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Texto

(1)UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE. Programa de Pós-Graduação em Ciências e Aplicações Geoespaciais - CAGE. Marcio Ribeiro Gastaldi. USO DO PERIODOGRAMA DE LOMB E DA TRANSFORMADA WAVELET PARA DETECÇÃO DE PERIODICIDADES EM RADIOFONTES EXTRAGALÁCTICAS. São Paulo - Brasil 2016.

(2) Marcio Ribeiro Gastaldi. USO DO PERIODOGRAMA DE LOMB E DA TRANSFORMADA WAVELET PARA DETECÇÃO DE PERIODICIDADES EM RADIOFONTES EXTRAGALÁCTICAS Tese apresentada ao Programa de PósGraduação. em. Ciências. e. Aplicações. Geoespaciais da Universidade Presbiteriana Mackenzie como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ciências e Aplicações Geoespaciais.. Orientador: Prof. Dr. Luiz Claudio Lima Botti. São Paulo - Brasil 2016.

(3) A. G255 Gastaldi, Marcio Ribeiro Uso do Periodograma de Lomb e da transformada Wavelet para detecçăo de periodicidades em radiofontes extragalácticas / Marcio Ribeiro Gastaldi – São Paulo, 2017. 150 f.: il., 30 cm Bibliografia: f. 69-73 Tese (Doutorado em Ciências e Aplicações Geoespaciais - CAGE) – Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo, 2017. Prof. Dr. Luiz Claudio Lima Botti 1. Quasares 2. Contínuo Rádio. 3. Variabilidade 4. Fourier. 5. Lomb. 6 Wavelet I.Título CDD 500.5.

(4) Bom mesmo é ir à luta com determinação, abraçar a vida com paixão, perder com classe e vencer com ousadia... Pois o triunfo pertence a quem se atreve, e a vida é muito bela para ser insignificante. (Charles Chaplin). Uma vida sem reflexão não merece ser vivida. (Sócrates).

(5) AGRADECIMENTOS. A Deus, fonte de toda sabedoria, pela vida que nos concedeu, permanecendo ao nosso lado em todo o percurso dessa caminhada. Ao Botti, por ser orientador persistente e amigo que, com seu exemplo, muita paciência e constante acompanhamento, me incentivou e inspirou nesse caminho. À dra. Margo Aller, por disponibilizar os dados do rádio observatório de Michigan. Ao meu gerente na Richardson, pela paciência, compreensão e incentivo. Aos professores da Pós-Graduação do Mackenzie e aos professores que fizeram parte da minha banca. A postura, o respeito e o entusiasmo que mostraram foram fatores decisivos nos desdobramentos do trabalho realizado entre a Qualificação e a Defesa desta tese. Em especial à profa. Emília Correia, ao prof. Jose Roberto Cecatto e ao prof. Sergio Szpigel, pelas suas contribuições para a melhoria deste trabalho. Agradeço muito ao grupo de Extragaláctica do CRAAM. Por sempre terem participado e mostrado vivo interesse nos meus seminários. À Taciana Siqueira, ao Roberto Perianhes e ao Ricardo Ferrari. Ao meu avô, a quem eu atribuo os primeiros convites à investigação científica. Ao meu pai, inteligência que ainda me intriga. Sempre me lembrarei das nossas conversas sobre os mistérios do Universo. Ao meu amigo Fernando Bergamini, pela revisão deste documento. À minha namorada. Agradeço a sua paciência, compreensão e incentivo. À minha família, em especial à minha mãe, pelo apoio, conforto, paciência, inquebrantável otimismo e exemplo de vida. E aos amigos do CRAAM e da Richardson..

(6) RESUMO Neste trabalho foram aplicados o periodograma de Lomb e a transformada wavelet às curvas de luz de três radiofontes extragalácticas obtidas por meio do uso de dados do radiotelescópio de Michigan em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz. As duas ferramentas de análise apresentaram resultados complementares, pois a transformada wavelet proporcionou a perspectiva do comportamento temporal das periodicidades obtidas através do periodograma de Lomb. Com o objetivo de realizar um estudo mais abrangente, dados de VLBI foram utilizados na análise de explosões detectadas nas curvas de luz. Além disso, buscou-se alguma correlação entre os momentos de ejeção de plasmons e máximos/mínimos encontrados na evolução temporal das periodicidades reveladas por meio da transformada wavelet. No caso do quasar OJ287 detectou-se de maneira inédita um padrão de oscilação na periodicidade de ~1,6 ano detectada por Hughes et al. (1999). Essa modulação apresentou padrão aproximadamente senoidal com período de ~6 anos, o que estaria de acordo com a hipótese de que na região central de OJ287 existe um binário de buracos negros supermassivos que afeta a taxa de ejeção de plasmons do disco de acresção do buraco negro primário. Foram detectadas periodicidades de aproximadamente 1,6 e 3,3 anos para o quasar OV236. Como trabalho futuro, essas periodicidades e a sua variação temporal podem ser associadas à dinâmica de acresção de matéria do seu sistema buraco negro/disco. A radiofonte 0333+321 foi acrescentada a este estudo por apresentar excelente amostragem e um desvio para o vermelho muito maior em comparação com OJ287 e OV236. Foram obtidos espectros das explosões e foram calculados os parâmetros físicos das respectivas regiões de emissão rádio, como o raio de variabilidade e a temperatura de brilhância. Palavras-chave: Quasares. Contínuo Rádio. Variabilidade. Fourier. Lomb. Wavelet..

(7) ABSTRACT In the present work we applied the Lomb periodogram and the wavelet transform to the light curves of three extragalactic radio sources observed by the Michigan radio telescope at 4.8 GHz, 8.0 GHz and 14.5 GHz. The results obtained using the two spectral analysis tools are complimentary to each other in the sense that the wavelet transform provided the perspective of the temporal behavior of the Lomb periodogram content. In order to take into account as much information as possible, we included VLBI data to the analysis of explosions detected in the radio light curves. Moreover, we searched for correlation between the zero-separation times and maxima/minima found in the periodicities curves revealed by the wavelet transform. In the case of the quasar OJ287 we found a new oscillatory behavior in the ~1.6 yr periodicity detected by Hughes et al. (1999). This modulation showed a ~6 yr period sinusoidal profile that agrees with the existence of a binary of black holes regulating the ejection rate of plasmons from the central region of OJ287. We detected approximately 1.6 yr and 3.3 yr periodicities of the quasar OV236. As a future work, these periodicities and their temporal behavior could be associated to the accretion dynamics of its black hole/disk. We added the radio source 0333+321 to the present essay because it presents excellent sampling and a much higher redshift when compared to OJ287 and OV236. We also plotted the spectra of selected outbursts and calculated the parameters of the related radio emission regions such as the variability radius and the brightness temperature.. Keywords: Quasars. Radio Continuum. Variability. Fourier. Lomb. Wavelet..

(8) Lista de Ilustrações Figura 2.1: Vista superior e corte em perfil de um disco de acresção...........................25 Figura 2.2: Espectro sincrotrônico de uma fonte homogênea.....................................26 Figura 2.3: Espectro de OV236...................................................................................27 Figura 2.4: Formação de jatos extragalácticos a partir de um disco de acresção........28 Figura 2.5: Corte longitudinal de dois momentos de uma explosão.............................31 Figura 2.6: Representação das três fases de um evento.............................................32 Figura 2.7: Curva característica de um evento............................................................32 Figura 2.8: Estreitamentos em jatos extragalácticos...................................................33 Figura 2.9: Eventos sucessivos..................................................................................33 Figura 2.10: Distribuição de brilhância em uma onda de choque.................................35 Figura 2.11: Geometria de um jato cônico relativístico................................................36 Figura 2.12: Espectro de potência da radiação sincrotrônica coerente.......................43 Figura 3.1: Representação gráfica dos coeficientes an e bn.........................................45 Figura 3.2: Fourier: raias discretas e função contínua.................................................46 Figura 3.3: Onda quadrada.........................................................................................47 Figura 3.4: Periodograma da onda quadrada..............................................................48 Figura 3.5: O Sinal 1....................................................................................................48 Figura 3.6: O Sinal 2....................................................................................................49 Figura 3.7: Transformada de Fourier dos sinais 1 e 2..................................................49 Figura 3.8: STFT dos sinais 1 e 2................................................................................53 Figura 3.9: Representação da função janela sobre o sinal a ser analisado.................55 Figura 3.10: Periodograma de Lomb-Scargle dos sinais 1 e 2.....................................58 Figura 3.11: Wavelet de Haar dos sinais 1 e 2 em 2D..................................................61.

