1. Quais dos subconjuntos s˜ao R−subespa¸cos vetoriais? Ache uma base para os que forem.
(a) S = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0} ⊆ R3 (b) S = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0} ⊆ R3 (c) S = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y = 0} ⊆ R3 (d) S = {A ∈ M2(R) | A2 = A} ⊆ M2(R) (e) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn | a22 = 0} ⊆ Rn (f) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn | a1a2 = 0} ⊆ Rn (g) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn | a1 ∈ Q} ⊆ Rn
2. Seja V = F (R) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes de R em R. Quais dos seguintes subconjuntos de V s˜ao subespa¸cos de V ?
(a) {f ∈ V | f (x2) = f (x)2}
(b) {f ∈ V | f (0) = f (1)} (c) {f ∈ V | f ´e deriv´avel}
3. Mostre que A = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 1, 1), (−1, −1, 1)} sub-conjuntos de R3, geram o mesmo subespa¸co vetorial de R3.
4. Quais dos subconjuntos abaixo s˜ao LI em P2(R)?
(a) {1 + x, 1 − x, x2, 1}
(b) {x − x2, x2− x}
(c) {1, 1 − x, 1 − x2}
5. Seja S o subespa¸co de R5gerado por A = {1, 1, 0, 0, 1); (1, 1, 0, 1, 1); (0, 1, 1, 1, 1); (2, 1, −1, 0, 1)}.
Ache uma base para S.
6. Seja {cos(x), sen(x), sen(x + π3)} ⊆ C(R), onde C(R) = {f : R → R | f ´e fun¸c˜ao cont´ınua}. Tal conjunto ´e LI ou LD em C(R)?
7. Sejam U, W subespa¸cos vetoriais de um espa¸co vetorial V sobre um corpo K. Prove que U ∪ W ´e um subespa¸co vetorial de V se e somente se U ⊂ W ou W ⊂ U .
8. Sejam V = Mn(R), U = {A ∈ V | At = A} e W = {B ∈ V | Bt =
−B}. Prove que U e W s˜ao subespa¸cos de V e que V = U ⊕ W . A ´e denotado o conjunto das matrizes sim´etricas de V e B ´e o conjunto das matrizes anti-sim´etricas de V .
9. Sejam V = F (R), U = {f ∈ V | f (x) = f (−x), ∀x ∈ R} e W = {f ∈ V | f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R}. Prove que U e W s˜ao subespa¸cos de V e que V = U ⊕ W . U ´e denotado o conjunto das fun¸c˜oes pares de V e W ´e o conjunto das fun¸c˜oes ´ımpares de V .
10. Encontre trˆes vetores em R3 que sejam LD, mas que sejam 2 a 2 sejam
LI. 11. Sejam V = M2(R), W1 = ( x −x y z | x, y, z ∈ R ) e W2 = ( x y −x z | x, y, z ∈ R )
Ache uma base de cada um dos subespa¸cos W1, W2, W1∩ W2, W1+ W2.
12. Sejam V = M2(C), W = ( a11 a12 a21 a22 | a11+ a22 = 0 )
(a) Mostre que W ´e um R−espa¸co vetorial. (b) Ache uma base desse espa¸co vetorial.
(c) Seja W ’ = {A ∈ W | a21 = −a12}. Prove que W ’ ´e um subespa¸co
vetorial e determine uma base de W ’. 13. Seja W o subespa¸co de C3 gerado por v
1 = (1, 0, i), v2 = (1 + i, 1, −1).
Mostre que:
(a) Mostre que {v1, v2} ´e uma base de W .
(b) Se w1 = (1, 1, 0) e w2 = (1, i, 1 + i) ent˜ao w1, w2 ∈ W e {w1, w2}
´
e outra base de W .
14. Seja V = p(t) ∈ Pn(R) | p(0) = 0 = p0(0)}. Mostre que V ´e um
subespa¸co vetorial de Pn(R) e ache uma base e a dimens˜ao de V .
15. Sejam V = Mn(C) e W = {A ∈ Mn(C) | tr(A) = 0}. Prove que W ´e
um subespa¸co de V e ache uma base e a dimens˜ao de W . (Obs.: Se A = (aij ∈ Mn(C), tr(A) =
Pn
i=1aii).
16. Seja V = F (R, C) o conjunto de todas as fun¸c˜oes de R em C. Sejam f1(x) = 1, f2(x) = eix = cos(x) + isen(x), f3(x) = e−ix.
(b) Se g1(x) = 1, g2(x) = cos(x), g3(x) = sen(x), determine uma
ma-triz invers´ıvel P = (pij), 1 ≤ i, j ≤ 3 tal que gj =
P3
i=1pijfi.
