LISTA 1 DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prof. Rodrigo Neves
1) Determine o resultado das seguintes operações simbólicas a)3 + ∞ =
b)(– 5) ∙(+∞) = c) 3 ÷ (+∞) = d)4 ÷ 0 = e)(−∞)5 = f) 0 ÷ (−∞) = g)(– 2) ∙(−∞) = h) (– 1) ÷ 0 = i) (−∞)273+−5
0 + (−2)1024
+∞ =
2) Calcule os limites abaixo e aponte o tipo de indeterminação, caso ela exista:
a) limx→1 ln(x)∙x−11 =
b)limx→5 xx−−35− x 2
2x−10 = c) limx→0sen (x)1x =
d)limx→0sen (x)x =
e) limx→0xx =
f) limx→0 1x x
=
g) limx→0 x 1x =
h)limx→0 x∙sen(x) =
i) limx→0cos(x)x =
j) limx→0cos(x) 1
x =
k)limx→2x 2−5x+6 x2−3x+2 =
3) Calcule os seguintes limites e aponte caso seja indeterminado:
b) limx→1 x 2+3x x2−6x+3= c) limx→−1 x
3−1 x2−1 = d) limx→0 1x =
e) limx→−1 1 x2−1 =
f) limx→−1 2x+3 4
|x3+x+2| =
g) limx→5 x 2+25
x2−25 =
4)Calcule os limites abaixo passo a passo, sem omitir nenhuma passagem do raciocínio:
a) limx→1 x 2+x+1
x+1 = b)limx→2 x3−9x + 14 = c) limx→−3 |4x2 + 20| =
d)limx→2 x 2+3
x = e) limx→1 3 |x2+ 2| =
f) limx→0 e−x 2
=
g) limx→0 5 3x + 1 =
5)Calcule os limites abaixo através da substituição direta.
a) limx→1 x 2+3x+1
x+1 = b)limx→2 x3−12x + 7 =
c) limx→2x 2−9 x−3 =
d)limx→−5 |x2−25| =
e) limx→2 x2−4 x = f) limx→1 3 |x2+ 7| =
g) limx→π
2
sen (x) cos(2x) =
6)Calcule os seguintes limites e diga se eles são determinados ou indeterminados:
b)limx→2x 2+3 x−1 = c) limx→−1x
2+x+1 x+1 = d)limx→−5
x+5 x+3 = e) limx→05x
2−9x−10 x4−x2+1 = f) limx→2x
2−5x+6 x2−3x+2 = g) limx→−3x
2+x−6 x+3 = h)limx→2x22−−x4 =
i) limx→2x 2−6x+8 x2−5x+6 = j) limx→−16x
2+12x+6 x3+2x2+x =
7) Calcule os seguintes limites pela técnica do cancelamento:
a)
x 3
12 3 x
x 4 lim
3
x
b)
3 x x
x 3 x lim 2
2
3
x
c)
3 x
x 4 lim
3 x
d)
6 x 7 x
) 4 x 3 x ( lim 2
2 2
1
x
e)
1 x 3 x x
2 x 3 x 6 x lim 3 2
2 3
1
x
f)
3 x
3 x 2 x lim
2
3
x
g)
a x
a x ) 1 a ( x lim
2 2
a
x
8) Calcule os seguintes limites pela técnica da racionalização:
a) limx→0 x+1x−1 =
b)limx→0 3+xx− 3 =
c) limx→0 1 +1x− 1x =
e)
1 x
2 x x lim 3
1
x
f)
x 1
1 x 1 lim
1
x
h)
x 2 2 x lim
0 x
i)
14 7 x
7 x lim
7
x
j)
4 x
x lim
2 2 x
l)
4 x
2 x lim
2 2
x
9) Caso o limite de f(x) seja um número real qualquer, inclusive o zero, ele é dito ser convergente e se afirma que o limite converge para este número. Por outro lado, se o limite de f(x) tende para +∞ ou para −∞, dizemos que o limite é divergente.