(9) Figura 3.12: Wavelet de Haar dos sinais 1 e 2 em 3D..................................................62 Figura 3.13: Comportamento temporal do ruído branco..............................................65 Figura 3.14: Comportamento espectral do ruído branco.............................................65 Figura 3.15: Comportamento temporal do ruído vermelho..........................................66 Figura 3.16: Comportamento espectral do ruído vermelho.........................................66 Figura 3.17: Curvas de densidade de probabilidade e CDF........................................67 Figura 3.18: Periodograma de Lomb do Sinal 1..........................................................69 Figura 3.19: Transformada wavelet do Sinal 1............................................................70 Figura 4.1: Processo de determinação de periodicidades...........................................71 Figura 4.2: Representação gráfica dos sinais simples da tabela 4.1...........................72 Figura 4.3: Periodograma de Lomb dos sinais simples da figura 4.2...........................73 Figura 4.4: Sinal composto a partir dos sinais simples da figura 4.2............................73 Figura 4.5: Periodograma de Lomb do sinal composto da figura 4.4...........................74 Figura 4.6: Extração de uma linha de base de valor constante....................................75 Figura 4.7: Curvas de luz e linhas de base de OJ287..................................................79 Figura 4.8: Componentes quiescentes segundo diferentes métodos..........................80 Figura 4.9: Periodograma de Lomb do sinal original...................................................81 Figura 4.10: Periodograma de Lomb do sinal original menos média...........................81 Figura 4.11: P. Lomb do sinal original menos spline cúbica e médias corridas............82 Figura 4.12: Transformada wavelet de Haar do Sinal 1...............................................84 Figura 4.13: Transformada wavelet “Chapéu de Mexicano” do Sinal 1........................84 Figura 4.14: Transformada wavelet de Morlet do Sinal 1.............................................84 Figura 4.15: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz..............85 Figura 4.16: Curvas de significância a 50%, 95% e 99% de OJ287 em 14,5GHz........86.

(10) Figura 4.17: Formatação condicional aplicada aos coeficientes wavelet....................87 Figura 4.18: “Zoom” da figura 4.17..............................................................................87 Figura 4.19: “Zoom” da figura 4.18..............................................................................88 Figura 5.1: A antena parabólica de 26 metros de diâmetro..........................................90 Figura 5.2: Construção do edifício do Telescópio McMath..........................................91 Figura 5.3: Vista da antena de 26 metros e do centro de controle...............................91 Figura 5.4: Diagrama de blocos do observatório.........................................................92 Figura 6.1.1: Modelo do binário de buracos negros.....................................................97 Figura 6.1.2: Corte transversal do disco de acresção de OJ287..................................97 Figura 6.1.3: Curvas de luz de OJ287 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz.....................99 Figura 6.1.4: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período........101 Figura 6.1.5: Variação espectral de um evento de variabilidade rápida.....................102 Figura 6.1.6: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz..........102 Figura 6.1.7: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz...........103 Figura 6.1.8: Contornos de níveis de significância de OJ287 em 14,5 GHz...............103 Figura 6.1.9: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz............104 Figura 6.1.10: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz...........105 Figura 6.1.11: Contornos de níveis de significância de OJ287 em 8,0 GHz...............106 Figura 6.1.12: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 4,8 GHz..........106 Figura 6.1.13: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 4,8 GHz...........107 Figura 6.1.14: Contornos de níveis de significância de OJ287 em 4,8 GHz...............107 Figura 6.1.15: Curva da periodicidade de ~1,6 ano...................................................110 Figura 6.1.16: Diagrama simplificado do binário de buracos negros.........................111 Figura 6.1.17: Diagrama ilustrando o efeito de maré.................................................111.

(11) Figura 6.1.18: Curva da periodicidade de ~1,6 ano e curva 1/r2................................113 Figura 6.1.19: Curva da periodicidade de ~1,6 ano e curva de precessão de jato.....114 Figura 6.2.1: Curvas de luz de OV236 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz..................118 Figura 6.2.2: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período........120 Figura 6.2.3: Variação espectral de um evento de variabilidade rápida.....................121 Figura 6.2.4: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 14,5 GHz.........122 Figura 6.2.5: Transformada wavelet da curva de luz de OV236 em 14,5 GHz...........122 Figura 6.2.6: Contornos de níveis de significância de OV236 em 14,5 GHz..............123 Figura 6.2.7: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 8,0 GHz...........124 Figura 6.2.8: Transformada wavelet da curva de luz de OV236 em 8,0 GHz.............124 Figura 6.2.9: Contornos de níveis de significância de OV236 em 8,0 GHz................125 Figura 6.2.10: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 4,8 GHz.........125 Figura 6.2.11: Transformada wavelet da curva de luz de OV236 em 4,8 GHz...........126 Figura 6.2.12: Contornos de níveis de significância de OV236 em 4,8 GHz..............126 Figura 6.3.1: Curvas de luz de 0333+321 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz.............129 Figura 6.3.2: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período........130 Figura 6.3.3: P. de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 14,5 GHz.......................131 Figura 6.3.4: T. wavelet da curva de luz de 0333+321 em 14,5 GHz.........................132 Figura 6.3.5: Contornos de níveis de significância de 0333+321 em 14,5 GHz.........132 Figura 6.3.6: P. de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz.........................133 Figura 6.3.7: T. wavelet da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz...........................134 Figura 6.3.8: Contornos de níveis de significância de 0333+321 em 8,0 GHz...........134 Figura 6.3.9: P. de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 4,8 GHz.........................135 Figura 6.3.10: T. wavelet da curva de luz de 0333+321 em 4,8 GHz.........................135.

(12) Figura 6.3.11: Contornos de níveis de significância de 0333+321 em 4,8 GHz.........136 Figura A.1: Alguns tipos de wavelet-mãe..................................................................142.

(13) Lista de Tabelas Tabela 2.1: Luminosidade de diferentes objetos astrofísicos......................................24 Tabela 3.1: Comparação entre a DFT e a FFT............................................................52 Tabela 4.1: Valores usados na síntese de sinais simples e compostos.......................72 Tabela 4.2: Exemplo de utilização do método das médias corridas.............................78 Tabela 4.3: Exemplo de tabela-sumário da análise por P. de Lomb e T. wavelet.........88 Tabela 5.1: HPBW, largura de banda e temperatura de sistema do UMRAO..............92 Tabela 5.2: Densidades de Fluxo de Virgo A em 4,8, 8,0 e 14,5 GHz..........................94 Tabela 6.1: Apresentação das radiofontes..................................................................95 Tabela 6.1.1: Parâmetros calculados de OJ287 entre maio/1995 e jan/2003............100 Tabela 6.1.2: Parâmetros calculados de OJ287 entre dez/1984 e maio/1985...........101 Tabela 6.1.3: Sumário da análise por P. Lomb e T. wavelet para OJ287...................109 Tabela 6.2.1: Parâmetros calculados de OV236 entre dez/1988 e fev/1990.............120 Tabela 6.2.2: Parâmetros calculados de OV236 entre maio/1993 e maio/1994........121 Tabela 6.2.3: Sumário da análise por P. Lomb e T. wavelet para OV236..................127 Tabela 6.3.1: Parâmetros calculados de 0333+321 entre jun/1989 e set/1990.........130 Tabela 6.3.2: Sumário da análise por P. Lomb e T. wavelet para 0333+321.............136.

(14) Lista de Abreviaturas e Siglas GPS. Global Positioning System. VLBI. Very-Long Baseline Interferometry. CFT. Continuous Fourier Transform. DFT. Discrete Fourier Transform. FFT. Fast Fourier Transform. STFT. Short Time Fourier Transform. WT. Wavelet Transform. CDF. Cumulative Distribution Function. HPBW. Half-Power Beamwidth. UMRAO. University of Michigan Radio Astronomy Observatory. ESE. Extreme Scattering Event.