17. Seja T : R3 → R definida por T (x, y, z) = x + 3y − 2z linear. Ache
uma base do Ker(T ) e de Im(T ).
18. Ache o kernel e a imagem das seguintes transforma¸c˜oes lineares: (a) T : R2 → R3, T (x, y) = (x − y, y, x + y).
(b) T : R4 → R2, T (x, y, z, t) = (x + y + 2z, −x + 2t).
(c) D : Pn(R) → Pn(R), Df = f0.
19. Existe uma transforma¸c˜ao linear T : R3 → R2 tal que T (1, −1, 1) = (1, 0) e T (1, 1, 1) = (0, 1)?
20. Ache uma aplica¸c˜ao linear T : R4 → R4tal que Ker(T ) = [(1, 0, 1, 0); (−1, 0, 0, 1)].
21. Ache uma aplica¸c˜ao linear T : R4 → R4tal que Im(T ) = [(1, −1, 0, 2); (0, 1, −1, 0)].
22. Seja T : C3 → C3 tal que: T (x, y, z) = (x − y + 2z, 2x + y, −x − 2y + 2z).
(a) Mostre que T ´e linear.
(b) Seja (a, b, c) ∈ C3. Que condi¸c˜oes temos que ter em a, b, c para que (a, b, c) ∈ Im(T )? Qual ´e o posto de T (i.e., dim Im(T )) ? (c) Qual ´e o Ker(T )?
23. Seja A ∈ Mn(K) fixada e T : Mn(K) → Mn(K) dada por T (X) =
AX − XA. Mostre que T ´e linear.
24. Seja V um K−espa¸co vetorial e T : V → V um operador linear. Prove que s˜ao equivalentes:
(a) Ker(T ) ∩ Im(T ) = {0}. (b) Se T (T v) = 0 ent˜ao T v = 0.
25. Seja V um K−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n e seja T um oper-ador linear em V tal que Im(T ) = Ker(T ). Prove que n ´e par. Dˆe um exemplo de tal operador linear.
26. Sejam T : R3 → R2
e S : R2 → R3 transforma¸c˜oes lineares. Provar que
27. Seja T : C2 → C2 dado por T (x, y) = (x, 0). Sejam B = {e
1, e2} base
canˆonica de C2, e B0
= {(1, i), (−i, 2)} outra base de C2. Determine
[T ]B,B0, [T ]B0,B, [T ]B, [T ]B0.
28. Seja T : R3 → R3 tal que [T ] can = 1 2 1 0 1 1 −1 3 4
. Ache uma base de Im(T ) e uma base de Ker(T ).
29. Seja T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (3x + z, −2x + y, −x + 2y +
4z).
(a) ache [T ]can.
(b) ache [T ]B, onde B = {(1, 0, 1); (−1, 2, 1); (2, 1, 1)}.
(c) Prove que T ´e invers´ıvel e determine T−1.
30. Sejam V um K−espa¸co vetorial e T ∈ L(V ). Suponha que existe um h ∈ K[x] tal que h(T ) = 0 e com termo constante de h n˜ao-nulo. Mostre que T ´e invers´ıvel. Qual ´e o inverso de T ?
31. Sejam A = A1 0 0 A2
, onde A1 e A2 s˜ao matrizes quadradas com
entradas em um corpo K. Mostre que o polinˆomio caracter´ıstico de A ´e o produto dos polinˆomios caracter´ısticos de A1 e A2.
32. Sejam A = A1 0 0 A2
, onde A1 e A2 s˜ao matrizes quadradas com
entradas em um corpo K. Mostre que o polinˆomio minimal de A ´e igual ao m´ınimo m´ultiplo comum entre os polinˆomios minimais de A1
e A2, (i.e, mA= mmc(mA1, mA2).
33. Verifique se as matrizes abaixo s˜ao ou n˜ao diagonaliz´aveis, se consider-adas como matrizes reais e como matrizes complexas : (Ache pA e mA
em cada caso:) (a) A = 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 (b) A = 0 0 0 −1 1 0 0 −2 0 1 0 −2 0 0 1 −2
(c) A = 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 5 34. Seja A =1 2 3 4
. Calcule An, onde n ´e um inteiro positivo qualquer.
35. Seja T ∈ L(R3) tal que [T ] can = −9 4 4 −8 3 4 −16 8 7 . Verifique que T ´e diagonaliz´avel e determine uma base do R3 formada por autovetores de
T .
