Lista de Exercícios 1º Semestre 2017 Curso Pré-Vestibular POLIEDRO

(1)

Lista de Exercícios – 1º Semestre 2017 – Curso Pré-Vestibular POLIEDRO Prof. Kátia Regina Yabiku

Logaritmos

1. (Fuvest 2017) Considere as funções f(x)x24 e ₁

2

g(x) 1 log x, em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja

h(x)3f(g(x))2g(f(x)),

em que x0. Então, h(2) é igual a a) 4

b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

2. (Fgv 2017) Estima-se que, daqui a t semanas, o número de pessoas de uma cidade que ficam conhecendo um novo produto seja dado por

t

20.000

N .

1 19(0,5)

 

Daqui a quantas semanas o número de pessoas que ficam conhecendo o produto quintuplica em relação ao número dos que o conhecem hoje?

a) log 19 log 7 1 log 5



 b) log 19 log 6

1 log 5



 c) log 19 log 5

1 log 5



 d) log 19 log 4

1 log 5



 e) log 19 log 3

1 log 5



3. (Enem 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão,

provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos.

A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

0

2 E

M log ,

3 E

 

  

 

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E₀ uma constante real

positiva. Considere que E e ₁ E₂ representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).

Qual a relação entre E e ₁ E ? ₂ a) E₁E₂2

b) E₁10²E₂ c) E₁10³E₂ d)

9

1 7 2

E 10 E e) ₁ 9 ₂

E E

 7

4. (Fuvest 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

2 3 7

1 1 1

S2 log 20165 log 201610 log 2016

  

O valor de S é a) 1

2 b) 1

3 c) 1

5 d) 1

7 e) 1

10

(2)

5. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Uma pesquisa foi desenvolvida a partir de

250 bactérias de uma cultura. Estimou-se então, de maneira aproximada, que, durante certo tempo, o aumento percentual do número de bactérias na cultura poderia ser obtido pela expressão

B(t) 30 log (t 3 21) 150, em que t é o tempo decorrido, em minutos, após o início da pesquisa, Nessas condições, ao fim da primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia em tal cultura?

a) 325 b) 400 c) 450 d) 525

PA e PG

1. (Unicamp 2017) Seja x um número real, 0 x π2, tal que a sequência

(tan x, sec x, 2) é uma progressão

aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

a) 1.

b) 5 4.

c) 4 3.

d) 1 3.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Leia o texto publicado em maio de 2013 para responder à(s) questão(ões) a seguir.

Os Estados Unidos se preparam para uma invasão de insetos após 17 anos

Elas vivem a pelo menos 20 centímetros sob o solo há 17 anos. E neste segundo trimestre, bilhões de cigarras (Magicicada septendecim) emergirão para invadir partes da Costa Leste, enchendo os céus e as árvores, e fazendo muito barulho.

Há mais de 170 espécies de cigarras na América do Norte, e mais de 2 mil espécies ao redor do mundo. A maioria aparece todos os anos, mas alguns tipos surgem a cada 13 ou 17 anos. Os visitantes deste ano, conhecidos como Brood II (Ninhada II, em tradução livre) foram vistos pela última vez em 1996. Os moradores da Carolina do Norte e de Connecticut talvez tenham de usar rastelos e pás para retirá-las do caminho, já que as estimativas do número de insetos são de

30 bilhões a 1 trilhão.

Um estudo brasileiro descobriu que intervalos baseados em números primos ofereciam a melhor estratégia de

sobrevivência para as cigarras.

<http://tinyurl.com/zh8daj6> Acesso em:

30.08.2016. Adaptado.

2. (Fatec 2017) Com relação à Ninhada II, e adotando o ano de 1996 como o 1º termo

(a ) de uma Progressão Aritmética, a 1

expressão algébrica que melhor representa o termo geral (a ) da sequência de anos _n em que essas cigarras sairão à superfície, com n *, é dada por

a) a_n 17 n 1979  b) a_n 17 n 1998  c) a_n 17 n 2013  d) a_n 1996 n 17  e) a_n 1979 n 17 

3. (Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares.

Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

a) 40 b) 60 c) 100 d) 115 e) 120

(3)

4. (Puccamp 2016) Um jogo de boliche é jogado com 10 pinos dispostos em quatro linhas, como mostra a figura abaixo.

Se fosse inventado um outro jogo, semelhante ao boliche, no qual houvesse um número maior de pinos, dispostos da mesma forma, e ao todo com 50 linhas, o número de pinos necessários seria igual a a) 1.125.

b) 2.525.

c) 2.550.

d) 1.625.

e) 1.275.

