Inferência Estat´ıstica para Duas Amostras: Análise da Variância e da Propor¸cão

(1)

Inferˆ encia Estat´ıstica para Duas Amostras:

An´ alise da Variˆ ancia e da Propor¸c˜ ao

Anna Regina Corbo

CEFET/RJ - UnED NI

Aula Te´ orica 3

(2)

Objetivo

Comparar duas condi¸c˜ oes (tratamentos) diferentes para determinar se cada condi¸ c˜ ao produz um efeito significante na resposta.

Anna Regina Corbo Inferência Estat´ıstica para Duas Amostras:Variância e Propor¸cão

(3)

Sum´ ario

1

A distribui¸ c˜ ao F de Snedcor

2

An´ alise da diferen¸ca entre variˆ ancias σ

₁²

e σ

²₂

3

An´ alise da diferen¸ca entre as propor¸ c˜ oes p

₁

− p

₂

(4)

A distribui¸c˜ ao F de Snedcor

Formalmente, sejam W e Y vari´ aveis ale´ atorias independentes qui-quadrado, com u e v graus de liberdade, respectivamente.

Ent˜ ao a raz˜ ao,

F = W

u Y v

´ e dita seguir a distribui¸c˜ ao F de Snedcor (ou F ) com u graus de liberdade no numerador e v graus de liberdade no denominador.

´ E representada por F

u,v

ou F

_v^u

.

(5)

A distribui¸c˜ ao F de Snedcor

(6)

A distribui¸c˜ ao F de Snedcor

Os pontos percentuais da distribui¸ c˜ ao F s˜ ao dados numa tabela espec´ıfica, onde f

_α,u,v

´ e o ponto percentual da distribui¸ c˜ ao F , com u graus de liberdade no numerador e v graus de liberdade no denominador.

(7)

A distribui¸c˜ ao F de Snedcor

(8)

A distribui¸c˜ ao F de Snedcor

A tabela cont´ em somente pontos percentuais superiores da distribui¸c˜ ao F . Se queremos encontrar um ponto percentual inferior utilizamos a express˜ ao:

f

1−α,u,v

= 1 f

α,v,u

(9)

A distribui¸c˜ ao F de Snedcor

Figura: Pontos percentuais superior e inferior da distribui¸c˜ao F.

(10)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Teste de Hip´oteses

Suponha que:

1

X

11

, X

12

, . . ., X

1n1

´ e uma amostra aleat´ oria proveniente da popula¸ c˜ ao normal 1 com m´ edia µ

₁

e variˆ ancia σ

₁²

;

2

X

₂₁

, X

₂₂

, . . ., X

_2n₂

´ e uma amostra aleat´ oria proveniente da popula¸ c˜ ao normal 2 com m´ edia µ

₂

e variˆ ancia σ

₂²

;

3

As duas popula¸ c˜ oes representadas por X

₁

e X

₂

s˜ ao independentes.

(11)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Sejam S

₁²

e S

₂²

as variˆ ancias das amostras. Ent˜ ao a raz˜ ao,

F = S

₁²

σ

²₁

S

₂²

σ

²₂

tem uma distribui¸ c˜ ao F , com n

1

− 1 graus de liberdade no

numerador e n

₂

− 1 graus de liberdade no denominador.

(12)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Desejamos realizar o seguinte teste de hip´ oteses para as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais:

H

₀

: σ

²₁

= σ

²₂

H

1

: σ

²₁

6= σ

²₂

(13)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Hip´ otese Nula:

H

₀

: σ

²₁

= σ

²₂

Estat´ıstica do Teste:

F

_calc

= S

₁²

S

₂²

(14)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Teste de hip´oteses

Hip´ oteses Alternativas H

1

: σ

₁²

6= σ

₂²

H

₁

: σ

₁²

> σ

₂²

H

₁

: σ

₁²

< σ

₂²

Crit´ erios de Rejei¸ c˜ ao

f

calc

> f

_α/2,n₁−1,n₂−1

ou f

calc

< f

1−α/2,n₁−1,n₂−1

f

_calc

> f

α,n1−1,n2−1

f

_calc

< f

1−α,n₁−1,n₂−1

(15)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Teste de hip´oteses - Exemplo 1

Vocˆ e ´ e um analista financeiro de uma corretora de a¸ c˜ oes e deseja comparar os dividendos entre as a¸c˜ oes negociadas na Bolsa de T´ oquio e de NY. De acordo com os dados coletados abaixo, h´ a diferen¸ca entre as variˆ ancias da a¸ c˜ oes negociadas nas duas capitais, com 5% de significˆ ancia?