(15) Lista de Símbolos . Índice espectral (adimensional). espesso. Índice. espectral. da. parte. opticamente. espessa. do. espectro. (adimensional) S. Densidade de fluxo (Jy). S1. Densidade de fluxo (Jy) na primeira fase da explosão segundo Rees (1967). S2. Densidade de fluxo (Jy) na segunda fase da explosão segundo Rees (1967). S2,1. Densidade de fluxo (Jy) na segunda fase da explosão segundo Rees (1967) devido à contribuição da primeira fase. S2,3. Densidade de fluxo (Jy) na segunda fase da explosão segundo Rees (1967) devido à contribuição da terceira fase. S3. Densidade de fluxo (Jy) na terceira fase da explosão segundo Rees (1967). S. Densidade de fluxo (Jy) em uma dada frequência  (Hz). Sm. Densidade de fluxo máxima (Jy) na frequência de máximo m (Hz). Sobs. Densidade de fluxo (Jy) no referencial do observador. Sfonte. Densidade de fluxo (Jy) no referencial da fonte. , f. Frequência (Hz). m. Frequência de máximo (Hz). T. Frequência de transição (Hz) entre a parte opticamente espessa e a parte opticamente fina do espectro. . Fator de Lorentz (adimensional). d. Distância (m, pc). . 3,14159 (adimensional).

(16) c. Velocidade da luz no vácuo (3 . 108 m.s-1). t,. Tempo (s). B, B0. Campo magnético (gauss). B⊥. Campo magnético (gauss) perpendicular à propagação do jato. . Constante de proporcionalidade 3 . 107 W.m-2.str-1.Hz-2 segundo Rees (1967). . Fator Doppler (adimensional). ’. Fator Doppler (adimensional) das partículas que encontram-se na interface entre as regiões I (transparente) e II (região de auto-absorção) segundo Rees (1967). . Constante de proporcionalidade cujo valor é função do campo magnético e da densidade de elétrons relativísticos segundo Rees (1967). v0. Velocidade de uma partícula ou conjunto de partículas (m.s-1). . Ângulo da linha de visada (graus, radianos). . Ângulo de abertura do jato (graus, radianos). R0. Distância (m, pc) medida a partir do vértice de um cone fictício onde são injetados plasma e campo magnético segundo Marscher e Gear (1985). R. Distância (m, pc) percorrida pelo material injetado em R0 ao longo do jato segundo Marscher e Gear (1985). N(E). Função distribuição dos elétrons relativísticos (elétrons por unidade de energia). E. Energia dos elétrons relativísticos (ergs, joules, eV). Y0. Parâmetro da distribuição de energia dos elétrons relativísticos (adimensional) no ponto do jato R0 onde ocorre a injeção dos elétrons e do campo magnético segundo Marscher e Gear (1985)..

(17) Y. Parâmetro da distribuição de energia dos elétrons relativísticos (adimensional) em função da distância R ao longo do jato segundo Marscher e Gear (1985).. s. Índice de energia dos elétrons relativísticos (adimensional). Sua relação com o índice espectral  é dada por s = 1 – 2. a. Parâmetro de decaimento do campo magnético (adimensional). . Taxa de compressão da frente de choque (adimensional). t. Intervalo de tempo medido pelo observador (s). k. Constante de Boltzmann (1,3806 . 10-23 J.K-1). var. Tempo de variabilidade (s). S. Densidade de fluxo quiescente (Jy). Smax. Valor da densidade de fluxo de um máximo local (Jy). z. Desvio para o vermelho (adimensional). rvar. Limite superior que a região de emissão rádio pode atingir (m, pc). H. Constante de Hubble (73 km.s-1.Mpc-1). var. Diâmetro angular da região de emissão rádio, em milissegundos de arco (mas). T. Período (s). Tb. Temperatura de brilhância (K). mp. Massa do próton = 1,67 . 10-27 (kg). me. Massa do elétron = 9,11 . 10-31 (kg). x. Posição (m). p. Momento (kg.m.s-1). x. Desvio-padrão da medida de posição (m). p. Desvio-padrão da medida de momento (kg.m.s-1).

(18) h. Constante de Planck = 6,63 . 10-34 (m2.kg.s-1).

(19) Sumário 1. Introdução .......................................................................................................... 22. 2. Visão Geral do Fenômeno ................................................................................. 24. 3. 2.1. Radiofontes .................................................................................................. 24. 2.2. Espectro Rádio dos Quasares ..................................................................... 26. 2.3. Eventos em Radiofontes .............................................................................. 28. 2.4. Parâmetros da Região de Emissão Rádio ................................................... 40. Métodos Matemáticos ........................................................................................ 44 3.1. 4. Análise de Fourier ........................................................................................ 44. 3.1.1. Série de Fourier ..................................................................................... 45. 3.1.2. Transformada Contínua de Fourier........................................................ 46. 3.1.3. Transformada Discreta de Fourier ......................................................... 50. 3.1.4. Transformada Rápida de Fourier ........................................................... 51. 3.1.5. Transformada de Fourier de Tempo Curto ............................................ 52. 3.2. Análise por Periodograma de Lomb-Scargle................................................ 56. 3.3. Transformada Wavelet ................................................................................. 59. 3.4. Normalização do Espectro de Potência ....................................................... 63. 3.5. Níveis de Significância ................................................................................. 63. 3.5.1. Modelagem de Ruído ............................................................................ 64. 3.5.2. Distribuição Estatística do Espectro de Potência do Ruído ................... 67. 3.5.3. Teste de Significância ............................................................................ 68. Teste do Método ................................................................................................ 71 4.1. Análise de Sinais Teóricos ........................................................................... 72. 4.2. Subtração de Linhas de Base ...................................................................... 74. 4.2.1. Subtração de uma Reta de Valor Médio ................................................ 75. 4.2.2. Subtração de uma Spline Cúbica .......................................................... 76. 4.2.3. O Método das Médias Corridas ............................................................. 77.

(20) 5. 6. 4.3. Teste Aplicado a uma Radiofonte Conhecida .............................................. 78. 4.4. Observações sobre o uso do Periodograma de Lomb-Scargle e da FFT. ... 82. 4.5. Escolha do Tipo de Wavelet-Mãe ................................................................ 83. 4.6. Apresentação Gráfica da Transformada Wavelet ........................................ 85. O Radiotelescópio de Michigan .......................................................................... 90 5.1. Histórico ....................................................................................................... 90. 5.2. Funcionamento do Radiotelescópio ............................................................. 92. 5.3. Técnica de Observação ............................................................................... 93. 5.4. O Banco de Dados ....................................................................................... 94. Resultados ......................................................................................................... 95 6.1. OJ287........................................................................................................... 96. 6.2. OV236 ........................................................................................................ 117. 6.3. 0333+321 ................................................................................................... 128. 7. Conclusões ...................................................................................................... 138. 8. Trabalhos Futuros ............................................................................................ 141. Apêndice A – Alguns Tipos de Wavelet-Mãe .......................................................... 142 Apêndice B – Comandos e Rotinas do Matlab ........................................................ 143 Referências ............................................................................................................. 146.

(21) 22. 1 Introdução Os quasares estão entre os fenômenos de maior emissão contínua de energia do Universo,. apresentando. variabilidade em. todo o. espectro eletromagnético. (BEGELMAN et al. 1984). Do ponto de vista do avanço do conhecimento físico, eles constituem um fenômeno importante e desafiador. Os desvios para o vermelho apresentados por esses objetos parecem indicar que os quasares estão localizados a aproximadamente bilhões de anos-luz de distância, possibilitando ao pesquisador o vislumbre de uma pequena amostra do Universo primitivo. Além disso, muitos deles exibem propriedades incomuns, como jatos com velocidades aparentes superluminais e variabilidade rápida que parecem contrariar as teorias vigentes. No campo da Ciência Aplicada e da Engenharia, os quasares são utilizados como referenciais inerciais para o sistema de geoposicionamento global (GPS). Os gráficos de densidade de fluxo x tempo, as chamadas curvas de luz, constituem um meio valioso para caracterizar a variabilidade dos quasares. O estudo de suas componentes variáveis e perenes proporciona indícios dos fenômenos físicos que regem o seu funcionamento. Para que o comportamento temporal das curvas de luz possa ser interpretado de maneira quantitativa e produza parâmetros confiáveis, ele deve ser submetido a ferramentas matemáticas apropriadas. As técnicas de análise de sinais são ferramentas matemáticas importantes em diversos ramos das ciências experimentais e aplicadas, como a Astrofísica, a Sismologia, o projeto de circuitos elétricos, a construção civil, o reconhecimento de padrões, a compressão de dados, a prospecção de petróleo e a música, entre outros. Neste trabalho inédito foram selecionadas duas técnicas para a análise das curvas de luz de radiofontes extragalácticas: o periodograma de Lomb-Scargle e a transformada wavelet. O periodograma de Lomb-Scargle foi escolhido por permitir a análise de sinais com amostragem irregular. A transformada wavelet foi escolhida por proporcionar o conhecimento do comportamento temporal das componentes espectrais encontradas. Em outras palavras, a transformada wavelet revela como o conteúdo espectral de um sinal varia com o tempo..

