aulas produto escalar e vetorial

(1)

Produto Escalar

Luciana Borges Goecking

Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

(2)

Produto Escalar

Chama-se produto escalar de dois vetores − → u = x1 − → i + y1 − → j + z1 − → k e −→v = x2 − → i + y2 − → j + z2 − → k , e se representa por−→u •−→v , ao número real

− →

u •−→v = x1x2+y1y2+z1z2

O produto escalar de−→u por−→v também é indicado por <−→u ,−→v > e se lê ”−→u escalar −→v ”. Exemplos: 1) Dados os vetores−→u = 3−→i − 5−→j + 8−→k e − → v = 4−→i − 2−→j − k−→k , calcule−→u •−→v .

(3)

Produto Escalar

− →

u •−→v = x1x2+y1y2+z1z2

(4)

Produto Escalar

− →

u •−→v = x1x2+y1y2+z1z2

(5)

2) Sejam os vetores−→u = (3, 2, 1) e−→v = (−1, −4, −1). Calcular:

(a) (−→u +−→v ) • (2−→u −−→v ); (b)−→u •−→u ; (c)−→0 •−→u

3) Dados os vetores−→u = (4, α, −1) e−→v = (α, 2, 3) e os pontos A(4, −1, 2) e B(3, 2, −1) determinar o valor de α tal que −

→

(6)

Propriedades do Produto Escalar

Para quaisquer vetores−→u ,−→v e−→w e o número real α, temos: I)−→u •−→v =−→v •−→u II)−→u • (−→v +−→w ) =→−u •−→v +−→u •−→w e (−→u +−→v ) •−→w =→−u •−→w +−→v •−→w III) α(−→u •−→v ) = (α−→u ) •−→v =−→u • (α−→v ) IV)−→u •−→u > 0, se−→u 6= 0 e −→u •−→u = 0 , se − → u =−→0 = (0, 0, 0) V)−→u •−→u = k−→u k2

(7)

Exemplos:

1) Sendo k−→u k = 4, k−→v k = 2 e −→u •−→v = 3, calcular (3−→u − 2−→v ) • (−−→u + 4−→v )

2) Mostrar que k−→u +−→v k2= k−→u k2+2−→u •−→v + k−→v k2 3) Provar que (−→u +−→v ) • (−→u −→−v ) = k−→u k2_{− k}−→_{v k}2

(8)

Definição Geométrica de Produto Escalar

Se−→u e−→v são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles, então −

→

u •−→v = k−→u kk−→v k cos θ

Desta definição vemos que se θ = 90oentão−→u •−→v = 0, isto significa que dois vetores−→u e −→v são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é nulo.

Exemplos:

1) Sendo k−→u k = 2, k−→v k = 3 e 120oo ângulo entre−→u e −→v , calcular

(9)

Definição Geométrica de Produto Escalar

→

Exemplos:

(10)

Definição Geométrica de Produto Escalar

→

Exemplos:

(11)

2) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: (a)−→u = (1, −2, 3) e −→u = (4, 5, 2) ; (b)−→i e −→j

3) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, −1) e C(2, 2, −2) é um triângulo retângulo.

4) Determinar um vetor ortogonal aos vetores−→v1= (1, −1, 0) e −

→

v2= (1, 0, 1)

5) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.

(12)

Cálculo do Ângulo de dois vetores

Da igualdade − → u •−→v = k−→u kk−→v k cos θ, vem cos θ = − → u •−→v k−→u kk−→v k

fórmula a partir da qual se calcula o ângulo θ entre os vetores não nulos−→u e−→v

(13)

Exemplos.

1) Calcular o ângulo entre os vetores−→u = (1, 1, 4) e −

→

v = (−1, 2, 2).

2) Sabendo que o vetor−→v = (2, 1, −1) forma ângulo de 60o com o vetor−→AB determinado pelos pontos A(3, 1, −2) e B(4, 0, m), calcular m.

3) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, −3, 3), B(2, −1, 2) e C(1, 0, 2).

(14)

Projeção de um Vetor sobre Outro

Sejam−→u e −→v vetores não nulos e θ o ângulo entre eles. Vamos decompor o vetor−→v de modo que tenhamos

− → v =−→v1+ − → v2 sendo−→v1// − → u e −→v2⊥ − → u (Figura 2.10)

O vetor−→v1é chamado projeção ortogonal de−→v sobre−→u e

indicado por

− →

(15)

Projeção de um Vetor sobre Outro

Sejam−→u e −→v vetores não nulos e θ o ângulo entre eles. Vamos decompor o vetor−→v de modo que tenhamos

− → v =−→v1+ − → v2 sendo−→v1// − → u e −→v2⊥ − → u (Figura 2.10)

