r
Introdução
à
Álgebr
a
Linear
P aulo Goldf eld Marco Cabr al Depar tamento de Matemática Aplicada Univ ersidade F eder al do Rio de Janeiro Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 1 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesEspaço
R
n Definição (R n) R né o conjunto das n -uplas ordenadas de números reais . (1 ,2 ) ∈ R 2 (− 1 ,2 , √ 3) ∈ R 3 (1 ,2 ,3 ,4 ) 6= (2 ,1 ,3 ,4 ) ∈ R 4 Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 2 /30 rSoma
em
R
n Definição (Soma em R n) u + v = (u 1 ,u 2 ,. .. ,u n ) + (v1 ,v 2 ,. .. ,v n ) = (u 1 + v1 , u2 + v2 , .. . , un + vn ) Propr iedades da Soma em R n com utativ .: u + v = v + u , associativ .: (u + v ) + w = u + (v + w ) ∀ u ,v ,w elemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ u in verso aditiv o: dado u , ∃ (− u ) t.q. u + (− u ) = 0 Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 3 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesMultiplicação
por
Escalar
em
R
n Definição (m ultiplicação por escalar) α u = α (u1 ,u 2 ,. .. ,u n ) = (α u1 ,α u2 ,. .. ,α un ) Propr iedades da Multiplicação por Escalar em R n (α β )u = α (β u ), ∀ α , ∀ β , ∀ u elemento neutro: 1u = u , ∀ u Propr iedades Distr ib utiv as de R n α (u + v ) = α u + α v , ∀ α ,u ,v (α + β )u = α u + β u , ∀ α ,β ,u Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 4 /30 rEx
emplo
(2 ,− 1 ,0 ,3 )− 3( 0 ,− 2 ,2 ,1 ) = (2 ,− 1 ,0 ,3 ) + (( − 3) (0 ,− 2 ,2 ,1 )) = (2 ,− 1 ,0 ,3 ) + (( − 3) 0 ,( − 3) (− 2) ,( − 3) 2 ,( − 3) 1) = (2 ,− 1 ,0 ,3 ) + (0 ,6 ,− 6 ,− 3) = (2 + 0 ,− 1 + 6 ,0 − 6 ,3 − 3) = (2 ,5 ,− 6 ,0 ) Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 5 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesRepresentações
Gráficas
3
2
(1
,
3
,
2)
1
Prof .Marco C abr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 6 /30à r
Soma
de
V
etores
u = (u1 ,u 2 ) v = (v1 ,v 2 ) w = u + v = (u 1 + v1 ,u 2 + v2 ) Reg ra do P ar alelog ramo Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 7 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesSomando
Vár
ios
V
etores
u
+
v
+
w
w
v
u
Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 8 à rMultiplicação
por
Escalar
v = (v1 ,v 2 ) w = α v = (α v1 ,α v2 ) α < 0 Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 9 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesCombinações
Lineares
Definição (combinação linear) v é combinação linear de v1 ,v 2 ,. .. ,v p se pode ser e xpresso como v = α1 v1 + α2 v2 + ·· · + αp vp = p X i= 1 αi vi , onde αi ’s são escalares . (3 ,3 ) = 3( 1 ,1 ) + 0( − 1 ,− 1) = 1( 1 ,1 )− 2( − 1 ,− 1)X
(3 ,4 ) 6= α (1 ,1 ) + β (− 1 ,− 1) = (α − β ,α − β ) ∀ α ,β×
Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 10 à rConjunto
Ger
ado
Definição (conjunto ger ado) O conjunto ger ado por v1 ,v 2 ,. .. ,v p é o conjunto de todas as combinações lineares de v1 ,v 2 ,. .. ,v p . hv1 ,v 2 ,. .. ,v p i = ( p X i= 1 αi vi αi ∈ R , i = 1 ,2 ,. .. ,p ) Definição (conjunto ger ador) { v1 ,. .. ,v p } ger a o conjunto S se hv1 ,. .. ,v p i = S . Diz-se também que { v1 ,. .. ,v p } é ger ador de S . Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 11 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesConjunto
Ger
ado
por
1
V
etor
u
2u
−
u
0
{
α
u
,
α
∈
R
}
=
h
u
i
Prof .Marco C abr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 12r
Conjunto
Ger
ado
por
2
V
etores
Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 13 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesEspaço
V
etor
ial
Definição (espaço vetor ial) O espaço ger ado por um conjunto de vetores é um espaço vetor ial. Obser vação sinônimos: espaço linear , subespaço (v etor ial/linear) 0 ∈ V pode ser um ponto , uma reta, um plano , .. . sempre “reto”, n unca “cur vo” Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 14 /30 rConjunto