5. (Espcex (Aman) 2016) Considere o seguinte procedimento: em uma

circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a:

a) 3

2R 1 2

 

  

 

 

b) 3

4R 1 2

 

  

 

 

c) 3

4R 1 4

 

  

 

  d) ^{R 2}



^ ³



e) 3

2R 1 4

 

  

 

 

6. (Enem 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3.000 C e diminui 1% de sua temperatura a cada

30 min.

Use 0,477 como aproximação para log (3) e 10 1,041 como aproximação para log (11). 10

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 C é mais próximo de

a) 22.

b) 50.

c) 100.

d) 200.

e) 400.

7. (Espm 2016) A partir do quadrado ABCD, de lado 4, constrói-se uma sequência infinita de novos quadrados, cada um com vértices nos pontos médios dos lados do anterior, como mostrado abaixo:

O comprimento da poligonal infinita des- tacada na figura por linhas mais grossas é igual a:

a) 4 2 b) 4 21 c) 8 2 d) 42 2 e) 8

(4)

Funções

1. (Epcar (Afa) 2017) No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real f definida por f(x) x² x 2 e o polígono ABCDE.

Considere que:

- o ponto C é vértice da função f.

- os pontos B e D possuem ordenadas iguais.

- as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f.

Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em unidades de área, é a) 1

816 b) 1

48 c) 1

44 d) 1

82

2. (Espm 2017) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma função quadrática cujo gráfico está representado na figura abaixo:

Podemos concluir que o lucro máximo é de:

a) R$ 1.280,00 b) R$ 1.400,00 c) R$ 1.350,00 d) R$ 1.320,00 e) R$ 1.410,00

3. (Unicamp 2017) Considere o quadrado de lado a0 exibido na figura abaixo.

Seja A(x) a função que associa a cada 0 x a a área da região indicada pela cor cinza.

O gráfico da função yA(x) no plano cartesiano é dado por

a)

b)

c)

(5)

d)

4. (Epcar (Afa) 2017) A função real f definida por f(x) a 3^xb, sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo.

Pode-se afirmar que o produto (a b) pertence ao intervalo real

a) [ 4, 1[  b) [ 1, 2[ c) [2, 5[

d) [5, 8]

5. (Unicamp 2017) Seja f(x) uma função tal que para todo número real x temos que

(x 1) (

x f   x3)f(x)3. Então, f(1) é igual a

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

Análise Combinatória e Probabilidade

1. (Espm 2017) Em uma competição de vôlei de praia participaram n duplas. Ao final, todos os adversários se

cumprimentaram uma única vez com apertos de mãos. Sabendo-se que foram contados 180 apertos de mãos, podemos concluir que n é igual a:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2. (Espcex (Aman) 2017) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres.

Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8.

Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições?

a) 56 b) 456 c) 40.320 d) 72.072 e) 8.648.640

3. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Um patrão tem 6 tarefas diferentes para serem distribuídas entre 3 empregados. Ele pode delegar todas elas a um só empregado, ou delegar apenas para alguns, ou ainda garantir que cada empregado receba pelo menos uma tarefa. O número de maneiras distintas de distribuir essas tarefas é a) 639

b) 714 c) 729 d) 864

4. (Fgv 2017) O total de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é igual a

a) 6.581.

b) 9.590.

c) 18.621.

d) 27.930.

e) 30.951.

(6)

5. (Unicamp 2017) Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do que 3 é igual a

a) 1 3.

b) 1 5.

c) 1 7.

d) 1 9.

6. (Fgv 2017) Uma fração, definida como a razão entre dois inteiros, chama-se

imprópria quando o numerador é maior ou igual ao denominador e chama-se decimal quando o denominador é uma potência de dez.

Dois dados convencionais, de seis faces equiprováveis, possuem cores diferentes:

um deles é branco, e o outro preto. Em um lançamento aleatório desses dois dados, o número obtido no dado branco será o numerador de uma fração, e o obtido no dado preto será o denominador.

A probabilidade de que a fração formada seja imprópria e equivalente a uma fração decimal é igual a

a) 17 36. b) 1

2. c) 19

36. d) 5

9. e) 7

12.

7. (Espcex (Aman) 2017) A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a 1

3. Se o casal pretende ter

4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é

a) 1 9 b) 7

9 c) 8

9 d) 2

3 e) 1

2

8. (Unesp 2017) Em um jogo de tabuleiro, o jogador desloca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos no lançamento de um par de dados convencionais e não viciados. Se o jogador obtém números diferentes nos dados, ele avança um total de casas igual à soma dos pontos obtidos nos dados, encerrando-se a jogada. Por outro lado, se o jogador obtém números iguais nos dados, ele lança novamente o par de dados e avança seu peão pela soma dos pontos obtidos nos dois lançamentos, encerrando-se a jogada.

