Singularidades de curvas irredutíveis planas

pe, Assinatura

Singularidades de curvas irredutíveis planas'

Grazielie Feliciani Barbosa

Orientadora: Profa. Dra. Roberta Godoi Wik Atique

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Área: Matemática.

USP - São Carlos Fevereiro/2004

A

Comissão Julgadora:

Profa. Dra. Roberta Godoi Wik A tique

Prof. Dr. Daniel Levcovitz

Agradecimentos

Acima de tudo agradeço a Deus, pela presença constante em minha vida, e por me dar saúde e força em todos os momentos.

Agradeço a Prof. Roberta, pela orientação em todas as etapas da minha formação, pela paciência e principalmente pela amizade.

Que importância tem a família em nossas vidas, nosso refúgio e fortaleza. Agradeço aos meus pais, José Lourenço e Inês, por todo amor e carinho que me dedicam, por terem me ensinado o caminho a seguir e por acreditarem em mim. À minha irmã Giselle, agradeço pela amizade e compreensão. Agradeço à toda minha família, pelas orações que me dispensaram e por terem colaborado muito para que esta etapa fosse concluída. Amo vocês!

Ao meu namorado Mauricio, agradeço por me incentivar a seguir em frente e estar sempre ao meu lado com toda sua dedicação, carinho e amor.

Aos meus amigos de graduação(Mariana, Ronaldinho, Luci, Aline, Érica, Flávia, Fábio, Alex e Kelly), de pós-graduação(Elenice, Ana Carla, Márcio, Olivâine e Rodrigo) e aos fofinhos Carol, Luís Felipe e Pedro que colaboraram para tornar essa caminhada muito mais agradável. Agradeço por todas as alegrias, conversas, ajudas e principalmente pela amizade. Valeu!

As minhas amigas Gerusa, Daniela, Neyma, Beth e Lígia, obrigada por sempre me apoiarem e me ouvirem. Agradeço aos meus amigos: Carol, Cida, Minam, Vera, Dona Helena, seu Celso, Dona Deolinda (obrigada pelas orações), Camila, Fran, Karen e Priscila, que sempre torceram por mim. Obrigada!

A todos os professores que fizeram parte da minha vida acadêmica e sempre me incentivaram a prosseguir em meus estudos sem desistir de meus objetivos. Agradeço em especial aos professores Abramo Hefez e Marcelo Escudeiro Hernandes pela atenção que me dispensaram.

Enfim, agradeço a todos aqueles que de alguma forma colaboraram para a realização deste trabalho. _o

