Inferˆencia Estat´ıstica para Duas Amostras: An´alise da M´edia

An´ alise da M´ edia

Anna Regina Corbo

CEFET/RJ - UnED NI

Aula Te´ orica 2

Comparar duas condi¸c˜ oes (tratamentos) diferentes para determinar

se cada condi¸ c˜ ao produz um efeito significante na resposta.

Considere duas popula¸c˜ oes independentes:

popula¸ c˜ ao 1: m´ edia µ

e variˆ ancia σ

. popula¸ c˜ ao 2 : m´ edia µ

e variˆ ancia σ

.

Vamos basear nossa inferˆ encia em duas amostras aleat´ orias de

tamanho n

e n

das popula¸c˜ oes 1 e 2, respectivamente.

An´ alise da diferen¸ ca das m´ edias µ

µ

:

1

Com variˆ ancias σ

e σ

conhecidas.

2

Com variˆ ancias σ

e σ

desconhecidas:

Supondo queσ₁²=σ₂² Supondo queσ₁²6=σ₂²

conhecidas

Suponha que:

1

X

, X

, . . ., X

´ e uma amostra aleat´ oria proveniente da popula¸ c˜ ao 1;

2

X

, X

, . . ., X

´ e uma amostra aleat´ oria proveniente da popula¸ c˜ ao 2;

3

As duas popula¸ c˜ oes representadas por X

e X

s˜ ao independentes;

4

Ambas as popula¸ c˜ oes s˜ ao normais ou tais que o teorema

central do limite se aplica.

conhecidas

Estimadores e Estat´ıstica

Estimador para a diferen¸ ca de m´ edias:

E [X

X

] = µ

µ

Estimador para a variˆ ancia da diferen¸ ca de m´ edias:

Var [X

X

] = σ

n

+ σ

n

conhecidas

Estimadores e Estat´ıstica

No caso de uma amostra, tinhamos como distribui¸ c˜ ao de probabilidade da estat´ıstica, a distribui¸ c˜ ao normal padr˜ ao, onde:

Z = X

µ

σ

n

, onde

Z

N(0, 1).

De modo an´ alogo, neste caso, teremos:

Z = X

X

(µ

µ

)

σ

n

+ σ

n

, onde

Z

N(0, 1).

conhecidas

Teste de hip´oteses

Teste de hip´ oteses para a diferen¸ ca nas m´ edias µ

µ

de duas popula¸ c˜ oes:

H

: µ

µ

= ∆

H

: µ

µ

Desejamos testar se esta diferen¸ ca ´ e igual ou n˜ ao a um valor

especificado ∆

. Se quisermos testar a igualdade das duas m´ edias

basta definir ∆

= 0.

conhecidas

Teste de hip´oteses

Hip´ otese Nula:

H

: µ

µ

= ∆

Estat´ıstica do Teste:

Z

= X

X

∆

s

σ

n

+ σ

n

conhecidas

Teste de hip´oteses

Hip´ oteses Alternativas H

: µ

µ

H

: µ

µ

> ∆

H

: µ

µ

< ∆

Crit´ erios de Rejei¸ c˜ ao

z

> z

ou z

<

z

> z

z

<

conhecidas

Teste de hip´oteses - Exemplo 1

Um idealizador de produtos est´ a interessado em reduzir o tempo de secagem de uma tinta. Duas formula¸ c˜ oes de tinta s˜ ao testadas:

a formula¸c˜ ao 1 tem uma qu´ımica padr˜ ao e a formula¸ c˜ ao 2 tem um

novo ingrediente, que deve reduzir o tempo de secagem. Da

experiˆ encia, sabe-se que o desvio-padr˜ ao do tempo de secagem ´ e

de 8 minutos e que este dado n˜ ao deve ser alterado pela adi¸ c˜ ao do

novo ingrediente. Dez esp´ ecimes s˜ ao pintados com a formula¸ c˜ ao 1

e outros dez esp´ ecimes s˜ ao pintados com a formula¸ c˜ ao 2. Os

tempos m´ edios de secagem das duas amostras s˜ ao x

= 121

minutos e x

= 112 minutos, respectivamente. Quais as

conclus˜ oes que o idealizador de produtos pode tirar sobre a

eficiˆ encia do novo ingrediente, usando α = 0, 05?

conhecidas

Intervalo de confian¸ca

Vimos que se as duas popula¸ c˜ oes forem normais ent˜ ao a vari´ avel

Z = X

X

(µ

µ

)

σ

n

+ σ

n

ter´ a uma distribui¸ c˜ ao normal padr˜ ao. Isso implica que:

