1.2 Intervalo de confian¸ ca para uma diferen¸ ca nas m´ edias com variˆ ancias conhecidas

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: M´etodos Estat´ısticos

Prof. Anna Regina Corbo

CAP´ ITULO 2: Inferˆ encia Estat´ıstica para Duas Amostras An´ alise da M´ edia

Considere duas popula¸c˜oes independentes onde a popula¸c˜ao 1 tem m´edia µ₁ e variˆancia σ₁² enquanto a popula¸c˜ao 2 tem m´edia µ₂ e variˆancia σ₂². Vamos basear nossa inferˆencia em duas amostras aleat´orias de tamanhon₁ en₂ das popula¸c˜oes 1 e 2, respectivamente.

O objetivo ´e comparar duas condi¸c˜oes (tratamentos) diferentes para determinar se cada condi¸c˜ao produz um efeito significante na resposta.

1 Inferˆ encia sobre uma diferen¸ ca nas m´ edias com variˆ ancias conhecidas

Suponha que:

1. X11, X12, . . ., X1n1 ´e uma amostra aleat´oria proveniente da popula¸c˜ao 1;

2. X₂₁, X₂₂, . . ., X_2n2 ´e uma amostra aleat´oria proveniente da popula¸c˜ao 2;

3. As duas popula¸c˜oes representadas por X₁ eX₂ s˜ao independentes;

4. Ambas as popula¸c˜oes s˜ao normais ou tais que o teorema central do limite se aplica.

Temos como estimador de µ₁−µ₂ a diferen¸ca entre as m´edias amostraisX₁−X₂. Al´em disso, a variˆancia de X₁−X₂ ´e dada por:

V ar[X₁−X₂] = σ₁² n₁ +σ₂²

n₂

No caso de uma amostra, tinhamos como distribui¸c˜ao de probabilidade da estat´ıstica, a distribui¸c˜ao normal padr˜ao, onde:

Z = X−µ rσ²

n

, ondeZ ∼N(0,1).

De modo an´alogo, neste caso, teremos:

Z = X₁−X₂−(µ₁−µ₂) s

σ₁² n₁ +σ₂²

n₂

, onde Z ∼N(0,1).

1.1 Teste de hip´ oteses

Consideraremos agora testes de hip´oteses para a diferen¸ca nas m´edias µ₁ − µ₂ de duas popula¸c˜oes, onde queremos testar se esta diferen¸ca ´e igual ou n˜ao a um valor especificado

∆₀. Deste modo, o teste de hip´otese ser´a:

H₀ :µ₁−µ₂ = ∆₀ H₁ :µ₁−µ₂ 6= ∆₀

Note que, se quisermos testar a igualdade das duas m´edias basta definir ∆₀ = 0.

A estat´ıstica apropriada do teste ser´a encontrada trocando µ1 −µ2 por ∆0, de tal modo que esta estat´ıstica ter´a uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao sob H₀. Sendo assim, usaremos

−z_α/2 ez_α/2 como limites da regi˜ao cr´ıtica, exatamente como fizemos no problema de teste de hip´otese para uma ´unica amostra, obtendo assim um teste como um n´ıvel de significˆanciaα.

Regi˜oes cr´ıticas para as alternativas unilaterais ser˜ao localizadas similarmente (vide resumo abaixo).

Hip´otese Nula:

H₀ :µ₁−µ₂ = ∆₀ Estat´ıstica do Teste:

Z_calc = X₁−X₂−∆₀ s

σ²₁ n₁ + σ²₂

n₂

Hip´oteses Alternativas H₁ :µ₁−µ₂ 6= ∆₀ H₁ :µ₁−µ₂ >∆₀ H₁ :µ₁−µ₂ <∆₀

Crit´erios de Rejei¸c˜ao

z_calc > z_α/2 ouz_calc <−z_α/2 z_calc > z_α

z_calc <−z_α

Figura 1: Regi˜oes de Rejei¸c˜ao.

Exemplo 1: Um idealizador de produtos est´a interessado em reduzir o tempo de secagem de uma tinta. Duas formula¸c˜oes de tinta s˜ao testadas: a formula¸c˜ao 1 tem uma qu´ımica padr˜ao e a formula¸c˜ao 2 tem um novo ingrediente, que deve reduzir o tempo de secagem.