(22) 23. As curvas de luz analisadas neste trabalho foram compostas por dados coletados pelo radiotelescópio de Michigan entre a década de 1970 e o início da década de 2010 nas frequências de 4,8, 8,0 e 14,5 GHz. O capítulo 2 traz um breve resumo sobre radiofontes e alguns modelos físicos criados para explicar a variabilidade espectral e temporal dos quasares; no capítulo 3 é desenvolvido o estudo detalhado das técnicas de análise de sinais; no capítulo 4 aplica-se uma série de testes ao método de análise empregado neste trabalho, onde será mostrado o procedimento para análise de dados e como o mesmo foi testado a partir de sinais de entrada conhecidos e de dados da literatura; o capítulo 5 trata do instrumento de observação utilizado na coleta dos dados deste trabalho; o capítulo 6 traz a análise de cada radiofonte, incluindo o cálculo de parâmetros das regiões de emissão rádio, como a escala de tempo de variabilidade, as dimensões da região de emissão e a temperatura de brilhância; o capítulo 7 mostra as conclusões; no capítulo 8 são listadas algumas ideias e linhas de estudo como continuação deste trabalho..

(23) 24. 2 Visão Geral do Fenômeno Conforme mencionado na introdução, os quasares estão entre os fenômenos de maior emissão contínua de energia do Universo. A tabela 2.1 os situa entre alguns objetos astrofísicos conhecidos. Tabela 2.1: Comparação da luminosidade de diferentes objetos astrofísicos.. Objeto. Luminosidade. Tempo de Vida Estimado. (erg.s-1). (anos). Sol. 1033. 1010. Via Láctea. 1043. 1010. Galáxias Seyfert. 1044. 108. Radio Galaxias. 1045. 107. Gamma Ray Bursts. 1054. 10-6. Quasares. 1049. 107. 2.1 Radiofontes O termo radiofonte usado neste trabalho refere-se às regiões de emissão rádio presentes nos quasares. Essas regiões geralmente apresentam tamanhos angulares de milissegundos de arco e alta luminosidade. Sua densidade de fluxo pode variar em períodos de meses, semanas ou mesmo dias. Para explicar a enorme luminosidade oriunda de regiões tão compactas, Rees (1984) propôs o mecanismo gravitacional de acresção1 de matéria como o modelo mais provável para a sua geração de energia. O núcleo ativo seria formado por um disco de acresção constituído por uma grande quantidade de material intergaláctico orbitando um objeto denso e compacto localizado no seu centro. Devido à A palavra “acresção” usada neste trabalho provém da palavra inglesa accretion. A tradução mais próxima para o Português seria “acréscimo”, mas preferiu-se utilizar “acresção” por ser uma palavra usada no jargão da Astrofísica e que remete automaticamente ao contexto a que ela pertence. 1.

(24) 25. conservação do momento angular, as velocidades tangenciais do disco tornariam-se maiores na direção do núcleo compacto e a viscosidade seria responsável pelo aquecimento do gás. Shapiro, Lightman e Eardley (1976) demonstraram que para o caso de um buraco negro de 10 massas solares e taxa de acresção de 7 . 1017 g.s-1 poderia-se chegar à produção de um espectro de raios-X na faixa de 8 a 500 keV. Segundo esse modelo, ilustrado na figura 2.1, os raios-X são produzidos na parte mais interna e quente do disco (região I). As regiões II e III produzem espectros de corpo negro modificados pelo efeito de espalhamento, com temperaturas da ordem de 106 K na superfície. A região IV é a mais externa e fria do disco, contribuindo com um espectro de corpo negro2 na faixa do ultravioleta.. Figura 2.1: Em cima: Corte em perfil do disco de acresção. Embaixo: Disco de acresção visto de cima. Os valores 3300, 44, 28 e 6 referem-se a unidades do raio de Schwarzschild 3. Fonte: Adaptado de SHAPIRO; LIGHTMAN; EARDLEY (1976).. As radiações de energias mais altas provenientes das regiões mais internas do disco de acresção poderiam ionizar uma nuvem de gás existente ao seu redor. Além disso,. 2. Corpo negro é o nome dado a um corpo hipotético que absorve e emite radiação em todos os comprimentos de onda. O espectro de emissão de corpo negro obedece a Lei de Planck e é função unicamente da temperatura. 3 O raio de Schwarzschild é a distância medida a partir da singularidade de um buraco negro e que delimita uma região em torno do mesmo (chamada “Horizonte de Eventos”) de onde nem mesmo ondas eletromagnéticas podem escapar devido à enorme distorção de espaço/tempo..

(25) 26. se for considerada a presença de campo magnético em regiões onde existe gás ionizado, poderia acontecer o efeito de “congelamento” das linhas de campo magnético. Esse efeito ocorre quando a densidade de energia das partículas relativísticas é maior que a densidade de energia do campo magnético B2/8π. Neste caso as partículas arrastariam consigo as linhas de campo magnético ao longo do seu percurso (REES, 1967).. 2.2 Espectro Rádio dos Quasares A figura 2.2 mostra o espectro sincrotrônico4 de uma fonte homogênea.. Figura 2.2: Espectro sincrotrônico de uma fonte homogênea. Fonte: Figura elaborada pelo autor.. Quando a frequência de observação é menor que a frequência de transição 𝜈𝑇 , a fonte aparece opticamente espessa devido à auto-absorção provocada pelo gás ionizado presente na região. O índice espectral para essa região do espectro é 2,5. Acima da frequência de transição existe a frequência de máximo 𝜈𝑚 , onde a densidade de fluxo assume o valor Sm. Na parte opticamente fina a densidade de fluxo obedece a relação. 𝑆𝜈 ∝ 𝜈 𝛼 , onde. 4.  é o índice espectral dado pela equação 2.1.. A radiação sincrotrônica consiste em energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por partículas carregadas movendo-se em velocidades relativísticas na presença de campos magnéticos. O espectro sincrotrônico descreve a densidade de fluxo ou potência emitida em função da frequência..

(26) 27. 𝑆. 𝛼=−. 𝑙𝑛𝑆1 2 𝜈. 𝑙𝑛𝜈1. (2.1). 2. O formato do espectro das radiofontes depende de dois parâmetros: a distribuição de energia dos elétrons relativísticos e a profundidade óptica (KELLERMANN; PAULINYTOTH, 1969). De uma maneira geral, radiofontes compactas contendo várias componentes sincrotrônicas com frequências de transição e intensidades diferentes produzem um espectro com formato diferente do mostrado na figura 2.2. Como exemplo, a figura 2.3 mostra o espectro do quasar OV236 entre março de 2005 a setembro de 2006 nas frequências de 4,8, 8,0, 14,5, 22 e 43 GHz.. Figura 2.3: Espectro de OV236 de 4,8 a 43 GHz. As curvas coloridas representam meses diferentes. Azul escuro: março-2005; rosa: novembro-2005; amarelo: abril-2006; azul claro: setembro-2006. Notase que a frequência de máximo se desloca para frequências mais baixas ao longo do tempo. Os dados em 22 e 43 GHz foram obtidos pelo radiotelescópio do Itapetinga (Brasil). Os demais foram obtidos pelo radiotelescópio de Michigan (Estados Unidos). Fonte: Figura elaborada pelo autor.. Observações realizadas com o uso de VLBI5 mostram que OV236 é uma fonte compacta e possui múltiplas componentes e estruturas muito complexas (SHEN et al. 1999, 2002).. 5. VLBI é a sigla para a expressão inglesa Very Long Baseline Interferometry. Sua tradução é: Interferometria de Linha de Base Muito Longa. Trata-se de uma técnica de observação onde dois instrumentos de observação (antenas, telescópios) são posicionados a grande distância um do outro e usados em conjunto para que se atinja maior resolução angular do que a resolução possível de ser obtida com um único instrumento..