NY T´ oquio N´ umero de A¸ c˜ oes 21 25

M´ edia amostral 3,27 2,53

Desvio-padr˜ ao amostral 1,30 1,16

(16)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Intervalo de confian¸ca

Utilizando a distribui¸c˜ ao F, em termos de probabilidade, temos a express˜ ao:

P(f

_1−α/2,n₁_−1,n₂₋₁

6 F 6 f

_α/2,n₁_−1,n₂₋₁

) = 1 − α Substituindo F pela vari´ avel

^S_S²²2^/σ²²

1/σ₁²

com distribui¸c˜ ao F-Snedcor , temos:

P (f

_1−α/2,n₁_−1,n₂₋₁

6 S

₂²

/σ

²₂

S

₁²

/σ

²₁

6 f

_α/2,n₁_−1,n₂₋₁

) = 1 − α

(17)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Intervalo de confian¸ca

Manipulando a desigualdade, obtemos:

P ( S

₁²

S

₂²

f

_1−α/2,n₁_−1,n₂₋₁

6 σ

²₁

σ

²₂

6 S

₁²

S

₂²

f

_α/2,n₁_−1,n₂₋₁

) = 1 − α Ou seja, um intervalo de confian¸ ca 1 − α para a raz˜ ao das

variˆ ancias desconhecidas σ

²₁

e σ

²₂

onde S

₁²

e S

₂²

s˜ ao as variˆ ancias de

amostras aleat´ orias de tamanhos n

₁

e n

₂

, provenientes de duas

popula¸ c˜ oes normais e independentes.

(18)

Inferˆ encia sobre as variˆ ancias duas popula¸c˜ oes normais

Intervalo de confian¸ca - Exemplo 2

Em uma f´ abrica, dois processos de lixamento podem ser utilizados, podendo produzir pe¸ cas com iguais rugosidades m´ edias na

superf´ıcie. Uma amostra aleat´ oria de 11 pe¸ cas provenientes do primeiro processo, resulta em um desvio-padr˜ ao de 5,1

micropolegadas. Outra amostra aleat´ oria de 16 pe¸ cas provenientes do segundo processo, resulta em um desvio-padr˜ ao de 4,7

micropolegadas. Encontre um intervalo de confian¸ ca de 90% para a raz˜ ao das duas variˆ ancias σ

₁²

/σ

²₂

.

(19)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Considere o caso onde h´ a dois parˆ ametros binomiais de interesse,

como p

₁

e p

₂

, e desejamos obter inferˆ encias acerca dessas

propor¸c˜ oes. Quando o n´ umero de amostras ´ e grande, podemos

realizar os estudos aproximando a distribui¸c˜ ao binomial pela

normal.

(20)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Suponha que duas amostras aleat´ orias independentes, de tamanho n

₁

e n

₂

, sejam retiradas de duas popula¸c˜ oes e que X

₁

e X

₂

representem o n´ umero de de observa¸ c˜ oes de interesse nas amostras 1 e 2, respectivamente. Tome como estimador das propor¸ c˜ oes das popula¸ c˜ oes

P ˆ

1

= X

₁

n

1

e P ˆ

2

= X

₂

n

2

que possuem distribui¸ c˜ ao aproximadamente normal.

(21)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Estamos interessados em testar as hip´ oteses:

H

₀

: p

₁

= p

₂

H

1

: p

1

6= p

2

utilizando a estat´ıstica

Z = P ˆ

1

− P ˆ

2

− (p

1

− p

2

) s

p

1

(1 − p

1

)

n

₁

+ p

2

(1 − p

2

) n

₂

, onde Z ∼ N(0, 1).

