) a largura de banda de AM (B_T = 2W) . O raciocínio descrito anteriormente apresenta uma séria falha ao confundir os conceitos de frequência instantânea, f(t), efrequência espectral, f (uma variável independente).

__________________________________________________________________________________________________________

Por exemplo, em FM deseja-se variar a frequência portadora em proporção com o sinal de modulação x(t), significando que tal frequência estará variando continuamente a cada instante.

Em princípio, isto não faz muito sentido uma vez que, para se definir uma frequência, deve-se ter um sinal senoidal pelo menos ao longo de um ciclo (ou meio-ciclo, ou quarto de ciclo, ...) com a mesma frequência.

Por definição, um sinal senoidal (eterno) tem uma frequência constante e, assim, a variação de frequência no tempo parece estar em contradição com a definição convencional de “frequência de sinal periódico senoidal”.

Portanto, deve-se estender o conceito de uma senóide temporal para o de uma função generalizada, cuja frequência possa variar no tempo.

Estas questões começam a ser esclarecidas nas próximas seções. #

5.1 Modulação de Fase e de Frequência

Nesta seção são definidos os conceitos de fase e frequência instantâneas, necessários para se estabelecer os sinais PM e FM.

Desde que a natureza não-linear da modulação exponencial impede a análise espectral em termos gerais, deve-se trabalhar com espectros resultantes de casos particulares, como a modulação em banda estreita, ou então, com modulação de tom.

Sinais PM e FM

Considere-se um sinal CW, com envoltória constante mas com fase variável no tempo, tal que:

Define-se o ângulo instantâneototal como:

Dessa maneira, x_c(t) pode ser expresso pela relação geral:

a qual define a modulação exponencial (ou angular), dentre os quais PM e FM são casos particulares.

A fase θc(t) deve conter a informação da mensagem x(t) [embutida na fase modulada φ^(t)].

Fica evidente a relação não-linear entre x(t) e x_c(t) (através da função cosseno).

relações válidas para quaisquer modulação angular

Forma geral de um sinal PM (ou FM):

+A_c 0

−A_c

A modulação exponencial pode ser descrita na forma portadora-quadratura como:

a partir da qual pode-se obter a descrição de envoltória e fase.

A envoltória é dada por:

revelando que a envoltória do sinal modulado exponencialmente não varia no tempo.

Obviamente, a fase instantânea deve ser o próprio φ(t), uma vez que:

t t A t t

A

t t A

t x

c c

c c

c c c

ω φ

ω φ

φ ω

sin ) ( sin cos

) ( cos

)]

( cos[

) (

−

=

+

=

) ( )]

( arctg[tg )

( cos

) ( arctgsin )

( ) arctg ( )

( t t

t t t

v t t v

i

q φ φ

φ

φ = = φ = =

2 2 2 2 2 2

( ) _i( ) _q( ) _c cos ( ) _c sin ( ) _c

A t = v t +v t = A φ t +A φ t = A

Um caso específico de dependência entre θc(t) e x(t) corresponde à modulação de fase (PM), definida como:

tal que

para φΔconstante (medida em graus ou radianos).

Esta relação estabelece que a fase instantânea varia diretamente com o sinal de modulação x(t) . A constante φΔrepresenta o deslocamento de fase máximo produzido por x(t) [pois |x(t)| ≤1].

O limite superior, φ_Δ≤180⁰, limita φ(t) à faixa ±180⁰e previne ambiguidade de fase.

(No tempo, não existe distinção física entre os ângulos + 270⁰e −90⁰, por exemplo.)

O limite imposto sobre φΔem PM é análogo à restrição μ ≤1 em AM, e assim, φΔcostuma ser chamado de índice de modulação de fase (ou desvio de fase).

Modulação PM

Frequência instantânea do sinal modulado

A frequência instantânea corresponde à taxa de rotação instantânea do fasor [velocidade de variação de θc(t) no tempo], medida em ciclos por segundo (cps) ou Hertz (Hz):

Embora f(t) seja medido em Hz, não deve ser confundido com a frequência espectral f (a variável independente do domínio da frequência).