(27) 28. Na figura 2.3 a frequência de transição desloca-se para frequências mais baixas ao longo do tempo. Isso está de acordo com os modelos que serão apresentados na seção 2.3. À medida que se expande, a fonte evolui de um estado opticamente espesso para um estado opticamente fino, permitindo que as radiações de frequências cada vez menores se tornem visíveis. O capítulo 6 traz maiores detalhes sobre a evolução temporal das curvas de luz e do espectro de OV236.. 2.3 Eventos em Radiofontes Instabilidades na região I da figura 2.1 seriam responsáveis por ejetar aglomerados de plasma e linhas de campo magnético, os plasmons, a grandes velocidades, fazendo com que os mesmos cheguem à região dos jatos. A figura 2.4 ilustra esse processo.. Figura 2.4: Formação de jatos extragalácticos a partir de um buraco negro circundado por um disco de acresção. Devido a instabilidades, a matéria presente nas regiões centrais do disco chega à região dos jatos, dando origem à radiação sincrotrônica. Fonte: Adaptado de FREEDMAN & KAUFMANN III, UNIVERSE.. O termo evento será definido aqui como variação (aumento) da densidade de fluxo de uma radiofonte. Conforme a figura 2.4, um evento ocorreria toda vez que um plasmon.

(28) 29. é ejetado do disco de acresção, atingindo a região do jato e se misturando ao plasma e ao campo magnético ali presentes. A seguir serão discutidos alguns modelos que tentam explicar a física envolvida na evolução temporal das curvas de luz e dos espectros de radiofontes extragalácticas. Neste trabalho as notações originais utilizadas pelos autores para denominar constantes e parâmetros físicos foram modificadas por razões de uniformidade para que os mesmos parâmetros físicos pudessem ser representados de maneira idêntica nos diferentes modelos discutidos. Para assegurar o bom entendimento, as constantes serão identificadas e definidas quando do seu primeiro aparecimento nas equações. Exceções são feitas a parâmetros e constantes que transcendem um modelo específico e são utilizados universalmente na Física, como. c (velocidade da. luz), ou π. Rees (1967) publicou um modelo para explicar os eventos em quasares a partir de explosões onde as partículas apresentam velocidades relativísticas. No seu modelo existem três fases de evolução que serão detalhadas a seguir. Na primeira fase a fonte tem dimensões pequenas, a energia armazenada no campo magnético é maior que a energia cinética das partículas, e por isso os elétrons relativísticos são orientados por esse campo. Nesta fase a absorção pelo meio (autoabsorção) é importante e a radiação percebida pelo observador provém de uma fina camada situada na superfície do esferóide em expansão. A dependência da densidade de fluxo com o tempo é dada por:. 𝑆1 ∝ 𝑡 3. (2.2). onde S1 é a densidade de fluxo na primeira fase e. t. é o tempo.. Dada uma fonte expandindo-se relativisticamente com fator de Lorentz , situada à distância d do observador, a densidade de fluxo em função da frequência é dada pela equação 2.3:. 𝑆1 =. 8 35. (1 + 6√2). −1⁄2 7⁄2 2,5 𝛾 𝜈. 𝜋𝑐 2 𝑡 3 𝐵0. 𝑑2. (2.3).

(29) 30. onde. . vale aproximadamente 3 . 107 W.m-2.str-1.Hz-2,. ν é a frequência medida em. MHz e B0 é o campo magnético medido em gauss. Nota-se que na primeira fase a densidade de fluxo cresce em função do tempo para uma dada frequência e que as componentes de frequências mais altas exibem amplitudes maiores para um dado instante. Devido ao fato da fase 2 ser uma fase intermediária, a equação que a define possui elementos comuns à fase 1 e à fase 3. A fase 3 será comentada a seguir, antes da descrição da fase 2, por esse motivo. Na terceira fase a auto-absorção é desprezível em toda a fonte e a dependência da densidade de fluxo no tempo é dada por:. 𝑆3 ∝ 𝑡 −2(2𝛼+1). (2.4). onde S3 é a densidade de fluxo na terceira fase, t é o tempo e  é o índice espectral. Na terceira fase o comportamento espectral da densidade de fluxo é dado por ν−α :. 𝑆3 ∝ 𝜈 −𝛼. (2.5). Na segunda fase a região externa da fonte torna-se opticamente fina, enquanto a autoabsorção continua sendo importante nas regiões mais internas. A radiação observada provém das regiões mais próximas à superfície do esferóide e a densidade de fluxo em um dado instante depende tanto da camada que define a primeira fase, quanto da camada contígua que se tornou transparente. A equação desta fase é dada por:. 𝑆2 ∝ 𝑡 3 + 𝑡 −2(2𝛼+1) ,. (2.6). onde S2 é a densidade de fluxo na segunda fase, t é o tempo e  é o índice espectral. Sendo uma fase intermediária, o comportamento espectral da densidade de fluxo na fase 2 possui contribuições das fases 1 (S2,1 ) e 3 (S2,3 ). A componente espectral da densidade de fluxo semelhante à fase 1 possui o termo ν2,5 :. 𝑆2,1 =  𝜋. 𝑐 2 𝑡 3 𝜈2,5 𝑑2. 𝛿′. 3⁄2. ⁄. 2. 𝐵0−1 2 (2𝛾𝛿 ′ − 1 − 𝛿 ′ ). (2.7).

(30) 31. A componente espectral da densidade de fluxo semelhante à fase 3 possui o termo. ν−α : 𝑆2,3 =  𝜋 onde. 𝑐 3 𝜈 −𝛼 𝑡 −2(2𝛼+1) 𝑑2. 𝛾(1+𝑣0 ⁄𝑐). ∫𝛿′. (2𝛾0 𝛿 − 1 − 𝛿 2 )𝛿 −(3𝛼+2) 𝑑𝛿. (2.8).  é uma constante que depende do valor de B0 e da densidade de elétrons. relativísticos e  é o fator Doppler da região em expansão cuja velocidade é v0 e que forma o ângulo θ com a linha de visada. O fator Doppler  é expresso como:. 𝛿=. 1 𝛾(1−𝑣⁄𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃). (2.9). e ’ é o fator Doppler das partículas situadas na interface entre a região opticamente espessa da primeira fase (região II) e a região opticamente fina da terceira fase (região I) conforme mostrado na figura 2.5.. Figura 2.5: Corte longitudinal de dois momentos de uma fonte em expansão relativística.  é o fator Doppler definido em função da velocidade e do ângulo de visada entre o observador e a origem da explosão. Durante a fase 2 da expansão, a radiação pode escapar livremente da região I (transparente). A auto-absorção continua importante na região II, de modo que a radiação efetiva percebida pelo observador vem somente da superfície dessa região (onde = ’). (b) corresponde a um momento posterior em relação a (a). A densidade de fluxo da região I é calculada através da integração da contribuição de elementos com diferentes valores de . O elemento diferencial de , d, é mostrado em (b). Fonte: Adaptado de REES (1967)..

(31) 32. A figura 2.6 mostra gráficos superpostos das três fases.. Figura 2.6: Representação das três fases do modelo de Rees (1967). A cada fase corresponde uma equação (vide texto). Fonte: Figura elaborada pelo autor.. A figura 2.7 mostra a curva característica de um evento a partir da combinação das três fases do modelo de Rees (1967).. Figura 2.7: Curva característica de um evento a partir do modelo de Rees (1967). O trecho azul corresponde à fase 1. O trecho laranja corresponde à fase 2. O trecho cinza corresponde à fase 3. Fonte: Figura elaborada pelo autor.. Na figura 2.7 o formato da curva representa o aumento e a queda da densidade de fluxo durante um evento. As irregularidades das linhas de campo magnético ao longo do jato seriam outra causa possível para o surgimento dos eventos. A figura 2.8 ilustra o aumento da densidade.