36. Seja V um K−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e seja T um operador linear em V tal que posto(T ) = dimIm(T ) = 1. Mostre que T ´e diagonaliz´avel ou T ´e nilpotente. (Defini¸c˜ao: T ∈ L(V ) ´e nilpotente se existir um inteiro positivo m tal que Tm = 0.)
37. Seja A ∈ Mn(R), A = (aij) tal que aij = a, ∀i, j = 1, 2, · · · , n.
Deter-mine o polinˆomio minimal de A e prove que A ´e diagonaliz´avel.
38. Seja A = 0 7 −6 −1 4 0 0 2 −2
. Determine o polinˆomio caracter´ıstico de A7.
39. Ache uma matriz 3 × 3 cujo polinˆomio minimal ´e x2.
40. Seja T ∈ L(R4) tal que [T ] can = 1 0 0 0 a 1 0 0 b d 2 0 c e f 2 . Determine mT, o
polinˆomio minimal de T . Determine condi¸c˜oes sobre a, b, c, d, e, f para que T seja diagonaliz´avel.
41. Seja A = 2 0 1 a 0 a − 1 −a a 1 .
(a) Para quais valores de a, a matriz A ´e diagonaliz´avel?
(b) Nos casos em que A ´e diagonaliz´avel, ache uma matriz P tal que P−1AP seja diagonal.
42. Seja V = C(R) = {f : R → R | f ´e fun¸c˜ao cont´ınua}. Considere T ∈ L(V ) definido por T f (x) = R0xf (t)dt. Prove que T n˜ao admite autovetores.
43. Sejam V um K−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n e T ∈ L(V ) tal que T ´e nilpotente. Prove que o polinˆomio caracter´ıstico de T ´e xn.
44. Seja A ∈ Mn(K) fixa e T : Mn(K) → Mn(K) o operador linear definido
por T (X) = AX.
(a) Prove que mA= mT.
(b) Conclua que T ´e diagonaliz´avel se e somente se, A ´e diagonaliz´avel. 45. Sejam V um K−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T ∈ L(V ) tal que
T2 = I. T ´e diagonaliz´avel? Justifique sua resposta.
46. Sejam V um K−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T ∈ L(V ) tal que T2 = T . T ´e diagonaliz´avel? Justifique sua resposta.
47. Seja T : Mn(K) → Mn(K) o operador linear definido por T (A) = At,
onde Atindica a matriz transposta de A. Mostre que T ´e diagonaliz´avel.
(Observe que este exerc´ıcio ´e um caso particular do Ex. 45.)
48. Sejam A = 1 1 1 0 2 1 0 0 1 e B = 1 0 0 0 2 2 0 0 1
. Prove que pA = pB, mas
mA 6= mB ( portanto, A e B n˜ao s˜ao semelhantes). Dˆe exemplo de
duas matrizes A e B que tˆem o mesmo polinˆomio minimal, mas seus polinˆomios caracter´ısticos s˜ao distintos.
49. Mostre que n˜ao existe A ∈ M3(R) tal que A2+ I = 0.
50. Seja T ∈ L(R3) tal que [T ] B0 = −14 6 12 −14 4 14 −11 6 9 , onde B0 = {(−7, 13, 2); (3, −5, −1); (5, −10, −1)}. T ´e diagonaliz´avel? Em caso afirmativo, determine uma base B” de R3 tal que [T ]
B” seja
diag-onal.
51. (a) Sejam A, B ∈ Mn(K), K corpo. Mostre que tr(AB) = tr(BA).
(b) Sejam A, B ∈ Mn(K) tais que A e B s˜ao semelhantes. Verifique
52. Sejam A, B ∈ Mn(C). ´E poss´ıvel ter-se que AB − BA = I?
53. Seja A ∈ Mm×n(R). Mostre que A = 0 se e somente se, tr(AtA) = 0.
54. Sejam α1 = (1, 0, −1, 2) e (2, 3, 1, 1) ∈ R4. Considere W = [α1, α2]. Determine W0. 55. Seja B =−2 2 −1 1 ∈ M2(R) e considere W = {A ∈ M2(R) | AB = 0}.
Seja f ∈ W0 e suponha que f (I2) = 0 e f
0 0 0 1
= 3. Calcule f (B). 56. Seja W um subespa¸co pr´oprio de um espa¸co V de dimens˜ao finita.
Con-sidere f ∈ W∗. Mostre que existe g ∈ V∗tal que g(w) = f (w), ∀w ∈ W . 57. Sejam V um espa¸co vetorial e f ∈ V∗, com f 6= 0; mostre que existe
v0 ∈ V, v0 6= 0 tal que V = Ker(f ) + [v0].
