LISTA 2 DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prof. Rodrigo Neves
1)Determine a derivada das funções, simplificando:
a) y = 4x + 5
b) y = - x + 3
c) y = x 2 2 1
d) y = x2 + 4x + 5
e) y = x 5x 7 2
1 2
f) y = 0,2 x2– 4x
g) y = (3x2 - 4x) (6x + 1)
h) y = (1 - x2) (1 + x2)
i) y = (x2– 4) (x + 2x4)
j) y = 2 (x3 - 4x2 + 2x – 1)
k) y4 x
l) y9 x
m) y3 x
n) y6 x
o)
x 1 y
p) 3
x 6 y
q) 2
x x 2
15 y
r)
1 x
x 4 y
s)
2 x
x 10 y
y’ =
y’ = -1
y’ = 2 1
y´= 2x + 4
y´ = - x + 5
y´ = 0,4x – 4
y’= x2 - 42x – 4
y’ = - 4x3
y’= x5 - 32x3 + 3x2 - 4
y’= x2-16x+4
y´ =
4 x3
4 1
y´ =
9 x8
9 1
y´ =
3 x2
3 1
y´ =
6 x5
6 1
y´ = 2 x
1
y´ = 4 x 18
y´ =
2
2x x 2
x 30 15
y´ =
x 124
y´ =
x 2
220
2) Encontre a função derivada usando as regras da soma, produto, quociente ou cadeia, podendo consultar a tabela de derivação para isto:
a) f(x) = 4x3 −9x + 3
b)f x = 4(x3−x)(x3+ 2x)
c) f(x) = 2x5 ∙ x
d)f x = sen x + 4cos(x) + ex
e) f(x) = sen x ∙cos(x)
f) f(x) = (sen x )2
g) f(x) = ex ∙cos(x)
h)f(x) =x2x+43
i) f(x) =e3xe+ex x
j) f(x) = 3x
k)f(x) = x3+ 7x−2
l) f(x) = sen(5x)
m) f(x) = ecos(x)
n)f(x) = sen(ln(x))
a) f(x) = senxx.
b)f(x) = (x +1) . cosx
c) f(x) = x . e x
o) f(x) = x . lnx
p)f(x) = 2x3. x2
t) f(x) = 2x3
u)f(x) = 2 2
) x 3 x
3
v) f(x) = sen (2 x2– 3)
w) f(x) = cos ( x3– x2)
x) f(x) = 2x2x
y) f(x) = ln ( 3x – 4)
3) Encontre as derivadas abaixo, usando algumas regras de derivação: soma, produto, quociente ou cadeia, e deixando sua resposta a mais simplificada possível:
a) f x = ex ∙cos(x) + 6x5∙ln(x)
b)f(x) =3x2+4
x3
c) f x = sen x2+ 3x−2 + cos(ex)
d)f x = ex ∙ln x + 18x3∙sen x −12
e) f x =x2−3x+4
x3−1 − cos 5x2+ 9x
f) f(x) = esen(x)
g) f x = ln x2+ 3x−2 + cos(sen(x))
h) f(x) =x2x+43
i) f x = ex ∙cos(x) + x4∙ln(x)
4) Derive a função dada:
a) f(t) = sen(3t +1) n) f(u) =
u cos 1
u cos
b)f(t) = cos2t o)
sent 1
sent )
t ( f
c) f(t) = sen3t p) f(t) = tg(5t + 2)
d)f(t) = cos2t q) f(t) = tg(1 – t3)
f) f(t) = sent2 s) f(t) = sec
2.t 2 g) f(t) = cos(t3 + 1) t) f(t) = sec(π– 4t)2
h)f(t) = sen2t u) f(t) = ln.sen2t
i) f(t) = )
2 (
cos2 t v) f(x) = 3tg(2x + 1) + x
j) f(t) = sen(2t + 1)2 w) f(x) =
x x
2
sec 3
k)f(x) = cos(1 + 3x)2 y) f(x) = e2xcos3x
l) f(x) = e-xsenx z) f(x) = -cosec2x3
m) f(u) = e2 cos2 .u
u
Respostas 4:
a f’ t = cos t+ b f” t = -2costsent c f’ t = cos t d f” t = -2sen2t