(32) 33. das linhas de fluxo magnético em estreitamentos presentes em diferentes regiões do jato.. Figura 2.8: Representação de um trecho de um jato extragaláctico. Os estreitamentos do jato onde ocorre o aumento da densidade de linhas de campo magnético provocam aumento na radiação sincrotrônica. Fonte: Figura elaborada pelo autor.. Para efeito dos dados observacionais utilizados neste trabalho, as radiofontes são consideradas objetos compactos formados pelo conjunto de diversas componentes sincrotrônicas independentes e onde é impossível acompanhar um único evento em toda a sua evolução. O que é observado é uma superposição de eventos isolados conforme mostrado na figura 2.9.. Figura 2.9: Representação de três eventos sucessivos. As curvas dos eventos foram modeladas segundo as equações de Rees (1967) para as três fases dos eventos. A curva superior (amarela) é a superposição dos eventos isolados. Fonte: Figura elaborada pelo autor..

(33) 34. Conforme será mostrado na seção 2.4, o tempo de crescimento e a amplitude do evento são grandezas usadas para o cálculo da temperatura de brilhância. Tempos curtos e grandes amplitudes resultam em temperaturas maiores. As ideias acima foram sendo aperfeiçoadas ao longo dos anos seguintes. O trabalho de Jones e Tobin (1977) foi muito importante para os modelos subsequentes de Marscher (1978), Marscher e Gear (1985) e de Türler (1999). Nele é mostrado que modelos de fontes esféricas expandindo adiabaticamente onde se considera a contribuição radiativa do volume total da fonte são ineficientes na produção de variações superluminais da densidade de fluxo. Isso se deve ao fato de que no centro desse tipo de fonte as velocidades de expansão são relativamente baixas. Para que houvesse altas velocidades nessas regiões, ou o meio deveria ser excessivamente tênue, ou as energias envolvidas deveriam ser extremamente altas. Jones e Tobin (1977) chegaram à conclusão de que no cenário mais plausível as altas velocidades estariam vinculadas às componentes de maiores raios, sugerindo que as conchas seriam as estruturas mais eficientes na produção de efeitos superluminais. Elas poderiam ser criadas por ondas de choque geradas por explosões ou por estreitamentos do jato conforme mostrado na figura 2.8. A descoberta dos jatos (COHEN et al. 1977) mudou o rumo dos modelos. Marscher (1978) desenvolveu um modelo muito interessante, combinando as conclusões de Jones e Tobin (1977) e os resultados acerca dos jatos mostrados por Cohen et al. (1977). Nesse modelo uma onda de choque relativística teria início a partir de uma explosão onde a energia liberada é maior que a energia de repouso do material que compõe o meio. Essa onda se propaga através de um meio confinado a um disco fino cuja densidade e campo magnético diminuem com o raio. Devido ao formato do meio, a frente de choque teria o formato de um anel. Como consequência, a emissão sincrotrônica resultante seria observada como uma explosão na densidade.

(34) 35. de fluxo e, dependendo do ângulo de visada, o observador poderia ter a impressão de ver duas componentes opostas se distanciando do centro (figura 2.10) com velocidades excedendo 2c.. Figura 2.10: Distribuição de brilhância da onda de choque observada a partir de ângulos de inclinação de (a) 0o, (b) 15o e (c) 30o. O ponto C representa uma projeção do centro da fonte e ψpeak é o ângulo de posição de um ponto de máximo de brilhância em relação à projeção do centro C da fonte. Fonte: MARSCHER (1978).. Conforme a onda de choque se propaga pelo disco de gás, a região de emissão expande e esfria. Seguindo uma ideia semelhante, Blandford e Königl (1979) interpretaram a variabilidade das radiofontes extragalácticas mais intensas a partir de um jato supersônico relativístico formando um ângulo menor que 10º com a linha de visada. Do mesmo modo que em (JONES; TOBIN, 1977) e em (MARSCHER, 1978), os elétrons relativísticos responsáveis pela radiação sincrotrônica observada seriam acelerados localmente ao longo do jato. De acordo com os seus cálculos, a energia média dos elétrons atrás da frente de choque deveria ser de pelo menos 100 MeV para produzir os efeitos observados. Eles também derivaram expressões para a amplificação Doppler da densidade de fluxo e as temperaturas de brilhância correspondentes, mostrando que mesmo temperaturas de brilhância aparentes da ordem de 1015 K, calculadas principalmente a partir de dados em baixas frequências,.

(35) 36. se enquadrariam no limite imposto pela catástrofe Compton6 no referencial da fonte quando se considera uma expansão relativística. Marscher e Gear (1985) aplicaram diferentes modelos à evolução temporal e espectral de uma explosão do quasar 3C273. Eles chegaram à conclusão que as variações observadas eram melhor explicadas através de uma onda de choque passando por um jato relativístico cônico (figura 2.11) e adiabático ao invés de uma fonte uniforme em expansão.. Figura 2.11: Esquema da geometria de um jato cônico relativístico caracterizado por um fator de Lorentz  e com ângulo de abertura de 2Φ. Por convenção, assume-se que o eixo do jato é o eixo x e que ele forma um ângulo  com a linha de visada. Os elétrons e o campo magnético são injetados na posição R0. Fonte: Traduzido de MARSCHER; GEAR (1985).. A região da figura 2.11 denominada “Gerador Central de Energia” não é discutida neste modelo e diz respeito ao mecanismo de geração dos elétrons relativísticos e do campo magnético. Conforme discutido no início desta seção, considera-se que esse mecanismo pode ter como base um disco de acresção.. 6. A catástrofe Compton é o fenômeno onde elétrons ultrarelativísticos perdem energia para um campo de fótons de baixa energia (normalmente na faixa de micro-ondas) por efeito Compton inverso, levando esses fótons para a zona de raios-X e raios gama. Neste cenário demonstra-se que quando os fótons ganham energia, eles tornam-se ainda mais suscetíveis de receber energia dos elétrons presentes no meio, conduzindo-os ao rápido esgotamento devido a um efeito em cascata. Isso acabaria com o processo sincrotrônico rapidamente e por isso a fonte não poderia ser observada por muito tempo..

(36) 37. A região da figura onde se lê pipeline7 é uma região por onde passam os elétrons relativísticos e o campo magnético antes de serem injetados no interior do cone. Considera-se que os elétrons relativísticos e o campo magnético sejam injetados em uma região situada a uma distância R0 do vértice do cone. Este vértice não coincide necessariamente com a fonte de energia central. O eixo do cone forma um ângulo  com a linha de visada. Sendo o ângulo de abertura do cone, considera-se  >> . O plasma injetado em R0 flui estavelmente com uma velocidade relativística, caracterizada por um fator de Lorentz.  constante. Assume-se que o fluxo no jato é. adiabático e que o fator Doppler  é constante. Considera-se que a distribuição de energia dos elétrons é dada pela equação. 𝑁(𝐸 ) = 𝑌𝐸 −𝑠. (2.10). onde s = 1-2 é o índice de energia dos elétrons relativísticos, e  é o índice espectral. Considera-se s = 3,4 para a componente variável e s = 2,4 para a componente perene (MARSCHER; GEAR, 1985). A componente variável é aquela relacionada a um evento, quando há uma explosão ou aumento da densidade de fluxo. A componente perene também é conhecida como quiescente. Em outras palavras, é uma componente aproximadamente constante. Y é o parâmetro da distribuição de energia dos elétrons relativísticos, variando com a distância R ao vértice do cone:. 𝑌 = 𝑌0 (𝑅0 ⁄𝑅 )2(𝑠+2)⁄3. (2.11). Onde s = 2,4 para o jato, pois assume-se que o jato é a componente perene por onde a onda de choque passa. Logo,. 𝑌 ∝ 𝑅 −2,93. (2.12). A densidade do campo magnético é dada pela equação:. 7. Pipeline é uma palavra de origem inglesa associada às linhas de montagem em processos fabris. Os elementos estão sujeitos a uma organização pré-determinada, como uma fila, e adentram o local de processamento de maneira ordenada..

