17.8 Bases de enumera¸c˜ao

17.8 Bases de enumera¸ c˜ ao

Quest˜ ao 17.31. (Bases de enumera¸c˜ao; expans˜ao b−´adica).

17.31.a. ** Demonstrar que, para todo natural n˜ao-nulo n, existem ´ unicos naturais ℓ, d

, . . . , d

tais que:

∀ ∈

:  ≤ ℓ, 0 ≤ d

< 10; d

> 0; e n = X

=0

d

· 10

Em outras palavras, n tem representa¸c˜ao ´ unica n = (d

d

· · · d

)

na base decimal com d´ıgitos d

.

Ex.: (A base decimal ). 2 = (2)

= 2 · 10

; 4 = (4)

= 4 · 10

; 10 = (10)

= 1 · 10

+ 0 · 10

; 16 = (16)

= 1 · 10

+ 6 · 10

;

100 = (100)

= 1 · 10

+ 0 · 10

+ 0 · 10

; 63 = (63)

= 6 · 10

+ 3 · 10

; 4027 = (4027)

= 4 · 10

+ 0 · 10

+ 2 · 10

+ 7 · 10

;

17.31.b. Generalizar o argumento para qualquer natural b > 1 substituindo 10 acima.

Nos pr´oximos exemplos, j´a omitimos as parcelas nulas para enfatizarmos as ideias no esbo¸co de demonstra¸c˜ao abaixo.

Ex.: (A base bin´ aria, cujo alfabeto para os d´ıgitos ´e {0, 1}).

2 = (10)

= 1 · 2

; 4 = (100)

= 1 · 2

; 10 = (1010)

= 1 · 2

+ 1 · 2

; 16 = (10000)

= 1 ·2

; 63 = (111111)

= 1·2

+1·2

+1·2

+1 ·2

+1·2

+1·2

; 100 = (1100100)

= 1 · 2

+ 1 · 2

+ 1 · 2

;

4027 = (111110111011)

= 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

. Ex.: (A base hexadecimal, cujo alfabeto para os d´ıgitos inclui (A)

= 10, (B)

= 11, (C)

= 12, (D)

= 13, (E)

= 14 e (F )

= 15).

2 = (2)

= 2 · 16

; 4 = (4)

= 4 · 16

; 10 = (A)

= A · 16

;

16 = (10)

= 1 · 16

; 63 = (3F )

= 3 · 16

+ F · 16

; 64 = (40)

= 4 · 16

; 100 = (64)

= 6 · 16

+ 4 · 16

; 4027 = (F BB)

= F · 16

+ B · 16

+ B · 16

. Esbo¸ co de demonstra¸ c˜ ao: Como discutido na Observa¸c˜ao que se segue ao Item 17.28.a.ii, a aplica¸c˜ao daquele item `a fun¸c˜ao J

do Item 17.26.d (com b = 10 ou, mais geralmente, b natural tal que b > 1) mostra que a sequˆencia 1 = b

< b = b

< b

< b

< · · · < b

< b

< · · · ´e ilimitada superior- mente. Usando o PBO de forma adequada, obtemos que, para todo natural n˜ao-nulo n, h´a um ´ unico natural ℓ tal que b

≤ n < b

. Dividindo R

= b n

506

por b

, obtemos o quociente d

, e o resto R

´e menor que b

. Repetindo o processo para o resto R

no lugar de R

, um pr´oximo resto R

no lugar de R

, etc., obtemos os d´ıgitos posteriores como quocientes para divisores b

cada vez menores (e, portanto, com restos cada vez menores), at´e que a divis˜ao euclidiana seja exata (isto ´e, o resto seja 0); *************************

17.31.c. ** Descrever e demonstrar um algoritmo de adi¸c˜ao de dois naturais n˜ao- nulos na base decimal. Mais precisamente, dados dois n´ umeros naturais n˜ao-nulos m e n, considerar suas representa¸c˜oes ´ unicas m = (c

c

· · · c

)

n = (d

d

· · · d

)

na base decimal, isto ´e, m = X

ı=0

c

· 10

e n = X

=0

d

· 10

O algoritmo recebe os n´ umeros k, ℓ, c

, d

e devolve a representa¸c˜ao de m + n na base decimal. Generalizar o algoritmo para bases de enumera¸c˜ao b > 1;

17.31.d. * Descrever e demonstrar um algoritmo de compara¸c˜ao de naturais n˜ao- nulos na base decimal. Mais precisamente, dados dois n´ umeros naturais n˜ao-nulos m e n, considerar suas representa¸c˜oes ´ unicas m = (c

c

· · · c

)

n = (d

d

· · · d

)

na base decimal, isto ´e, m = X

ı=0

c

· 10

e n = X

=0

d

· 10

O algoritmo recebe os n´ umeros k, c

, ℓ e d

e devolve uma, e apenas uma, das respostas: m < n, m = n ou m > n . Generalizar o algoritmo para bases de enumera¸c˜ao b > 1, observando que a resposta produzida pelo algoritmo independe da base de enumera¸c˜ao escolhida!