e f’ t = -2cos(1-2t)
f f’ t = t.cost2
g f’ t = -3t2sen(t3 + 1)
h f’ t = sent.cost
i f’ t = t 2 sen t 2 cos 2
j f’ t = cos t+ 2(2t+1)
k f’ x = -6sen(1+3x)2(1+3x)
l f’ x = e-x(-senx + cosx)
m f’ u = cos2 .u 2 sen2 .u) 2
1 ( e2
u
n) 2
) u cos 1 (
senu )
u '( f
o f’ t = (1 sent)2
t cos
p f’ t = sec2(5t + 2)
q f’ t = -3t2 .sec2(1 – t3)
r f’ t = tgt.sec2t
s) 2.t 2 tg t . 2 2 sec 2 ) t '(
f
t f’ t = 8sec(4t)2tg(4t)2(4t)
u f’ t = cotgt v f’ x =
x 2
1 ) 1 x 2 ( sec
6 2
w f’ x = 2
2 2
x
x sec 3 tgx sec x
6
y f’ x = e2x(2cos3x – 3 sen3x)
z f’ x = x.cosec2x3.cotgx3
5 4 3 2 5 3 3 2 3
5 3 6
x 6 ' y 5 x 3 y ) 18 2 3 2 3 x 3 2 ' y x 2 y )
19
3 2 2 x 10 x 4 ' y x 5 x 4 y )
20
2 2
2
2 (x 1)
x 1 ' y 1 x x y ) 21 x 4 cos . 4 ' y x 4 sen y )
22
1 t 2 2 ' y ) 1 t 2 ln( y ) 23 1 x 3 2 3 ' y 1 x 3 y ) 24 9 t 3 t 3 t 2 ' y ) 9 t 3 t ln( y )
25 2 2
26)ysen(cosx) y'senx.cos(cosx)
27)y(t23)4 y'8t(t23)3
) 3 x sen( x 2 ' y ) 3 x cos( y )
28 2 2
x x x e x 2 e 1 ' y e x y ) 29 ) x 3 tg( ) x 3 sec( 3 ' y x 3 sec y )
30
x 8 sen 8 ' y x 8 cos y )
31
t cos . e ' y e y )
32 sent sent
x 5 x 5 e 5 ' y e y )
33
x x x e sen . e ' y e cos y )
34
35) y = 1 t t 3 ² t
y' =
t 1
23 t 2 ² t
36) y = 23 x + cos(4x) ² y' =
3 x
3 4
7
37) y = 32x²e3x y' =
3 3x
x 3
)² e ² x 2 ( 3
e 3 x 4
38) y =
) x cos( . x 2
² x 5
y' =
) x ²( cos . 2
)] x sen( ) x [cos(
5
6) Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x)no ponto de abscissa indi-cada:
a) f(x)x2 x2
b) x 2
x 1 ) x (
f
c) f(x) x x9
d) f(x)x2x x1
Respostas 6:
a) y4x4 b) x 1 4 1
y c) x6y90 d) yx1
7) Determine a equação da reta que tangencia as funções dadas, nos pontos indicados:
a) f x = x2+ 5x, em x = 2
b)f x = 6x, em x = 1
c) f x = x3−x2 + 3x + 1, em x =−1
d)f x = 1
x3− 2
x2, em x = 1
e) f x = 3x3 ∙ x−5x∙ 3 x
, em x = 81
f) f x = x2+ 5x, em x = 4
8) Seja a função f : R Rtal que f(x) = 2x 4.
a) Determine f ’ x .
b)Determine f ’ .
c) Verifique se em x = -1 a função f(x) = 2x4 é crescente ou decrescente.
9) Dada a função
y = x3−6x2+ 24x + 9,
a) Determine a equação da reta que tangencia y em x = 2.
b)Faça um breve estudo sobre os sinais da derivada e determine em que intervalos a função é crescente (taxa de variação instantânea positiva) ou decrescente (taxa de variação instantânea negativa), sem ter que desenhar o gráfico da função.
10) Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.
a) 2 x x 4 x 2 x lim 2 2 2
x
b) x 5 x 7 x x 6 x
lim 3 2
2
0
x
c) 3 x x 3 x x x 3 x 2 6
lim 4 3
3 2
3
x
d) 1 x 7 x 7 x 6 x lim 3 2
x
e) 4 x 2 x 4 6 x 7 lim 2 5
x
f)
x 2
1 4 x 2 1 lim 2 x g) 3 x 4 x 1 x lim 2 2 1
x
h) 1 x 4 x 4 1 x x 2 lim 2 2 2 1
x
i) 1 x 2 x 3 x 2 x 2 1 x
lim 4 3 2
1
x
j) 3
3
x 2 2x
x 5 5 lim
l) 2
2
x 2 x 2x
x x 5 lim m) 1 2 2 lim x x
x
n) x
0
x 1 e
x lim o) 2 x 3 x x ln x 1 lim 3 1
x
p) x 3 2 lim x x
0 x
q)
x 1
1 1 x 2 lim 2 1 x Respostas 10:
a. 2/3 b. 6/5 c. -11/26 d. 0 e. f. g. -1 h. i. -1/6 j. 5/2 l. -1/2 m. 1 n. -1 o. -1/6 p. ln 2/3 q. -1/2
11) A Regra de L´Hospital permite calcular alguns limites indeterminados, na maioria dos casos com vantagem sobre o modo tradicional. Esta regra só se aplica, entretanto, para indeterminações do tipo / ou ∞/∞. Calcule os limites abaixo, utilizando esta regra.
a) 1 x 1 x 2 x lim 3 2 1 x
b) x 2
8 x lim 3 2 x
c) 3t 4t 4
4 t lim 2 2 2
t
9
d)
1
lim
x 2x 3x 1 2 x x 4 x 3 2 3 2 3
e)
3 x 8 x 9 x 6 x lim 33
3
x
f) 8x 1
2 x 3 x 2 lim 2 3
5 , 0 x g) 2 x 16 x lim 2 4 x
h) x 1
1 x lim 1 x
i) 5x
2 2 x 3 lim 0 x j) 12 x 4 3 x 3 lim 3 x
k) 3t
t 1 1 t lim 0 t
l) x 2 x
1 x lim
2
1
x
m) 3 2
2
x 3x 9x
25 x 2 x 4 m i l
n) 4x 1
4 x 5 x 3 m i l 2 2 x
o) 4x 2x 3
2 x 5 m i
l 3 2
2
x
p)
x xsen x cos 1 lim 0 x q)
x 3 x 2 tg lim 0x r) ln
1 x
1 senx e lim x 0 x
s)
) x ( tg x 2 1 ln lim 2 / 1 x
t) x
3 2 lim x x 0 x
u) lim
secx tgx
2 /
x
Respostas 11:
a) 0; b)12 ; c) 1/2; d) 5/3 ; e)21/19; f)5/6; g)32; h)1/2; i) ; 2 10
3
j) 1/8; k) 1/3; l)
1 3 2
3 4
; m) 0; n) 3/4; o) 0; p) 1/2; q) 2/3 ; r) 2 ; s) 0 ; t) ln (2/3) ; u) 0 ;
12) Encontre as derivadas implícitas das equações a seguir em função de y:
a) 2x5.y3 + ex.cosy – 25x6 + 5y2 = - 6y + 3xy +15
b)5y2.seny + x.ex = x3 + y3
c) x4.y3 + 2ex.seny – 12y3 + 5x2 = 42,8 + 3lnx
d)5x2.y + x.ey = 7x + 2y– 15x
e) 5x3y5+ 4x2y−3senx∙ey = 48
f) 2ex+y−senxy + 4x4−3y7 = x∙ex
13) Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo:
a) f(x) = x23x
b) f(x) = x33x2
14) Qual a interpretação geométrica para:
a) ponto crítico c, tipo raiz da derivada, ou seja, f `(c) = 0. b) ponto crítico c, do tipo ilimitação, ou seja,
f`(x) lim
c
x .
c) ponto crítico c, para o qual existe f (c), mas não existe f `(c).