A frequência instantânea f(t) é uma propriedade que depende do tempoe da forma de onda que será modulada exponencialmente [e portanto, da mensagem x(t)].

Discussão: conceito de fase instantânea total*

O ângulo generalizado de um senóide convencional, A_ccos(ωct+θ0), é θc(t)=ωct+θ0, correspondente a uma linha reta com inclinaçãoωc e intercepto θ0, como indicado na figura abaixo:

O gráfico de θc(t), para um caso arbitrário, ocorre ser tangencial ao ângulo (ωct+θ0) em algum instante t, sendo t₁< t< t₂

O ponto crucial é que, ao longo de um

pequeno intervalo Δt→0, em torno de t, o sinal x_c(t)=A_ccosθc(t) e a senóide A_ccos(ωct+θ0) são idênticos:

x_c(t) =A_ccos(ωct+θ0) para t₁< t< t₂. Ao longo deste pequeno intervalo Δt, a frequência de θc(t) é ωc.

Por (ωct+θ0) ser tangencial a θc(t), a frequência de x_c(t) é a inclinação de seu ângulo θc(t) ao longo deste pequeno intervalo.

___________________________________________________

Pode-se generalizareste conceito para cada instante: a frequência instantânea ω^(t)=2πf(t) , em qualquer instante t, é ainclinação de θc(t) em t: ω^{(t) = d}θc(t)/dt .

__________________________________________________________________________________________

*B. P. Lathi e Z. Ding, Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitias, Quarta edição, LTC, RJ, 2012.

tangent

ωce θ0constantes →reta

ωcconstante, mas θ0= φ^(t)

variável

θc(t) ωce θ0

constantes

→reta

Assim, para x_c(t)=A_ccosθc(t),

e

Pode-se agora visualizar a possibilidade de transmitir a informação de x(t) variando o ângulo θc(t) de uma portadora.

______________________________________________

Exemplo:no caso PM:

ocorre

para θ0= 0, sem perda de generalidade.

Em PM, a frequência (angular) instantânea é

a qual varia linearmente com a derivadado sinal de modulação.

Alternativamente, a frequência (linear, em Hz) instantânea é λ λ ω θc(^t)=



) ( ) ( ), ( )

( )

(t _ct ₀ t _ct ₀ x t t x t

c =ω +θ +φ =ω +θ +φΔ φ =φΔ

θ

)]

( cos[

) ( cos )

(t A t A t x t

x_c = _c θ_c = _c ω_c +φ_Δ

dt t dx dt

t

t d c

c( ) ( )

)

( = θ =ω +φ_Δ ω

) 2 (

1 )

( 2

1 )

( ) 2

2 ( 1 ) ( 2 ) 1

( f t

dt t f d

dt t f dx

dt t t t d

f c c c c

c φ

π φ

π π

θ φ π θ

π ^{=  = + = + = + }

= ^Δ

(como definido anteriormente)

(como anteriormente) #

gerais, válidas para qualquer modulação angular

( ) 2 ( ) d ^c( )t _c( )

t f t t

dt ω = π = θ =θ.

Modulação FM

No caso de modulação em frequência (FM), a frequência instantânea do sinal modulado é:

para f_Δconstante (medido em Hz), tal que f(t) varia em proporção ao sinal de modulação x(t).

Ou, alternativamente,

A constante de proporcionalidade f_Δé chamada de desvio de frequência, e representa o deslocamento máximo de f(t) [já que ⏐x(t)⏐≤1] em relação à frequência portadora f_c.

A condição f_Δ< f_c simplesmente assegura que sempre ocorre f(t) > 0 em (5.1-5), p/ qualquer x(t).

Normalmente, deseja-se que f_Δ<< f_c a fim de garantir a natureza passa-banda de x_c(t) . Tem-se também,

onde o termo constante em θc(t) (da 1ª. integral) foi considerado nulo, sem perda de generalidade.

