Dinâmica de aniquilação de pósitrons em gases moleculares

Gases Moleculares

Claudia Regina Campos de Carvalho

Dissertac~ao apresentada ao

Instituto de Fsica Gleb Wataghin

para obtenc~ao do ttulo de Doutora em Fsica

Banca Examinadora:

Orientador: Prof. Dr. Marco Aurelio Pinheiro Lima (Unicamp)

Profa. Dra. Maria Cristina dos Santos (Unicamp)

Prof. Dr. Luiz Guimar~aes Ferreira (Unicamp)

Prof. Dr. Ant^onio Jose Roque da Silva (USP)

Prof. Dr. Sadhan Kumar Adhikari (IFT-UNESP)

DEQ - IFGW -UNICAMP

BIBLIOTECA DO IFGW − UNICAMP

Carvalho, Cláudia Regina Campos de

C254d Dinâmica de aniquilação de pósitrons em gases

moleculares / Cláudia Regina Campos de Carvalho. −

Campinas, SP : [s. n.], 2000.

Orientador: Marco Aurélio P. Lima.

Co−orientador: Euclimar Passos da Silva.

Tese (doutorado) − Universidade Estadual de

Campinas, Instituto de Física “Gleb Wataghin”.

1

1. Pósitrons. 2. Aniquilação de pósitrons. 3. Pósitrons −

2

Espalhamento. I. Lima, Marco Aurélio Pinheiro. II. Silva,

3

Euclimar Passos da. III. Universidade Estadual de Campinas.

4

Instituto de Física “Gleb Wataghin”. III. Título.

a simplicidadeatraves de muito

trabalho."

 Ao Prof. Marco Aurelio Pinheiro Lima, n~ao so pela orientac~ao deste

trabalho, como por seu grande incentivoe amizade.

 Aos professores Jose Silverio E. Germano e Euclimar Passos da Silva,

pelacolaborac~aonoestudo damoleculade C

2 H

2 .

 Ao colegae amigoMarcio Varella,que colaborou de formaimportante

duranteas discuss~oes necessarias para a execuc~aodeste trabalho.

 Aos demais colegas do grupo de Fsica At^omica e Molecular: Jorge,

Romarly, David, Roberto, Alexandra e Bettega, pela amizade e

com-panheirismo.

 Ao pessoal da secretaria de pos-graduac~ao, pelo auxlio eatenc~ao.

 AopessoaldoDepartamentodeEletr^onicaQu^antica, nagurade seus

professores efuncionarios,portodo osuporte oferecido.

 Ao pessoal do Centro de Computac~ao J. D. Rogers, em especial ao

SidneyeFabiano,portodaaajudadadaquandoasmaquinasteimavam

em n~ao funcionardireito.

 Ao Paulo, pelo apoio,incentivo, paci^encia e compreens~ao em todos os

momentos.

 

A minham~ae e irm~a que sempre estiveram presentes dando seu apoio

parte deste trabalho.

 

Apresentamosnestetrabalhoaplicac~oesdoMetodoMulticanalde

Schwin-ger adaptado para espalhamento de positrons de baixas energias, onde se

compara dois sistemas moleculares isoeletr^onicos: a molecula de acetilenoe

a molecula de nitrog^enio. Estes sistemas s~ao de grande interesse por

apre-sentaremcomportamentosdsparescomrelac~aoaopar^ametrodeaniquilac~ao,

Z

e

. Embora com um numero de eletrons ligeiramente pequeno (Z = 14),

chegam a apresentar uma diferenca de um fator de 10 2

em suas taxas de

aniquilac~ao.

Alemdisso, porapresentar um altovalorde Z

e

,a molecula de acetileno

se torna um alvo extremamente interessante de ser estudado, por permitir

abordar, utilizando calculos ab initio, a din^amica de aniquilac~ao necessaria

para explicar os altos valores experimentais de Z

e

observados em alguns

sistemas moleculares(geralmentemoleculasorg^anicasgrandes), que, emsua

maioria, s~ao inviaveiscomputacionalmenteaos nosso calculos.

Atraves dos resultados de Z

e

, sec~oes de choque integrais e diferenciais,

autofases, dentre outros, introduziremos a import^ancia do estado virtual e

da mobilidade eletr^onica na din^amica de aniquilac~ao. Vericaremos a

for-mac~aode um estado virtual para oalvo de acetileno, inexistente noalvo de

nitrog^enio, que ira comandar a aniquilac~ao ocasionando os altos valores de

Z

e .

We present applications of the Schwinger MultichannelMethod adapted

for low energy positron scattering, comparing two isoelectronic molecular

systems: acetylene and nitrogenmolecules. These systemsawake great

inte-rest becausetheypresentdierentbehaviorforthe Z

e

parameter. Although

with smallnumber of electrons (Z = 14), they present values diering by a

factor of 10 2

ontheir annihilation rates.

Further, for presenting a high value of Z

e

, the acetylene molecule

be-comes an interesting target to be studied since it allows us to approach,

using ab initio calculations, the annihilation dynamics necessary to explain

the high experimental values of Z

e

observed for many molecular systems

(usually large organicmolecules), which,in most cases,are computationally

not feasible forour calculations.

Through resultsof Z

e

, integralcross sections, dierential cross sections,

eigenphases,andothers,wewillintroducetheimportanceofthevirtualstate

and of the electronic mobilitytothe annihilationdynamics. We conrmthe

formation of a virtual state for acetylene target, non-existent for nitrogen

target,whichwillcommand the annihilation,causingthe highvaluesof Z

e .

1 Introduc~ao 11

1.1 Aaniquilac~aode positronsno estudo da materia condensada . . . 12

1.2 Ofeixede positronse oproblemade espalhamento . . . 14

1.3 Motivac~ao dotrabalho . . . 15

1.4 Organizac~ao da tese . . . 17

2 Tecnicas Experimentais em Espalhamentoe Aniquilac~ao de Positrons 18 2.1 MedidasdeSec~ao de Choque Total . . . 18

2.1.1 AparatoExperimental . . . 19

2.1.2 Procedimento Experimental . . . 21

2.1.3 Analise deDados . . . 23

2.2 MedidasdeSec~ao de Choque Diferencial . . . 25

2.2.1 Procedimento Experimental para Medidas de Sec~ao de Choque Dife-rencialAbsoluta . . . 25

2.3 MedidasdoPar^ametro de Aniquilac~ao Z eff . . . 29 2.3.1 A `Armadilha'de Positrons . . . 30 2.3.2 MedidasExperimentaisde Z eff . . . 33

2.4 MedidasdoEspectrode Energiade Raios- Aniquilados . . . 36

2.4.1 Medidasde Distribuic~aode Momento . . . 36

2.4.2 Procedimento Experimental . . . 39

2.4.3 Tratamento de Dados . . . 41

4 Metodo Multicanal deSchwinger paraPositrons (MMSP)de Baixas

Ener-gias e o Calculo do Par^ametro de Aniquilac~ao Z

eff

49

4.1 MMSPe Sec~aode Choque . . . 49

4.2 Par^ametrode Aniquilac~ao . . . 58

5 Molecula de Acetileno 60 5.1 BasePequena(BP) . . . 61

5.1.1 Aproximac~ao Estatica (E) . . . 63

5.1.2 Aproximac~ao Estatica mais Polarizac~ao (EP) . . . 69

5.1.3 PrimeiroEstado Excitado . . . 73

5.2 BaseGrande (BG) . . . 79

5.2.1 Aproximac~ao Estatica (E) . . . 82

5.2.2 Aproximac~ao Estatica mais Polarizac~ao (EP) . . . 86

6 Molecula de Nitrog^enio 99 6.1 Aproximac~ao Estatica (E) . . . 102

6.2 Aproximac~ao Estatica maisPolarizac~ao (EP) . . . 105

6.3 Variac~ao da Dist^ancia Internuclear . . . 112

7 Estudo Comparativo 115

8 Conclus~oes 126

Bibliograa 129

A Princpio Variacional de Schwinger na Forma Bilinear 134

B Sec~oes de Choque Diferenciais e de Transfer^encia de Momento 136

2.1 Diagramaesquematicodamontagemexperimentaledaeletr^onicaenvolvida. . . 19

2.2 Detalhesdodiagramaesquematicodamontagemexperimental.. . . 20

2.3 Detalhesdafontedepositronsedasequ^enciainicial. . . 21

2.4 Detalhesdacelula de colis~aoe dos procedimentosnecessarios para aobtenc~aodofeixe de

positronsabaixasenergias. . . 22

2.5 Espectr^ometroTDVTexasusadoparamedidasdesec~oesdechoquediferenciaisem

espalha-mentoelastico depositrons. . . 26

2.6 DiagramaesquematicodamontagemexperimentalusadaemDetroit[31 ],paraobtenc~aode

sec~oesdechoquediferenciaisabsolutas. . . 28

2.7 (a)Estruturadaarmadilhacompostaportr^esestagios,envolvendobombasdevacuo,

eletro-dosesolenoides. Ogas tamp~aoeinjetadonocentrodoeletrodo1ee retiradoatravesdas

terminac~oesdaarmadilhaeatravesdocentrodoeletrodo3;(b)Representac~aoesquematica

dosprocedimentosdeaprisionamento, mostrandoos tr^es estagios sucessivos demaisbaixo

potencialeletricoeexcitac~oespermissveisduranteoprocessodeconnamentodepositrons. 31