Ger
ado
1 vetor 2 vetores 3 vetores caso “típico” caso “típico” caso “típico” “redundância” “redundância” Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 15 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesDependência
Linear
{ v1 ,v 2 ,. .. ,v p } “redundância”: um vetor é c.l. dos demais ,v k = p X i= 1 i6= k αi vi Neste caso ,diz-se que vk depende linear mente dos demais . Definição (dependência linear) Um conjunto de vetores é linear mente dependente (LD) se e xiste um vetor que é c.l. dos demais . Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 16 /30 rEx
emplos
Ex emplo { (1 ,0 ,0 ,0 ), (0 ,0 ,3 ,0 ), (0 ,0 ,0 ,2 )} é LI. Ex emplo { (1 ,0 ,0 ,0 ), (2 ,1 ,3 ,0 ), (5 ,2 ,6 ,0 )} é LD . De fato , (5 ,2 ,6 ,0 ) = (1 ,0 ,0 ,0 ) + 2( 2 ,1 ,3 ,0 ). Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 17 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesEquação
P
ar
amétr
ica
da
Reta
em
R
2ou
R
3 Em ger al, hv i = { u = tv , t∈ R } representa uma reta passando pela or igem. Em ger al, w + hv i = { u = w + tv , t∈ R } representa uma reta que não passa pela or igem. Equação P ar amétr ica da Reta Toda reta pode ser expressa na for ma w + tv (Esta representação não é única.) Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 18 /30à r
Equação
P
ar
amétr
ica
do
Plano
em
R
3 Em ger al, hv1 ,v 2 i = { u = tv1 + s v2 , s ,t ∈ R } representa um plano passando pela or igem. Em ger al, w + hv1 ,v 2 i = { u = w + tv1 + s v2 , s ,t ∈ R } representa um plano que não passa pela or igem. Equação P ar amétr ica do Plano Todo plano pode ser expresso na for ma w + tv1 + s v2 (Esta representação não é única.) Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 19 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesEquação
P
ar
amétr
ica
da
Reta
em
R
n Definição (reta) Em R n, define-se uma reta como um conjunto da for ma w + hv i , com v 6= 0 . Uma reta passando pela or igem é um subespaço vetor ial de dimensão 1. Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1. Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 20 à rEspaço
V
etor
ial
×
Espaço
Afim
Se { v1 ,. .. ,v p } é LI, então hv 1 ,. .. ,v p i é um espaço vetorial de dimensão p . Se { v1 ,. .. ,v p } é LI, então w + hv 1 ,. .. ,v p i é um espaço afim de dimensão p . Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 21 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesBase
e 1 = (1 ,0 ,0 ,. .. ,0 ,0 ) ∈ R n e2 = (0 ,1 ,0 ,. .. ,0 ,0 ) ∈ R n . . . = . . . en = (0 ,0 ,0 ,. .. ,0 ,1 ) ∈ R n P αi ei = (α 1 ,α 2 ,. .. ,α n ) = (v1 ,v 2 ,. .. ,v n ) = v m αi = vi ∀ i Definição (base) Um conjunto ordenado S é base de V se todo vetor de V é e xpressív el de for ma única como combinação linear dos vetores deste conjunto . Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 22 à rBase
Ex emplo 1 { e1 ,e 2 } é base de R 2. Dado (a ,b ) ∈ R 2,( a ,b ) = a (1 ,0 ) + b (0 ,1 ) = a e1 + b e2 . Ex emplo 2 S = { (1 ,0 ), (2 ,2 ), (0 ,1 )} não é base de R 2. (4 ,4 ) = 2( 2 ,2 ) = 4( 1 ,0 ) + 4( 0 ,1 ). Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 23 /30 Introdução à Álgebr a Linea r Espaço R n Definição Oper ações Espaços Ger ados BasesBase
Exemplo 3 β = { (1 ,1 ,1 ), (0 ,1 ,1 ), (0 ,0 ,1 )} = { b1 ,b 2 ,b 3 } ⊂ R 3 é base . 3 X i= 1 αi bi = α1 b1 + α2 b2 + α3 b3 = (α 1 , α1 + α2 , α1 + α2 + α3 ) = (v1 ,v 2 ,v 3 ) = v m α1 = v1 α1 + α2 = v2 α1 + α2 + α3 = v3 ⇐ ⇒ α1 = v1 α2 = v2 − α1 = v2 − v1 α3 = v3 − (α 1 + α2 ) = v3 − v2 Prof .Marco Cabr al & Prof .P aulo Go ldf eld DMA /IM /UFRJ 24r