Observe que uma indeterminação (0/0) não é convergente nem divergente, pois a resposta final para o limite ainda não foi encontrada. Classifique os limites a seguir como convergentes ou divergentes:
a) limx→1 7x
3−7x2+2x−2 2x2−5x+3 =
b)limx→3 6x4x−2 −–1216 =
c) limx→1x
4+x3−x2−2x+4 x2+x−1 =
d)limx→4 x+5x −− 2 3 =
e) limx→1 x3−x2+4x−4 2x2−5x+3 =
f) limx→3 4x−x−3 3− 9 =
g) limx→0 5x
3−3x2+4x 8x2−5x =
h)limx→5
2x−1 – 3 3x−15 = i) limx→1x
4+3x3−6x2−2x+4 x2−2x+1 = j) limx→2 10x+52x − 2− 5 =
k)limx→2
l) limx→7x3−6x2−49 49+x2−14x =
m) limx→4 6x−15 16x–− 82x+1 =
n)limx→−2x22+4x+4−x − 2 =
o)limx→4 2x+1 25x – −6x 10−15 =
p)limx→−3x26−−6x+9x − 3 =
q)limx→3x
3−3x2+5x−15 150−53x+x2 =
r)limx→10 10x−3x36 −–305x+14 =
s)limx→12− x23+x −1 =
10) Construa as tabelas e determine ambos os limites laterais:
a)
x 4x 2, x 2
2 x , 6 x 4 x ) x ( f ), x ( f
lim 2
2
2
x =
x → 2– x → 2+
x 2
f(x)
f(x) → f(x) →
b)
x , x 0
0 x , 3 x ) x ( f ), x ( f
lim 2
0 x
x → 0– x → 0+
x 0
f(x)
c)
2x, x 1
1 x , 2 x ) x ( f ), x ( f lim
1
x =
x → 1– x → 1+
x 1
f(x)
f(x) → f(x) →
d)
2x 1,x 1
1 x , 1 x ) x ( f ), x ( f lim
2
1
x =
x → 1– x → 1+
x 1
f(x)
f(x) → f(x) →
11) Calcule o limite de f(x) quando x tende a 2, usando os limites laterais. Compare seu resultado obtido al-gébricamente com o gráfico a seguir:
12) Calcule o limite de g(x) quando x tende a 0, usando os limites laterais. Compare seu resultado obtido al-gebricamente com o gráfico a seguir:
2
x
,
9
x
2
x
,
2
2
x
,
1
x
)
x
(
f
2 2
0 x , 1
13) Calcule o limite de h(x) quando x tende a 1, usando os limites laterais. Compare seu resultado obtido algebricamente com o gráfico a seguir:
14) Calcule o limite de y(x) quando x tende a 0, usando os limites laterais. Compare seu resultado obtido al-gebricamente com o gráfico a seguir:
15) Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a)
lim
(
)
3
f
x
x
b) lim ( )
3 f x
x
c)
lim
x3f
(
x
)
d) limx f(x)e)
lim
xf
(
x
)
f)lim
x4f
(
x
)
1 x , x 3
1 x , x ) x ( h
2
0 x , 2
16) Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) limx0 f(x)
b) lim 0 f(x)
x c) limx0 f(x)
d) limx f(x)
e) limx f(x)
f) limx2 f (x)
17) Seja F(x) = |x – 4|. Calcule os limites indicados se existirem: a) limF(x).
4 x b) limF(x).
4 x
c)
lim
F
(
x
).
4x
18) Seja a função definida no gráfico abaixo:
Calcule os limites visualizando no gráfico:
4 x 1 x 3 x x
x b)lim c)lim d)lim e)lim
lim )
19) Seja a função definida no gráfico abaixo:
Calcule os limites visualizando no gráfico:
4 x 1 x 3 x 2
x b)lim c)lim d)lim
lim ) a
20) Seja a função definida no gráfico abaixo:
Calcule os limites, visualizando no gráfico:
1 x 1 x 1
xlim b)lim c)lim )
a
21) Calcule os seguintes limites, se eles existirem. Caso negativo, justifique sua resposta (Nota: Use os limites laterais).