A bstract

Introdução

1 Séries de potências

v

1

1.1 Anéis de séries de potências 1

1.2 Métrica em anéis de séries de potências 4

1.3 O corpo das séries de Laurent 11

1.4 Lema de Hensel 12

2 O Teorema da Preparação 15

2.1 O Teorema da Divisão 15

2.2 Fatoração no anel das séries de potências 20 2.3 Teorema da base de Hilbert-Rückert 23

2.4 Eliminação 24

3 Curvas Planas 31

3.1 Curvas algebróides planas 31

3.2 O Teorema de Newton-Puiseux 33

3.3 Extensões do corpo das séries de Laurent 37 3.4 Parametrização e expoentes característicos 42

3.5 Curvas analíticas planas 46

4 Interseção de Curvas 53

4.1 O anel local de uma curva plana 53

4.2 Alguns resultados de álgebra linear 58

4.3 Índice de interseção 61

5 Resolução de singularidades 67

5.1 Transformações quadráticas em C2 67 5.2 Resolução de singularidades de curvas planas 70

5.3 Fórmula de Noether 76

6 Semigrupos de Ramos Planos 79

6.1 Semigrupos dos Naturais 79

6.2 Semigrupos de valores 81

6.4 Sequência de Apéry de um sernigrupo de valores 91

6.5 Semigrupos e blowing-ups 96

7 Semigrupos dos Naturais 99

7.1 Semigrupos com condutores _o 99

7.2 Semigrupos fortemente crescentes 104

7.3 Sequências de Apéry 106

7.4 Aplicação ao semigrupos de valores o 109

Referências Bibliográficas 115

5.1 Seqüência de blowing-ups (cúbica nodal) 68

5.2 Seqüência de blowing-ups (cúspide) 69

5.3 Seqüência de blowing-ups (cúspide de ordem 2) 69

Introdução

O objetivo desta dissertação é estudar as singularidades de curvas irredutíveis planas do ponto de vista algébrico. O estudo local de uma curva algébrica C em C2 dada por

C = {(X, Y) E C2;f(x,y) =0},

onde f(X,Y) é um polinômio em C[X,Y], na vizinhança de um ponto P = (a, b) E C, depende de P ser ponto regular ou singular da curva.

Quando o ponto P é regular, isto é, fx(P) 0 ou fy(P) 0, o Teorema da Função Implícita nos diz que numa vizinhança do ponto P podemos escrever Y como uma série de potências em X, convergente numa vizinhança de a em C (Ou X como uma série de potências em Y, convergente numa vizinhança de b em C). Assim, nesta vizinhança de P, a curva é o gráfico de uma função analítica em uma variável. Quando o ponto P é singular, ou seja, quando f(P)

₌

fx(P) = fy(P) = 0, Newton propôs uma solução para o problema explicitando Y em função de X, usando séries de potências com expoentes fracionários. O estudo de Newton era formal, sem a preocupação de verificar a convergência das séries em questão. Apesar disto, Newton forneceu um algoritmo para determinar tal desenvolvimento, chamado de polígono de Newton.

Em 1950, M.V. Puiseux estudou, do ponto de vista das funções de variável complexa, as soluções da equação f(X, Y) = 0, onde f é uma função polinomial em duas variáveis complexas, na vizinhança de um ponto. Puiseux justificou, do ponto de vista analítico, a construção de Newton das séries com expoentes fracionários.

Quando a curva é regular, segue do Teorema da Função Implícita, que ela é localmente isomorfa a Y = 0. Quando o ponto é singular, a situação é diferente. O anel C[X, Y] não é apropriado para estudar tais situações, pois o polinômio pode ser irredutível e a curva pode ser localmente redutível. No anel C[[X,

_Y11

das séries de potências formais é que vamos obter as informações algébricas a respeito da curva C. Assim, a curva C é dada por _f - 0, onde f é uma série de potências irredutível, e é chamada de curva algebróide irredutível plana. No entanto, mostramos que f é equivalente a uma série mais simples, um polinômio de Weierstrass. Também obtemos uma parametrização especial para a parametrização de Puiseux. Neste contexto, obtemos critérios algébricos para a equivalência de curvas e como determinar o índice de interseção entre duas curvas. Vamos estudar o processo de desingularização de uma curva que consiste em transformar uma curva singular em uma curva regular. Isso será feito através de blowing-ups, que são transformações quadráticas especiais em C2. Também estudamos as relações entre as curvas e seus blowing-ups, no que diz respeito ao índice de interseção e aos semigrupos de valores de curvas algebróides irredutíveis planas, um importante invariante de curvas.

No capítulo 1 apresentamos o anel R. = k[[Xi,.... X]] das séries de potências formais, onde k é um corpo, e estudamos algumas propriedades com respeito à topologia deste anel. Vimos que R. é um espaço métrico completo e que todo homomorfismo de k[[Y1,..

..

Y]] em R. é dado por uma aplicação de substituição. Também apresentamos o corpo das séries de Laurent e o Lema de Hensel.