2.8 Terceiroequartoestagiosdaarmadilhamostradosemdetalhes. . . 32

2.9 Diagramaesquematicodosdoisestagiosnaisdaarmadilhadepositrons,acrescentadosdos

equipamentosusadosparaestudosdeaniquilac~ao. . . 34

2.10 Ilustrac~ao do momento p de um par eletron-positron aniquilando-se, e dos momentos de

raios-gamaresultantes 1e 2. Oeventodeaniquilac~aoemedidoatravesdedoisdetectores

colocadosa180 0

comrespeitoaostiodeaniquilac~ao,aumadist^anciaL(o^angulodede ex~ao

estamajoradonestagura). . . 36

2.11 Diagramaesquematicodosdoisultimosestagiosdaarmadilhadepositronseposicionamento

5.1 Sec~aodeChoque Integral (SCI)naaproximac~aoestatica (E).Linhatracejada: BP-todas

assimetrias;: dadosexperimentaisdaRef.[51 ]. . . 64

5.2 Par^ametro de Aniquilac~ao na aproximac~ao estatica (E). Linha tracejada: BP - todas as

simetrias;: dadoexperimentaldaRef.[33 ]. . . 65

5.3 Decomposic~ao por simetria do Par^ametro de Aniquilac~aona aproximac~ao E. Linhacheia:

simetria Ag; Æ: simetria B2u; 2 : simetria B1u;  : simetria B2g; 4 : simetria B1g;  :

simetriaA

u

. . . 67

5.4 Par^ametro de Aniquilac~ao na aproximac~ao estatica (E), considerando todas as simetrias.

Linhatracejada: BP -resultadoanterior;: BP-resultadocom exibilizac~ao dabasena

simetriaB1g;: dadoexperimentaldaRef.[33 ]. . . 68

5.5 Sec~aodeChoqueIntegral(SCI)naaproximac~aoestatica(E),considerandotodasassimetrias.

Linhatracejada: BP -resultadoanterior;: BP-resultadocom exibilizac~ao dabasena

simetriaB

1g

;: dadosexperimentaisdaRef.[51 ].. . . 69

5.6 Sec~aodeChoqueIntegral(SCI)naaproximac~aoEP(resultadosobtidosconsiderandotodas

assimetrias). Linhatracejada: BP-resultadoanterior;: BP-resultadocom exibilizac~ao

dabasenasimetriaB1g;: dadosexperimentaisdaRef.[51 ]. . . 71

5.7 Par^ametro de Aniquilac~ao na aproximac~ao EP (resultados obtidos considerando todas as

simetrias). Linhatracejada: BP-resultado anterior;: BP-resultado com exibilizac~ao

dabasenasimetriaB

1g

;: dadoexperimentaldaRef.[33 ]. . . 72

5.8 Tempo deColis~ao estimado usando a aproximac~ao EP e considerando todasas simetrias.

Linhatracejada: BP exibilizada. . . 74

5.9 Sec~aodeChoqueIntegral(SCI)naaproximac~aoEP(resultadosobtidosconsiderandoa

sime-triaA

g

). 2: BP-moleculanacongurac~aodeequlibrio;: BP-moleculanacongurac~ao

excitada;: dadosexperimentaisdaRef.[51 ].. . . 75

5.10 Par^ametrode Aniquilac~aonaaproximac~aoEP (resultadosobtidosconsiderando asimetria

Ag). 2 : BP- moleculanacongurac~aodeequlibrio; : BP -moleculanacongurac~ao

5.12 Par^ametro de Aniquilac~ao na aproximac~ao EP(simetria Ag), considerando energia de

in-cid^enciade0.0257eV.Æ: BP. . . 78

5.13 Sec~aodeChoque Integral (SCI) na aproximac~aoestatica (E). Linhacheia: BG-todas as

simetrias;linhatracejada: BP-todasassimetrias,incluindoa exibilizac~aonasimetriaB

1g ;

: dadosexperimentaisdaRef.[51 ]. . . 83

5.14 SomadeAutofasesparaalvosdeC

2 H

2

,considerandoaBasePequena.Linhacheia: simetria

Ag;Æ: simetriaB2u;2: simetriaB1u;: simetriaB2g;4: simetriaB1g;: simetriaAu. 84

5.15 SomadeAutofasesparaalvosdeC2H2,considerandoaBaseGrande. Linhacheia: simetria

Ag;Æ: simetriaB2u;2: simetriaB1u;: simetriaB2g;4: simetriaB1g;: simetriaAu. 85

5.16 Par^ametro deAniquilac~ao naaproximac~ao estatica(E). Linhacheia: BG -todas as

sime-trias;linha tracejada: BP-todas as simetrias(incluindo exibilizac~aodabase); : dado

experimentaldaRef.[33 ]. . . 86

5.17 Sec~aodeChoqueIntegral(SCI)naaproximac~aoEP.Linhacheia: BG-todasas simetrias;

linhatracejada: BP exibilizada-todasassimetrias;: dadosexperimentaisdaRef.[51 ].. 88

5.18 Decomposic~aoporsimetriadaSec~aodeChoqueIntegral(SCI)naaproximac~aoEP:(a)BG;

(b)BP.Linhacheia: simetriaAg;Æ: simetriaB2u;2: simetria B1u;: simetriaB2g;4:

simetriaB

1g

;: simetriaA

u

. . . 89

5.19 Par^ametrodeAniquilac~aonaaproximac~aoEP(todasassimetrias). Linhacheia: BG;linha

tracejada: BP exibilizada;: dadoexperimentaldaRef.[33]. . . 90

5.20 Decomposic~aopor simetria doPar^ametro deAniquilac~aonaaproximac~aoEP:(a)BG; (b)

BP.Linha cheia: simetria A

g ; Æ : simetria B 2u ; 2 : simetria B 1u ;  : simetria B 2g ; 4 :

simetriaB1g;: simetriaAu. . . 91

5.21 Tempo deColis~ao estimado usando a aproximac~ao EP e considerando todas as simetrias.

Linhacheia: BG;linhatracejada: BP exibilizada. . . 92

5.22 Sec~aodeChoque Integral (SCI) naaproximac~aoEP(resultados obtidosconsiderando a

si-metriaAg). Linhacheia: BG-moleculanacongurac~aodeequlibrio;linhatracejada: BG

-moleculanacongurac~aoexcitada;2: BP-moleculanacongurac~aodeequlibrio;: BP

nacongurac~aoexcitada;2: BP-moleculanacongurac~aodeequlibrio;: BP-molecula

nacongurac~aoexcitada;: dadoexperimentaldaRef.[33 ]. . . 94

5.24 Sec~aodeChoqueIntegral(SCI)naaproximac~aoEP(simetriaA

g

)atemperaturaambiente.

2: BG;Æ: BP(Posic~aodeequlibrio: R

CC

=2.2734a

0

). . . 95

5.25 Par^ametrode Aniquilac~aonaaproximac~aoEP(simetria Ag)atemperaturaambiente. 2 :

BG;Æ: BP. . . 96

5.26 Par^ametrodeAniquilac~aonaaproximac~aoEP(todasassimetrias). Linhacheia: BG;linha

tracejada: BP exibilizada; 4 : BG, considerando distribuic~aoMaxwellianados positrons

incidentes;: dadoexperimentaldaRef.[33]. . . 97

5.27 Sec~aodeChoqueDiferencial(SCD)naaproximac~aoEP.linhacheia: BG-todasassimetrias;

linhatracejada: BP exibilizada-todasassimetrias; . . . 98

6.1 Sec~aodeChoqueIntegral(SCI)naaproximac~aoestatica(E).Linhacheia: nossosresultados

incluindotodasassimetrias;: calculoteoriconaaproximac~aoestaticadeDanbyetal.[62 ]. 102

6.2 Par^ametrode Aniquilac~ao naaproximac~aoestatica (E).Linhacheia: nossosresultados

in-cluindotodasassimetrias;Æ:dadoexperimentaldeColemanatal.[57 ];2:dadoexperimetal

deHeylandetal.[58 ];: dadoexperimentaldeSharmaet al.[59 ]; 4: dado experimental

deTao[60]. . . 103

6.3 Decomposic~ao por simetria do Par^ametro de Aniquilac~aona aproximac~ao E. Linhacheia:

simetria A g ; Æ: simetria B 2u ; 2 : simetria B 1u ;  : simetria B 2g ; 4 : simetria B 1g ;  : simetriaAu. . . 104

6.4 Sec~ao de Choque Integral (SCI) na aproximac~ao EP. Linha cheia: nossos resultados

con-siderandotodas as simetrias;  : dados experimentais deCharlton at al. [28]; 2 : dados

experimentaisdeHomanetal.[63 ];: dadosexperimentaisdeSueokaeHamada[27 ]. . . 106

6.5 Decomposic~aoporsimetria daSec~aode Choque Integral(SCI) naaproximac~aoEP.Linha

cheia: simetriaA g ;Æ: simetriaB 2u ;2: simetriaB 1u ;: simetriaB 2g ;4: simetriaB 1g ; :simetria Au. . . 107

Æ: dadoexperimentaldeColemanatal.[57 ];2: dadoexperimetaldeHeylandetal.[58 ];

:dadoexperimentaldeSharmaetal.[59 ];4: dadoexperimentaldeTao[60 ]. . . 109

6.8 Decomposic~aopor simetriadoPar^ametro deAniquilac~aonaaproximac~aoEP.Linhacheia:

simetria A g ; Æ: simetria B 2u ; 2 : simetria B 1u ;  : simetria B 2g ; 4 : simetria B 1g ;  : simetriaAu. . . 110

