será formado e a reta suporte de tangente a esse círculo.

Adicional de geometria

Sempre podemos transladar um objeto. Isto é, trocá-lo de lugar.

Também podemos analisar a simetria de figuras. Ou seja, se passarmos uma reta no meio da figura terá um “reflexo”, nos dois lados da reta, dos objetos desenhados.

8. Trigonometria

Trigono= três ângulos, metria= medida. Campo da matemática que estuda as medidas nos triângulos retângulos.

6.1. Tangente

Em “semelhança no triângulo retângulo” vimos que é algo normal compararmos a medida de um cateto pelo outro. Também vimos que, mesmo diminuindo o tamanho dos catetos, a razão de um cateto pelo outro é sempre igual à razão de um cateto pelo o outro de um triângulo semelhante (frações semelhantes).

Essa percepção foi feita pelos gregos e recebeu deles o nome de tangente. Tangente também é o nome da posição relativa das retas que tocam circunferências em um único ponto ou das circunferências que se tocam em um único ponto. Qual a relação desses objetos?

Pela figura podemos ver que se o cateto girar com apoio em O, um círculo

será formado e a reta suporte de será

tangente a esse círculo.

A reta suporte de pode ser encarada como o alcance da visão de alguém que está em O. Essa visão sempre atingirá a algum ponto da tangente. Também podemos lembrar que em movimentos circulares, estudados em Física, um objeto sempre podia escapar pela tangente do movimento realizado. A tangente também é considerada a taxa de declividade de uma reta. Além disso, pelo que vemos na figura abaixo, a tangente mostra qual é a taxa de variação de ma curva ou de um gráfico (algo importante para a física, biologia, medicina, economia, etc.)

Todos esses exemplos vem colocar a tangente como a razão trigonométrica mais importante das que estudamos.

Podemos obter o valor da tangente dividindo a medida de um cateto pelo outro e a medido do seno pelo cosseno de um ângulo, se forem conhecidos.

6.2. Seno

A medida que entendemos mais as razões trigonométricas, vemos que, embora a tangente seja mais comum no mundo real, o seno é a mais fundamental dessas razões. Ele

fica responsável pela altura que um ângulo pode obter com um determinado tamanho de hipotenusa (sempre lembrando que as razões trigonométricas são sempre vistas em um triângulo retângulo).

Pense em posicionar uma escada numa parede. Estando a escada mais afastada ou mais próxima da parede, a altura que a escada bate na parede seria o seno.

A palavra seno vem de sinus quem em latim

medieval significava baía, enseada, curvatura, prega

côncava ou de meio círculo que forma uma

vestimenta. Mas essa foi uma tradução mal feita do

Árabe. Sinus veio de jaib, mas a palavra correta

seria jiba ou jiva que significa “a corda de um arco

(de caça ou de guerra)”.

Obtemos o seno comparando a medida de um dos catetos com a hipotenusa.

6.3. Cosseno

Pensando na escada do exemplo do seno, a sombra da escada no chão, ou a distância de seu pé até a parede seria seu cosseno.

Co-seno significa o seno do ângulo complementar. Assim, ele pode ser obtido usando o outro cateto.

6.4. Cotangente

Temos que o seno seria a medida vertical e que o cosseno seria a medida horizontal. Assim, se a tangente é a medida vertical, a cotangente é a horizontal.

Co-tangente significa a tangente do ângulo complementar. Assim, ela pode ser obtida invertendo a razão da tangente.

6.5. Secante e cossecante

A secante e a cossecante são as medidas que vão da origem do ângulo até a tangente e até a cotangente.

Secante, vem de secare, que significa cortar. Já vimos que uma reta secante a um círculo o corta em dois pontos. Então a secante será o segmento colinear a hipotenusa e que inicia no vértice de ângulo e termina na altura da tangente.

A cossecante é a secante do ângulo complementar.

6.6. Ciclo Trigonométrico

Com o plano cartesiano, estudamos a ideia de eixo. Assim:

E que tal fazermos isso com uma circunferência?

Pronto, obtivemos o chamado ciclo trigonométrico, ou simplesmente ciclo, que é uma circunferência orientada, na qual o raio mede 1.

Num ciclo trigonométrico podemos ajustar um plano cartesiano com origem no centro dele. Desse modo, o círculo fica dividido em quatro quadrantes, conforme mostra a figura abaixo.

Quando a extremidade de um arco estiver num determinado quadrante, dizemos que o arco é desse quadrante.

Tomando como exemplo a figura ao lado, dizemos que:

é um arco do 1° quadrante;

é um arco do 2° quadrante;

é um arco do 3° quadrante;

é um arco do 4° quadrante;

6.7. Observando as medidas em um triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico

6.8. Arcos côngruos

Observemos as figuras ao lado:

Notamos que a cada número real x corresponde um ponto P do ciclo, tal que mede x.

O ponto P é a imagem de x no ciclo.

É importante ressaltar que a cada corresponde um só ponto P, mas para cada ponto P existem infinitos arcos de origem A e extremidade P e, consequentemente, infinitos valores de x.

Veja um exemplo nas figuras seguinte. Os arcos de medidas

possuem a mesma origem A e a mesma extremidade P.

Arcos desse tipo, ou seja, arcos de mesma origem e mesma extremidade são chamados arcos côngruos.

6.9. Arcos trigonométricos

Como já foi dito, para cada ponto da circunferência, existe uma medida de ângulo e uma medida do arco determinado por esse ângulo. Mas, como podemos ver na última figura, podemos dar voltas em torno do ponto central do ciclo e parar na extremidade P. Acontece que para cada volta que damos, o ângulo central é aumentado (podendo passar de 360° ou de ). Com isso:

Podemos ter 30° na primeira determinação positiva do arco .

