Arquivos de BSI e LIC Professor.Rodrigo.Neves

LISTA 3 DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Prof. Rodrigo Neves

1)Resolva as integrais a seguir e simplifique os resultados:

a) x4 _−x2_{+ 3 dx}

b) 7x6 _{− 11x}5_{+ 6x}3_{+ 10x}2_{−26x + 5 dx}

c) x4 ₋ 16x3 3 −6x

2_{+ 3 dx}

d) x6 _{− 18x}5_{+ 8x}3_{+ 12x}2_{−90x + 15 dx}

e) 2x4₋ 12x3 5 + 7x

2_{−8 dx}

f) 6x8 _{− 24x}7_{+ 5x}5_{+ 12x}3_{−15x + 45 dx}

g) 78x senx 3cosxdx

2 x 36 x x 5

5 3

6_{    }



h) dx

x 8

35 247

e 4

x x_{ }



i) dx

14 x 3 14

3 x 14

3 x 21 x

60 4_ 3_{  }



j) 2x (x2 3)2dx



 

k) dx

6 x 12 x x7 _{ }



l) 5x 9 4senx dx

6 x x 2 3 2



   

m) dx

x 35 3 e 2 x 42

x x

5_{  }



n) dx

3 2 x 2

3 x cos 3 x 20 x

60 5 3



   

o) (2x2 3)2 dx





p) cos x3_{+ 5x}2_{+ 12x ∙(6x}2_{+ 20x + 24) dx}

q) 4x2_∙ex _dx

r) 4x8 _−12x2₊ 7senx

3 −

4 x+ 5e

s) 9 x + 13cosx + 6x_∙lnx_{− π} dx

t) sen(12x3_)∙3x2 _dx

2) Calcule as integrais definidas abaixo: a)



 2

1 4

dx x

6 R :

5 198

b)



2  _  1

3 4

dx ) x 8 x 5

( R :

24 37 

c)



2

0sen(2x)dx R : 0 d)



 _

 



 _{  }

2

2

2 3

dx 1 x 7 x 2 3 x

R : - 6,667

e)



4 

0 ( 2x 1)dx R : 8,667 f)



2 

1 (6x 1)dx R : 8 g)



 

2

1

3_)dx x 1 (

x R :

10 81

3) Calcule as integrais definidas.

a) 34dx 0



R: 12

b) 4xdx 0



R: 8

c)



4 0 2dx

x

R: 4

d)



2 

0(2x 5 )dx R: 14

e)



5 

0(5 x)dx R: 25/2

f)



3    1

2 _{4x 3 )dx} x

( R: 4/3

g)



 

0

3(x 2 )dx R: 3/2

h) 2 x dx 0

3



R:

5 2 8

i)



4  0

2_)dx x x 4

( R: 32/3

j) dx x 1 3

2

4)Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.

a)



3 

0(x 2 )dx R: 21/2

b)



2 0

2_dx

x R: 8/3

c)



2 

0(4 2x )dx R: 4

5) Calcule a área das figuras limitadas e fechadas pelas funções e o eixo x nos respectivos intervalos, esboçando o gráfico:

a) yx em [0,3]

b) y_2x2_8 _{em [-2, 2]}

c) y4 em [0,4]

d) y_x2_2x_1 _{em [-3, 3]}

6)Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2_{– 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5.}

7)Calcular a área compreendida entre a curva y = x2_{, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às}

abcissas x = 0 e x = 2.

8) Calcule a área entre os gráficos das funçõesy x; y = 0 e a reta x = 4

9)Calcule a área entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = _– 3 e x = 1.

10)Calcular a área entre as curvas y = _– x2 _{+ 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1].}

11) Calcular a área entre as curvas y = x2_{– 4 e y = x – 3 .}

12) Encontre a área da região limitada

a) pelas curvas y = x2 _{+1 e y = 2x – 2 entre x = -1 e x = 2.}

b) pelas curvas y = x3 _{e y = x}2 _.

c) limitada pela curva y = -x2 _{+ 4x – 3 e pelo eixo x.}

d)no primeiro quadrante que se situa sob a curva y = 1/x e é limitado por esta curva e pelas retas y = x, x=0 e x =2.