O sinal modulado em FM é:

) ( 2 )

( 2 )

(t = π f t =ω_c + π f_Δx t ω

λ λ π

ω λ λ π ω λ

λ ω

θ ^{t d} c ^{f x d} c^{t f t x d}

t t

c( )=







] ) ( 2

cos[

)

( = c c + Δ



c t A t f x d

x ω π λ λ

(ver adiante)

,

adotou-se ωcλ⏐_λ= −∞= 0

( ) cos ( )

c c c

x t = A θ t

f_c−f_Δ>0

_________________________________________________

Comparando-se (5.1-4) com (5.1-5), observa-se que o sinal FM satisfaz

e a integração gera a seguinte modulação de fase:

Se t₀é tomado de forma que φ^(t0) = 0, pode-se desconsiderar o limite inferior de integração e usar a expressão mais informal:

__________________________________________________________________________________________

Assume-se que a mensagem x(t) não tem componente DC, tal que as integrais acima não divirjam quando t→∞.

Fisicamente, um termo DC em x(t) produzirá um desvio de frequência constante com relação à portadora, igual a .

Na prática, qualquer componente DC em x(t) deve ser bloqueada pelos circuitos do modulador.

) ( 2 )

(t = π f_Δxt φ^

) (t x f_Δ

geral FM

Conceito generalizado de modulação exponencial (ou angular) Na tabela 5.1-1 compara-se os sinais PM e FM:

Observa-se que sinais PM e FM não são apenas similares, mas também inseparáveis:

Sinal PM: .

Sinal FM: . onde foi definido que .

No final das contas, ambas as expressões para x_c(t) são similares.

Portanto, visualizando-se uma portadora modulada em ângulo, torna-se difícil discernir entre FM e PM.

λ λ ^d x t

g( )⁼



)]

( 2 cos[

] ) ( 2

cos[

)

(t A t f x d A t f g t

x_{c c c} ^t _{c c Δ}

∞

Δ − = +

+

= ^{ω π}



)]

( cos[

)

(t A t x t

x_c = _c ω_c +φ_Δ

( ) cos[ ( )]

c c c

x t =A ωt+φ t

_______________________________________________

No caso de modulação de tom, fica bem evidente ser praticamente impossível detectar a diferença entre os sinais PM e FM:

λ λ ^d x t

g( )⁼



)]

( 2 cos[

] ) ( 2

cos[

)

(t A t f x d A t f g t

x c c

t c

c

c = ^ω + ^π Δ



)]

( cos[

)

(t A t x t

x_c = _c ω_c +φ_Δ Sinal PM:

Sinal FM:

t A

t

x⁽⁾= _m^sinω_m x(t) mensagem tonal

PM ou FM?

PM ou FM?

_______________________________________________

No caso de modulação de tom, fica bem evidente ser praticamente impossível detectar a diferença entre os sinais PM e FM:

λ λ ^d x t

g( )⁼



)]

( 2 cos[

] ) ( 2

cos[

)

(t A t f x d A t f g t

x_{c c c} ^t _{c c Δ}

∞

Δ − = +

+

= ^{ω π}



)]

( cos[

)

(t A t x t

x_c = _c ω_c +φ_Δ Sinal PM:

Sinal FM:

t A

t

x⁽⁾= _m^sinω_m x(t) mensagem tonal

Conclui-se também que, com o uso de circuitos integradoresou diferenciadores, um modulador PM pode produzir FM, e vice-versa:

Os métodos FM e PM são simultâneos, no sentido de que qualquer variação nafase da portadora (ωct) resulta em variação na frequência, e vice-versa.

________________________________________________

Os casos acima revelam que, em PM e FM, o ângulo de uma portadora varia em proporção à alguma

‘medida/ métrica’ (derivada, integral, etc.) de x(t).

Informa-se que podem haver várias outras maneiras de se gerar uma ‘métrica’ de x(t), possibilitando criar um grande número de esquemas de modulação angular, além de FM e PM.