58. Pelo exerc´ıcio 51b, matrizes semelhantes possuem o mesmo tra¸co. As-sim, podemos definir o tra¸co de um operador linear sobre um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, como sendo o tra¸co de qualquer matriz que represente tal operador, relativamente a uma base ordenada.
Seja A ∈ M2(K) fixada. Considere o operador T definido em M2(K)
por T (X) = AX, ∀X ∈ M2(K). Mostre que tr(T ) = 2tr(A). ´E poss´ıvel
generalizar? Como?
(Dica: Use a base canˆonica de M2(K) para escrever a matriz de T ).
59. Sejam V = Mn(C) e f ∈ V∗ tal que f (AB) = f (BA), ∀A, B ∈ V .
Mostre que f ´e um m´ultiplo da fun¸c˜ao tra¸co.
(Dica: Considere a base canˆonica de V = {Eij | 1 ≤ i, j ≤ n}. Mostre
primeiro que f (Eij) = 0, se i 6= j e depois que f (Eii) = c ∈ C, ∀i =
1, 2, · · · , n.)
60. Sejam B ∈ Mn(K) e fB : Mn(K) → K, dada por fB(A) = tr(BtA).
Mostre que fB ∈ (Mn(K))∗.
61. (a) Sejam f ∈ (Mn(K))∗. Mostre que existe uma matriz B ∈ Mn(K)
tal que f (A) = tr(BtA), ∀A (i.e. f (A) = f
B(A), ∀A).
(b) Seja T : Mn(K) → (Mn(K))∗ que a cada B associa o funcional
linear fB. Mostre que T ´e um isomorfismo.
62. Seja K corpo e f ∈ (K2)∗ dado por f (x, y) = ax + by, onde a, b ∈ K. Para cada T : K2 → K2, abaixo, considere g = Ttf. Determine g(x, y).
(a) T (x, y) = (x, 0); (b) T (x, y) = (−y, x);
(c) T (x, y) = (x − y, x + y)
63. Sejam V um K−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T ∈ L(V ). Seja c ∈ K e suponha que exista um v ∈ V, v 6 0 tal que T v = cv. Mostre que existe f ∈ V∗, f 6= 0 tal que Ttf = cf .
64. Seja V espa¸co das fun¸c˜oes polinomiais sobre R. Considere f ∈ V∗ dado por f (p(x)) =Rabp(x)dx, onde a, b ∈ R(a 6= b). Se D ´e o operador diferencia¸c˜ao de V , determine Dtf .
65. Sejam V = {a0 + a1x + · · · + anxn | ai ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}. e D o
operador diferencia¸c˜ao em V . Ache uma base de KerDt.
66. Seja V um K−espa¸co vetorial e W1, W2 subespa¸cos vetoriais de V .
(a) Mostre que (W1 + W2)0 = W10∩ W20.
(b) Mostre que se W1 ⊂ W2 ent˜ao W20 ⊂ W10.
(c) Mostre que W0
1 + W20 ⊂ (W1∩ W2)0.
(d) Suponha que dimKV < ∞. Mostre que (W1∩ W2)0 = W10+ W20.
67. Sejam v1 = (1, 0, 1); v2 = (0, 1, −2); v3 = (−1, 1, 0) em R3.
(a) Seja f ∈ (R3)∗ tal que f (v
1) = 0; f (v2) = −1; f (v3) = 3. Se
v = (x, y, z) ∈ R3, determine f (v).
(b) Descreva explicitamente f ∈ (R3)∗ tal que f (v
1) = 0; f (v2) = 0
mas f (v3) 6= 0.
(c) Nas condi¸c˜oes do ´ıtem anterior, se v = (2, 3, −1), mostre que f (v) 6= 0.
68. Seja B = {(1, 0, −1); (1, 1, 1); (2, 2, 0)} uma base de C3 sobre C. Ache
B∗ a base dual de B.
69. Seja V = P2(R), que ´e um R−espa¸co vetorial. Em V est˜ao definidos
os funcionais lineares f1(p) = R1 0 p(x)dx, R2 0 p(x)dx, f3(p) = R−1 0 p(x)dx.
Prove que {f1, f2, f3} ´e uma base de V∗.
70. Seja f : Mn(R) → R um funcional linear tal que f (AB) = f (BA),
para toda A, B ∈ Mn(R). Prove que f ´e um m´ultiplo escalar da fun¸c˜ao
71. Sejam V um K−espa¸co vetorial e f, g ∈ V∗ tais que g(v) = 0 implica f (v) = 0 para todo v ∈ V . Mostre que f = cg para algum c ∈ K. 72. Sejam V um K−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n; c1, c2, · · · , cn
escalares arbitr´arios em K e g1, g2, · · · , gn funcionais lineares de V
lin-earmente independentes. Prove que existe um ´unico v ∈ V tal que gi(v) = ci, i = 1, 2, · · · , n.