6.9 Sec~aodeChoque Diferencial (SCD).Linhacheia: nossos resultadosconsiderando todasas

simetriasnaaproximac~aoEP; linhatracejada: nossos resultadosconsiderando todas as

si-metriasnaaproximac~aoE;: dadosexperimentaisdePrzybylaetal.[64 ]. . . 111

6.10 Sec~aodeChoqueIntegral(SCI) naaproximac~aoEP-simetriaAg (temperaturaambiente).

2: nossosresultados. . . 113

6.11 Par^ametrode Aniquilac~ao naaproximac~aoEP -simetriaA

g

(temperaturaambiente). 2 :

nossosresultados. . . 113

6.12 TempodeColis~aoestimadousando aaproximac~aoEPeconsiderando todasassimetrias. 

:nossosresultados. . . 114

7.1 Sec~aode Choque Integral (SCI) naaproximac~aoEP: (a)C

2 H

2

. Linha cheia: BG -todas

as simetrias; linha tracejada: BP - todas as simetrias;  : resultados experimentais de

Sueoka[51 ]. (b)N

2

. Linhacheia: nossos resultados considerando todas as simetrias; Æ :

dadosexperimentaisdeCharltonatal.[28 ];2: dadosexperimentaisdeHomanetal.[63 ];

: dadosexperimentaisdeSueokaandHamada[27 ]. . . 116

7.2 Par^ametro de Aniquilac~ao na aproximac~ao EP: (a) C2H2. Linha cheia: BG - todas as

simetrias;linhatracejada: BP-todasassimetrias;4: BG-todasassimetriasconsiderando

adistribuic~ao Maxwelliana deenergia;: resultado experimentaldeIwata etal. [33 ]. (b)

N

2

. Linhacheia: nossosresultados considerandotodasassimetrias;Æ: dado experimental

deColemanatal.[57 ];2: dadoexperimentaldeHeylandetal.[58 ];: dadoexperimental

deSharmaetal.[59 ];4:dadoexperimentaldeTao[60];3: nossosresultadosconsiderando

adistribuic~aoMaxwellianadeenergia. . . 117

7.3 SomadeAutofasesparasimetriaA

g paraalvosdeC 2 H 2 eN 2

. Æ: resultadosparaoacetileno

considerandotodasassimetrias;: dadosexperimentaisdaRef.[51 ];: BG-simetriaAg;

2: BG-simetriaA

g

removendoascongurac~oes 3 u  1 g . . . 121

7.6 Par^ametrodeAniquilac~ao, Z

eff ,noespalhamentoe + {C 2 H 2

. Linhasolida: BG-resultados

considerandotodasassimetrias;: dadoexperimentaldaRef.[33 ];: BG-simetriaA

g ;2

:BG-simetriaAg removendoascongurac~oes  3 u  1 g . . . 122

7.7 Sec~oesdeChoqueIntegraisparaespalhamentoe +

{N

2

.Linhasolida: resultadosconsiderando

todasassimetrias;:dadosexperimentaisdeCharltonatal.[28 ];2: dadosexperimentais

deHomanet al.[63];: dadosexperimentaisdeSueokaeHamada [27 ];4: simetria Ag;

linhatracejada: -simetriaAgremovendoascongurac~oes  3 u  1 g . . . 123

7.8 Par^ametrodeAniquilac~ao,Z

eff

,noespalhamentoe +

{N2. Linhasolida: resultados

conside-randotodasassimetrias;Æ:dadoexperimentaldeColemanatal.[57 ];2: dadoexperimetal

deHeylandetal.[58 ];: dadoexperimentaldeSharmaet al.[59 ]; 4: dadoexperimental

deTao[60];3: simetriaA

g

;linhatracejada: simetriaA

g

removendoascongurac~oes 3 u  1 g . 124

2.1 Medidas dos valores de Zeff listados na literatura [23 ]. Todas as medidas foram feitas

considerandotemperaturaambiente. . . 29

5.1 Conjuntodebasedefunc~oesGaussianasCartesianasparaoAlvodeAcetileno: BasePequena. 61

5.2 EnergiasdoPotencialdeIonizac~ao(PI)edeFormac~aodePositr^onio(FP)paraaMolecula

deAcetileno,usandoaBasePequena.. . . 63

5.3 Conjuntodebasedefunc~oesGaussianasCartesianasincludasnasimetriaB

1g

paraoAlvo

deAcetileno: BasePequena. . . 66

5.4 EspacodeCongurac~oesde(N+1)-partculas(numerodecongurac~oes). . . 70

5.5 Conjuntodebasedefunc~oesGaussianasCartesianasparaoAlvodeAcetileno: BaseGrande. 80

5.6 PolarizabilidadesparamoleculadeC

2 H

2

(dadosapresentadosemunidadesat^omicas). . . . 81

5.7 EnergiasdoPotencialdeIonizac~ao(PI)edeFormac~aodePositr^onio(FP)paraaMolecula

deAcetileno,usandoaBaseGrande. . . 82

5.8 EspacodeCongurac~oesde(N+1)-partculas(numerodecongurac~oes). . . 87

6.1 Conjuntodebasedefunc~oesGaussianasCartesianasparaoAlvodeNitrog^enio.. . . 100

6.2 PolarizabilidadesparamoleculadeN

2

(dadosemunidadesat^omicas). . . 100

6.3 EnergiasdoPotencialdeIonizac~ao(PI)edeFormac~aodePositr^onio(FP)paraaMolecula

deNitrog^enio. . . 101

6.4 EspacodeCongurac~oesde(N+1)-partculas(numerodecongurac~oes). . . 105

B.1 EspalhamentoElasticodee +

-C

2 H

2

considerandoabasegrande. Sec~oesdeChoqueIntegrais

(SCI),Diferenciais(SCD)edeTransfer^enciadeMomento(SCTM)-valoresemunidadesde

10 16

cm 2

B.2 EspalhamentoElasticodee +

-N2. Sec~oesdeChoqueIntegrais(SCI),Diferenciais(SCD)ede

Transfer^enciadeMomento(SCTM)-valoresemunidadesde10 16

cm 2

Introduc~ao

A descoberta do positron, antimateria do eletron, previsto por Dirac [1 ], e conrmada

posteriormente porAnderson[2 ] eBlackette Occhialine[3 ],tornou-se ummarcoimportante

dentro da fsica moderna. Alem de fornecer uma serie de novas tecnicas experimentais,

complementaresastecnicasjaexistentesenvolvendoeletrons, permitiucrescentesavancosno

entendimentodaestruturademateriaisedadin^amicaenvolvidanoprocessodeespalhamento.

Alemdisso,positronst^emsidousadosemoutrosramosdafsicaetambemnaveterinariaena

medicina. Ousoda tomograaporemiss~ao de positrons,porexemplo,tem sido responsavel

por uma avanco notavel no estudo e diagnostico de algumas doencas e na compreens~ao da

formac~ao docorpohumano.

O positron, embora seja tambem uma partcula de spin1/2 h, e tenha a mesma massa

do eletron, porpossuircarga de mesma magnitude, mas de sinal oposto a carga do eletron,

apresenta propriedades bem caractersticas. A principal reside no fato destas partculas

apresentarem uma tend^encia natural de se aniquilar com os eletrons, possuindo ent~ao um

tempo de vida muito curto, causando emiss~ao signicativa de radiac~ao decorrente destes

processos.

A aniquilac~ao torna-se, ent~ao,um dosprincipaisaspectos pertinentesao estudo de p

osi-trons e engloba inumeras informac~oes sobre fen^omenos fsicos ocorridos a cada etapa do

processo. Apartirdeseuestudo,e possvelintroduzirnovasformulac~oesteoricas,bemcomo

prevere sugerirnovas tecnicasexperimentaisque busquemelucidaraspectos aindaobscuros

1.1 A aniquilac~ao de positrons no estudo da materia

conden-sada

Nasultimas decadas,tecnicas baseadas naaniquilac~aode positronsse tornaram

podero-sas ferramentas para investigar a estrutura e propriedades da materia condensada [4 , 5, 6].

Medidasdepar^ametros deaniquilac~aocaractersticos, comoo tempo devidadopositroneo

alargamento Doppler da linhade aniquilac~ao de 511 keV, permitem descobrir uma serie de

informac~oessobre cristalizac~ao de superfcies [7 ], defeitos em semicondutores [8, 9 ], defeitos

em solidos [10 ],incluindoo casode solidos metalicos [11 ].

No caso do estudo da transic~ao de fase em materiais amorfos [7], o uso de tecnicas de

aniquilac~ao de positrons torna-se muito importante, pois estas tecnicas s~ao n~ao-destrutivas,

sendo capazes de fornecer dadossobre defeitos emredes cristalinas einterfaces. No caso de

metais e em semicondutores, tornam-se unicas para a detecc~ao de defeitos do tipo volume

aberto. Como o positron e uma partcula de carga positiva,e repelido por carocos i^onicos

devidoainterac~aoCoulombiana. Se osolidometalico, porexemplo,eperfeito,aaniquilac~ao

ocorre comeletronsproximosaosstios intersticiais,longe donucleoat^omico. Quando

apre-sentam defeitos, a aniquilac~ao ocorre em vac^ancias ou defeitos de volumeaberto, que agem

como centros atrativos, permitindo o `aprisionamento' (transic~ao de estados n~ao localizados

para estadoslocalizados)do positron. Devidoa menordensidade de eletronsexistentes

nes-tes defeitos, o tempo de vidados positrons aumenta em comparac~ao com a aniquilac~ao em

superfcies perfeitas (que n~ao apresentam defeitos).



Epossveltambem, atraves dousodestastecnicas, distinguirentrediferentesespeciesde

defeitos [12]. Medidas experimentais do tempo de vida de positrons em metais deformados

indicam a formac~ao de descontinuidades na rede, vac^ancias, aglomerados de vac^ancias e

grandes `buracos', durantea deformac~ao, sendo que cada um destes defeitos corresponde a

um tempo de vidaespecco.

O tempo de vida de um positron e monitorado atraves da espectroscopia de tempo de

vida de positron, indicando a diferenca temporal entre a origem da partcula na fonte

ra-dioativa (indicada atraves da emiss~ao quase simult^anea de um quantum de 1.27 MeV), e

exponencial,quepodemser numericamenteseparadas [9].