)]

( 2 cos[

] ) ( 2

cos[

) (

t x f t A

d x f t A

t x

c c

t c

c c

Δ

∞ Δ −

+

=

+

=



π ω

λ λ π

ω ^

(ambas são devido a x(t) variável)

a partir de modulador de fase

a partir de modulador de frequência integrar a entrada

] ) ( cos[

)

( = c ωc +φΔ



c t A t x d

x

multiplicar φΔpela entrada

Exemplo: Restringindo-se à escolha de um operador linear, então, uma ‘métrica’ de x(t) pode ser obtida como saída de um SLIT apropriado, com x(t) como entrada.

A saída do sistema H(s) é uma ‘métrica’ de x(t) , sendo que esta é uma operação reversível, passando ψ(t) através da função 1/H(s).

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Então, a portadora com modulação generalizada em ângulo pode ser expressa como:

sendo h(t) a TFI de H(s) (ou seja, a resposta impulsiva).

a) Se tem-se um sinal PM

b) Se tem-se um sinal FM

Portanto, PM e FM são apenas duas possibilidades dentre um grande número de outras alternativas. # ]

) ( ) ( cos[

)]

( cos[

)

(^{t A} ω ^t ψ ^{t A} ω ^{t x} λ ^{h t} λ ^dλ

x_c = _{c c} + = _{c c} +



) ( )

(t t

h =φΔδ

)]

( cos[

] ) ( ) ( cos[

)

(t A t x t d A t x t

x_{c c c} ^t _{Δ c c Δ}

∞

− − = +

+

= ^ω



) ( 2 )

(t f u t

h = π _Δ

] ) ( 2

cos[

] ) ( 2 ) ( cos[

)

(t A ω t x λ π f u t λ dλ A ω t π f x λ dλ

x c c ^t

t c c

c = +





convolução : ψ(t) = x(t) * h(t) métrica = operação sobre x(t) SLIT

métrica

Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados f_c= 100 MHz, φ_Δ^{= 10}πrad e f_Δ= 10⁵Hz, esboçar os sinais de FM e PM.

Solução: método indireto (ver adiante)

A frequência instantânea para FMé dada por:

Assim, seus valores máximos e mínimos são:

Como x(t) aumenta e diminui linearmente com o tempo, a frequência instantânea aumenta linearmente de 99,9 a 100,1 MHz em um meio ciclo, e cai linearmente de 100,1 a 99,9 MHz no meio ciclo seguinte.

O sinal modulado está mostrado na Figura (b).

__________________________________

Por outro lado, a frequência instantânea para PMé dada por:

) ( 10 10 ) ( )

(t f f x t ^{8 5}x t

f = _c + Δ = +

MHz 9 , 99 ) 1 ( 10 10 )]

( [ 10 10 )

(t _min = ⁸+ ⁵ x t _min = ⁸+ ⁵ − = f

MHz 1 , 100 ) 1 ( 10 10 )]

( [ 10 10 )

(t _max = ⁸+ ⁵ x t _max = ⁸+ ⁵ + = f

dt t dx dt

t dx dt

t f dx

dt t x t d dt

t t d

f c

c

c ( )

5 ) 10

( 2 10 10 ) ( 2

)] 1 ( [

2 ) 1 ( 2 ) 1

( = = + ^Δ = + _Δ = ⁸+ = ⁸+

π φ π

π φ

ω π θ

π

(continua...) 99.9M 100M 100.1M 99.9M

________________________________________________________________________________________________

O sinal x(t) é dado por:

Sua derivada é igual a:

cujo gráfico está desenhado na Figura (c).

As frequências instantâneas, mínima e máxima, são:

Como dx/dtoscila entre os valores de −20.000 e +20.000, a frequência portadora oscila entre 99,9 e 100,1 MHz a cada meio ciclo, e cujo gráfico está desenhado na Figura (d). #

dt t dx dt

t dx dt

t f dx

dt t x t d dt

t t d

f ^{c c} _c ( )

5 ) 10

( 2 10 10 ) ( 2

)] 1 ( [

2 ) 1 ( 2 ) 1

( = = + ^Δ = + _Δ = ⁸+ = ⁸+

π φ π

π φ

ω π θ

π

MHz 9 , 99 000 . 20 5 10 )