No capítulo 2 demonstramos o Teorema de Divisão, do qual segue o Teorema da Preparação de Weierstrass. Definimos séries de potências regulares em relação a uma indeterminada, pseudo-polinômios e pseudo-polinômios de Weierstrass. Mostramos que R. é um domínio de fatoração única Noetheri-ano e definimos a resultante entre dois polinômios com coefientes em um domínio de fatoração única. Também mostramos algumas propriedades da resultante entre duas curvas e definimos o discriminante de um polinômio.

No capítulo 3 definimos curvas algebróldes planas e aplicamos os resultados do capítulo 2 para mostrar que toda curva algebróide em k[[X, Y]] é equivalente a um polinômio de Weierstrass, se k é um corpo infinito. Também demonstramos o Teorema de Newton-Puiseux, que tem como consequência o fato de que toda curva algebróide irredutível possui uma parametrização de Puiseux. Terminamos o capítulo com uma abordagem especial para o caso k = C, dando ênfase à questão da convergência das séries.

No capítulo 4 apresentamos d anel local de uma curva algebróide plana e mostramos que o anel local de duas tais curvas são isomorfos se, e somente se, as curvas são equivalentes. Também definimos o índice de interseção entre duas curvas, obtemos suas propriedades, sua unicidade e mostramos como calcular o índice de interseção através dessas propriedades. Ainda, mostramos que o índice de interseção entre duas curvas é igual à multiplicidade da resultante dessas curvas.

No capítulo 5 utilizamos blowing-ups (transformações quadráticas especiais em C2) para construir o processo de desingulariz ação de uma curva, que consiste em transformar uma curva singular em uma curva regular. Definimos a sequência de multiplicidades de uma curva através deste processo e mostramos o Teorema de Max Noether que relaciona o índice de interseção entre duas curvas planas irredutíveis e suas sequências de blowing-ups.

No capítulo 6 apresentamos o semigrupo de valores associado a uma curva algebróide irredutível plana, que é um importante invariante de tais curvas. Também relacionamos este semigrupo com a sequência de multiplicidades que obtemos quando estudamos o processo de desingulariz ação. Além disso, utilizamos os inteiros característicos de uma curva para encontrar o semigrupo de uma curva dada pela equação cartesiana.

O Teorema de Milnor diz que o número de Milnor de uma curva irredutível plana é igual ao condutor do semigrupo de valores associado a ela. Este teorema, que é o objetivo central do capítulo 7, foi provado primeiramente por J.Milnor através de ferramentas topológicas e posteriormente por J.J.Risler com ferramentas algébricas. Assim, o número de Milnor de uma curva é um invariante da relação de equivalência entre curvas assim como o condutor.

Capítulo 1

Séries de potências

1.1 Anéis de séries de potências

Seja

k

um corpo e X1,... ,Xr indeterminadas sobre

k.

Denotaremos por 7?.=

k[[X1, .... X]]

o conjunto das somas formais do tipo:

00

f =Po+Pi+P2+...,

i=O

onde cada

P

é um polinômio homogêneo de grau

i

nas indeterminadas X1,. , X. com coeficientes em

k.

Sejam f = Po + Pi

+...

e g = Qo + Qi

+...

elementos de 7?., dizemos que f = g se, e somente se, Pi = Q, Vi. Definimos em 7?. as seguintes operações:

00

f+g=

L

P+Q

i=O

[9= PjQ

j=O j=O

com estas operações 7?. é um anel comutativo com unidade, chamado de anel das séries de potências formais em r indeterminadas.

Os elementos de 7?. podem ser representados na forma

00

f = a 1 .... j,. X' .

..

X,

i=O i1±...+ri

com ai,,

i,

E k.

Proposição 1.1.1 O elemento f = P0

+ P1

+... em 7?.

é

invertível se, e somente se, P0 O.

Demonstração:

Suponhamos _f invertível e seja f' = Qo + Qi

+...

o inverso de

_f

em R. Então

Portanto,

P0Q0

= 1, e como

PO, Q0

e

k,

segue que

Po

O.