Podemos ter 30° + 360° na segunda determinação positiva do arco . Podemos ter 30° - 360° na primeira determinação negativa do arco . 6.10. Variação do sinal de seno, cosseno e tangente

No ciclo trigonométrico, de acordo com a extremidade P do arco, o valor de seno e de

cosseno pode ser positivo ou negativo.

1° Quadrante 2° Quadrante

sen  > 0

cos  > 0 sen  > 0

cos  < 0

3° Quadrante 4° Quadrante

sen  < 0

cos  < 0 sen  < 0

cos  < 0 Variação do sinal dessas funções

Seno Cosseno

Tangente

1° Quadrante 2° Quadrante

tg  > 0 tg  < 0

3° Quadrante 4° Quadrante

tg  > 0 tg  < 0

Tangente

6.11. Relações entre seno, cosseno e tangente

Veja:

e e

e

Em um triângulo retângulo, os outros dois ângulos, além do ângulo reto, não só são menores que 90° (são ângulos agudos) como sua soma resulta em 90°.

Logo, no triângulo acima, temos:

+ = 90°  = 90° -   = 90° -  Também temos:

; como  = 90° - :

; como  = 90° - :

e

Agora, imagine que a hipotenusa do triângulo acima mede 1 (lembrem-se que no ciclo trigonométrico o raio do círculo mede 1). Desta forma temos:

Estas últimas equações são conhecidas como a relação fundamental entre seno e cosseno de um ângulo agudo.

6.12. Ângulos notáveis do seno, do cosseno e da tangente

 Observe o triângulo equilátero ABC:

Como ABC é equilátero, todos seus lados são iguais e todos os seus ângulos internos são iguais e valem 60°.

Traçando a altura do ângulo superior, que também é mediatriz de seu lado oposto, temos:

Agora, temos dois triângulos retângulos. Calculando quanto mede a altura que traçamos em relação ao lado do triângulo equilátero temos, por Pitágoras:

Então, calculando o sen 30°, cos 30° e tg 30°:

Pelo que vimos de ângulos complementares o sen 60°, cos 60° e tg 60° são:

 Considerando o quadrado abaixo e traçando uma diagonal:

Agora, temos dois triângulos retângulo com dois ângulos de 45° (metade de 90°) e um

ângulo reto. Calculando quanto mede a diagonal em relação ao lado do quadrado temos, por Pitágoras:

Então, calculando o sen 45°, cos 45° e tg 45°:

Tabulando esses valores:

 30° 45° 60°

Sen 

Cos  Tg  6.13. Redução ao primeiro quadrante

É importante que a partir de agora comecemos a trabalhar com a medida de radianos, pois a medida de graus, embora conhecida e mais simples, é menos utilizada pelo meio acadêmico.

 Redução do 2° para o 1° quadrante:

Representamos um arco de medida , com , no ciclo trigonométrico. Considerando a simetria em relação ao eixo y, obtemos o ponto P’, correspondente de P, no 1º quadrante.

sen  = sen (-) cos  = -cos (-) tg  = -tg (-) Os pontos P e P’ têm a

mesma ordenada e sen  > 0, pois o sinal do seno no 2°

quadrante é positivo.

Os pontos P e P’ têm abscissas opostas e cos  < 0, pois o sinal do cosseno no 2° quadrante é

negativo.

Os pontos T 1 e T 2 têm ordenadas opostas e tg  < 0, pois o sinal da

tangente no 2° quadrante é

negativo.

 Redução do 3° para o 1° quadrante:

Representamos um arco de medida , com , no ciclo trigonométrico.

Considerando a simetria em relação ao ponto O, obtemos o ponto P’, correspondente de P, no 1º quadrante.

sen  = - sen (-) cos  = - cos (-) tg  = tg (-) Os pontos P e P’ têm

ordenadas opostas e sen  < 0, pois o sinal do seno no 3°

quadrante é negativo.

Os pontos P e P’ têm abscissas opostas e cos  < 0, pois o sinal do

cosseno no 3° quadrante é negativo.

O ponto T tem ordenada positiva e tg  > 0, pois o

sinal da tangente no 3°

quadrante é positivo.

 Redução do 4° para o 1° quadrante:

Representamos um arco de medida , com , no ciclo trigonométrico.

Considerando a simetria em relação ao eixo x, obtemos o ponto P’, correspondente de P, no 1º quadrante.

sen  = - sen (2-) cos  = cos (2-) tg  = - tg (2-) Os pontos P e P’ têm

ordenadas opostas e sen  <

0, pois o sinal do seno no 4°

quadrante é negativo.

Os pontos P e P’ têm a mesma abscissa e cos  > 0, pois o

sinal do cosseno no 4°

quadrante é positivo.

Os pontos T 1 e T 2 têm ordenadas opostas e tg  < 0, pois o sinal

da tangente no 4° quadrante é

negativo.

6.14. Tabela completa com mais ângulos



0 ra d ou 0° r ad ou 30° r ad ou 45° r ad ou 60° r ad ou 90° r ad ou 18 0° r ad ou 27 0° r ad ou 360°

Sen  0

1 0 -1 0

Cos  1

0 -1 0 1

Tg  0 0 0



r ad ou 15° r ad ou 75° r ad ou 105° r ad ou 120° r ad ou 135° r ad ou 150° r ad ou 165° r ad ou 195°

Sen 

Cos 

Tg 

 r ad ou 210° r ad ou 225° r ad ou 240° r ad ou 255° r ad ou 285° r ad ou 300° r ad ou 315° r ad ou 330° r ad ou 345°

Sen 

Cos 

Tg 

6.15. Relações trigonométricas

6.16. Transformações trigonométricas

6.17. Lei dos senos

Num triangulo qualquer as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

6.18. Lei dos cossenos

Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.