13) Utilizando o método de integração por substituição, calcule as integrais definidas.

a)



1  0

3 2 _{1) dx} x

(

x R: 15/8

b)



1 

0

2 _dx x 1

x R: 1/3

c)





4

0 2x 1dx 1

R: 2

d)





9

1 _{x(1 x)}2dx 1

R: 1/2

e)





2

0 _{1 2x}2 dx x

R: 1

f) 1 x 1dx 1



  R: ₃ 2

4

g)



2  0 3_dx ) x 2 1 (

2 R: 156

h) 0( 4x)(1 2x ) dx 1

3 2



   R: 0

i)



2

1(3x)2dx 1

R: 1/18

14) Calcule as Integrais indefinidas pelo método de integração por partes:

Respostas 14: C ) 2 x 2 x .( e ) e C ) 1 x .( e ) d C x sen x cos . x ) c C x sen x cos . x ) b C x 4 1 x n . 2 x ) a 2 x x 2 2                C 2 1 x . e 2 1 ) j C x cos n x tg . x ) i C e ). 1 x )( h C 2 x x cos . x sen . 2 1 ) g C 3 1 x n . 3 x ) f X 2 x 3                               

_{x. x C} 9 4 nx . x . x 3 2 ) p C 3 x sen . 2 x sen . x cos ) o C x 5 sen . 25 1 x 5 cos . 5 x ) n C x cos . 2 senx . x 2 x cos x ) m C ) x cos x sen . x ( 2 1 ) l 3 2 2 2 2 2              

15) Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando o integrando.

a)





x24



22x dx _b)





 



x23x53 2x3 dx

c)





x3_2x_1

 

2 3x2_2



dx

d)



sen2 x cos x dx

e)



x x23 dx

f) x 3x2 3dx





g)



x2.ex3 dx

h)  

 x dx cos

5sen x



i) e 2x dx



j)



5 x 3

dx

k) dx

1 x

x 5

2



_ l)

 



_xlndx_x

m) x2sec2

 

x3 dx



n)

 

dx

x x sen



o)   dx

x x ln3



p)  

 x dx sen

x cos

2



q)



_

 x

x _e e

dx _{r) tg}5

_{ }

_{x sec}2

_{ }

_{x dx}



s) dx 4 x 3 x 4 2



_ t) dx

1 x 6 x 2 x 3 2



_  _ u)



 



dx

x x ln cos



v)

 

 

3x dx cos x 3 sen 3 4



w)





Respostas 15:

a)



2 4



3 3

x

C 

 b )





4 2

3 5 4

x x

C

 

 c)





C 3

1 x 2

x3 3

 

 _d)sen3  3

x C

 e)

 

x  2C

3

2 ₃

3

1

f)

3

2 2

(3 3) 9

x

C

 _{ g)} ( 3)

3 x e

C

 h) 5

ln 5

senx

C

 i) 1 2

2

x

e C j) 2 3 5 3 x C

k) 5 2

ln | 1|

2 x  C l)

ln (ln( ))x C m) 1 3

3tg x C

n) 2cos x C _o) (ln )4 4

x C



p) 1 C senx

  q) x

arctg e C r) 6

6

tg x C

 s) 2 2

ln | 3 4|

3 x  C t)

3

1

ln | 6 1 | 3 x  x C

u) sen(ln( ))x C _v)

3

1

cos(3 )x C

w) 2ln ( x 1) C y)

2

3ln 2

x C



16) Integrais por Partes: resolva as integrais abaixo.

a)

_

lnxdx _b)

_

_xex_dx

c)

_

dx x

x

ln _d)

_

_xsec2_xdx

e)

_

(x22x)exdx f)



xcos2xdx g)



exsenxdx h)



x ex dx

) 1 ( 3

( 5 3

i)

_

x2lnxdx j)



arctgxdx k)



sec3xdx

l) dx

) x 1 (

x 2 2 2





m)

_

arctg3xdx _n)

_

_(x2_{1)senxdx o)}

_

_3x8_cosx3_{dx p}

_

_(16x3_{4x1)lnxdx}

Respostas 16:

a) x

_

ln x 1

_

C b) x 1

e x C c) x



2lnx  4



C d) x tg xln cosxC e) x e2 xC

f) 1 _{ } 1 _{ } 2

2 cos 2

4 x sen x 2 x x C

 _{ } _

 

  g)  

1

cos 2

x

e senx x C h)





3 6

3

1 2

x

x

e x C

   i) 3

1 ln

3 3

x

x C

 _ _

 

 

j) 1 2

ln 1 2

x arctg x x C k) 1sec ln | sec |

2 x tgx x tg x C l)