P (−z

Z

z

) = 1

α

conhecidas

Intervalo de confian¸ca

P 0

@X1−X2−zα/2

s σ²₁ n1

+σ₂²

n2 6µ1−µ26X1−X2+zα/2

s σ₁² n1

+σ²₂ n2

1 A= 1−α

Ou seja, este ´ e o intervalo de confian¸ca 1

α para a diferen¸ ca de

m´ edias se X

e X

forem as m´ edias de duas amostras aleat´ orias

independentes de tamanhos n

e n

, provenientes de popula¸ c˜ oes

com variˆ ancias conhecidas σ

e σ

, respectivamente.

conhecidas

Intervalo de confian¸ca - Exemplo 2

Testes de resistˆ encia ` a tens˜ ao foram feitos em duas estruturas contendo dois teores distintos de alum´ınio. Essas estruturas foram usadas na fabrica¸ c˜ ao das asas de um avi˜ ao. Os dados obtidos s˜ ao mostrados na tabela abaixo. Se µ

e µ

denotam as resistˆ encias m´ edias para os dois tipos de teores da estrutura, encontre um intervalo de confian¸ ca de 90% para a diferen¸ ca real destas resistˆ encias.

Tipo da Tamanho Resistˆ encia m´ edia Desvio-padr˜ ao Estrutura da amostra da amostra (kg /mm

) (kg /mm

)

1 10 87,6 1,0

desconhecidas

Quando o tamanho da amostra ´ e consideravelmente pequeno ou

quando desconhecemos o valor da variˆ ancia populacional σ

, ao

supor que a popula¸ c˜ ao ´ e normalmente distribu´ıda devemos basear

nossas an´ alises de inferˆ encia na distribui¸c˜ ao t-Student.

desconhecidas

Teste de Hip´oteses

No caso de variˆ ancias desconhecidas, devemos estudar duas

situa¸c˜ oes diferentes: primeiro, se as variˆ ancias em quest˜ ao s˜ ao

iguais, e segundo, caso elas sejam diferentes.

desconhecidas

Teste de Hip´oteses

CASO 1 - Variˆ ancias Iguais: σ

= σ

= σ

Suponha que tenhamos duas popula¸ c˜ oes normais independentes, com m´ edias desconhecidas µ

e µ

e variˆ ancias desconhecidas, por´ em iguais, σ

= σ

= σ

. Desejamos testar

H

: µ

µ

= ∆

H

: µ

µ

desconhecidas

Estimadores do CASO 1 - Variˆancias Iguais

M´ edia: E [X

X

] = µ

µ

Variˆ ancia: Var [X

X

] = σ

n

+ σ

n

= σ

n

+ σ

n

= σ

1

n

+ 1 n

Estimador Combinado S

:

S

= (n

1)S

+ (n

1)S

n

+ n

2

Dizemos que este estimador combinado possui n

+ n

2 graus

desconhecidas

Estat´ıstica de Teste CASO 1 - Variˆancias Iguais

Como

Z = X

X

(µ

µ

) σ

r

1 n

+ 1

n

tem uma distribui¸c˜ao

N

(0, 1)

ent˜ ao, trocando σ por S

temos o seguinte:

T = X

X

(µ

µ

) S

r

1 n

+ 1

n

tem uma distribui¸ c˜ ao t, com n

+ n

2 graus de liberdade.

desconhecidas

Teste de Hip´oteses CASO 1 - Variˆancias Iguais

Teste t Combinado para Duas Amostras Hip´ otese Nula:

H

: µ

µ

= ∆

Estat´ıstica do Teste:

T

= X

X

∆

S

1

n

+ 1

n

desconhecidas

Teste de Hip´oteses CASO 1 - Variˆancias Iguais

Teste t Combinado para Duas Amostras Hip´ oteses Alternativas

H

: µ

µ

H

: µ

µ

> ∆

H

: µ

µ

< ∆

Crit´ erios de Rejei¸ c˜ ao

t

> t

ou t

<

t

> t

t

<

desconhecidas

Teste de Hip´oteses CASO 1 - Variˆancias Iguais - Exemplo 3

Vocˆ e ´ e um analista financeiro de uma corretora de a¸ c˜ oes. De acordo com os dados coletados abaixo, h´ a diferen¸ ca de dividendos entre as a¸ c˜ oes negociadas na Bolsa de T´ okio e de NY? Assuma variˆ ancias iguais e α = 5%.