A figura a seguir indica a posição do peão no tabuleiro desse jogo antes do início de uma jogada.

Iniciada a jogada, a probabilidade de que o peão encerre a jogada na casa indicada na figura com a bomba é igual a

a) 37 324 b) 49

432 c) 23

144 d) 23

135 e) 23

216

Gabarito:

(7)

Logaritmos

Resposta da questão 1:

[B]

 

1 2 2

1 2 f(g(2)) f 1 log 2 f(1 1) f(0) 4

g(f(2)) g 2 4 g(8) 1 log 8 1 3 2 h(2) 3 f(g(2)) 2 g(f(2)) 3 4 2 ( 2) h(2) 8

 

 

     

 

 

        

          

[E]

Calculando:

 

0 0 0

t

t t t

10 0,5

10

20.000

N N 1000

1 19 (0,5)

20.000 4 3

N 5 1000 1 (0,5)

1 19 (0,5) 1 19 (0,5) 19 log 3

3 19 log3 log19 log19 log3

t log t

19 5 log5 1 1 log5

log 10

  

 

      

   

 

   

   

        

 

 

[C]

Tem-se que

0 0

3M 2 0

3M 0 2

2 E E 3M

M log log

3 E E 2

E 10

E

E E 10 .

   

    

   

 

  

Daí, como M₁9 e M₂7, vem 27

1 0 2

E E 10 e

21 2 0 2 E E 10 . Portanto, segue que

27 1 0 2

21 6

2 2

0 3

2

E E 10

E 10 10

10 E .

 

  

 

[E]

Lembrando que _b

a

log a 1 ,

log b



c

b b

log a  c log a e

c c c

log a b log a log b, com a, b e c reais positivos diferentes de 1, temos

2 3 7

2016 2016 2016

5 2 2016

2016

1 1 1

S 2 log 2016 5 log 2016 10 log 2016

1 (5 log 2 2 log 3 log 7)

10

1 log 2 3 7

10

1 log 2016 10

1. 10

  

  

     

   

 



[A]

Determinando o aumento percentual depois de 60 minutos (1 hora), temos:

B(60) 30 log (60 3 21) 150  30 4 150  30

Portanto, o número de bactérias após uma hora será dado por:

250 1 30 250 1,3 325 100

 

    

Gabarito:

PA e PG

[D]

Calculando:

(8)



1 2 3



2 1 3

2

2 2 2 2

PA a , a , a 2a a a

1 sen x

2 sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cos x 2 sen x 2 2cos x

cos x cos x sen x 1 cos x

1 cos x 2 2cos x 1 cos x 4 8 cos x 4 cos x 5 cos x 8 cos x 3 0 cos x 3 ou cos x 1 (não convém)

5

5 4

sec x ; tgx

3 3

5 4 1

PA r r

3 3 3

   

           

 

           

 

    

[A]

Aplicando a fórmula do termo geral da P.A., temos:

n 1

n n

a a (n 1) r a 1.996 (n 1) 17 a 17 n 1979

   

  

[D]

É fácil ver que os andares

1, 7, 13, 19, , a20, com a₂₀ sendo o último andar do edifício, foram aqueles que receberam reparos de João e Pedro.

Portanto, como tal sequência é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo 1, temos

a20 1 19 6 115.

[E]

As quantidades de pinos de boliche em cada linha representam uma progressão aritmética de razão 1, escrita abaixo:

(1, 2, 3, 4, , 48, 49, 50)

Calculando a soma dos 50 primeiros termos desta P.A., temos:

 

50

1 50 50

S 1.275

2

 

 

[B]

Estabelecendo uma relação entre o raio r da circunferência inscrita e o raio R da circunferência circunscrita num hexágono regular.

r é a altura de um triângulo equilátero de raio R, portanto:

r R 3

 2

Os raios considerados no exercício formarão uma P.G. infinita de razão

q 3.

 2

R 3 3R (R, , ,...)

2 4

A soma dos infinitos termos desta P.G.

será dada por:

1

3 R 1 3

1 2

a R R 2 3

S 4R 1

1 q 3 3 3 1 2

1 1 1

2 2 2 4

 

  

    

            

[D]

A temperatura, T, da liga após t horas é dada por T3.000 (0,99) . ^2t Por conseguinte, o tempo necessário para que a temperatura da liga atinja 30 C é tal que

2 2t 2t

2 2 2t

2 2

3 11 1

3.000 (0,99) 30

10 100 3 11

log log10

10

2t (2 log3 log11 2 log10) 2 t (2 0,477 1,041 2) 1 t 1

0,005 t 200.