Reciprocamente, suponhamos que

_Po

_{O. Se existisse o inverso f' de f, f' = Qo + Qi}

_+...

deveria satisfazer

1=P0Q0+(P1Q0+P0Q1)+(P0Q2+P1Q1 +P2Q0)+...

e assim poderia ser determinado pelas relações:

P0Q0 =1

P1Q0 + P0Q1

= O

P2Q0+P1Q1 +P0Q2 =0

Q0 — P

-

_o

1

Qi

=

—P'(PjQo)

-> Q2 =

—P'(P2Qo + P1Q1)

PQ + P

_.-

1Q1

+.. + PoQ

= O Q. =

—P 1 (PQo + PjQ1 + + P1Q

1 )

Como

P0

O, temos que f' está bem definida em R.

o

Definição 1.1.2

Seja

f e 7?. _\ {O}.

Suponhamos que

f =

P + P +1 +...,

onde cada P3 é um

polinômio homogêneo de grau

j

e P

O.

O

polinômio homogêneo P7 é chamado de forma inicial de

f

e o inteiro ri é chamado de multiplicidade de

f

e será denotado por mult

(f). Se f = O

definimos

mult

_(f) = 00.

Segue da Proposição 1.1.1 que f é invertível se, e somente se, mult _(f) = O. A multiplicidade

satisfaz as seguintes propriedades:

Proposição 1.1.3

Sejam f,g

e

R. Temos que

(i) mult

_(f g) =

mult

_(f)

+ mult (g).

(ii) mult

_(f

± g) ~ mm {mult

(f),

mult (g)}, com igualdade ocorrendo sempre que mult

(f)

mult (g).

Demonstração:

(i) Sejam f,g e

R,

f =

P+P +1 +... eg=

Qm+Qm+i+...,.com mult-(f)

=n

e mult (g)

=m.

Temos que

onde

_PnQm

é um polinômio homogêneo não nulo de grau

n + m,

pois o anel dos polinômios é um domínio. Logo mult _(f g) =

n + m

= mult _(f) + mult (g).

Se! = O ou g =0, temos que f.g= O. Assim, mult (f.g) = oo = mult (f)+mult (g).

(ii) Suponhamos n<me sejam f=Pn+Pn+i+...eg=Qrn +Qm+i+..., com mult (f)=ne mult (g) =

m.

Temos que

1.1 Anéis de séries de potências 3

Sef=Pn +Pn+i+...eg=Qn+Qn+i+.., com mult (f)= mult (9)=n,então

f±g=(P±Q)+(P+i±Q+i)+...

Notemos que P ± Q pode ser um polinômio homogêneo de grau ri ou pode ser o polinômio nulo. Portanto, mult _{(f ±} g) > ri = mult _(f) = mult (g).

Assim, V f,g e 1?., temos que mult (f±g) > mm {mult (f),mult _(g)}.

El

Proposição 1.1.4 O anel 1?. é um domínio.

Demonstração: Sabendo que 1?. é um anel comutativo com unidade, basta mostrar que 1?. não possui divisores de zero. Sejam f,g e 1?.\ {O}. Da Proposição 1.1.3(1), segue que

mult _(f g) = mult _(f) + mult (g) <00 pois f,g O. Como mult (0) = oo, segue que f g 9É O.

El Denotaremos por M = (X1,... , Xi.) o ideal de 1?. gerado por XI , .... X. Vamos denotar por

a i—ésima potência do ideal M e por o domínio R.

Proposição 1.1.5 O ideal M é o único ideal maximal de 1?L e é tal que

n

mi =

{o}.

Demonstração;

Mostremos que se _f e 1?. \ M R então f é invertível. Como

Mr{fiXi+...+frXr:fi, .... frCR}

temos que todos os elementos de M R tem multiplicidade > 1. Logo, R\ MR = {f e 1Z: mult _f O}, que pela Proposição 1.1.1 são os elementos invertíveis de R. Assim, 1?. é um anel Jocal e M R é seu único ideal maximal.