(37) 38. 𝐵 ∝ 𝑅 −𝑎. (2.13). onde “a” é o parâmetro que controla o decaimento do campo magnético com a distância. De acordo com o modelo, o valor de a é 1 para a parte opticamente espessa e 2 para a parte opticamente fina. De uma maneira geral,. 𝛼𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜 = [3(2𝑠 + 3)𝑎 + 4𝑠 − 19]⁄[3(𝑠 + 2)𝑎 + 2(2𝑠 + 1)]. (2.14). Assim, uma vez conhecido o espectro quiescente ou ativo de uma radiofonte, podese usar o valor de s correspondente para encontrar o valor do parâmetro de decaimento do campo magnético. Marscher e Gear (1985) estudaram a formação de ondas de choque geradas por perturbações na pressão em algum ponto do jato conforme mostrado na figura 2.8. Os elétrons relativísticos têm a sua energia amplificada por um fator η conforme eles atravessam a frente de choque. O fator. η é a taxa de compressão expressa como a. razão entre a densidade do meio imediatamente à frente e atrás da frente de choque. Durante a evolução da onda de choque o volume emissor se expande. À medida que o evento se desenvolve, os elétrons sofrem primeiramente perdas Compton (efeito Compton inverso) e depois perdas sincrotrônicas. O último estágio é adiabático. Quando as perdas Compton são relevantes, a densidade de fluxo aumenta em todas as frequências devido à colisão entre os elétrons relativísticos e os fótons emitidos presentes no meio. Nesse estágio a frequência de máximo muda ligeiramente com o tempo. O comportamento espectral da densidade de fluxo pode ser calculado por:. 𝑆𝜈 ∝ 𝑅 [(11−𝑠)−𝑎(𝑠+1)]⁄8 𝜈 −𝑠⁄2. (2.15). A frequência de máximo é dada pela equação. 𝜈𝑚 ∝ 𝑅 −(𝑎+1)⁄4 e a densidade de fluxo máxima é dada por. (2.16).

(38) 39. 𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚 −(11−𝑎)⁄[2(𝑎+1)]. (2.17). Conforme discutido por Blandford e Rees (1974), espera-se que 𝐵⊥ ∝ 𝑅 −1 atrás da frente de choque. Reescrevendo as expressões para a frequência de máximo e a densidade de fluxo com a = 1,. 𝜈𝑚 ∝ 𝑅 −1⁄2. (2.18). e. 𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚 −5⁄2. (2.19). O estágio seguinte é dominado pelas perdas sincrotrônicas. Dependendo do valor do índice de energia dos elétrons relativísticos, a densidade de fluxo pode permanecer constante, aumentar ou decair lentamente com o tempo. O comportamento espectral da densidade de fluxo nessa fase é dada por:. 𝑆𝜈 ∝ 𝑅 −[4(𝑠−1)+3𝑎(𝑠−2)]⁄6 𝜈 −𝑠⁄2. (2.20). Fazendo a = 1 por se tratar do jato,. 𝑆𝜈 ∝ 𝑅 −1,13 𝜈 −1,2. (2.21). A frequência de máximo é dada por. 𝜈𝑚 ∝ 𝑅 −0,98. (2.22). e a densidade de fluxo máxima fica. 𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚 −0,05. (2.23). Em seguida surge o estágio adiabático. O significado de adiabático no texto se refere ao fato de que nesta fase os elétrons perdem energia por radiação nas frequências observadas devido à expansão da região de emissão e não pela dissipação de energia da onda de choque à medida que ela se propaga e interage com o meio. Neste último estágio, com a =1, tem-se:.

(39) 40. 𝑆𝜈 ∝ 𝑅 −7𝑎(𝑠−1)⁄6 𝜈 −(𝑠−1)⁄2. (2.24). 𝜈𝑚 ∝ 𝑅 −(7𝑠+8)⁄3(𝑠+4). (2.25). 10(𝑠−1)⁄(7𝑠+8). 𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚. (2.26). Esse modelo foi aplicado com sucesso a uma explosão detectada em 1983 em rádio e no infravermelho para o quasar 3C273 após a subtração de uma componente quiescente de variação desprezível na escala de tempo estudada (MARSCHER; GEAR, 1985). Em 1999, Türler, Courvoisier e Paltani publicaram um modelo que segue a mesma ideia geral do modelo de Marscher e Gear (1985). A aproximação proposta neste modelo não supõe a necessidade de subtração de um espectro quiescente. A ideia principal desse modelo é a decomposição de um conjunto de curvas de luz em uma série de explosões abrangendo um determinado período de tempo (TÜRLER et al., 1999). Duas abordagens diferentes foram aplicadas. Na primeira abordagem, a curva de luz de cada explosão foi modelada de acordo com uma função analítica arbitrária capaz de se ajustar suavemente de acordo com a frequência. Na segunda abordagem, as curvas foram modeladas seguindo o modelo sincrotrônico para um espectro de autoabsorção. Os resultados obtidos através da aplicação deste modelo foram consistentes com os obtidos por Marscher e Gear (1985). A principal vantagem do modelo de Türler et al. (1999) sobre este último é a generalização que permite considerar um jato não-cônico com regiões de estreitamento onde o aumento da velocidade poderia originar novos aumentos na densidade de fluxo.. 2.4 Parâmetros da Região de Emissão Rádio Devido ao efeito de superposição das componentes presentes na região de emissão, os eventos sempre se iniciam a partir de um valor de densidade de fluxo mínimo que pode ser diferente de zero. Isso pode ser visto na curva amarela da figura 2.9. Esse valor inicial da densidade de fluxo será chamado ∆𝑆..

(40) 41. Associa-se ao parâmetro 𝜏𝑣𝑎𝑟 o aumento da densidade de fluxo de. ∆𝑆 a ∆𝑆𝑚𝑎𝑥. observado no período ∆𝑡 .. 𝜏𝑣𝑎𝑟 ≈ (1 + 𝑧)−1 𝜏𝑣𝑎𝑟. ∆𝑆𝑚𝑎𝑥 ∆𝑆. ∆𝑡 (segundos). (2.27). é o período observado corrigido para o referencial da radiofonte por. (1 + 𝑧)−1 , onde z é o desvio para o vermelho da radiofonte. O fator ∆𝑆𝑚𝑎𝑥⁄∆𝑆 multiplicado pelo tempo próprio confere peso à flutuação da densidade de fluxo de maneira similar a uma média ponderada (WAGNER; WITZEL, 1995). Multiplicando-se 𝜏𝑣𝑎𝑟 pela velocidade da luz c, encontra-se o raio de variabilidade. 𝑟𝑣𝑎𝑟 : 𝑟𝑣𝑎𝑟 = 𝑐 𝜏𝑣𝑎𝑟 (parsecs). (2.28). O raio de variabilidade 𝑟𝑣𝑎𝑟 é uma estimativa do limite superior que o tamanho da região de emissão rádio pode atingir. Sendo. 𝑑. a distância entre o observador e a radiofonte e. 𝐻. (73 km.s-1.Mpc-1) a. constante de Hubble, o diâmetro angular da fonte é dado por:. 𝜃𝑣𝑎𝑟 =. 2𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑑. = 2𝑟𝑣𝑎𝑟 (1 + 𝑧)2. 𝐻 𝑐𝑧. (radianos). (2.29). A partir do diâmetro angular da fonte calcula-se a temperatura de brilhância:. 𝑇𝑏 =. 2𝑐 2 ∆𝑆𝑚𝑎𝑥 2 𝜋𝑘𝜈2 𝜃𝑣𝑎𝑟. (kelvin). (2.30). Onde k é a constante de Boltzmann (1,3806 . 10-23 J.K-1). A temperatura de brilhância para uma radiofonte que emite energia através do processo sincrotrônico baseia-se em uma distribuição de energia tipo lei-de-potência para os elétrons presentes na região de emissão. Medidas da densidade de fluxo e das variações angulares de uma radiofonte resultam em valores de temperatura de brilhância da ordem de 1011 a 1012 K..