  

    

 

  

   

 

       

      

 

(9)

[D]

Calculando os comprimentos dos segmentos destacados e sua soma:

1

2

3

seg 4 2

2

2 2 1 2

seg 2 PG razão q S 4 2 2

2 2 1 1

2 2 2

seg 1

2



  



       

 

   

  

  



Gabarito:

Funções

[B]

   

     

v v

2

v v

2

2 D

B 2

b ( 1) 1

x x

2a 2 ( 1) 2 1 9

C ,

1 1 9 2 4

y 2 y

2 2 4

x 1

f(x) x x 2 A 2, 0 e E 1, 0

x 2

D 0, y f(0) 0 0 2 2 D 0, 2

B x , 2 2 x x 2 x x 1 0 B 1, 2

   

          

 

 

    

       



 

      

  

      

           

1,5 0,5 0,5 0,25 1

S 2 2 S 4

2 2 8

    

     

[C]

Seja Lax²bx c, com L sendo o lucro obtido com a venda de x unidades. É fácil ver que c0. Ademais, como a parábola passa pelos pontos (10, 1200) e

(20, 1200), temos

100a 10b 1200 a 6

400a 20b 1200 b 180

   

  

    

 

Portanto, segue que

2 2

L 6x 180x13506(x 15) . O lucro máximo ocorre para x15 e é igual a R$ 1.350,00.

[D]

Calculando:

 

2 a a x 2 2

A(x) a 2 a a ax A(x) ax

2

   

       

O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa [D].

[A]

Calculando:

x 0

2

f(x) a 3 b

f(0) 1 a 3 b 1 a b 1 b 1 a

a 9 8 153

f(2) 8 a 3 b 8 9a b 8 9a 1 a 8 a b [ 4, 1[

17 64

b 8

  

              

  

                  

  



[B]

Calculando:

(10)

x 0

(0 1) (0 ) (0)

(1 1) (1 ) (1) (0) (1) (1

0 f 3 f 3 f(0) 1

x 1

1 f 3 f 3 f 2 f 3 f ) 1

     



        



 

   

Gabarito:

Análise Combinatória e Probabilidade

[C]

Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número de apertos de mãos seria igual a 2n

2 .

 

 

  Mas, como apenas adversários se cumprimentam, devemos descontar desse total o número de apertos de mãos trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n.

Portanto, segue que o resultado é tal que

2

2n (2n)!

n 180 n 180

2 2!(2n 2)!

n n 90 0 n 10.

 

    

  

 

   

 

[C]

Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos:

P55!120

Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8, temos:

8 7 6  336.

Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas restrições são:

P120 336 40.320 Resposta da questão 3:

[C]

Como cada tarefa pode ser distribuída de três modos distintos, podemos concluir, pelo Princípio Multiplicativo, que o resultado é 3 3 3 3 3 3     729.

[E]

Existem 9 10 10 10 10    90000 números de cinco algarismos. Destes, temos

9 9 9 9 9    59049 números que não apresentam quaisquer dígitos

consecutivos. Portanto, segue que o resultado é 900005904930951.

[D]

Ao se lançar um dado duas vezes há 36 possíveis resultados. Destes, apenas 4 podem ter o maior valor menor do que 3 (1 e 1, 1 e 2, 2 e 1 e 2 e 2). Assim, a probabilidade será igual a 4 1

369. Resposta da questão 6:

[C]

É imediato que existem 6 6 36 resultados possíveis. Dentre esses resultados, não são favoráveis: (1, 2),

(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 3) e (5, 6).

Portanto, segue que a resposta é 17 19

1 .

36 36

 

[C]

Probabilidade do casal não ter filhos com os olhos azuis: 2 2 2 2 16

3 3 3 3    81

Probabilidade do casal ter apenas um filho com os olhos azuis:

4 1 2 3 32

1 3 3 81

    

   

    Probabilidade do casal ter exatamente dois filhos com os olhos azuis:

2 2

4 1 2 24

2 3 3 81

       

        

 

(11)

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

16 32 24 72 8

P .

81 81 81 81 9

    

[A]

Lançando os dados uma única vez, os casos favoráveis são (1, 5), (2, 4), (4, 2) e

(5, 1). Logo, como o espaço amostral possui 6 6 36 elementos, segue que a probabilidade de encerrar na casa desejada com apenas um lançamento é

4 1

369.

Por outro lado, também é possível encerrar na casa desejada obtendo-se (1, 1) no primeiro lançamento e qualquer um dos resultados (1, 3), (2, 2) ou (3, 1) no segundo e último lançamento. Essa probabilidade é igual a 1 3

36 36 .

A última possibilidade consiste em obter (2, 2) no primeiro lançamento e (1, 1) no segundo e último lançamento. Isso ocorre com probabilidade igual a 1 1

36 36 .

Portanto, o resultado é

2 2

1 3 1 37

936 36 324.