Da experiˆencia, sabe-se que o desvio-padr˜ao do tempo de secagem ´e de 8 minutos e que este dado n˜ao deve ser alterado pela adi¸c˜ao do novo ingrediente. Dez esp´ecimes s˜ao pintados com a formula¸c˜ao 1 e outros dez esp´ecimes s˜ao pintados com a formula¸c˜ao 2. Os tempos m´edios de secagem das duas amostras s˜ao x₁ = 121 minutos e x₂ = 112 minutos, respectivamente. Quais as conclus˜oes que o idealizador de produtos pode tirar sobre a eficiˆencia do novo ingrediente, usandoα = 0,05?

1.2 Intervalo de confian¸ ca para uma diferen¸ ca nas m´ edias com variˆ ancias conhecidas

Vimos que se as duas popula¸c˜oes forem normais ent˜ao a vari´avel Z = X₁−X₂−(µ₁ −µ₂)

s σ₁² n1

+σ₂² n2

ter´a uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao. Isso implica que:

P(−z_α/2 6Z 6z_α/2) = 1−α

P













−z_α/2 6 X₁−X₂−(µ₁−µ₂) s

σ₁² n₁ +σ₂²

n₂

6z_α/2













= 1−α

P



−z_α/2 s

σ²₁ n₁ + σ²₂

n₂ 6X₁−X₂−(µ₁−µ₂)6z_α/2 s

σ₁² n₁ +σ₂²

n₂



= 1−α

P



−(X1 −X2)−zα/2

s σ²₁ n₁ + σ²₂

n₂ 6−(µ1−µ2)6−(X1−X2) +zα/2

s σ²₁ n₁ + σ²₂

n₂



= 1−α

P



X₁−X₂−z_α/2 s

σ²₁ n1

+ σ²₂

n2 6µ₁−µ₂ 6X₁−X₂+z_α/2 s

σ²₁ n1

+σ₂² n2



= 1−α Ou seja, este ´e o intervalo de confian¸ca 1−α para a diferen¸ca de m´edias se X₁ eX₂ forem as m´edias de duas amostras aleat´orias independentes de tamanhos n₁ e n₂, provenientes de popula¸c˜oes com variˆancias conhecidasσ₁² eσ₂², respectivamente.

Exemplo 2: Testes de resistˆencia `a tens˜ao foram feitos em duas estruturas contendo dois teores distintos de alum´ınio. Essas estruturas foram usadas na fabrica¸c˜ao das asas de um avi˜ao. Os dados obtidos s˜ao mostrados na tabela abaixo. Se µ₁ e µ₂ denotam as resistˆencias m´edias para os dois tipos de teores da estrutura, encontre um intervalo de confian¸ca de 90% para a diferen¸ca real destas resistˆencias.

Tipo da Tamanho Resistˆencia m´edia Des.-pad. populacional Estrutura da amostra da amostra (kg/mm²) (kg/mm²)

1 10 87,6 1,0

2 12 74,5 1,5

2 Inferˆ encia sobre uma diferen¸ ca nas m´ edias com variˆ ancias desconhecidas

Quando o tamanho da amostra ´e consideravelmente pequeno ou quando desconhecemos o valor da variˆancia populacional σ², ao supor que a popula¸c˜ao ´e normalmente distribu´ıda devemos basear nossas an´alises de inferˆencia na distribui¸c˜ao t-Student.

2.1 Teste de Hip´ oteses

No caso de variˆancias desconhecidas, devemos estudar duas situa¸c˜oes diferentes: primeiro, se as variˆancias em quest˜ao s˜ao iguais, e segundo, caso elas sejam diferentes.

2.1.1 Variˆancias Iguais: σ₁² =σ₂² =σ²

Suponha que tenhamos duas popula¸c˜oes normais independentes, com m´edias desconhecidas µ1 eµ2 e variˆancias desconhecidas, por´em iguais, σ₁² =σ²₂ =σ². Desejamos testar

H₀ :µ₁−µ₂ = ∆₀ H₁ :µ₁−µ₂ 6= ∆₀

Sejam X11, X12, . . ., X1n1 uma amostra aleat´oria de n1 observa¸c˜oes proveniente da pri- meira popula¸c˜ao e X₂₁,X₂₂, . . ., X_2n2 uma amostra aleat´oria de n₂ observa¸c˜oes proveniente da segunda popula¸c˜ao. Sejam X₁, X₂, S₁² eS₂² as m´edias e as variˆancias das amostras amos- tras respectivamente. Analogamente ao caso onde a variˆancia populacional ´e conhecida, temos que:

E[X₁−X₂] =µ₁−µ₂ V ar[X₁−X₂] = σ²₁

n₁ + σ²₂ n₂ = σ²

n₁ +σ² n₂ =σ²

1 n₁ + 1

n₂

O chamado estimador combinadoS_p² nada mais ´e do que uma “combina¸c˜ao” ou uma

“m´edia ponderada” das variˆancias amostrais de modo a estimar a variˆancia populacionalσ². Ele ´e definido por:

S_p² = (n₁−1)S₁² + (n₂ −1)S₂² n₁+n₂−2

Dizemos que este estimador combinado possuin₁+n₂−2 graus de liberdade.

Como

Z = X₁−X₂−(µ₁−µ₂) σ

r 1 n₁ + 1

n₂

tem uma distribui¸c˜aoN ∼(0,1)

ent˜ao, trocando σ porS_p temos o seguinte:

T = X₁−X₂−(µ₁−µ₂) S_p

r 1 n₁ + 1

n₂ tem uma distribui¸c˜ao t, com n₁+n₂ −2 graus de liberdade.

ˆ Teste t Combinado para Duas Amostras Hip´otese Nula:

H₀ :µ₁−µ₂ = ∆₀ Estat´ıstica do Teste:

T_calc= X₁−X₂−∆₀ S_p

r 1 n₁ + 1

n₂ Hip´oteses Alternativas

H1 :µ1−µ2 6= ∆0

H₁ :µ₁−µ₂ >∆₀ H₁ :µ₁−µ₂ <∆₀

Crit´erios de Rejei¸c˜ao

t_calc> t_α/2,n1+n2−2 ou t_calc<−t_α/2,n1+n2−2

t_calc> t_α,n1+n2−2 t_calc<−t_α,n1+n2−2

Exemplo 3: Vocˆe ´e um analista financeiro de uma corretora de a¸c˜oes. De acordo com os dados coletados abaixo, h´a diferen¸ca de dividendos entre as a¸c˜oes negociadas na Bolsa de T´okio e de NY? Assuma variˆancias iguais e α = 5%.

NY T´oquio N´umero de A¸c˜oes 21 25

M´edia amostral 3,27 2,53 Desvio-padr˜ao amostral 1,30 1,16 2.1.2 Variˆancias diferentes: σ₁² 6=σ₂²

Em algumas situa¸c˜oes n˜ao ´e razo´avel considerar que as vari´aveis desconhecidasσ²₁ eσ₂²sejam iguais. N˜ao existe um valor exato dispon´ıvel da estat´ıstica t-Student de modo a us´a-la para testar H₀ :µ₁−µ₂ = ∆₀ nesse caso. No entanto, seH₀ :µ₁−µ₂ = ∆₀ for verdadeira, ent˜ao a estat´ıstica

T_calc^∗ = X₁−X₂−∆₀ s

S₁² n₁ + S₂²

n₂

´

e distribu´ıda normalmente com t, com graus de liberdade dados aproximadamente por

υ =

S₁² n₁ + S₂²

n₂ 2

(S₁²/n₁)²

n₁ + 1 +(S₂²/n₂)² n₂+ 1

−2

Deste modo, seσ₁² 6=σ²₂, as hip´oteses sobre as diferen¸cas nas m´edias das duas distribui¸c˜oes normais s˜ao testadas como no caso das variˆancias iguais, exceto que T^∗ ´e usado como es- tat´ıstica do teste en₁+n₂−2 ´e trocado porυna determina¸c˜ao do grau de liberdade do teste.

Exemplo 4: Um fabricante de unidades de v´ıdeos est´a testando dois projetos de microcir- cuitos para determinar se eles produzem correntes m´edias equivalentes. A engenharia de desenvolvimento obteve os seguintes dados:

Projeto 1 n₁ = 15 x₁ = 24,2 s²₁ = 10 Projeto 2 n₂ = 10 x₂ = 23,9 s²₂ = 20

Usando α = 10%, desejamos determinar se h´a qualquer diferen¸ca na corrente m´edia entre os dois projetos, supondo que ambas as popula¸c˜oes sejam normais, embora n˜ao estejamos dispostos a supor que as variˆancias desconhecidas σ₁² eσ₂² sejam iguais.