O vetor−→v1é chamado projeção ortogonal de−→v sobre−→u e indicado por

− →

(16)

Sendo−→v1//−→u , temos−→v1 = α−→u e como−→v2=−→v −−→v1=−→v é ortogonal a−→u , vem (−→v − α−→u ) •−→u = 0 ou − → v •−→u − α−→u •−→u = 0 e α = − → v •−→u − → u •−→u

(17)

Portanto, sendo−→v1 = α − →

u , podemos concluir que proj−→ u − → v = ( − → v •−→u − → u •−→u ) − → u

(18)

Exercícios

1) Determinar o vetor projeção de−→v = (2, 3, 4) sobre −

→

u = (1, −1, 0).

2) Dados os vetores−→v = (1, 3, −5) e −→u = (4, −2, 8), decompor−→v como−→v =−→v1+−→v2 sendo−→v1//−→u e −→v2 ⊥−→u .

3) Sejam os pontos A(−1, −1, 2) , B(2, 1, 1) e C(m, −5, 3).

a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?

b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

4) Qual o valor de α para que os vetores−→a = α−→i + 2−→j − 4−→k e−→b = 2−→i + (1 − 2α)−→j + 3−→k sejam ortogonais?

(19)

Exercícios

→

u = (1, −1, 0).

2) Dados os vetores−→v = (1, 3, −5) e −→u = (4, −2, 8), decompor−→v como−→v =−→v1+−→v2 sendo−→v1//−→u e −→v2 ⊥−→u .

3) Sejam os pontos A(−1, −1, 2) , B(2, 1, 1) e C(m, −5, 3).

a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?

b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

(20)

Exercícios

→

u = (1, −1, 0).

2) Dados os vetores−→v = (1, 3, −5) e −→u = (4, −2, 8), decompor−→v como−→v =−→v1+−→v2 sendo−→v1//−→u e −→v2 ⊥−→u . 3) Sejam os pontos A(−1, −1, 2) , B(2, 1, 1) e C(m, −5, 3). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

(21)

Exercícios

→

u = (1, −1, 0).

2) Dados os vetores−→v = (1, 3, −5) e −→u = (4, −2, 8), decompor−→v como−→v =−→v1+−→v2 sendo−→v1//−→u e −→v2 ⊥−→u . 3) Sejam os pontos A(−1, −1, 2) , B(2, 1, 1) e C(m, −5, 3). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. 4) Qual o valor de α para que os vetores−→a = α−→i + 2−→j − 4−→k e−→b = 2−→i + (1 − 2α)−→j + 3−→k sejam ortogonais?

(22)

Exercícios

→

u = (1, −1, 0).

2) Dados os vetores−→v = (1, 3, −5) e −→u = (4, −2, 8), decompor−→v como−→v =−→v1+−→v2 sendo−→v1//−→u e −→v2 ⊥−→u . 3) Sejam os pontos A(−1, −1, 2) , B(2, 1, 1) e C(m, −5, 3). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. 4) Qual o valor de α para que os vetores−→a = α−→i + 2−→j − 4−→k e−→b = 2−→i + (1 − 2α)−→j + 3−→k sejam ortogonais?

(23)

5) Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor−→v = (4, 1, −2)

6) Sabendo que k−→u k = 2 , k−→v k = 3 e −→u •−→v = −1, calcular (2−→v −−→u ) • (2−→v ).

(24)

5) Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor−→v = (4, 1, −2)

6) Sabendo que k−→u k = 2 , k−→v k = 3 e −→u •−→v = −1, calcular (2−→v −−→u ) • (2−→v ).

(25)

Produto Vetorial

O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar −

→

u •−→v que é um escalar.

Definição do Produto Vetorial

Chama-se produto vetorial de dois vetores − → u = x1 − → i + y1 − → j + z1 − → k e−→v = x2 − → i + y2 − → j + z2 − → k , tomados nesta ordem, e se representa por−→u ×−→v , ao vetor

− → u ×−→v = y1 z1 y2 z2 − → i + x1 z1 x2 z2 − → j + x1 y1 x2 y2 − → k

(26)

Produto Vetorial

O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar −

→

u •−→v que é um escalar.

Definição do Produto Vetorial

Chama-se produto vetorial de dois vetores − → u = x1 − → i + y1 − → j + z1 − → k e−→v = x2 − → i + y2 − → j + z2 − → k , tomados nesta ordem, e se representa por−→u ×−→v , ao vetor

− → u ×−→v = y1 z1 y2 z2 − → i + x1 z1 x2 z2 − → j + x1 y1 x2 y2 − → k

(27)

O produto vetorial de−→u por−→v também é indicado por−→u ∧−→v e lê-se ”−→u vetorial−→v ”.