( 5 10 )

(t _min = ⁸+ x t _min = ⁸− × =

f 





×

<

<

+

×

−

<

<

−

= × ₋ ⁻ ₋

s 10 2 10

3 10 2

s 10 0

1 10 ) 2

( _{4 4 4}

4 4

t t

t t t

x





×

<

<

×

−

<

<

= × ₋ ⁻ ₋

s 10 2 10

10 2

s 10 0

10 ) 2

( _{4 4 4}

4 4

t t t

x

MHz 1 , 100 000 . 20 5 10 )

( 5 10 )

(t _min = ⁸+ x t _min = ⁸+ × =

f 

10⁻⁴

2×10⁻⁴ 0

99.9 100.1 99.9 100.1

Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados f_c= 100 MHz, φΔ= π/2 rad e f_Δ= 10⁵Hz, esboçar os sinais de FM e PM.

Solução:

A frequência instantânea para FMé dada por:

Como x(t) oscila entre −1 e +1, a forma de onda FM oscila entre 99,9 e 100,1 MHz, como mostrado na Figura (b).

Este tipo de modulação digital é chamada de modulação por chaveamento de frequência (FSK –frequency shift keying).

______________________________________________________________________________

Por outro lado, a frequência instantânea paraPM é dada por:

o qual depende de derivadas da Figura (a).

) ( 10 10 ) ( )

(t f f x t ^{8 5}x t

f = _c + Δ = +

dt t dx( ) 4 10⁸+1

=

(continua...) dt

t f dx

t

f _c ( )

2 ) 1

( = + φ_Δ

π

MHz 9 , 99 ) 1 ( 10 10 )]

( [ 10 10 )

(t _min = ⁸+ ⁵ xt _min = ⁸+ ⁵ − = f

MHz 1 , 100 ) 1 ( 10 10 )]

( [ 10 10 )

(t _max = ⁸+ ⁵ x t _max = ⁸+ ⁵ + = f

________________________________________________________________________________________________

Devido as descontinuidades em x(t) , sua derivada deve conter singularidades.

A derivada de x(t) é mostrada na Figura (c).

A frequência do sinal PM permanece a mesma, f_c, exceto nas descontinuidades com impulsos.

Não fica claro como a frequência instantânea pode sofrer uma alteração de tamanho infinito e voltar ao valor original num tempo zero.

Este método (chamado indireto) falha em pontos de descontinuidades.

_____________________________________

Usando-se a abordagem direta, tem-se:

obtendo-se a Figura (d) [PSK –Phase shift keying]. # dt

t t dx

f ( )

4 10 1 )

( = ⁸+





+

=

−

−

=

= + +

= +

= Δ sin quando ( ) 1

1 ) ( quando )] sin

2 ( cos[

)]

( cos[

)

( A t x t

t x t

t A x t A

t x t A

t x

c c

c c c

c c

c

c ω

π ω ω φ

ω

φ_Δ⁼ π/2 rad f_c= 10⁸Hz

dx/dt=0

dx/dt=0

dx/dt=0

+∞ +∞

−∞ −∞

Exemplo: Modulação FM por pulso retangular

Estudou-se no Exemplo 2.2-1, que o espectro do pulso retangular de largura τe amplitude A, ou seja, , é dado por . Pedem-se:

a) O sinal modulado em FM, para uma portadora na frequência f_c= 2/τ e com Af_Δ= f_c.

b) A largura de transmissão B_T.

___________________________

Solução:

A largura de banda da mensagemé:

O sinal de FM é calculado a seguir.