(41) 42. Temperaturas de brilhância maiores que 1012 K resultariam em perdas Compton provocando o rápido “esfriamento” da região de emissão. Não obstante, diversos pesquisadores como Condon et al. (1979), Linfield et al. (1989) e Shen et al. (1999, 2002) calcularam temperaturas de brilhância superiores ao limite de 1012 K. Conforme comentado anteriormente (BLANDFORD; KÖNIGL, 1979), poderia-se atribuir as altas temperaturas calculadas a efeitos de amplificação Doppler causados pelas velocidades relativísticas das componentes associadas a pequenos ângulos de visada. A equação 2.31 mostra a relação entre a densidade de fluxo. S𝑜𝑏𝑠. no. referencial do observador e a densidade de fluxo 𝑆𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 no referencial da fonte.. S𝑜𝑏𝑠 = 𝑆𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 𝛿 3+α. (2.31). onde  é o fator Doppler e é o índice espectral. Esta seria uma interpretação onde os limites de perdas Compton não seriam excedidos no referencial da fonte. Outros tipos de explicação para temperaturas de brilhância acima de 1012 K envolvem a radiação sincrotrônica de prótons, caso em que a temperatura de brilhância calculada pode atingir o valor de até aproximadamente 78.500 vezes 8 a temperatura de brilhância calculada para elétrons. A radiação sincrotrônica coerente também proporcionaria um cenário onde a densidade de fluxo irradiada pela fonte poderia facilmente exceder o limite de temperaturas de brilhância de 10 12 K sem que, à princípio, os elétrons responsáveis pela emissão sofressem perdas por efeito Compton inverso conforme a chamada “catástrofe Compton”. No caso da radiação sincrotrônica coerente os elétrons formam pequenos grupos, chamados bunches9, que emitem em fase, de maneira semelhante a um laser, onde a potência irradiada é proporcional ao quadrado do número de elétrons (NOVOKHATSKI, 2012). A figura 2.12 mostra o espectro de potência de um bunch de 0,2 mm (linha vermelha), de um bunch de 1,8 mm (linha verde) e de um único elétron emitindo no modo incoerente.. 8. (mp/me)3/2 = 78.486,89, onde m p é a massa do próton e me é a massa do elétron (REES, 1967). Bunch, plural bunches, é uma palavra de origem inglesa que significa “agrupamento” (no caso, de elétrons). A expressão será usada no texto em seu original em inglês. 9.

(42) 43. Figura 2.12: Espectro de potência da radiação sincrotrônica emitida por um bunch de 0.2 mm (linha vermelha) e por um bunch de 1.8 mm (linha verde). A linha azul é o espectro de potência de um único elétron emitindo no modo incoerente. As abcissas variam de 10 em 10, de 0,001 a 1 milhão (terahertz). As ordenadas variam de 10 em 10, de 0,01 a 10 milhões (com referência à potência de um elétron emitindo no modo incoerente). Fonte: Adaptado de NOVOKHATSKI, 2012.. Conforme será mostrado no capítulo dos resultados, neste trabalho também foram calculadas temperaturas de brilhância acima de 1012 K. O objetivo deste trabalho não é o de ir a fundo na justificativa física dessas temperaturas, mas simplesmente apresentar os resultados dos cálculos realizados e mostrar que existem diversas situações onde isso seria possível sem criar qualquer tipo de conflito com os modelos físicos existentes..

(43) 44. 3 Métodos Matemáticos Este capítulo apresenta os métodos matemáticos utilizados neste trabalho para análise de sinais: a análise por periodograma de Lomb-Scargle e a transformada wavelet. A análise de Fourier será incluída por se tratar de um método tradicional e largamente utilizado. A sua discussão será utilizada como introdução ao assunto e como contraponto aos métodos de Lomb-Scargle e da transformada wavelet. Para a melhor compreensão do assunto, inicia-se este capítulo com conceitos básicos e procura-se mostrar o desenvolvimento dos vários métodos de maneira natural e encadeada sem se prender necessariamente à ordem cronológica. Especial atenção é dada às limitações de cada método como justificativa para o desenvolvimento dos tópicos seguintes. São mostrados exemplos de aplicação. Os gráficos e cálculos deste capítulo foram realizados com o uso do Excel e do Matlab.. 3.1 Análise de Fourier O método que leva o nome de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) baseia-se na premissa de que qualquer sinal f(t) pode ser expresso como a soma infinita de suas componentes harmônicas. Trata-se essencialmente de representar um sinal f(t) como a soma de senos e cossenos. Dependendo do tipo de sinal analisado, do instrumento de análise e dos resultados que se deseja obter, a análise de Fourier pode ser aplicada de maneiras distintas. São elas: Série de Fourier, Transformada Contínua de Fourier (CFT) 10, Transformada Discreta de Fourier (DFT)11, Transformada Rápida de Fourier (FFT)12 e Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT)13. Cada um dos métodos será explicado a seguir.. 10. Do inglês, Continuous Fourier Transform. Do inglês, Discrete Fourier Transform. 12 Do inglês, Fast Fourier Transform. 13 Do inglês, Short Time Fourier Transform. 11.

(44) 45. 3.1.1 Série de Fourier A série de Fourier permite a decomposição de um sinal PERIÓDICO f(t) de período T em uma soma de componentes harmônicas:. 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑∞ 𝑛=1 [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠. 2𝜋𝑛𝑡 𝑇. + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛. 2𝜋𝑛𝑡 𝑇. ],. (3.1). onde n é o número da harmônica e T é o período. 1. 𝑇 ⁄2. 𝑎0 = ∫−𝑇⁄2 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 2. 𝑇 ⁄2. (3.2). 𝑎𝑛 = ∫−𝑇⁄2 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝑇 2. 𝑇 ⁄2. 𝑏𝑛 = ∫−𝑇⁄2 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛 𝑇. 2𝜋𝑛𝑡 𝑇. 2𝜋𝑛𝑡 𝑇. 𝑑𝑡. (3.3). 𝑑𝑡. (3.4). a0 é uma componente de frequência zero. Em sinais elétricos ela pode ser identificada com o chamado offset. Em Astrofísica ela representa um nível quiescente. As enésimas componentes harmônicas são representadas por. an e bn.. A figura 3.1 mostra a representação gráfica das componentes harmônicas.. Figura 3.1: Representação gráfica dos coeficientes an e bn. Fonte: Figura elaborada pelo autor.. Muito embora encontre aplicações em fenômenos do mundo real, o método por decomposição em séries de Fourier encontra limitações práticas por abranger tão somente sinais periódicos definidos em um intervalo de tempo infinito. A transformada de Fourier é uma generalização que estende a abrangência do método a sinais não periódicos conforme mostrado a seguir..

(45) 46. 3.1.2 Transformada Contínua de Fourier Na figura 3.1 o espaço entre duas harmônicas é dado por  = 2/T. Quando o período T tende a infinito as raias espectrais da figura 3.1 tornam-se muito próximas a ponto de quase se fundirem umas com as outras (pois ∆𝜔 → 0). O espaço entre duas harmônicas tende a zero e o gráfico torna-se uma função contínua da frequência. A figura 3.2 ilustra esse conceito.. Figura 3.2: Passagem da Série de Fourier com raias discretas para a função contínua da variável frequência angular (𝜔𝑛 ), quando T tende a infinito e o intervalo 2𝜋⁄𝑇 tende a zero. Os formatos adotados para a amplitude das raias (à esquerda) e para a curva contínua (à direita) são arbitrários e servem unicamente para ilustrar a passagem do cenário de raias discretas para uma curva contínua. Fonte: Figura elaborada pelo autor.. Matematicamente: Substituindo a0, an e. bn. 2𝜋. 𝜋. 𝑇. ,. 1 𝑇. =. ∆𝜔 2𝜋. ∞. e. 𝑑𝜔. 𝑇 2. =. ∆𝜔. na equação 3.1, lembrando que. , e fazendo ∆𝜔. ∞. 𝜔𝑛 =. 2𝜋𝑛𝑡 𝑇. , que. ∆𝜔 =. →0 ∞. 𝑑𝜔. ∞. 𝑓(𝑡) = ∫𝜔=0 { 𝜋 ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑑𝑡 } 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + ∫𝜔=0 { 𝜋 ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡} 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡. (3.5). fazendo. 𝐴(𝜔) =. 1. ∞. 1. ∞. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡 2𝜋 −∞. (3.6). e. 𝐵(𝜔) =. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡 2𝜋 −∞. A equação 3.5 fica:. (3.7).