Mostremos que

fl

_m

_i

_n

= {O}. Temos que iEN

com ii,...,i =1,...,r, i1+...+ij =i. ComoOeM,Vi, segue que

n

M. i

SefeM, VieN, então f=P+P+i-i-.... Mas feM 1; logo P=O,Vi. Segue que f=O, e portanto

fl

M= {O}.

iEN

1.2 Métrica em anéis de séries de potências

Para dar um significado à soma infinita de séries de potências, será conveniente definir uma métrica nestes conjuntos infinitos de séries. Isto é o que faremos a seguir.

Seja R = k[[Xi,.... _XVI] e seu ideal nrnximal. Seja p > 1 um número real e consideremos a seguinte aplicação

d: 7Z.xlZ U, g)

R

j

' -mult se f 96 9

O sef=g

Proposição 1.2.1 O par (7Z, d) é um espaço métrico completo.

Demonstração:

Mostremos primeiramente que d é uma métrica em R. Como p> 1 e mult _(f) > O, V _f E 7, temos que

d(f, 9) = _mult (f-_q) = 1

p mult (f _g) e d(f, g) = O se, e somente se, _f = g.

Sabemos que mult _(f - g) = mult (g - f), e portanto d(f, g) = d(g, f). A desigualdade triangular segue da seguinte desigualdade

mult _{(f—g)= mult ((f—h)—(g—h))~} min {mult (f—h),mult (g—h)}:=m e do fato de p> 1, pois

d(f,g) = _mult í- f- (9-h) = d(f,h) +d(h,g).

Para mostrar que (7Z, d) é um espaço métrico completo, seja _(ffl)EN uma sequência de Cauchy em 7, ou seja, Vn E N, existe um inteiro v(n) tal que _d(fi,fm) = _mult (f-f.) <p, _{V l,m v(n).}

Assim, mult _(fi - fm) > n e portanto fj - fm E M, V l,m > v(n).

Podemos escolher v(n) de forma que (v(n)) seja uma sequência crescente de números inteiros e assim teremos _f(n) - f(n+1) E M, V n E N.

Para cada i E N, escrevemos _f() = P,0 ± P,i +..., onde cada P,j é um polinômio homogêneo de grau j, e definimos _f = P1,0 + P21 + P3,2 +... + Pi+i, +.... Temos que

f—f1,(1)=Pl,o+P2,l+P3,2+...—Pl,o—Pl,l—Pl,2—... EM

f - = P1,0 + P2,1 + P32 +... — P2,0 - P2,1 - P2,2 - ... E pois como _f(1) - f(2) E M, temos que P1,o - P2,o = O.

Temos que

Mas, _f() - f(+,) E M, j = 1,... i-1, donde

1.2 Métrica em anéis de séries de potências 5

Assim, _f - f1, E MIZ , V i E N, o que implica que lim _{fv(n) =} f

Isto mostra que a sequência de Cauchy (f) tem uma subsequência (f()) que converge para f E 1; portanto a sequência (f) converge para f. Logo, o par (R., d) é um espaço métrico completo.

E A definição a seguir é um critério para dizer quando uma família infinita de séries de potências é somável.

Definição 1.2.2 Seja j:' _{= {f; )} E A} urna família de séries de potências em R. Dizemos que a família .7 d somável se V n E N,

#{\ E A; mult (f) <n} <00.

Proposição 1.2.3 _{Sejam {fÀ; À} E A} e {g,; ) E' A} duas famílias somáveis em R e sejam A,BER.. Então

(i) A soma é bem definida em R.. À E A

(ii) A família {AfÀ + Bg; ) E A} é somável e

E

(Af+Bg)=A E fÀ+B

À E A ÀEA ÀEA

(iii) A família {f g,; (À, j) E A x A} é somável e

(E f)( )=

I

f.g,4.