Dica: E poss´ıvel realizar a compara¸c˜ao em dois passos bem diferentes, cada ´ um com um crit´erio de compara¸c˜ao. O segundo s´o ´e usado quando o primeiro crit´erio tem o mesmo valor para ambos m e n;

17.31.e. Descrever e demonstrar um algoritmo com as caracter´ısticas abaixo:

Dados de entrada: naturais c

, c

, d

e d

tais que c

6= 0 6= d

, represen- tando dois naturais m e n na base decimal por suas representa¸c˜oes ´ unicas:

m = (c

c

)

e n = (d

d

)

, isto ´e, m = 10c

+ c

e n = 10d

+ d

com 10 ≤ m, n ≤ 99;

Dados de sa´ıda: naturais a

, a

, a

e a

representando o natural m · n na base decimal como mn = (a

a

a

a

)

, isto ´e, m · n =

X

ı=0

a

· 10

.

507

17.9 M´ ultiplos e divisores, primos e compos- tos em

Defini¸ c˜ ao 17.32. Consideremos as seguintes defini¸c˜oes em N :

− Dados m, n ∈

, dizemos que m divide n, n ´e divis´ıvel por m, m ´e divisor de n, n ´e m´ ultiplo de m, e que a divis˜ao euclidiana de n por m ´e exata , e denotamos

isto tanto por m\n como m|n se, e somente se, existe d ∈

tal que md = n (isto ´e, o resto da divis˜ao euclidiana de n por m ´e 0);

− Dado p ∈

, p ´e primo se, e somente se, p possui exatamente dois divisores distintos

, a saber, 1 e p;

− Dado q ∈

\{0, 1}, q ´e composto se, e somente se, q n˜ao ´e primo.

Os conceitos acima est˜ao bem definidos em

em virtude dos seguintes resultados:

Quest˜ ao 17.33. Dados os sistemas de Peano (N, 0, S) e (N

, 0

, S

), seja ϕ : N −→ N

o ´ unico isomorfismo de sistemas de Peano de N sobre N

. Provar que:

17.33.a. ∀m, n ∈ N , m ´e divis´ıvel por n se, e somente se, ϕ(m) ´e divis´ıvel por ϕ(n);

17.33.b. ∀m, n ∈ N , m ´e primo se, e somente se, ϕ(m) o ´e.

Quest˜ ao 17.34. (A rela¸c˜ao de ordem parcial em

dada por divisibilidade).

17.34.a § Com a sucess˜ao imediata S, definimos 1 := S(0), 2 := S(1) e 3 := S(2).

Demonstrar que que 2 n˜ao ´e divisor de 3;

17.34.b § * Provar que a rela¸c˜ao bin´aria ≤

abaixo ´e rela¸c˜ao de ordem parcial em N :

∀m, n ∈ N, (m ≤

n ⇐⇒ m\n) ;

14Esta nota¸c˜ao tamb´em se aplica `a extens˜ao deste conceito de N para^Z.

15Logo, 1 n˜ao ´e primo por defini¸c˜ao de primalidade. Historicamente, 1 era considerado primo e, depois, modificou-se a defini¸c˜ao para retir´a-lo. Com isto, evitaram-se as exce¸c˜oes que 1 causava em v´arios enunciados.

508

17.34.c § Demonstrar que 1 e 0 s˜ao, respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo do con- junto parcialmente ordenado (N, ≤

);

17.34.d § Demonstrar que, para todos os naturais n˜ao-nulos m e n, se m ≤

n, ent˜ao m ≤ n (na ordem usual)

;

17.34.e § Dos itens anteriores, deduzir que: 0 n˜ao ´e primo; 2 e 3 s˜ao primos; e que os n´ umeros primos s˜ao os elementos minimais de N \{1} para a rela¸c˜ao de ordem parcial ≤

;

17.34.f§ Mostrar que ≤

n˜ao ´e total (linear);

17.34.g§ Demonstrar que ≤

´e bem fundada

, observando que isto significa que, para todo subconjunto n˜ao-vazio C de

, existe m ∈ C tal que m ´e minimal

em C com rela¸c˜ao a ≤

.

Dica: Usar o Item 17.34.d e a boa ordena¸c˜ao de (

, ≤).

Quest˜ ao 17.35. (Alguns resultados sobre primos).

17.35.a. * Demonstrar que, para todo natural primo p vale:

∀m, n ∈

, [(p\m ∨ p\n) ⇐⇒ p\(m · n)]

Obs. A implica¸c˜ao no sentido reverso ´e o conte´ udo original do Lema de Euclides colocado em termos da matem´atica contemporˆanea;

17.35.b. O que ainda ´e v´alido no Item 17.35.a se substituirmos “primo p” por “natural q > 1”? Por quˆe?

17.35.c. Provar que, para todos os naturais m, n e d, (d\m ∧ d\n) = ⇒ d\(m + n);

17.35.d. Mostrar que a rec´ıproca do Item 17.35.c ´e falsa;

17.35.e. *

Provar que, para todos os naturais m, n e d, [d\(m + n) ∧ d\n] = ⇒ d\m;

16Do Item 17.34.a e do fato de que 2< S(2) = 3, a rec´ıproca ´e falsa!

17Toda rela¸c˜ao bem fundada induz uma no¸c˜ao de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao bem fun- dada e uma no¸c˜ao de defini¸c˜ao por recurs˜ao bem fundada; Elas podem ser bastante com- plexas quando comparadas `as indu¸c˜oes finita e completa. No caso de ≤_D, o caso-base consiste do m´ınimo 1, mas o passo indutivo possui infinitos “sucessores imediatos” de cada vez devido ao Item 17.34.f. Por exemplo, todos os primos s˜ao “sucessores imediatos” de 1 para a rela¸c˜ao≤_D.

18Isto ´e, n˜ao existec∈C tal quec <_Dm.

509