73. Seja V = Mn(K) e ∀A, B ∈ V (K = R ou C). Defina: < A, B >=
tr(AB∗).
(a) Mostre que <, > ´e um produto interno sobre V . (Obs: Dada B = (bij) ∈ Mn(C), B∗ = (b∗ij), onde bij = bji.).
(b) Mostre que < A, B >=Pn
i,j=1aijbij, onde A = (aij), B = (bji).
74. Sejam V, W espa¸cos vetoriais e <, >W um produto interno sobre W .
Seja T ∈ L(V, W ) com T injetiva. Defina: < u, v >V:=< T u, T v >W
, ∀u, v ∈ V . Mostre que <, >V ´e um produto interno sobre V .
75. Sejam V = R2 e u = (x1, x2) e v = (y1, y2) e < u, v >= x1y1− 3x1y2−
3x2y1+ 5x2y2. Verifique que <, > n˜ao define um produto interno sobre
R2.
76. Seja V um K-espa¸co vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Dados u, u0 ∈ V tais que < u, v >=< u0, v >, ∀v ∈ V , ent˜ao u = u0.
77. Seja V um K-espa¸co vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Considere W ⊂ V subespa¸co vetorial de V . Mostre que W ∩ W⊥ = (0). 78. Seja V = C([0, 1], R) = {f : [0, 1] → R | f ´e cont´ınua } e defina < f, g >=R01f (t)g(t)dt, ∀f, g ∈ V . Mostre que <, > define um produto interno sobre V .
79. Seja V um K-espa¸co vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Mostre que vale a lei do paralelogramo. ||u + v||2+ ||u − v||2 = 2||u||2+ 2||v||2.
80. Seja V um K-espa¸co vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Mostre que:
(a) Se K = R, < u, v >= 0 se e somente se ||u + v||2 = ||u||2+ ||v||2.
(c) Se K = C, < u, v >= 0 se e somente se ||au+bv||2 = ||au||2+||bv||2,
∀a, b ∈ C.
(d) Se K = R e se ||u|| = ||v|| ent˜ao u + v e u − v s˜ao ortogonais. Discuta essa afirma¸c˜ao para o caso em que K = C.
81. Considere C3com o produto interno canˆonico. Ache uma base ortonor-mal para o subespa¸co gerado por (1, 0, i) e (2, 1, 1 + i).
82. Seja V = Mn(C) com o produto interno < A, B >= tr(AB∗), ∀A, B ∈
V . Considere W o subespa¸co de V formado pelas matrizes diagonais. Determine W⊥. (Obs: Dada B = (bij) ∈ Mn(C), B∗ = (b∗ij), onde
b∗ij = bji.).
83. Seja V um K-espa¸co vetorial com produto interno <, >. Sejam A, W subespa¸cos de V tais que A ⊂ W⊥e W + A = V . Mostre que W⊥ = A. 84. Seja V = C([−1, 1], R) = {f : [−1, 1] → R | f ´e cont´ınua } com o produto interno < f, g >=R−11 f (t)g(t)dt. Seja W = {f ∈ V | f (−t) = f (t), ∀t ∈ [−1, 1]}= espa¸co das fun¸c˜oes pares de V . Ache W⊥. (Dica: Mostre que A = {f ∈ V | f (−t) = −f (t)}=espa¸co das fun¸c˜oes ´ımpares ´e tal que A ⊂ W⊥. A seguir mostre que V = A + W e conclua da´ı que A = W⊥).
85. Seja V um K-espa¸co vetorial com produto interno. Ent˜ao || < u, v > || ≤ ||u||||v||, ∀u, v ∈ V. A igualdade vale se, e somente se {u, v} ´e L.D.
86. Seja V espa¸co vetorial real de dimens˜ao ´ımpar n. Seja T : V → V um operador linear.
(a) Mostre que T possui pelo menos um autovalor real.
(b) Mostre que se det(T ) > 0 (respectivamente, det(T ) < 0) ent˜ao T possui pelo menos um autovalor positivo (respectivamente, nega-tivo).
87. Seja V um espa¸co vetorial com base {vi}i∈I. Para cada i ∈ I, seja fi
o funcional linear de V definido for fi(vi) = 1 e fi(vj) = 0 se j 6= i.
Mostre que F = {fi}i∈I ´e linearmente independente. Mostre que F