NY T´ oquio N´ umero de A¸ c˜ oes 21 1 25

M´ edia amostral 3,27 2,53

Desvio-padr˜ ao amostral 1,30 1,16

desconhecidas

Teste de Hip´oteses

CASO 2 - Variˆ ancias diferentes: σ

σ

Em algumas situa¸ c˜ oes n˜ ao ´ e razo´ avel considerar que as vari´ aveis

desconhecidas σ

e σ

sejam iguais.

desconhecidas

Estat´ıstica de teste do CASO 2 - Variˆancias diferentes

Neste caso, se H

: µ

µ

= ∆

for verdadeira, ent˜ ao a estat´ıstica

T

= X

X

∆

s

S

n

+ S

n

´ e distribu´ıda normalmente com t, com graus de liberdade dados aproximadamente por

υ =

S

n

+ S

n

2

2 2 2 2 −

2

desconhecidas

Estat´ıstica de teste do CASO 2 - Variˆancias diferentes - Observa¸c˜oes

Realiza¸c˜ ao do teste igual ao anterior, exceto por:

troque T

por T

na estat´ıstica do teste;

n

+ n

2 ´ e trocado por υ na determina¸ c˜ ao do grau de

liberdade do teste

desconhecidas

Teste de Hip´oteses do CASO 2 - Variˆancias diferentes - Exemplo 4

Um fabricante de unidades de v´ıdeos est´ a testando dois projetos de microcircuitos para determinar se eles produzem correntes m´ edias equivalentes. A engenharia de desenvolvimento obteve os seguintes dados:

Projeto 1 n

= 15 x

= 24, 2 s

= 10 Projeto 2 n

= 10 x

= 23, 9 s

= 20

Usando α = 10%, desejamos determinar se h´ a qualquer diferen¸ ca

na corrente m´ edia entre os dois projetos, supondo que ambas as

popula¸ c˜ oes sejam normais, embora n˜ ao estejamos dispostos a

desconhecidas

Intervalo de confian¸ca

CASO 1 - Variˆ ancias Iguais: σ

= σ

= σ

A estat´ıstica T , definida por:

T = X

X

(µ

µ

) S

r

1 n

+ 1 n

tem distribui¸ c˜ ao t-Student, com n

+ n

2 graus de liberdade.

Sendo assim temos, em termos de probabilidade, a express˜ ao:

P (−t

T

t

) = 1

α

desconhecidas

Intervalo de confian¸ca: CASO 1 - Variˆancias Iguais

Substituindo T pela defini¸c˜ ao da estat´ıstica e tomando g = n

+ n

2 graus de liberdade, temos:

P 0 B B B B

@

−t_α/2,g6X1−X2−(µ1−µ2) Sp

s 1 n1

+ 1 n2

6t_α/2,g 1 C C C C A

= 1−α

P X1−X2−t_α/2,g·Sp

s 1 n1

+ 1 n2

6µ1−µ26X1−X2+t_α/2,g·Sp

s 1 n1

+ 1 n2

!

= 1−α

Isto ´ e, este ´ e o intervalo de confian¸ ca 1

α para a diferen¸ ca de

m´ edias se X

e X

forem as m´ edias de duas amostras aleat´ orias

desconhecidas

Intervalo de confian¸ca: CASO 2 - Variˆancias diferentes

A estat´ıstica

T

= X

X

(µ

µ

)

S

n

+ S

n

´ e distribu´ıda aproximadamente como a distribui¸ c˜ ao t-Student , com υ graus de liberdade. Em termos de probabilidade, obteremos o intervalo de confian¸ ca

P (−t

T

t

) = 1

α

desconhecidas

Intervalo de confian¸ca: CASO 2 - Variˆancias diferentes

P 0

@X1−X2−tα/2,υ

s S₁² n1

+S₂²

n2 6µ1−µ26X1−X2+tα/2,υ

s S₁² n1

+S₂² n2

1 A= 1−α

onde υ ´ e dado aproximadamente por:

υ =

S

n

+ S

n

2

(S

/n

)

n

+ 1 + (S

/n

)

n

+ 1

−

2

desconhecidas

Intervalo de confian¸ca: CASO 2 - Variˆancias diferentes - Exemplo 5

Deseja-se estudar a quantidade de c´ alcio em um cimento padr˜ ao e de em um cimento que cont´ em chumbo. Quanto menor a

quantidade de chumbo, maior a chance de infiltra¸c˜ ao. Dez

amostras de cimento padr˜ ao tiveram um teor m´ edio percentual de c´ alcio de x

= 90, 0, com um desvio-padr˜ ao da amostra de

s

= 5, 0, enquanto 15 amostras do cimento com chumbo tiveram um teor m´ edio percentual de c´ alcio de x

= 87, 0, com um desvio-padr˜ ao da amostra de s

= 4, 0. Supondo que o teor percentual de c´ alcio seja normalmente distribu´ıdo, encontre um intervalo de 95% de confian¸ ca para a diferen¸ ca nas m´ edias µ

µ

para os dois tipos de cimento.