A espectroscopia de alargamento Doppler, porsua vez, seutiliza da conservac~ao de

mo-mento linear durante a aniquilac~ao. O momento total do positron e eletron e praticamente

igual ao momento do eletron aniquilante [9]. Este momento e transferido aos quanta de

aniquilac~ao (maioresdetalhes ser~ao apresentados no Captulo2). A componentena direc~ao

de propagac~ao, p

z

, esta diretamente relacionada ao alargamento, sendo
E= p

z

c/2 (c e a

velocidadeda luz). Oacumulo deinumeros eventos paraumespectro Dopplercompleto em

umsistemadissipativodeenergianoslevaaobteralinhadealargamento Doppler,associada



ascontribuic~oesdosmomentosdoseletrons, considerandotodasas direc~oesespaciais.

A distribuic~ao dosmomentos doseletrons torna-se distinta quando a aniquilac~ao ocorre

proxima a defeitos, re etindo em alterac~oes caractersticas na largura de linha do espectro.

Aniquilac~oes com eletrons do caroco s~ao associadas a altos valores de momento. Portanto,

quandoaaniquilac~aoocorreemdefeitosdotipovac^ancia(ondeacontribuic~aodaaniquilac~ao

comeletronsdocarocodiminui,aumentandoacontribuic~aodevidaaoseletronsdeconduc~ao),

ocorre uma reduc~ao nestes valores de momento e como consequ^encia o espectro passa a ser

mais estreito.

As caractersticas da aniquilac~ao ir~ao depender ent~ao da competic~ao entre transporte e

captura. Depois de ser introduzido no solido (semicondutor ou outro tipo de material), o

positron perde energia em interac~oes com o material, gerando varios processos ionizantes,

como a criac~ao de pares de eletron-buraco, e interac~oes positron-f^onon. Depois,os positrons

ir~ao conviverem equilbrio termico com o meioe seu estado evoluino espaco real como um

processodedifus~ao,emqueinterac~oesdepositronscomf^ononss~aoquase-elasticas,ouseja,a

distribuic~aodemomentodopositroneconservada. Duranteadifus~aoospositronsinteragem

comosdefeitose seu`aprisionamento'emestadoslocalizadospassa aserpassveldeocorrer.

Um estado localizado do positron no defeito pode ter autovalor de energia menor que um

estado n~ao-localizadosobre toda arede,eatransic~ao doestadon~ao-localizadoparaoestado

localizadoacarretaranoaprisionamentodopositron. Eventualmente,ocorreaaniquilac~aode

1.2 O feixe de positrons e o problema de espalhamento

Emboratecnicas deaniquilac~aode positronsjaestivessem sendousadasnosanos60,ate

1969eraminumerasasdiculdadesemseobterfeixesdepositronsmonoenergeticosdebaixas

energias. Os unicosprocessosexistentes paraa produc~ao de positronseram o usode fontes

radioativase a produc~ao de pares por radiac~ao gama, utilizando aceleradores de eletrons e

absorvedoresparaa moderac~aoda energia dospositrons[13]. N~ao seacreditavaser possvel

moderar um numero sucientede positrons a uma energia sucientemente baixa, tornando

proibitivauma seriede aplicac~oesdestas tecnicas.

Coma observac~ao experimental feita por Groce et al. [14 ], de que era possvel moderar

positrons a baixas energias, mantendo uma banda de energia da ordem de 1eV, e obtendo

umnumerode positronsalgumasordenssuperioraoesperadoinicialmente,inumeros grupos

experimentais buscaram desenvolver moderadores adequados, e com isso, utilizar

diferen-tes tecnicas para obter feixes mais estaveis, tornando possvel seu uso em experimentos de

espalhamento.

A melhoria crescente dos instrumentos de medida e da produc~ao de feixes, tem

permi-tido um avanco substancial no numerode experimentos envolvendo colis~ao de positrons de

baixas energias com atomose moleculas. Este tipode experi^encia deespalhamento torna-se

interessante n~ao so por envolver interac~oes entre materia e antimateria, mas tambem por

auxiliarnuma melhor compreens~ao dosprocessos envolvidos no espalhamento poratomos e

moleculas, que s~ao de grande import^ancia para diferentes campos da ci^encia e tecnologia,

como a fsicade plasmas,desenvolvimento de lasers,astrofsica, dentreoutros.

Comparac~oes entre oespalhamento depositron-atomo (molecula)e eletron-atomo (mol

e-cula) revelamalgumas diferencasesimilaridadesinteressantes. A interac~ao estatica,

associa-da ao campo Coulombiano da molecula/atomo n~ao distorcida (o), ou seja, considerando o

alvo `congelado' durante o processo de colis~ao, e atrativa para eletrons e repulsiva no caso

da partculaincidente ser um positron, enquanto que no caso da polarizac~ao, resultante da

deformac~aodanuvemeletr^onicadevidoapassagemdapartculaincidente,ainterac~aoe

atra-tivaparaambos. Ainterac~aodetrocacontribuiparaoespalhamentodeeletrons(decorrente

Oefeitodacombinac~aodasinterac~oesnasaproximac~oesestatica epolarizadaeode

adi-cionar, parao casodoespalhamentodeeletrons, ecancelaremsetratandodepositrons. Em

decorr^encia,iremosobservaremgeral,valoresmenores paraassec~oesde choque totais, para

baixas energias (a polarizac~aoe importantesomente quando a energia do projetil incidente

forsucientementebaixaparapermitiradeformac~aodanuvemeletr^onicadoalvomolecular),

para ocaso de positrons,quando comparadasasde eletrons[15 ].



E importante ressaltar que processos de ionizac~ao, dissociac~ao e excitac~ao (eletr^onica,

rotacional ou vibracional), s~ao analogos aos existentes no espalhamento por eletrons, ao

considerarmos o problemade espalhamento de positrons[16 ]. Porem, neste caso, processos

inexistentes no problemade espalhamento de eletrons passam a ser factveis: a aniquilac~ao

do parpositron-eletron em2 ou 3raios- ,a formac~ao do positr^onio(estadoligado p

ositron-eletron)e a formac~ao de compostos depositr^onio.

1.3 Motivac~ao do trabalho

O problema do espalhamento positron-atomo e de mais facil soluc~ao do ponto de vista

teorico quando comparado ao problema do espalhamento positron-molecula. Isto porque o

potencial envolvido e esfericamente simetrico, enquanto que o potencial positron-molecula

n~aoe esfericamentesimetrico, quandoexpressoemtermos decoordenadasxasnamolecula.

Dadas asinumerasdiculdadesassociadasa soluc~ao doproblemadeespalhamento p

ositron-alvo,a maioriados calculos realizadosnesta area de espalhamento sefaz valer de potenciais

modelos. Calculos ab initioso foram relatadosna literaturaapartir de 1979 [17 ] para alvos

at^omicos e 1986 [18 ] para alvos moleculares. Em 1992, foi desenvolvido um novo

formalis-mo teorico [16], baseado no Metodo Multicanal de Schwinger, com o objetivo de estudar o

espalhamentodepositronscontraalvosmolecularesdegeometriaarbitraria[19 ]. Suas

primei-ras aplicac~oes [19,20 ]se mostraram promissoras emotivaram o desenvolvimento de codigos

computacionais [21 , 22 ] para o calculo das taxas de aniquilac~ao a partir da func~ao de

on-da do sistema estudado, obtidaatraves do uso do Metodo Multicanal de Schwinger para o

espalhamento depositrons(MMSP).

de func~oes para oseletronse obtida com func~oes centradas nosnucleosat^omicos, enquanto

que em caso de formac~ao virtual de positr^onio, a melhor base e obtida com func~oes das

coordenadas relativas(centro demassa do pareletron-positron).

Ate o presente trabalho, todos os calculos feitos, utilizando o metodo MMSP,englobam

a explorac~ao ate o limite, dosrecursos computacionais disponveis. Tecnicas de reduc~ao do

numero de func~oese o estabelecimento de linhas de raciocnioque nospermitam escolhera

priori,de maneiraecazesistematica,asfunc~oesdebaseadequadasadescric~aoda molecula

e do processo de espalhamento, s~ao necessarias para permitir o estudo de sistemas mais

complexos.

A motivac~ao desta pesquisae, ent~ao, estabelecercriteriosque permitamesta otimizac~ao

na escolha de func~oes de base, paralelamente ao estudo da relac~ao entre estados ligados do

composto positron-moleculae o problemade espalhamento.

Estesegundoaspectobaseia-senofatodeque,aolongodosultimosanos,resultados

expe-rimentais[23 ]mostraram queparaalgunssistemas moleculares,o par^ametrodeaniquilac~ao,

Z

eff

, e muito maior do que o resultado esperado (proporcional ao numero de eletrons da

molecula, Z). Surpreendentemente, para algumas moleculas, a taxa Z

eff

/Z ca proxima de

10 5

, para temperaturas ambientes. Alem disso, observou-se para algumas moleculas

isoele-tr^onicas, dentreelas onitrog^enioe oacetileno, Z

eff

muitodiferentes. Quaisasraz~oesfsicas

paraeste comportamento? Quaiss~aoosprocessos dominantesduranteoespalhamento?

Po-demosdizerqueemalgunscasos,asmoleculasatuamcomouma`armadilha'paraospositrons

(como ocorre comosdefeitosemsemicondutores)? Quaiss~aoaspropriedadeseletr^onicas

es-truturaisaquesepodematribuirestefen^omeno? Queconex~oespodemosestabelecerentrea

din^amicade aniquilac~ao queocorre no espalhamento de positronsporgases molecularese a

observada em processosde estado solido?

