LISTA 3 DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
Prof. Rodrigo Neves
1) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 3, 5, 7, 9, 11... a) 12
b)13 c) 14 d)15 e) 16
2) Que número corresponde a seqüência a seguir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8... a) 9
b)10 c) 11 d)12 e) 13
3) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 0, 2, 1, 3, 2... a) 3
b)4 c) 5 d)6 e) 7
4) Que número corresponde a seqüência a seguir: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19...
5) Que número corresponde a seqüência a seguir: 37, 31, 29, 23, 19, 17... a) 16
b)15 c) 14 d)13 e) 12
6) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 2, 2, 4, 8, 32... a) 32
b)64 c) 256 d)288 e) 352
7) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 2, 4, 7, 11... a) 12
b)13 c) 14 d)15 e) 16
8) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1, 4, 9, 16... a) 18
e) 325
9) Que número corresponde a seqüência a seguir: 1000, 990, 970, 940, 900, 850... a) 850
b)840 c) 820 d)790 e) 780
10) Complete os termos que estão faltando nas seqüências a) (4,7,6,9,8,___ ,_____ ,_____)
b) (2,5,8,____ ,_____)
c) (1, -3,9,-27,_____,____)
11) Determine os 5 primeiros elementos das seqüência: a) A sucessão onde fn = 2n + 1 é
f1 =
f2 =
f3 =
f4 =
f5 =
b)A sucessão onde fn = 2 + 5n é
f1 =
f2 =
f3 =
f4 =
f5 =
c) A sucessão onde fn = 3.2n é
f1 =
f2 =
f3 =
f4 =
f5 =
12) Observe a seqüência ( 1,1,2,3,3, 1,1,2,3,3, 1,1,2,3,3, 1,1....). Supondo que a lei de formação continue nessa seqüência, determine os números nas posições 15º, 21º, 38º e 149º.
13) Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívida exatamente daqui a 15 dias. Em que dia da semana cairá o 15º dia? E se a dívida for paga daqui a 90 dias, em que dias da semana cairá?
a)
b)
15) Num programa de condicionamento Físico, uma pessoa deve correr 200 m no primeiro dia, 250 m no segundo, 300 m no terceiro, 350 m no quarto dia e assim por diante.
responda as perguntas abaixo :
a) Que seqüência poder ser estabelecida com as distâncias nesse programa? b) Quanto o pessoa deve percorre no quinto e sexto dia desse treinamento ? c) Qual o dia que essa pessoa percorreu a distância de 600 m?
e) É possível de acordo com esse treinamento uma pessoa percorrer certo dia a distância exata de 980 m? Explique a razão dessa afirmação ou negação.
f) No décimo dia, quanto essa pessoa deverá percorrer?
g) Após oito dias de treinamento, quantos metros essa pessoa já percorreu?
h) Sabendo que o limite máximo que essa pessoa deva percorrer por dia é 1200 m , em que dia isso ocorrerá ?
16) Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforo como mostra o desenho: Quantos quadrados ela fez com 22 palitos?
18) Marta está a fazer um colar com peças de vários feitios. Mas está a executá-lo de uma forma regular. Reparem:
a) Que peça irá a Marta colocar a seguir ao triângulo azul?
b)Se ela usar, no total, 63 peças, de quantos corações vai precisar? c) E de quantos triângulos?
d)E de quantos círculos?
19) Observe a seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
a) Descubra qual é a regra e escreva mais cinco números desta seqüência. b) Tente construir um gráfico para esta seqüência.
20) Observe a seqüência de figuras abaixo: L1 = 3 L2 = 5 L 3 = 7
a) Desenhe a 4ª e a 5ª figuras.
b) Complete a tabela abaixo que relaciona a ordem da figura e o número de bolinhas.
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de bolinhas
c) Quantos pontos têm a 10ª figura?
21) A ameba é o mais simples de todos os animais existentes. Ela só pode ser vista ao microscópio. Por ser uma membrana elástica finíssima, ela muda de forma quando se movimenta apresentando saliências e reentrâncias em seu corpo. Após crescer até um certo tamanho, uma ameba se divide ao meio, para produzir outras duas. No período de um dia, aproximadamente, cada uma se divide ao meio, formando quatro amebas no total. No dia seguinte existirão oito, e teoricamente esse processo pode continuar indefinidamente.
22) Observe a seqüência de figuras abaixo: T1 T2 T3
a) Desenhe a próxima figura da seqüência. Quantas bolinhas ela tem? b) Quantas bolinhas terão a 7ª figura?
c) Complete a tabela abaixo que relaciona a ordem da figura e o número de bolinhas
que ela possui.
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de bolinhas
d) A 16ª figura tem quantos pontos?
e) A figura que possui 38 bolinhas, ocupa qual posição na seqüência?
f) Escreva uma regra para descobrir o número de bolinhas de acordo com a posição
que ela ocupa na seqüência.