a)
x 1, x 1
1 x , 1 x ) x ( f ), x ( f lim
3 1
x
b)
3 x , 3
2 x 12
3 x , 2
2 x
) x ( f ), x ( f lim
3 x
c)
x 4x 2, x 2
2 x , 6 x 4 x ) x ( f ), x ( f
lim 2
2
2 x
d)
2x, x 1
1 x , 1 x ) x ( f ), x ( f lim
e)
2x 1,x 1 1 x , x ) x ( f ), x ( f lim
2 1
x
22) Resolva os limites no infinito, trabalhando o desenvolvimento da questão , indique as assíntotas horizontais (além de dizer se é na borda esquerda ou direita), se existirem.
a) limx→∞ 15x5+7x−14 3x5−9x3−18x+12 = b)limx→−∞x
3−6x2+x−29 x2−8x+79 =
c) limx→∞ 64x
5+7x2−1 32x6−7x2−3x+2 = d)limx→−∞ 4x
5+x4+9x−12 2x3−7x2−2x5+3x+2 = e) limx→∞ 18x
5+15x−148 6x7−3x4−10x+34 = f) limx→∞ 2x
6+8x2−1 16x5−7x2−3x+2 =
g) .
3 t 5 t 2
3 t 2 t
lim 2
2
t
h) .
3 x 7
2 x 5
lim 33
x
i) lim( 16x4 15x3 2x 1 2x).
x
j) .
y 4 5
y 3
lim 2
y
k) .
36 y
6 y
lim 2
6
y
23) Analise a continuidade da função, indicando a existência de saltos, furos ou assíntotas verticais.
f x = 2x
2−3 se x < 2 7x−11 se 2 x 3 x3−17 se x 3
24) Calcule p de modo que a função abaixo seja contínua:
3 ,
3
3 ,
2
) (
2
x
x px
x x
25) Obtenha os limites e classifique-os: a) 3 x 9 x lim 2 3 x
b) 2
5 x 25 x
x 5 lim c) x x 2 x lim 2 3 0
x
d) 2 x 8 x lim 3 2 x e) 1 x 3 x 4 x lim 3 2 1 x f) 2 x x 3 x x 3 x
lim 3 2
2 3
1
x
g) 5 x 8 x 4 x 4 x 6 x 3 x lim 3 2
2 3
1
x
h) 3 x 4 x 2 x 3 x lim 4 3 1
x
i) 8 x 12 x 2 x 7 x 2 4 x 12 x 5 x 2 x
lim 4 3 2
2 3 4
2
x
j) x 1 x x 2 1 lim 2 0 x k) x x 1 x 1 lim 0 x l) 1 x 1 x x 2 lim 1 x m) 2 3 2 4 lim 2
2
x x
x x n) 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x lim 2 2 2 1
x
o) limx(5x3 3x2 2x1)
p) lim (2 5 4 2 2 1)
x x x
x
q) limx(3x4 2x2 1)
r) limx(3x4 5x2 8)
s) limx(5x3 3x2)
t) limx(x2 3x2)
u)
1 1 2
lim 2
2
x x
x
v)
3 5
9
1 2 5 3
lim 3 2
2 3
x x x
x x x
x
w)
4 2
2 3
7 5 4 lim
x x
x x x
x
x)
20 8
6
7 3
lim 5 4
4 5
x x
x x x
x
Respostas 25:
a) 6 b) 1/10 c) 0 d) 12 e) -2/3 f)-4/5 g) 1 h) ½ i) 7/8 j) -1 k) 1 l) 2/4 m) -8 n) 3 0)+ p) - q) - r)+
s) + t) - u) 2 v) 13 w) 0 x) 2 1
Resumo
1º Fundamental: lim sen 1 0
x
x
x
2º Fundamental: e
x
x
x
1 1 lim
3º Fundamental: b
x bx
x
ln 1 lim
0
26) Encontre os limites abaixo:
a)
x x sen
x
2 3 lim 0
b)
x senx
x
4 lim 0
c)
x x tg
x
3 2 lim 0
d)
x sen
x sen
x
3 4
lim 0
e)
x tg
x tg
x
5 3 lim 0
f)
x
x
x
2
1 1
lim
g)
3
1 1 lim
x
x
x
h)
2
1 1 lim
x
x
x
i)
x
x
x
4 1
lim
j)
x
x
x
3
2 1 lim
Respostas 26: a) 3/2 b)¼ c) 2/3 d)4/3 e) 3/5