(22)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Se a hip´ otese nula for verdadeira, ent˜ ao teremos que p

₁

= p

₂

= p, logo a vari´ avel aleat´ oria

Z = P ˆ

₁

− P ˆ

₂

s

p(1 − p) 1

n

₁

+ 1 n

₂

´ e distribu´ıda aproximadamente Z ∼ N(0, 1).

(23)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Um estimador do paramˆ etro comum p ´ e P ˆ = X

₁

+ X

₂

n

1

+ n

2

.

A estat´ıstica de teste para H

₀

: p

₁

= p

₂

´ e, ent˜ ao,

Z

_calc

= P ˆ

1

− P ˆ

2

s

P ˆ (1 − P ˆ ) 1

n

₁

+ 1 n

₂

(24)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Teste de Hip´oteses - Procedimento de Teste

Hip´ otese Nula:

H

0

: p

1

= p

2

Estat´ıstica do Teste:

Z

_calc

= P ˆ

₁

− P ˆ

₂

s

P ˆ (1 − P ˆ ) 1

n

1

+ 1 n

2

(25)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Teste de Hip´oteses - Procedimento de Teste

Hip´ oteses Alternativas H

₁

: p

₁

6= p

₂

H

1

: p

1

> p

2

H

1

: p

1

< p

2

Crit´ erios de Rejei¸ c˜ ao

z

calc

> z

_α/2

ou z

calc

< −z

_α/2

z

_calc

> z

α

z

_calc

< −z

_α

(26)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Teste de Hip´oteses - Exemplo 3

Numa pesquisa sobre o ´ ultimo referendo (sobre o uso de armas), deseja-se saber se houve uma diferen¸ ca significativa entre o n´ umero de homens e de mulheres que foram favorav´ eis a causa.

Em uma amostra aleat´ oria de 72 homens, 36 votaram SIM. J´ a entre 50 mulheres, 31 foram favor´ aveis. Utilize α = 5% para realizar suas conclus˜ oes.

(27)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Intervalo de Confian¸ca

Como Z ´ e uma vari´ avel aleat´ oria normal padr˜ ao podemos escrever, em termos de probabilidade:

P (−z

_α/2

6 Z 6 z

_α/2

) = 1 − α

Se substituirmos Z pela estat´ıstica utilizada no teste de diferen¸ ca de propor¸c˜ oes, temos:

P





−z

_α/2

6 P ˆ

1

− P ˆ

2

− (p

1

− p

2

) s

p

1

(1 − p

1

) p

2

(1 − p

2

) 6 z

_α/2





= 1 − α

(28)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Intervalo de Confian¸ca

Manipulando a desigualdade, obtemos a express˜ ao:

P( ˆP1−Pˆ2−zα/2

s„

p1(1−p1) n1

+p2(1−p2) n2

« 6 6p1−p26

6Pˆ1−Pˆ2+z_α/2 s„

p1(1−p1) n1

+p2(1−p2) n2

«

) = 1−α

Este ´ e o intervalo de 1 − α de confian¸ ca para a diferen¸ ca de duas propor¸ c˜ oes onde ˆ p

₁

e ˆ p

₂

s˜ ao as propor¸ c˜ oes amostrais de

observa¸ c˜ ao em duas amostras aleat´ orias e independentes, de tamanhos n

1

e n

2

, que perten¸ cam a classe de interesse.

(29)

Inferˆ encia sobre propor¸c˜ oes de duas popula¸c˜ oes

Intervalo de Confian¸ca - Exemplo 4

Em uma amostra aleat´ oria de 85 pe¸ cas, 10 tˆ em um acabamento superficial mais rugoso do que as especifica¸ c˜ oes permitidas. Ap´ os uma modifica¸c˜ ao no processo de acabamento da superf´ıcie, foram obtidas outras 85 amostras e verificou-se que 8 n˜ ao atendem as especifica¸c˜ oes permitidas. Obtenha um intervalo de confian¸ ca de 95% para a diferen¸ca da propor¸c˜ ao das pe¸ cas defeituosas