23) Observe os números quadrados representados abaixo:
Complete a tabela abaixo:
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de pontos
Vamos agora representar os números quadrados 1, 4, 9, 16, ... desta maneira: i. o 1º número triangular por Q1 = 1;
ii. o 2º número triangular por Q2 = 1+ 3 = 4 ;
iii. o 3º número triangular por Q3 = 1+ 3 + 5 = 9 ;
iv. o 4º número triangular por Q4 = ___________________;
v. o 5º número triangular por Q5 = __________________________;
24) Escreva ao 5 primeiros termos de cada seqüência (an) e determine o limite das que forem
convergentes:
a) an =
2 n n 1
b) an =
n 3 1
c) an =
1 n 2 ) 1 ( n 1
d) an =
! n
1
e) an =
2(1)n
f) an =
n 2 n
g) an =
n ) 1 ( n 1
h) an =
n ) 1 ( n n
i) an =
n n 5 n
25) Encontre a lei de formação para as seqüências: a) 1, 3, 5, 7, 9, 11...
b) 1, 2, 4, 8, 16, 32... c) 1, 2, 4, 7, 11... d) 1, 4, 9, 16..
e) 1000, 990, 970, 940, 900, 850... f) 1, 3, 5, 7, 9, 11...
g) 1, 4, 9, 16...
h) 1000, 990, 970, 940, 900, 850...
26) Calcule a soma dos 7 primeiros termos da seqüência é igual
ím par é n se , 3 1 2n par é n se 2n, -n a 2 n ,.
27) Nos exercícios abaixo, escreva os cinco primeiros valores das seqüências dadas: a) S(1) = 10 e S(n) = S(n - 1) + 10 para 2
b)A(1) = 2 e A(n) = para n 2
c) B(1) = 1 e B(n) = B(n - 1) + n2 para n 2
d)S(1) = 1 e S(n) = S(n - 1) + para n 2 e) T(1) = 1 e T(n) = n T(n - 1) para n 2
f) P(1) = 1 e P(n) = n2 P(n -1) + (n - 1) para n 2
g) M(1) = 2 ; M(2) = 2 e M(n) = 2 M(n - 1) + M(n - 2) para n 2
28) A famosa seqüência de Fibonacci é definida por:
F(1) = 1 F(2) = 2
F(n) = F(n - 2) + F(n - 1) para n > 2.
Escreva os oito primeiros valores da seqüência de Fibonacci
29) Suponha que Silva casou-se e teve dois filhos. Vamos chamar estes filhos de geração1. Suponha agora que cada um destes filhos tenha dois filhos; então, a geração 2 contém quatro descendentes. Isso continua de geração em geração. Escreva a relação de recorrência para n-ésima geração.
30) Um certo banco está cobrando 5% de juros ao mês. Tadeu tomou emprestado R$ 1000,00 e deve pagar prestações mensais fixas de R$100,00. A primeira prestação será paga ao final do primeiro mês de empréstimo. Encontre a relação de recorrência para a dívida de Tadeu ao final do n-ésimo mês.
31) Encontre os termos de índice n = 7 das seqüência comuns: a) F(n) = 4n – 3
b)F(n) = 3n
c) F(n) = (-1)n +2n
d)F(n) = n2– 5n +12
e) an = n2 +2n + 1
32)Encontre o termo de índice n = 6 para as funções recursivas:
a) F(0) = 3; F(n) = F(n-1) + 2
c) F(1) = 1; F(n+1) = F(n) + 8
d)F(0) = 12; F(n+5) = 2F(n+4) – 5
e) F(1) = 150; F(n+7) = F(n+6) – 20
f) F(4) = 5; F(n+2) = [ F(n+1)]2 +1
g) F(2) = 1; F(n+1) = F(n) + 8
h)F(5) = 12; F(n+2) = 3F(n) – 5
i) F(0) = 5; F(n+1) = 5F(n-1) +10
j) F(20) = 1000; F(n) = F(n+2) + 8
k)F(3) = 1; F(n+1) = 3F(n)
33) Resolva a questão, justificando bem seus passos
a) Coloque a função f(n) = 12n , para todo n 4, na forma recursiva. b) Usando a função na forma recursiva, calcule f(7) + f(9).
c) Usando a função na forma normal, calcule f(7) + f(9) e compare o resultado com o valor do item b.
34) Resolva a questão sabendo f(n+2) = f(n) + 12 e a condição inicial f(1) =2, a) Calcule f(7) + f(9)
b) Calcule f(11)*f(17) c) Calcule f(20)
d) Encontre uma forma de encontrar f(1001). sem ter que calcular todas imagens menores que 1000.