À E A JLEA (À,.LL)EAXA

Demonstração:

(i) Como a família _{f)} é somável, o coiijunto

= {À E A; mult _{(f) <n}}

é finito. Seja

h=

_{2_.}

fÀ. ÀEA Se m> n, então

Am = A U {À E A; ri <mult (f) <m}.

Logo, V > n, temos que mult (hm - h) ~ min{mult (hm), mult (h)} > ri. Assim, d(hm, h) = —mult (hmhn)

P

—

%

Vm > n.

(ii) Dado ri E N, definimos

A = {À E A: mult _{(Af ), + B9À)} <ri}.

Se A = B = O, então _{Afà + BgA} = O. Corno mult (0) = co, segue que A = 0, Vn, e, portanto,

é finito. Temos que

ri > mult (Afà + B9,\) ~ min{mult (AfÃ), mult (Bg)}. Logo

inin{mult (A) + mult _(f), mult (B) + mult (g)} <ri

e existe apenas um número finito de índices que satisfaz a desigualdade acima. Portanto, a família {AfÀ + B9À} é somvel.

Sejam An = {À e A; mult _(f) <ri} e A {À E A; mult (g) < ri}. Definimos

(Af+Bg) À E A

e

Temos que iI - Logo

=A

>:

f+B

>:

AEAn ÀEA

E M 1, pois mult (t' - Ç5n)> fl, V ri E N.

f(l'fl Ç5fl) =0.

Portanto

um On - um ç = A E f + B -

>:

(Af + Bg) = O.

n—+oo n—+oo

O que implica

A>: fÀ+B>:g =

>:

(Af±Bg).

ÀA ÀA ÀEA

(iii) Definimos

A' = {(Àji) E A x A; mult (fg) <ri}.

Mas

mult (fÀ gp) = mult (fÀ) + mult (gp),

e existe um número finito de índices (,\,,u) e A x A tais que mult (fà g11) ri, pois as famílias

{fx} e {gp} são somáveis. Logo a família {f g; (Àj) E Ax A} é somável.

Definimos

fi

(À, _p) E A

=(> fÀ)(>: g)

)EA /IEA

Temos que - E M 1; pois mult (ç - ) > ri, V n E N.

1.2 Métrica em anéis de séries de potências 7 Logo

Portanto

0= umum _{=(> fÀ)(2 g1)—}

n—. n—.00

ÀEA li E (Àjz)AxA O que implica o resultado.

11 Seja {P; i E N} uma família de polinômios homogêneos, com P E k [Yi,.... Y8] de grau i e sejam

gi, ... ,g3 EM7.

Consideremos a família .7: = {P(gi, ..._{. gs); i E} N} e os conjuntos Ai = {n E N; mult (P(gi , .... gs)) < i}.

Se mult (P(y1,.. . ,g)) < i então n < i, pois o fato de que gi, .... g3 E MR implica que

mult ((gi, .. ,9s)) j, Vj E N. Assim, existe um número finito de números naturais n para os quais mult (P (y1, •. ,g)) <i. Portanto, .7: é somável.

Denotando por _{f =} P(Y1, .. . Y) E k [[Y1, .. . Y.]], então denotaremos a soma da família .7:

iEN

por _f(qi, . . ,g) e será chamada de substituição de Y1,... ,Y3 por gi,... _{,9s em f.} Corolário 1.2.4 Dados gi,... , gs E M, f,h E k[[Y1, .... YU e a E k, então

(i) (f+ ah) (gi, .... g5)=f(gi,...,g5)+ah(g1, .... g8). (ii) (fh)(y1,...,g8) =f(gi,...,gs) .h(91,...,98). (iii) A aplicação de substituição"

8

_{99s k[[Y1, .}... Y8 ]] _+ 7?. = k[[Xi,.... f

é 'um homomorfismo de k—álgebras.