A definição de produto vetorial dada acima pode ser obtida do desenvolvimento do Teorema de Laplace, ou seja:

− → u ×−→v = − → i −→j −→k x1 y1 z1 x2 y2 z2

O símbolo à direita não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.

(28)

O produto vetorial de−→u por−→v também é indicado por−→u ∧−→v e lê-se ”−→u vetorial−→v ”.

A definição de produto vetorial dada acima pode ser obtida do desenvolvimento do Teorema de Laplace, ou seja:

− → u ×−→v = − → i −→j −→k x1 y1 z1 x2 y2 z2

O símbolo à direita não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.

(29)

Exemplo. Calcular−→u ×−→v para−→u = 5−→i + 4−→j + 3−→k e −

→

(30)

Propriedades do Produto Vetorial

i)−→v ×−→u = −(−→u ×−→v ) (os vetores→−v ×−→u e−→u ×−→v são opostos).

ii)−→u ×−→v =−→0 , se, e somente se,−→v //−→u iii)−→u ×−→u =−→0

(31)

Características do Vetor

−

→

u ×

−

→

v

a) Direção de−→u ×−→v

O vetor−→u ×−→v é simultaneamente ortogonal a−→u e−→v . (Figura) Assim, temos (−→u ×−→v ) •−→u = 0 e (−→u ×−→v ) •−→v = 0

Exemplo

b) Comprimento de (−→u ×−→v )

Se θ é o ângulo entre os vetores−→u e−→v não nulos, então

(32)

Características do Vetor

−

→

u ×

−

→

v

a) Direção de−→u ×−→v

O vetor−→u ×−→v é simultaneamente ortogonal a−→u e−→v . (Figura) Assim, temos (−→u ×−→v ) •−→u = 0 e (−→u ×−→v ) •−→v = 0

Exemplo

b) Comprimento de (−→u ×−→v )

Se θ é o ângulo entre os vetores−→u e−→v não nulos, então k−→u ×−→v k = k−→u kk−→v ksenθ

(33)

c) Sentido de−→u ×−→v

O sentido de−→u ×−→v poderá ser determinado utilizando-se a "regra da mão direita".

Sendo θ o ângulo entre−→u e−→v , suponhamos que−→u sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com−→v . Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de−→u ×−→v . (Figura) Só será possível dobrar os dedos na direção de−→v para−→u se invertermos a posição da mão, quando então, o dedo polegar estará apontado para baixo.

(34)

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto

Vetorial

Observe que no paralelogramo (figura), a medida da base é k−→u k e da altura é k−→v ksenθ, a área A deste paralelogramo é

A = (base)(altura) = k−→u kk−→v ksenθ ou seja ,

(35)

Observações

i) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral (−→u ×−→v ) ×−→w 6=−→u × (−→v ×−→w ) Exemplo: (−→i ×−→j ) ×−→j =−→k ×−→j =−→i enquanto que − → i × (−→j ×−→j ) =−→i ×−→0 =−→0

ii) Para quaisquer vetores−→u ,−→v ,−→w e o escalar α, são válidas as propriedades

I)−→u × (−→v ×−→w ) = (→−u ×−→v ) + (−→u ×−→w ) e

(−→u +−→v ) ×−→w = (→−u ×−→w ) + (−→v ×−→w )

(36)

Observações

i) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral (−→u ×−→v ) ×−→w 6=−→u × (−→v ×−→w ) Exemplo: (−→i ×−→j ) ×−→j =−→k ×−→j =−→i enquanto que − → i × (−→j ×−→j ) =−→i ×−→0 =−→0

ii) Para quaisquer vetores−→u ,−→v ,−→w e o escalar α, são válidas as propriedades

I)−→u × (−→v ×−→w ) = (→−u ×−→v ) + (−→u ×−→w ) e (−→u +−→v ) ×−→w = (→−u ×−→w ) + (−→v ×−→w ) II) α(−→u ×−→v ) = (α−→u ) ×−→v =−→u × (α−→v )

(37)

III)−→u • (−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v ) •−→w Exercícios

1) Determinar o vetor−→x , tal que−→x seja ortogonal ao eixo dos y e−→u =−→x ×−→v , sendo−→u = (1, 1, −1) e−→v = (2, −1, 1).

2) Sejam os vetores−→u = (1, −1, −4) e−→v = (3, 2, −2). Determinar um vetor que seja

a) ortogonal a−→u e−→v ;

b) ortogonal a−→u e−→v e unitário;

c) ortogonal a−→u e−→v e tenha módulo 4; d)−→u e−→v e tenha cota igual a 7.

3) Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular k−→AB ×−→ACk.

(38)