2.2 Intervalo de confian¸ ca para uma diferen¸ ca nas m´ edias com variˆ ancias desconhecidas

2.2.1 Variˆancias Iguais: σ₁² =σ₂² =σ² A estat´ıstica T, definida por:

T = X1−X2−(µ1−µ2) S_p

r 1 n₁ + 1

n₂

tem distribui¸c˜ao t-Student, com n₁ +n₂ −2 graus de liberdade. Sendo assim temos, em termos de probabilidade, a express˜ao:

P(−t_α/2,n1+n2−2 6T 6t_α/2,n1+n2−2) = 1−α

Substituindo T pela defini¸c˜ao da estat´ıstica e tomando g =n₁+n₂−2 graus de liberdade, temos:

P









−t_α/2,g6 X₁−X₂−(µ₁−µ₂) S_p

r 1 n₁ + 1

n₂

6t_α/2,g









= 1−α

P

−t_α/2,g·S_p r 1

n1

+ 1

n2 6X₁−X₂−(µ₁−µ₂)6t_α/2,g·S_p r 1

n1

+ 1 n2

= 1−α P

−(X₁−X₂)−t_α/2,gS_p r 1

n₁ + 1

n₂ 6−(µ₁−µ₂)6−(X₁−X₂) +t_α/2,gS_p r 1

n₁ + 1 n₂

= 1−α

P

X₁−X₂−t_α/2,g·S_p r 1

n₁ + 1

n₂ 6µ₁−µ₂ 6X₁−X₂+t_α/2,g·S_p r 1

n₁ + 1 n₂

= 1−α Isto ´e, este ´e o intervalo de confian¸ca 1−α para a diferen¸ca de m´edias se X₁ e X₂ forem as m´edias de duas amostras aleat´orias independentes de tamanhos n₁ e n₂, provenientes de popula¸c˜oes com variˆancias desconhecidas por´em iguais aσ².

2.2.2 Variˆancias diferentes: σ₁² 6=σ₂²

N˜ao sendo razo´avel assumir queσ²₁ =σ₂², podemos ainda encontrar um intervalo de confian¸ca de 1−α para a diferen¸ca nas m´edias µ₁−µ₂, usando o fato de

T^∗ = X₁−X₂−∆₀ s

S₁² n₁ +S₂²

n₂

ser distribu´ıda aproximadamente como t-Student , com υ graus de liberdade (υ ´e dado na se¸c˜ao 2.1.2). Em termos de probabilidade, obteremos o intervalo de confian¸ca

P(−t_α/2,υ 6T^∗ 6t_α/2,υ) = 1−α

SubstituindoT^∗ pela defini¸c˜ao e manipulando a express˜ao analogamente ao caso anterior de modo a isolar µ1−µ2 obtemos o intervalo de confian¸ca 1−α para a diferen¸ca de m´edias se X₁ e X₂ forem as m´edias de duas amostras aleat´orias independentes de tamanhos n₁ e n₂, provenientes de popula¸c˜oes com variˆancias desconhecidas e diferentesσ₁² eσ²₂. Este intervalo

´

e descrito por:

P



X₁−X₂−t_α/2,υ s

S₁² n₁ + S₂²

n₂ 6µ₁−µ₂ 6X₁−X₂+t_α/2,υ s

S₁² n₁ + S₂²

n₂



= 1−α onde υ ´e dado aproximadamente por:

υ =

S₁² n₁ + S₂²

n₂ 2

(S₁²/n₁)²

n₁ + 1 +(S₂²/n₂)² n₂+ 1

−2

Exemplo 5: Deseja-se estudar a quantidade de c´alcio em um cimento padr˜ao e de em um cimento que cont´em chumbo. Quanto menor a quantidade de chumbo, maior a chance de infiltra¸c˜ao. Dez amostras de cimento padr˜ao tiveram um teor m´edio percentual de c´alcio de x₁ = 90,0, com um desvio-padr˜ao da amostra de s₁ = 5,0, enquanto 15 amostras do cimento com chumbo tiveram um teor m´edio percentual de c´alcio de x₁ = 87,0, com um desvio-padr˜ao da amostra de s₂ = 4,0. Supondo que o teor percentual de c´alcio seja normalmente distribu´ıdo, encontre um intervalo de 95% de confian¸ca para a diferen¸ca nas m´edias µ1−µ2 para os dois tipos de cimento.