Estes questionamentos permearam todo o trabalho aqui apresentado. Buscamos obter

com osestudos eanalisede nossosresultados,responder,ou aomenos, encontrar indicativos

1.4 Organizac~ao da tese

Estatese terasuaapresentac~ao divididadaseguintemaneira: nocaptulo2,

introduzire-mos,attulodemotivac~ao eilustrac~ao,algunsexemplosde tecnicasemedidasexperimentais

que v^em sendofeitas ultimamente,utilizandopositrons.

Ocaptulo3 seradedicadoa introduziralgumas noc~oes teoricas,necessariasparaa

com-preens~aodasgrandezasqueconseguimoscalcularutilizandooMetodoMulticanalde

Schwin-ger paraPositrons.

No captulo 4, apresentamos a formulac~ao basica do Metodo Multicanal de Schwinger

adaptadoparapositronsdebaixasenergias,alemdousodafunc~aodeondatotalobtidapara

o sistemaalvo+positron incidente,na obtenc~ao do par^ametro de aniquilac~ao,Z

eff .

Noscaptulos5,6e7,apresentamosediscutimososresultadosobtidos,usandocomoalvos

molecularesemnossosistema,oacetilenoeonitrog^enio. Aescolhadestasduasmoleculasem

especco,deve-se aofatode que,emborasetrate desistemasisoeletr^onicos,estasmoleculas

apresentamvaloresdeZ

eff

muito distintos,sendo30 ovalorparao nitrog^enio e3160 parao

acetileno. Portanto,atravesdeumestudocomparativoentreestesalvos,devemossercapazes

de encontrar ferramentasqueexpliquemasalterac~oes envolvidasna din^amicade aniquilac~ao

decorrentesda mudanca doalvo molecular utilizadono processo de espalhamento.

Alem disso, o acetileno, porapresentar um alto valor para o par^ametro de aniquilac~ao,

sendo no entanto um sistema molecular relativamente pequeno, nos faculta averiguar as

raz~oesfsicasresponsaveispelosaltssimosvaloresdeZ

eff

,obtidosgeralmenteparamoleculas

org^anicas grandes. Infelizmente, sistemas moleculares grandes s~ao computacionalmente

in-viaveis nos moldes atuais, para calculos usando o metodo MMSP, e o estudo de sistemas

menores queapresentem propriedadessimilaresdossistemasgrandestorna-seextremamente

importante paraque possamos avancarna compreens~ao dadin^amicade aniquilac~ao.

Umresumodenossasconclus~oes,obtidasdoestudodestesdoissistemasmoleculares,sera

Tecnicas Experimentais em

Espalhamento e Aniquilac~ao de

Positrons

Agrandediculdadeemseobterfeixesestaveis depositrons,conformemencionado

ante-riormente,retardouporvariasdecadasodesenvolvimentodetecnicasexperimentais

condizen-tes. Comocrescente avancoencontradona produc~aode feixese naobtenc~ao de dispositivos

experimentais,atualmente, s~ao inumerase crescentes astecnicas comumenteutilizadas.

Nestecaptulo 1

,vamosintroduziralgumasdastecnicasexperimentaisutilizadasnoestudo

do espalhamento e aniquilac~ao de positrons. Iremos nos ater aos trabalhos que possuam

maiorcorrelac~aoaoscalculosteoricosdesenvolvidospornossogrupodetrabalho,restringindo



a apresentac~ao dos dispositivos experimentais associados as medidas usadas como base de

comparac~ao.

2.1 Medidas de Sec~ao de Choque Total

Grupos experimentais liderados por GriÆth, Heyland [13 ], Stein [15 ], Kauppila [24 ],

dentre outros, trabalharam ao longo das ultimas decadas obtendo medidas das sec~oes de

1

Este captulo comp^os amonograa demeuExame deQualicac~aodeDoutorado, intitulado \Aspectos

ExperimentaisdoProcessodeAniquilac~aodePositronsemGasesMoleculares", e porisso s~aoapresentados

choquetotais,resultantesdaaniquilac~aodepositronseminterac~oescomatomosoumoleculas.

Emparticular,o grupolideradopelopesquisadorOsamu Sueoka[25 , 26 ,27 ]tem conseguido

obter medidas para valores de energia do positron incidente da ordem de eV e frac~oes de

eV,usandoalvosmolecularesde nossointeresse. Portanto,iremoscentrarnossadiscuss~aona

descric~aodos procedimentosadotadosporeste grupoem especco.

2.1.1 Aparato Experimental

Para se medir as sec~oes de choque totais (SCT) para colis~oes elasticas ou inelasticas,

entrepositronsegases moleculares,osdispositivosbasicosutilizadoss~aoa prioriosmesmos,

mudando-se apenas as dimens~oes. O diagrama esquematico deste tipo de dispositivo esta

ilustrado naFigura 2.1.

Figura 2.1: Diagramaesquematicodamontagemexperimentaledaeletr^onicaenvolvida.

Asmedidass~aofeitasusandoumsistemade\tempo-de-v^oo", TDV,noqualpositrons

se-lecionadosenergeticamente viajamaolongodeumeixo,percorrendoumespacopre-denido,

submetidosaumaltocampomagnetico (apartirdamedidadointervalodetempogastopelo

positronparapercorreroespacopre-denido,epossvelestimarsuavelocidadeeenergia). A

vantagem em seusareste dispositivoe quealem dospositronsaniquilados,e possvel

obser-vardeforma diretaospositronsespalhados. Quandoosistemaestaevacuado, a distribuic~ao

co-progressivamente maisdistorcida,indicando assim,a contribuic~ao dospositronsespalhados.

OsistemaTDV utilizadoporSueokaet al. [26 ],consiste emumdispositivosimilara um

tubo no (vide Fig. 2.1), que possui um v~ao livre de comprimento (L) variando entre 175

mm a 692 mm (dependendo da medida a ser feita), percorrvel pelos positrons (conforme

detalhadonaFigura2.2). Aregi~aododispositivoondeocorremascolis~oes(celuladecolis~ao)

possui um comprimento (`) que pode variar de 79.7 mm a 120 mm. Para eliminar efeitos

do campo magnetico terrestre, duas bobinas de Helmholtz foram introduzidas no aparato.

Outros solenoidesest~ao dispostos ao longo da celula de colis~ao e de todo o tubo, de forma

a gerar um campo magnetico responsavel pelo transporte do feixe de positrons (o campo

magnetico pode chegar a 9 G na celula de colis~ao, enquanto que no restante do tubo, o

campo e da ordem de 45 G). Dois sistemas distintos de bombeamento est~ao conectados a

este dispositivo de forma a introduzirregi~oes evacuadas e regi~oes preenchidas com os gases

correspondentes aosalvosmoleculares.

Figura2.2: Detalhesdodiagramaesquematicodamontagemexperimental.

Comoestamosinteressadosnamedidadointervalodetempoentreaemiss~aodospositrons

(fonte)esuarespectivachegadanonaldotubodosistemaTDV,iremosterdoissistemasde

de eletrons), colocado de forma a priorizar suamaxima eci^encia (dadaa baixa intensidade

do feixede positrons).

Apress~aonacelulade colis~aoecontrolada,bemcomoatemperatura,etodasasmedidas

s~ao feitas automaticamente atraves de uma eletr^onica de contagem rapida, necessaria para

controlar a medidade tempo (porse tratar de umprocesso muito rapido, ondeas medidas

feitas s~ao da ordem de micro-segundos). Esta eletr^onica ira envolver alem do cintilador,

fotomultiplicador, Ceratron, analisador multicanal, cabos de \delay" (de forma a permitir

medidasaolongode todasasamplitudesde tempodoespectro),conversortempo-amplitude

e discriminadores. Ousode discriminadoresassociadosao fotomultiplicador permitemanter

a resoluc~ao no tempo( 3.5ns).

2.1.2 Procedimento Experimental

Figura 2.3: Detalhesdafontedepositronsedasequ^enciainicial.

Os positrons a serem usados nestas medidas s~ao provenientes de uma fonte pontual

radioativade 22

Na depositadaemumdosladosdeumaplacaplasticacintiladorausada para

detecc~ao dos positrons rapidos, conforme Figura 2.3. Esta placa cintiladora possui de 120

a 130 m de espessura, sendo que por tras da fonte e colocado um disco de Perspex que

cara em contato otico com a terminac~ao de um guia de luz usado como janela para um

fotomultiplicador (videFig. 2.1e Fig. 2.3). Aoutra face daplaca e recoberta comalumnio

aposum retardamento adequado (para permitirque ospositrons que atravessaram a placa

cheguem ao nal do tubo de v^oo, para relacionarmos o intervalo de tempo entre os dois

pulsosdetectados,pulsode fonte epulsodo Ceratron)s~aousadoscomopulsosnaisemuma

sequ^encia detempo usadapeloconversor tempo-amplitude.

Este conversor e responsavel por transformar o intervalo de tempo entre dois pulsos

eletricos relacionados em um pulso de amplitude proporcional ao intervalo de tempo

me-dido[28 ]. Emoutraspalavras,a janelademelinexseabre,permitindoquepositronsgerados

pelafonte sejam\injetados" dentro dosistema TDV. 

E feita umamedidainicialde forma a

dispararo cron^ometro, sendo que a janelae fechadaimediatamente de forma a impedirque

outrospositronsentremnosistema durante a realizac~aoda medida.