) sinc(

)

(^{f A}τ ^fτ

X =

) / ( )

(^{t A t} τ

x = Π

2 1 f_c

W = =

τ

(continua...)

x(t)

|X(f) |

argX(f)|

espectro da mensagem

] ) ( 2

cos[

)

( = c ωc + π Δ



c t A t f x d

x

Dados: f_c= 2/τ ^{e Af}Δ= f_c, calcula-se:

.... FM

a) Para −∞< t < −τ/2, ocorre x(t) = 0, e assim, b) Para −τ/2 < t < +τ/2, ocorre x(t) = A, e assim,

c) Para t > +τ/2, ocorre x(t) = 0, e assim, Este sinal de FM está desenhado abaixo:

Este corresponde ao sinal estudado no Exemplo 2.5-1, e então, sua TF já é conhecida.

x(t)

t A

d f t A

t

x_c^{( )}= _c^cos[ω_c +²πΔ



t A

t f t A

t A f t A

d A f

t A

t

x_c^{( )}= _c^cos[ω_c +²π ⁻_τ^τ_/^/₂^2+t λ^]= _c^cos[ω_c +²π _Δ ^]= _c^cos[ω_c +²π _c ^]= _c^cos2ω_c

Δ



t A

d f

t A

t

x_c⁽⁾= _c^cos[ω_c +²π^Δ



x_c(t)

(continua...)

c

Segundo o Exemplo 2.5-1, a TF do sinal modulado em FM é:

Conclui-se, portanto, que a largura de banda de transmissão, B_T, é de aproximadamente 2f_c= 4W, independentemente da amplitude da mensagem, A.

Ou seja, a largura de banda de transmissão é quatro vezes maior que a largura de banda do sinal de mensagem, contrariando o senso comum discutido na ‘Nota histórica’. #

x_c(t)

|X_c(f)|

2f_c

2 1 f_c

W = =

τ

)]

2 ( sinc ) 2 ( [sinc )] 2

( sinc ) ( [sinc )] 2

( ) ( 2[ )

( _{c c c c c c}

c A f f f f

f f f

A f f f f

A f f

X = δ − +δ + − τ − + + + τ − + +

Potência transmitida

Ao contrário do acontece na modulação linear, os sinais PM e FM têm amplitudes constantes.

Portanto, independente da mensagem x(t), a potência transmitida será:

_________________________________________________

Prova:

para

Ou seja, # _________________________________________

Lembre-se que, em modulação linear:

e portanto, para aumentar P_sb (associada ao sinal de mensagem) devia-se aumentar . Por outro lado, no caso de modulação angular, independentemente de x(t).

dt t T A

dt t T x

S _{c c}

T

o c T

T

o

T T 1 cos ( )

lim )

1 (

lim→∞





=

) 2 ( 2 1 cos 2 lim 2

2 ) ( 2 cos 1 lim 1

2 2

2

2 c

c T

o T c c c

T

o T c

T

dt A T t

A dt A

t A T

S = →∞





sb c c x c

T A S A P P

S 2

2 2

2 2 2

+

= +

= μ

)

2( t x S_x = 2

2/

c

T A

S =

(=0 para valores elevados de f_c)

só depende da portadora

Adianta-se que a demodulação (ou detecção) de FM (no receptor) consiste em se extrair a frequência instantânea f(t) = f_c+f_Δx(t), a qual contém a mensagem x(t).

Garante-se que o nível do sinal de mensagem no demodulador é melhorado se for aumentado o desvio de frequência f_Δ, o qual, por sua vez, acarreta uma maior largura de banda de transmissão (ver a Seção 5.2).

Qualitativamente, se a potência transmitida S_T permanecer constante, a potência de ruído também permanece constante.

Pode-se aumentar a relação sinal-ruído (SNR) aumentando-se f_Δ, o qual aumenta o nível do sinal recebido no receptor, sem alterar S_T.

Para todos os efeitos, isto é equivalente a reduzir o ruído!

Contudo, se f_Δaumenta, também aumenta a largura de banda, e assim, na modulação exponencial existe um compromisso entre a largura de banda (↑) e a relação sinal-ruído (↑).

Conforme já foi anunciado, ironicamente, a modulação FM foi originalmente concebida como uma forma de reduzir a largura de banda, mas falhou, devido à séria falha de se confundir os conceitos de frequência instantânea, f(t), e frequência espectral, f.

Esta limitação, contudo, é compensada por várias outras vantagens (estudadas adiante).