Demonstração:

Sejam =z P(Y1,...,Y8)eh== Q(Y1, .... Y3), onde Pi, Q são polinômios homogêneos de

iN iEN

grau i. Temos que .7: = . ,g8 ); i E N} e N = {Q(g1, .... g8); i E N} são famílias somáveis,

assim pela Proposição 1.2.3(u) e (iii) seguem as propriedades (i) e (ii) deste corolário. A propriedade (iii) segue das propriedades (i) e (ii).

Proposição 1.2.5 Seja T: $ —* 7?. um homomorfismo de k—a'lgebras. Então

(i) T(M8) C M7 .. ('ii) T é contínua.

(iii) Existem g, .... g8 E M R tais que T=$g1

Demonstração:

(i) Seja

f E MS

e suponhamos que T(f) M. Então podemos escrever T(f) = c + g, onde

c E k

\

{O} e g E M.. Como T é um homomorfismo de k— álgebras, segue que

T(f — c) = T(f) — cT(1) = T(f) — c = c + g — c = g.

Mas

f

— c é invertível em $ enquanto que g E M7Z não é invertível em 7?., o que é uma

contradição, pois T é homomorfismo e portanto leva unidades de $ em unidades de R.

(ii) Segue de (1) que T(M)

c

M. Assim, mult

(f

— g) mult (T(f) — T(g)), V f,g E 5, o que

implica

_mult (T(f)—T(g)) < _mult (f — g)

Dado

f

E $ e € > O, tome 6 < €. Se g E Sé tal que d(f,g) <6.então d(T(f),T(g)) :5 d(f,g) < 6 < €. Portanto T é contínua.

(iii) Sejag =T(}), V = 1, .... s. De (i) temos que gj E.M.,Vj =

Seja

f

= ' P E S. Como T é homomorfismo, temos que iEN

P(g1,.. .,g8).

j=1 i=1 i=1

n n

Mas lim> P =

f

e 1im P(g1,... ,g8) = f(gi,... ,g3). Como T é contínua, segue que

Logo, T= _93•

Então, dado um homomorfismo T: $ —* 7?., existem _{gi, . .} ,g8 E M7Z tais que T _{= 9i}

Vejamos agora quais as condições para que T seja um k—isomorfismo.

SefE$egi, .... g8 EMi então

mult

($ ...

= mult (f(gi, .., g3 )) ~ mult

(f)

min{mult (g)} mult

(f).

Se T é um k—isomorfismo então

1.2 Métrica em anéis de séries de potências 9

Portanto, mult (T(f)) = mult _(f). Logo, todo L--isomorfismo de S em R deve preservar multiplici-

dades.

Como T(Y) = gi, V i = 1,.... s, segue que

mult (gi) =mult (Y) = 1, Vi =

Sejam L1,.. . ,L8 as respectivas formas iniciais de g, .. . ,g5 que são polinômios homogêneos de grau 1 em X1,.... Xr. Suponhamos que exista urna relação de dependência linear não trivial em k

a1 L1 +...+a8 L3 =O.

Assim, tomando f = a1Y1 +— .. + aY5, teríamos

mult (Sg1 _.... g8 (f)) > 1 = mult _(f), o que implicaria que Sg1 g3 não é um k—isomorfismo.

Conseqüentemente uma condição necessária para que Sg1 _g3 seja um k—isomorfismo de S em 7?. é que as formas iniciais de g ...g8 sejam linearmente independentes sobre k. Isto mostra, em particular, que s < r, e usando o mesmo argumento para T' temos que r < s. Obtemos, assim que

r = S.

Para mostrar que as condições acima são também suficientes vamos precisar do seguinte lema.

Lema 1.2.6 Um subanel A de R. é denso em R. se, e somente se, para todo y5olMômnio homogêneo P E k[Xi, . ,X r ] existe um elemento em A cuja forma inicial é P.