Positronsemergentesdaplaca cintiladoras~aodesaceleradosporummoderadorde

tungs-t^enio (dentre outros), dentroda regi~ao devacuo, de formaa obtermosumfeixede positrons

de baixaenergia (os positronsrapidoss~ao convertidos em positronslentos atraves da perda

de energia via multiplas colis~oes \Coulombianas") composto por uma pequena frac~ao dos

positrons incidentes (um positron em 10 4

deixa o moderador). Este feixe emergente do

moderadoreacelerado porumcampoeletrico (destaformae quesefaz a selec~aoenergetica

dos positrons que ir~ao percorrer o dispositivo), E

acc

, (conforme Figura 2.4) aplicado entre

o moderador e uma grelha de cobre (denominada \Earth Grid" na Fig. 2.4), sendo ent~ao

connado porcamposmagneticos e direcionadoparaa celulade colis~ao.

Figura 2.4: Detalhes da celula de colis~ao e dos procedimentos necessarios para a obtenc~ao do feixe de

a presenca do gas de teste) com os alvos moleculares (bombeados atraves de uma valvula

do tipo agulha), podendo ent~ao sofrer o processo de espalhamento, sendo posteriormente

detectados pelo Ceratron no mdo percurso. Os pulsosdetectados s~ao usadoscomo pulsos

iniciaisna sequ^encia detempo. Notequecomapresencadogasde teste,otemponecessario

para percorrer o tubo de v^oo sera maior quando comparado ao sistema evacuado, pois a

componentelongitudinalda velocidadesera menorapos acolis~ao.

O fato de se usar os pulsos medidosda fonte como pulsos nais e os pulsos de medida

como iniciaisira gerar um espectro de \tempo-de-v^oo" invertido. A escolha de quemsera o

inicial e quem sera o nal e baseada no fato de que ao invertermos esta escolha, em torno

de 88%dosdadospodemser perdidos[28], tendoemvistaa capacidadedearmazenagem de

dadosdosequipamentoscomerciais(cadapulsodeamplitudeeexaminadoporumanalisador

multicanal earmazenado na memoriado canal correspondenteasua intensidade).

Paraobteroespectro corretamentebastaintroduziracorrec~ao decoincid^enciaacidental,

usando a formula introduzida por Coleman et al. [29 ] que permite transformar os pulsos

medidos empulsos `reais' poisexclui oseventos originadosde pulsosaleatorios. A correc~ao

de coincid^encia acidental ira garantir precis~ao sucienteem cadaescala de energiade forma

a n~ao trazernecessidade deoutras eventuaiscorrec~oes.



E importante destacarmos tambem, que a detecc~ao dos positrons lentos nem sempre se

dacomousodeummedidordotipoCeratron(estetipodedetecc~ao,conhecidapordetecc~ao

antes da aniquilac~ao, e utilizada por alguns grupos experimentais). Em muitos casos, se

utiliza a detecc~ao com aniquilac~ao, onde um alvo, usualmente um cintilador de iodeto de

sodio,NaI,e colococado nonal dotubode v^oo.

2.1.3 Analise de Dados

Asmedidasrealizadas com o aparato anteriormentedescritos~ao armazenadasnum

ana-lisador multicanal, considerando diversos potenciais aceleradores. Para uma determinada

energiaincidente,oprocedimentosera: inciodacontagemdetempo{detecc~aodafonte;m

da contagemde tempo{ detecc~aofeita peloCeratron(incioemreais),sendoqueparaum

mesmo incioteremos diferentes detecc~oes nais, correspondentesaos diversos intervalos de

de v^oo,na presencaouaus^encia dogasdecolis~ao. Adiferencade comportamento observada

nestas duassituac~oesira fornecera medidapara asec~ao de choque,obtidaatravesda raz~ao

da integrac~ao donumerode contagens englobadas pelos picos(em ambososcasos). A sec~ao

de choquetotal, Q

t

,seraexpressa emfunc~aodasgrandezas mensuraveis N

g e N v como Q t = 1 l ln  N g N v  ; (2.1) sendo N g = X n gi (2.2) N v = X n vi : (2.3) Neste caso, n vi

s~ao ascontagens no sistemacom ovacuo, idiz respeito ao i-esimocanal,

n

gi

s~ao as contagens no sistema com o gas molecular,  e a densidade do gas na celula de

colis~ao e le o comprimentoefetivo dacelula de colis~ao.

No caso em que a distorc~ao entre os picos e muito pequena, se torna possvel obter a

sec~ao de choquetotal atraves do gracodo logaritmo do numerototal de contagens obtidas

entre limites denidos no pico de distribuic~ao, pela press~ao do gas observada no tubo de

\tempo-de-v^oo". Neste caso, podemos reescrever a express~ao para a sec~ao de choque total,

em func~ao da atenuac~ao, A

i

,necessaria emcadacanal, comosendo

lnA i =( Q T ) i Z L 0 n(s)ds; (2.4)

onden(s)eadensidade pontualdo gas,Leo comprimento total entreomoderadoreoalvo

(celulade colis~ao). A atenuac~ao,porsuavez, e dadapor

A i = n vi n gi : (2.5)



E importante ressaltar que a sec~ao de choque total n~ao ira dependerda press~ao do gas.

Este fato irafornecer ferramentas experimentaispara vericac~ao de eventuais errosdurante

o processo, bastando para isso monitorar o valor da press~ao do gas durante o desenrolar

da experi^encia (o graco da sec~ao de choque com relac~ao a press~ao devera ser uma reta

constante).

2.2 Medidas de Sec~ao de Choque Diferencial

As primeiras medidas experimentais de sec~oes de choque diferenciais (SCD) foram

re-latadas a partir de 1979 [30 ]. Usando o arg^onio como alvo, por possuir sec~oes de choque

relativamente grandes, se conseguiu a primeira coleta de dados experimentais relativos a

sec~ao de choque diferencialabsoluta.



Enecessario ressaltarque aosefalar emSCD, precisamosdistinguirentreSCD absoluta

e SCD relativa [31 ]. A SCD relativa secaracteriza porn~ao fornecer amagnitude dasSCDs,

impedindoumacomparac~aodiretacomresultadosteoricos. Elaapenasforneceumindicativo

do comportamento daSCD comrelac~aoaos^angulosde espalhamento. Osvalores

apresenta-dos paraa SCD relativas~ao sempre obtidoscom relac~ao ascurvasinicialmentetracadas,ao

se considerarumadadaenergia dopositronincidente.

Na suaimensa maioria, quasetodososresultados obtidos paraassec~oes de choque

dife-renciais, ao longo das ultimas decadas, se referem a medidas relativas, por uma quest~ao de

maior simplicidadeexperimental. Porem, ao longodos ultimosanos [31 ],tem sido crescente

ointeressepelaobtenc~aodemedidasabsolutas. Dadoonossointeresseneste tipodemedida,

iremos nos ater a apresentar aqui, o procedimento experimental usado para a obtenc~ao de

sec~oes dechoque diferenciaisabsolutas.

2.2.1 Procedimento Experimental para Medidas de Sec~ao de Choque

Di-ferencial Absoluta

Umadas primeirastecnicas [30]usadaspara medirsec~oes de choque diferenciais

absolu-tas, se baseia no uso de sistemas de \tempo-de-v^oo" (TDV). O uso de tecnicas de TDV e

espa-ser impraticavelmente baixa.

Odiagramaesquematicodoespectr^ometroTDVutilizadonestesexperimentosemostrado

na Figura 2.5, sendo muito similar, em alguns aspectos, ao aparato utilizado para obter as

medidasde sec~ao dechoquetotal (porisson~aoapresentaremos tantosdetalhes).

Figura2.5: Espectr^ometroTDVTexasusadoparamedidasdesec~oesdechoquediferenciaisemespalhamento

elastico depositrons.

Nestesexperimentos, positrons provenientes de uma fonte de 22

Na, ao passarem por um

disco plasticocintilador, a exemplo dasmedidas de sec~ao de choque total, disparam toda a

eletr^onica de contagem de tempo. Estes positrons rapidos s~ao reduzidosa positronslentos,

por uso de moderadores, sendo depois acelerados axialmente atraves da aplicac~ao de um

potencial V.Passam ent~ao pela celulade colis~ao(`gas cell')de 1 cmde comprimento. Nesta

celula ocorrera oespalhamento,quando inseridoo gasde teste.

Ospositronslentosdeixam acelulade colis~ao eviajam poraproximadamente 25 cm,em

tubonoevacuado,submetidosaumfortecampomagnetico axial,chegandoaseracelerados

a 300 eV.S~aodetectados no naldo percursoporumdetector CEM(`Channeltron electron

multiplier'- multiplicador contnuo de emiss~ao secundaria de eletrons similarao Ceratron).

Sistemasde bombeamento comp~oem tambemo espectr^ometro,de forma aintroduzirregi~oes

com o sistemaevacuado, ecom a inserc~ao do gasde teste na celulade colis~ao. Tipicamente

usa-se 60.000 s [30 ] para completar um ciclo de medidas. Para vericar a estabilidade do

sistema, variosciclos vacuo/gas-teste s~aofeitos. Acadaalterac~aodo potencial aceleradorV,

espera-seemtorno de 10 hpara seiniciarnova tomada de medidas.

Um dos aspectos que pode ser observado atraves destas medidas, e que quanto maior o

^

angulo atraves do qualo positron e espalhado na celula de colis~ao, maior sera o respectivo

TDV entreossolenoidesresponsaveispelaaplicac~aodo campomagnetico axial.

Novamente, a distribuic~ao temporal dos positrons espalhados e separada dos que n~ao

s~ao espalhados por uma atenuac~ao apropriada do espectro de vacuo, e ent~ao subtrada do

espectro medidocomo usodo gasde teste [30 ].