15) Dê ao menos um exemplo de funções (escreva sua lei de correspondência) que: a) Não possua pontos críticos, com domínio em IR .
b) Possua infinitos pontos críticos, com domínio em IR .
c) Possua ponto crítico tipo tangente vertical, mas não possua ponto crítico tipo tangente horizontal, com domínio em IR + .
d) Não possui nem máximo nem mínimo, absoluto ou relativo, com domínio em IR . e) Não possui nem máximo nem mínimo, absoluto ou relativo, com domínio em IR + .
f) Não possui nem máximo nem mínimo, absoluto ou relativo, com domínio em IR e imagem em IR + .
g) Possua máximo absoluto, mas não possua mínimo absoluto, com domínio em IR .
h) Possua pontos críticos, mas não possuam nem máximo nem mínimo, com domínio em IR .
16) Seja a função dada por
f x = x
2−6x + 8
x2−16
a) Determine os candidatos em potencial à assíntota vertical.
b)Teste cada um dos candidatos e aponte as assíntotas encontradas.
c) Use os limites laterais para definir o comportamento do gráfico ao redor das assíntotas. d)Faça um esboço do gráfico de f ao redor da assíntota vertical.
17) Seja a função dada por
f x = x
2+ 3x−10
x−4
a) Determine os candidatos em potencial à assíntota vertical.
b)Teste cada um dos candidatos e aponte as assíntotas encontradas.
11
18) Seja a função dada por
f x = x4−6x2
a) Determine o domínio da função.
b)Determine e trace no plano cartesiano as interseções de f com os eixos x e y.
c) Aplique o Teste da Primeira Derivada em f e classifique em que etapas a função é crescente e decrescente, bem como, quem são seus máximos e mínimos relativos.
d)Aplique o Teste da Concavidade em f e classifique em que etapas a função é convexa e côncava, bem como, são seus pontos de inflexão.
e) Trace o esboço do gráfico no plano cartesiano, bem caprichado.
19) Seja a função dada por
f x = x3 −6x2+ 9x
a) Determine o domínio da função.
b)Determine e trace no plano cartesiano as interseções de f com os eixos x e y.
c) Aplique o Teste da Primeira Derivada em f e classifique em que etapas a função é crescente e decrescente, bem como, quem são seus máximos e mínimos relativos.
d)Aplique o Teste da Concavidade em f e classifique em que etapas a função é convexa e côncava, bem como, são seus pontos de inflexão.
20) Seja a função dada por
f x = x4−8x3
a) Determine as interseções de f com os eixos x e y.
b)Aplique o Teste da Primeira Derivada em f e classifique em que etapas a função é crescente e decrescente, bem como, quem são seus máximos e mínimos relativos.
c) Aplique o Teste da Concavidade em f e classifique em que etapas a função é convexa e côncava, bem como, quem são seus pontos de inflexão.
d)Trace o esboço do gráfico no plano cartesiano, marcando todos os pontos encontrados.
21) Encontre as derivadas das funções abaixo utilizando as regras adequadas, e simplificando o máximo possível o resultado obtido.
a) y = 12x5−25x3+ 7x2−40x + 345
b)y = 10x5−23x3+ 50x +
c) y =2
3x
6−5x3+ 7senx−4cosx +3 8lnx−
45 10987
d)g p = 3511∙ p+21200∙senp − 17cosp + 9p −23 + 68p
e) y = 10x5∙2lnx
f) f w = 2senw∙lnw∙5w4∙ w
g) g(x) =4x6x2+103
h)y = ln(x3−senx)
i) y = 9x + e(x2+8x−12)
j) y =− cos(7x4)∙ln(5x)∙x3
k)h x = sen ex ∙x2
l) h x = ln(senx∙x2)
m) w x = ln x2∙ x
n) g(x) =cos12x(x43+1) + 7x6
o)y = 11x5+ e(x2+8x)
13
q)y = 10x5∙ln(3x)
r) y = senx∙lnx∙3x4
s) f(x) = 4x8– 3x5 + x2– 5x + 98 + 2sen(x) + ex
t) g(x) = 10x3 + cos(3x)
u)f(x) = 3 x10