35) Uma função matemática comum, pega cada número natural n e leva em um valor f(n) também natural seguindo o seguinte critério: multiplica-se ele por 4 e depois se soma ao resultado o valor 15.
a) Usando uma variável n para representar a variável em questão, descreva a fórmula de f(n).
b) Sabendo que a função acima dada por f(n+1) = f(n) + 4, calcule a condição inicial para n > 8.
c) Usando a função na forma recursiva, calcule f(13) + f(15). d) Usando a função na forma recursiva, calcule f(12) x f(17).
37) Uma função matemática usual, é dada por f(n) = 3·(2n),
a) Coloque a função f(n) acima, na forma recursiva, usando como condição inicial que o valor de n = 5.
b) Usando a função na forma recursiva, calcule f(8) + f(10). c) Usando a função na forma recursiva, calcule f(3) x f(6).
38) Resolva a questão, justificando bem seus passos
a) Coloque a função f(n) = 6n – 9, para todo n 13, na forma recursiva. b) Usando a função na forma recursiva, calcule f(17).
39) Calcule e simplifique as expressões numéricas com fatoriais: a) 5 !
b) 6! + 4! c) (3!)2– (32)!
d) 12! e) 3! 4! – 7! f) (5!)2– (22)!
g) ! 7
!
10
h)
! 98
! 100
i) ! 7 ! 14
! 10 ! 16
40) Simplifique as expressões:
a)
)! 1 n (
! n
=
b)
n! 1)! (n !
n =
c)
1)! -(n . 1) (n
1)! -(n . 1) (n )! 2 n (
=
41) (UFCE) A soma e o produto das raízes da equação (x + 1)! = x! + 6x são: a. 3 e 6
b. 3 e 3 c. 6 e 1 d. 3 e 0 e. nda
42) (PUC - RS) A expressão (n - 1)! [(n+1)! - n!] equivale a: a. n!
43) A expressão
, é igual a: a. K3
b. k3 ( K - 1 )!
c. [(K-1)!]2
d. (K!)2
e. k3.[(K-1)!]2
44) A soma das raízes da equação (5x - 7)! = 1 vale: a. 5
b. 7 c. 12 d. 3 e. 4
45) O conjunto solução da equação (x!)2 = 36 é:
a. { 3, -3 } b. { 6, -6 } c. { 3, 6 } d. { 6 } e. { 3 }
46) Se (n - 6)! = 720 então: a. n = 12
b. n = 11 c. n = 10 d. n = 13 e. n = 14
47) Simplifique
:
a. 101103 b. 102! c. 100000 d. 101! e. 10403
48) Resolva as questões, que envolvem a aplicação direta dos conceitos de fatorial, apresen-tando todos os seus passos e contas.
a) Calcule o valor numérico da expressão para n = 5, substituindo n e simplificando em seguida:
b) Calcule o valor numérico da expressão para n = 3, simplificando-a algebricamente primeiro:
49) Calcule o valor numérico da expressão fatorial para n = 8. Resolva a questão, que envolve a aplicação direta dos conceitos de fatorial, apresentando todos os seus passos e contas.
50) Resolva as seguintes questões que envolvem a aplicação de fatoriais
a) Calcule o valor numérico da expressão para n = 8, simplificando-a primeiro,
b) Resolva a equação fatorial
51) Resolva as seguintes questões que envolvem a aplicação de fatoriais
a) Calcule o valor numérico da expressão para n = 10, simplificando-a primeiro,
b) Resolva a equação fatorial
52) Resolva as equações fatoriais: a) (2n – 3)! = 120
b)2(n+5)! = 84(n+3)!. c) (2n – 6)! = 40320 d)(x+1)! = 3(x!)
53) Prove que para qualquer inteiro positivo n tem-se:
1 + 2 + 3 + ... + n = n n( 1)
2
54) Prove por indução finita, que a sentença 2 + 4 + 6 + ... + 2n = (n+3)(n) – 2n é verdadeira para todo número natural n > 3.
56) Prove que a equação abaixo é verdadeira para qualquer inteiro positivo n:
1 + 3 + 5 + 7 + ...+ (2n - 1) = n2
57) Prove que: 1+ 2 + 22 + 23 + ...+ 2n = 2n+1 – 1 para qualquer n 1.
58) Nos exercícios abaixo, use a indução matemática para demonstrar que os resultados são válidos para qualquer inteiro positivo n 6:
a) 2 + 6 + 10 + .... + (4n - 2) = 2n2
b)2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
c) 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1)
d)4 + 10 + 16 + .... + (6n - 2) = n(3n + 1)
e) 5 + 10 + 15 + ....+ 5n = 5 1
2 n n( )
59) Demonstrar, pelo princípio da indução matemática, que são verdadeiras as seguintes igualdades:
a) 12 + 22 + ... + n2 =
6 )) 1 n 2 ( 1 n (
n
, n 3