Comisso,a sec~ao de choque diferencialabsoluta,I, poderaser expressacomo

I( i )= 
N s
t  i TQ T sec 2  i 2N s ! a 0 2 : (2.6)

Nestecaso, Teo tempode v^oo deumpositronn~aoespalhadodeenergia 

E; 

Eeaenergia

mediadopositron lento incidente;Q

T 

easec~ao dechoquetotalde positronsespalhadoscom

energia  E, em unidades de a 2 0 ;  i

e o ^angulo de espalhamento; i, diz respeito ao i-esimo

canal;
N

s 

e o numero de positrons que apos espalhadospossuem tempo de v^oo entre t

i e

t

i

+
t;
te amedidadetempoobservadoemcadacanaleN

s 

eo numerototal de positrons

espalhados.



E interessante notar que valores absolutospara a sec~ao de choque diferencialso podem

ser obtidossea sec~ao de choque total Q

T (



E)e conhecida. Limita-se assim,osalvos

molecu-lares/at^omicos quepodem serusadoscomo gasde teste.

Medidasde SCD podemser feitas tambem, utilizando umoutro tipo de aparato

experi-mental[31 ],ilustradona Figura2.6. Neste caso, ofeixede positronse cruzado comumfeixe

at^omicooumolecularespalhadopordispositivoscapilares,edetectoress~aousadosparamedir

ofeixeprimarioeospositronsespalhados. Pode-semedirsimultaneamenteospositrons

espa-lhadosemdois diferentes^angulos(separadospor30 0

) dentrodo alcancetotal compreendido

Elementosderetardo,queprecedemcadaumdosdetectores,s~aousadosparadeterminara

energiacaractersticadofeixeprimario,eparadistinguirdospositronsespalhadosaquelesque

perderammaisde1eV,deformaacaracterizarospositronsques~aoespalhadoselasticamente

(detectores 2 e3).

Neste caso, a SCD absoluta e obtidaatraves da comparac~ao direta dos valores medidos

para SCD relativa obtida no espalhamento de positron, para cada alvo especco, com a

correpondentesSCD relativa obtidadoespalhamento de eletrons, usando-se o mesmoalvo e

aparato experimental. AsSCDsobtidas parao casodeeletronss~aonormalizadasde formaa

priorizar osresultadosteoricos e/ouexperimentais.

Umexemplo de como istoe feito, pode ser observado para o caso do arg^onio [31 ]. Para

obterasmedidasdeSCDabsolutas,usandopositronsparaoespalhamento,ogrupodeDetroit

fez diversasmedidasdeSCD relativas(paravariasenergias)etracoucomparac~ao diretacom

osresultados obtidosno espalhamento de eletronsa 300 eV.

Figura 2.6: Diagrama esquematico damontagem experimental usadaem Detroit[31 ], para obtenc~ao de

2.3 Medidas do Par^ametro de Aniquilac~ao Z

eff

Um dos grupos experimentais mais atuantes na obtenc~ao de medidas do par^ametro de

aniquilac~aoparaalvosmoleculares, incluindomoleculasorg^anicas(conforme pode ser

obser-vadonaTabela2.1),eogrupolideradoporC.M.Surko[23 ,32 ,33 ],querecentementepassou

a obter medidasa variastemperaturas[34 ].

Molecula Formula Z Z

eff Z eff /Z Helio He 2 3.94 2.0 Hidrog^enio H 2 2 14.6 7.3 Ne^onio Ne 10 5.99 0.6 Am^onia NH 3 10 1300 130  Agua H 2 O 10 319 32 Metano CH 4 10 142 14 Acetileno C 2 H 2 14 3160 225.7 Nitrog^enio N 2 14 30.5 2.2

Monoxido deCarbono CO 14 38.5 2.8

Oxig^enio O 2 16 36.7 2.3 Etileno C 2 H 4 16 1200 75 Arg^onio Ar 18 33.8 1.9

Dioxidode Carbono CO

2 22 54.7 2.5 Acetona CH 3 COCH 3 32 98400 3100 Kript^onio Kr 36 90.1 2.5 Benzeno C 6 H 6 42 15000 360 Xen^onio Xe 54 401 7.4

Tabela2.1: MedidasdosvaloresdeZeff listadosnaliteratura[23]. Todasasmedidasforamfeitas

conside-randotemperaturaambiente.

Parapoderrealizareste tipode medida,Surkoetal. desenvolveram nasultimas decadas,

positrons sucientemente lentos para que se tornem manipulaveis. O aparato experimental

utilizado para connar e acumular estes positronssera aquibrevemente descrito, sendo que

o connamento axial acontece via barreira de potencial e o connamento radial via campo

magnetico.

2.3.1 A `Armadilha' de Positrons

Os positrons a serem utilizados s~ao provenientes de uma fonte radioativa de 22

Na, que

emitepositronscomenergiassuperioresa545keV.Partedestespositronss~aodesaceleradosa

42eV porummoderadordetransmiss~aodetungst^eniooudene^oniosolido[35 ,36 ], eguiados

magneticamente paraa regi~ao de aprisionamento (armadilha composta de tr^es estagios).

Paraqueospositronspossamserdenitivamenteaprisionadosnaarmadilha,viabarreira

depotencial,e necessarioaindaqueelessoframnovadesacelerac~ao,ouseja,quepercammais

energiacinetica. Issopodeserconseguidoatravesde diferentestecnicaspossveis,dentreelas

colis~oesinelasticasdospositronscomatomosoumoleculas(ocasionandoionizac~ao,excitac~ao

eletr^onica, excitac~ao vibracional,transfer^encia de momento, etc.). No caso desta armadilha

em especco,ospositronss~ao connadosatravesde umabarreira depotencial eletrostatico

por colis~oes inelasticas com moleculas de N

2

(gas tamp~ao), no qual o processo dominante

decorrente e a excitac~ao eletr^onica [36 ]. Elesincidem em direc~ao a armadilha e s~ao guiados

paraumconjuntode oitoeletrodos(numeradosde 0a7) dediferentescomprimentoseraios,

que, juntamente com as bombas de vacuo, s~ao capazes de gerar tr^es regi~oes diferentes de

potencial eletricoe press~aodo gasN

2

,regi~oesI, IIe III(Figura 2.7).

Umadasbombasdevacuoecolocadano centrodoeletrodo3(conformegura)enquanto

outras duas s~ao colocadas nas terminac~oes da armadilha. O gasN

2 

e bombeado atraves de

um pequeno orifciono meio do eletrodo 1. O estagio Ie formadopelo eletrodo 1 e possui

press~ao tpica de 10 3

Torr (regi~ao de alta press~ao). No estagio II (regi~ao intermediaria

formada pelos eletrodos2 e 3),a press~ao tpicae de 10 4

Torr. A regi~ao nal daarmadilha

(estagio III) que consiste na regi~ao onde os positrons s~ao capturados e armazenados opera

tipicamente a10 6

Torr.

O campo magnetico responsavel pelo connamento radial e gerado a partir de dois

3000 G. Osegundo solenoiderespondepelagerac~ao de camponosoutros eletrodospodendo

atingira marcade 1500 G. Usualmente seoperaossolenoidesnafaixados 700 G.

Figura2.7: (a)Estruturadaarmadilhacompostaportr^esestagios,envolvendobombasdevacuo,eletrodose

solenoides. Ogastamp~aoeinjetadonocentrodoeletrodo1eeretiradoatravesdasterminac~oesdaarmadilha

e atraves do centro do eletrodo 3; (b) Representac~ao esquematica dos procedimentos de aprisionamento,

mostrando os tr^es estagios sucessivos de mais baixo potencial eletrico e excitac~oes permissveis duranteo

processodeconnamentodepositrons.

Apress~ao do N

2

e ajustada no estagioI de talforma que emmedia,ospositrons sofram

apenas uma colis~ao inelastica ao longo deste estagio (representado porA na Figura 2.7). A

energiaperdidaemcadacolis~aoesucienteparaquehajaoconnamento(aliadaaestrutura

dos eletrodos). Outra colis~ao subsequente (B) consegue connar o positron nos estagios II

e III em menos de 1 ms, e, em 30 ms, apos outra colis~ao (C), o positron esta totalmente

(reduz o numero de colis~oes); e depois, que no nal do estagio III, os positrons connados

neste estagio ir~ao esfriar a temperatura ambiente (i.e., a temperatura do gas tamp~ao) em

poucos segundos, de modo a formar um plasma de facil manipulac~ao, que sera usado para

darsequ^encia asexperi^enciasde aplicac~ao.



E importante ressaltar que como o limiar de excitac~ao eletr^onica do N

2

e proximo do

limiar de formac~ao do positr^onio (porexemplo, a 11 eV estesdois processos podem ocorrer

com igual probabilidade) existe um limite na taxa de aprisionamento de positrons.

Atual-mente[32 ],estetipodearmadilhaecapazdeaprisionarcercade10 7

positronsporumtempo

limitadoapenaspelaaniquilac~aodestespositronscomogastamp~aooupelaexist^enciade

im-purezas. Alimitac~aoexistentenotempodeconnamentosedeveaofatodoconnamentode

positronsdentrodaarmadilhaserextremamentesensvelamanipulac~aodac^amaradevacuo.

Um aquecimento brando nas paredes da c^amara pode causar um decrescimo no tempo de

connamento caracterstico,  ,enquanto quea introduc~ao de superfciesfriasde nitrog^enio

lquido em regi~ao proxima ao estagio III da armadilha, provoca aumento signicativo em 

(pode-se teruma variac~ao de 1para 150s, porexemplo).

Figura 2.8: Terceiroequartoestagiosdaarmadilhamostradosemdetalhes.

Recentemente [32 ], um quartoestagio foi introduzidoparacompora armadilhade p

osi-trons (Figura 2.8). Este novo estagio consiste de um eletrodo montado a partir de outros

po-estudar modos de mais baixa ordem no caso de plasmas esferoidais. Em segundo, permite

demonstrar o acumulo de positrons do terceiro para o quarto estagio. E, nalmente, pelo

movimento da nuvem de positrons proxima ao detector de raiosgama, ele permitemedidas

do espectro de aniquilac~ao dosraiosgama a partirde positronsaniquiladosin situ.