2



1 1

2 1 2

x

arc tg x C x

  



m) _{ } 1

_

2

_

3 ln 9 1

6

x arctg x  x  C n) 



x21 cos



 x 2x sen x C o) x sen x6 32x3cosx32sen x3C

p) _{ }



4 2

 

4 2



17) Faça a integração por decomposição de frações parciais. a) 1 x dx 2



 b) x 5x 6

dx 2





 c) x 3x

dx 2



 d) (x 1)(x 7)dx

3 x 2



_  _

e) dx

x 3 x 1 x x 2 2



_  f) dx

4 x 3 x 10 x 5 2



  

g) dx

1 x 2 x x 2 2



_ h) dx

) 2 x ( ) 1 x ( 1 x 2



_  _

i) dx

x x 2 x 6 x 20 x 5 2 3 2



_ _ j) dx x 2 x 4 x 2 2 3



  k) 4 2 3 2 3 1 6 x x dx

x x x

   



l)







2 2 3 7

2 3 1

x x dx x x    



m) ₂dx ₂ a 0

x a 



n)



5



9 2



x dx x x   



o)





1 2 0 2 3 1 x dx x  



p)







2 2 1

4 7 12

2 3

x x

dx

x x x

   



Respostas 17: a) C x x _   1 1 ln 2

1 b) _C 2 x 3 x ln  

 c)

C x x _ 3 ln 3

1 d) lnx 7 C 6 11 1 x ln 6 1   

 e) 1ln 7ln 3

3 3

x x x C

f) 2 lnx 4 3lnx 1 C g) x2lnx 1 lnx 1 C h) |) C 1 x 2 x | ( ln 3 1 x 2 C | 2 x | ln 3 | 1 x | ln 3 1 x 2 _           

i) _{|) C}

1 x x | ( ln 1 x

9 6 _

  

 j) |) C

x 2 x | ( ln 2 x

2_  _ k) x +

2

1 1 11

ln ln 2 ln 3

2 6 2 3

x

x x x C

     

l) _C

1 x 3 3 x 2 1 x ln    

 _m) 1 ln 2

x a C

a x a

 

 n) 2lnx 5 lnx 2 C o)

1 2 ln 2

2

 p) ln3 5 9 2 ln 5 27 _

18) Encontre a área da região limitada, esboçando a região:

a) pelo gráfico de y_2x2_3x_2_{, o eixo dos}

x e as retas verticais x0 e x2.

b) abaixo da parábola _y4x2_{, abaixo da reta yx2, acima do eixo x.}

c) entre o gráfico de y = x2 _{-6x + 8, o eixo x e no intervalo [0, 3].}

d) pelo primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2, a curva y = 1/x2 _{e o eixo x.}

e) pory_x3_4x,y_0,x_2_.

19) Ache a reta vertical x = k que divide a área da região_yx2_{, y = 0 e}

3

20) Determine a área através integral definida das funções abaixo, esboçando o gráfico da região. Dica: Tente observar se a região de integração não possui partes negativas, necessitando de algum tipo de manipulação ou secção da integral.

a) dx x 1

3

e

e



b)









  

2

1 x 1 2x 3 dx

c)



senx cosx 1



dx

0



  

d)



3



 



0 2

dx 1 x 4 x 3

e)



2

0 senxdx

f) dx

x 1 x

6

3 2

2





g) 10x 1 dx

1





21) Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo. Se possível, verifique suas respostas usando áreas conhecidas no Ensino Médio (triângulos, trapézios) ou em um programa computacional.

a) b) c) d)

Respostas 21:

a) 7/3 b) 8/3 c) 5/2 d) 11/4

22) Calcule a área das figuras limitadas e fechadas pelas funções e o eixo x nos respectivos intervalos, esboçando o gráfico:

b) y2x2 8, em [-2, 2]

c) y4, em [0,4]

d) y x2 2x1, em [-3, 3]

e) ysenx, em [0,π]

f) x e

y  , em [1, 3]

23) Calcule a área sobre o eixo x e a curva f(x) = 6x2_{– 12x + 12 entre}



_2,4



_{. O gráfico da curva}

é:

24) Resolva a integral definida da função

 

3

x 3 1 x

f  entre



1,2



.

25) Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva yx23x2 e o eixo x que é 0

y .

Y

X

2

 1 0 1 2 3 4

1 

 

x f

1

0 ₂

Y

X

Y

 

x f

X

26) Use integral definida para determinar a área da região abaixo:

27) Calcule a área por integral

28) Calcule a área das figuras (limitadas e fechadas) abaixo, utilizando uma integral definida:

a)

Resp: 2

b)