Parareduzirosefeitosdeimpurezassobreotempodeconnamento,foiintroduzidoneste

quartoestagio (conformegura),dentroda c^amara devacuo,nitrog^eniolquidoarmazenado

dentro de um recipiente de metal (cujas paredes possuem espacos evacuados entre elas).

Como o eletrodo hiperbolicoe colocado entre duas capsulas de nitrog^enio lquido, o tempo

de vidados positronspassa a sertipicamente de 45s(com o gas tamp~ao presente)chegando

a 1700s sem apresenca do gastamp~ao (o uxo de bombeamento de N

2

e interrompidoapos

uma fasede carga).

2.3.2 Medidas Experimentais de Z

eff

Para medir o par^ametro de aniquilac~ao de gases, Surko et al. [37 , 38 , 39 ], inicialmente

inseriam diretamente no estagio III da armadilha de positrons, diversos gases e vapores a

baixa press~ao. As taxas de aniquilac~ao podiament~ao ser obtidas ao se medir o numero de

positrons remanescentes como func~ao do tempo de aniquilac~ao. O procedimento adotado

era o de se acumular positrons por um determinado perodo de tempo pre-xado (tempo

de armazenagem), aguardando-se ent~ao (tempo variavel) a aniquilac~ao destes (tempo de

aniquilac~ao). Os positrons remanescentes eram por sua vez descarregados sobre uma placa

metalica,ecomoauxliodeumcintiladorNaI(T1)acopladoaumtubofotomultiplicadorede

circuitoseletr^onicosdecontagemdepulsos,media-searadiac~aodeaniquilac~aocaracterstica

de0.511Mev. Nestetipodecintilador,aamplitudedopulsodeluzeproporcionalaonumero

de positronsremanescentes.

Comaintroduc~aodoquartoestagionaarmadilhadepositrons,umapequenamodicac~ao

foi feita no procedimento experimental [23 ]. Agora, gases ou vapores a serem estudados

s~ao inseridosdiretamente no estagio IV.Os positronss~ao acumulados (porumdeterminado

perodo de tempo) no estagio III e espera-se 1s para que eles termalizem, sendo logo em

seguida lancados no estagio IV, onde, a exemplo do procedimento anterior, espera-se por

cintiladorNaI(T1)paramedir aradiac~ao de aniquilac~ao caracterstica.

Ouso de gases de teste a baixa press~aoe de suma import^ancia,pois ira garantir que os

processosenvolvidossejambinarios,ouseja,ir~aoenvolverapenasumpositroneumamolecula

(colis~aounica), de modoque astaxas de aniquilac~ao possam sermedidascom boaprecis~ao.

Ofatodesetratarde colis~aounica efundamental,poisirapermitiracomparac~aodosnossos

resultados diretamente com osobtidosexperimentalmente.

Figura 2.9: Diagrama esquematico dos dois estagios naisdaarmadilha de positrons,acrescentados dos

equipamentosusadosparaestudosdeaniquilac~ao.

No caso de processos binarios, a taxa de aniquilac~ao, , pode ser expressa como uma

func~ao linear da densidade molecular,e esta relacionada com a press~ao do nitrog^enio (P

N2 )

e com apress~ao dogas deteste X(P

X

),ambasa temperaturaambiente,por

= 0 +AP N 2 +BP X ; (2.7)

onde A e B s~ao constantes proporcionais a Z

eff

do nitrog^enio e da molecula em estudo e

0

e a taxa de aniquilac~ao de outras possveis moleculas presentes na armadilha (agentes

contaminadores).

Porsuavez, paramoleculaseatomos pequenos,podemoscorrelacionara taxade

aniqui-lac~ao, coma taxa deaniquilac~aode Dirac [37 ]de positronsnumgas deeletronslivres,

=BP =(r ) 2

sendo r

0

o raio classico do eletron, c, a velocidade da luz e n

x

, a densidade do atomo ou

molecula. Para moleculas pequenas Z

eff

e interpretado por Surko et al., como sendo o

numeroefetivo deeletronsque participamdo processo deaniquilac~ao.

Paramoleculasgrandes, Z

eff

Z,eaideiadequepositronsinteragemcommoleculasem

colis~oes isoladas de curta durac~ao n~ao e mais aceitavel. Neste caso, a interpretac~ao dada

para a raz~ao Z

eff

/Z e a de que fornece aproximadamente a medida da durac~ao media da

resson^anciapositron-molecula [37 ,38 ]comrelac~aoadurac~aodeumacolis~aoelasticasimples.

Nestas resson^ancias, o positron gasta muito mais tempo nos arredores da molecula e, com

isso, aprobabilidadede aniquilac~ao porcolis~ao e correspondentementemaior. 

Eimportante

ressaltar queemboraSurkoclassiqueoprocesso comosendoressonante,oqueelechamade

resson^anciae,naverdade,umamedida,umacorrelac~aocomotempogastopelopositronnos

arredoresda molecula.

Para seobter medidasde Z

eff 

a varias temperaturas [34 ], pequenas alterac~oess~aofeitas

no procedimento experimental. No quarto estagio da armadilha, apos os positrons terem

termalizado,eaposobombeamentodegastamp~aotersidointerrompido,sebombeiaogasde

teste permitindoqueapress~aoseestabilizepor8s. Ospositronss~ao ent~aoaquecidosatraves

da aplicac~ao de um pulso de rudo RF (banda larga) a um dos eletrodos de connamento

(
f20Mhz.). Os positronsaniquiladoss~ao medidosent~ao pelodetector NaI(T1).

Uma das diculdades que se encontra neste tipo de medida e que, apos o aquecimento

dos positrons, dois processos concorrentes passam a existir: a aniquilac~ao destes com o gas

de teste, e o resfriamento dos positrons devido a presenca do gas de teste. Para o caso de

gases nobres,ospositronseo gasde teste seresfriamatemperaturaambienteem umtempo

tpicode5 a10s. Paraconseguirobter a medida,e necessariofazer umamedidainicial para

quesepossaajustarotempode armazenagemdospositronsde formaaseobter umnumero

signicativode contagens.

Foi observado tambem que, quando se atinge uma determinada temperatura limite

du-ranteo aquecimento RF,ospositronss~ao expelidosdo pocode connamento,seaniquilando

nasparedesda armadilha. Esteprocesso ocorre ate umcurto intervalode tempoaposseter

desligadoopulsode aquecimento. Oaltonumerode medidasobservadasnosprimeiros

normalizaronumerode contagensobtidasacadaintervalodetempocomrelac~aoao numero

de positronspresentes na armadilhaduranteaqueleintervalo.

2.4 Medidas do Espectro de Energia de Raios- Aniquilados

Uma dascaractersticas principaisda interac~ao de positronscom a materia e o espectro

de energia de raios-gama aniquilados[40 ]. Este espectro fornece informac~oes dasfunc~oes de

ondadospositronsedos eletrons, dandoindicativosdosstiosondeocorre a aniquilac~ao.

Quando um positron se aniquila com um eletron, dois raios-gama de 511 keV s~ao

pro-duzidos com momentos lineares iguais e opostos. Se o centro de massa do sistema el

etron-positron esta se movendo, o espectro de raios-gama sera alterado por efeito Doppler. O

alargamento Doppler destes espectros e medido a partir da distribuic~ao de momento dos

pares positron-eletron [33 ]. Para entendermos como e possvel correlacionar o espectro de

energia de raios-gama resultante da aniquilac~ao de positrons em interac~oes com atomos ou

moleculas, comas componentesdo momento do parpositron-eletron aniquilado,precisamos

entenderinicialmentecomo s~ao feitasasmedidasdedistribuic~ao demomento.

2.4.1 Medidas de Distribuic~ao de Momento

Figura2.10: Ilustrac~aodomomentopdeumpareletron-positronaniquilando-se,edosmomentosde

raios-gamaresultantes

1 e

2

. Oeventodeaniquilac~aoemedidoatravesdedoisdetectorescolocadosa180 0

Um par eletron-positron aniquila emitindo dois raios-gama de 511 keV cada um, a

um ^angulo de 180 0

com relac~ao ao referencial do centro de massa das duas partculas. Ao

considerarmosoreferencialdolaboratorio,osraios-gamacarregamconsigoomomento inicial

do centro de massa do par. Com isso, o ^angulo de emiss~ao dos fotons, um com relac~ao

ao outro, sera diferente de 180 0

(conforme podemos observar na Figura 2.10), devido as

componentes perpendiculares p

x e p

y

do momento do par eletron-positron. Neste caso, o

^

angulodede ex~ao[33 ]seradadopor(paraseobterasexpress~oesabaixo,bastaconsiderarmos

a conservac~ao demomento lineare a conservac~ao de energia)

=   2 x + 2 y  1=2 ; (2.9)

sendo que,quandop

x ,p y m 0 c,  j ' p j m 0 c : (2.10)

Temos j =xou y, c,a velocidadeda luze m

0

,amassa derepousodo eletron.

Aalterac~aoDopplernaenergiadosraios-gamasera devidoacomponentelongitudinaldo

momento dopar eletron-positron,p

z

,e poderaser expressacomo

E= p z 2m 0 c E 0 = cp z 2 ; (2.11) poisE 0 =m 0 c 2 .

Nocasoemqueomeioaserinvestigadoeumsolidocristalino,p

x ep

y

podemserdistintos.

Ja para meios lquidos ou gasosos, as tr^es componentes do momento s~ao equivalentes (e

tomada amediarotacionaldadistribuic~aodemomento). Neste casopodemosreescrever
E

como
E =m 0 c 2  2 : (2.12)