Demonstração:

Suponhamos que A é denso em 7?. e seja P um polinômio homogêneo de grau d em k[X1,... , Xr. Seja ri E N n > d. Como A é denso em IZ o polinômio P é o limite de uma sequência de elementos de A e portanto existe _f E A tal que mult _(f _ P) ~: n. Como n> d, segue que P é a forma inicial de f.

Reciprocamente, suponhamos que para todo polinômio homogêneo P E k[K17 ... , X] existe um elemento em A cuja forma inicial é P. Seja f E R. Vamos construir uma sequência infinita _(f) de elementos de A tal que 1imf = f. Procederemos por indução. Seja fo = O. Suponhamos que foram

construídos elementos fo, _f,.. . , f7 de A tais que

mult (f—f)>i, i=O, .... n-1.

Se mult _(f - f) > n, colocamos fn =

Suponhamos mult _(f - f7_) = n - 1. Se G_i é a forma inicial de f - fi, então existe um elemento h_1 de A cuja forma inicial é G_1. Definindo fn = fi + h_1, temos que fn E A e

mult _(f - f) = mult (f - f7_ - h7 _1) ~: ri, pois a forma inicial de f - é igual à forma inicial de h_1. Dessa forma construímos uma sequência de elementos de A tais que lim. fi = f. Logo A é

denso em R.

o

Se L1,.. , L. são formas lineares em 1?. linearmente independentes sobre k, então T = SL1 ,..., um k—isomorfismo de S em 1?. quando r = s. De fato, se

Li = a,1Xj +— . . + ai,rXrj i = 1,... e se A = (a,1) então T 1 = S1,11 onde

= b,1X1 +— +bi,r Xr, i = 1,... ,r, e (b,) é a matriz inversa de A.

Proposição 1.2.7 Suponhamos r = s e sejam g, _g 1?. com formas iniciais L1,... ,Lr lineares e linearmente independentes sobre k. Então S919r é um k—isomorfismo de S em R.

Demonstração:

Mostremos que S91 é injetora. Observemos que se O

_{0 f}

= P + .P +i +... onde cada .P é polinômio homogêneo de grau i e .P O, então o termo inicial de _{Sgj,...,gr(f) é} S1 Lr(Pn) , pois

O

0

P., = Lr ( S'Ll. .... Lr (P)) Segue que

mult _{(Sgj,..., gr (f)) =} mult (SL1 Lr (Pn)) = mult (P) = mult (f)

0

00. Logo, S91,. é injetora.

Mostremos agora que 4 9r sobrejetora. Para isto, é suficiente mostrar que sua imagem A = k[[91,.... g.]] é fechada e densa em R. Seja P E k[Y1,.... Yr

I

um polinômio homogêneo qualquer. Consideremos

Q=S _LrCE

Logo, P = SL1....Lr (Q) é a forma inicial de 4 ..gr(Q) E A. Pelo Lema 1.2.6, segue que A é denso em R.

Mostremos que A é fechado em R. Seja h E R tal que h=lirnfj(gi, .... gr),

i 00

onde fi E R. Devemos mostrar que h E A.

Como S91 é um homomorfismo e mult (S91 . _{.(f)) =} mult _(f), temos que mult(f j —fj)=mult(Sgi,..., gr (fi)—Sgi, .... gr (fj)). Logo, é uma sequência de Cauchy em 7, e portanto existe f E R tal que

f=lirnf. Como S91,. é contínua segue que

h= _{•lim f(91, ..., g-)} = _gr li _{f) = (f)} e A.

1.3 O corpo das séries de Laurent 11

1.3 O corpo das séries de Laurent

Seja k((X)) o corpo de frações do anel das séries de potências formais em uma variável k[[Xfl. Dado h = f/g E k((X))

\

{O}, como podemos escrever f = Xu e g = Xmv, onde n,m E N e u,v são unidades em k[[X}, temos que

h =

Xu _{= Xn—m uv_ = Xrw,} Xmv

onde r E Z e w é uma unidade em k{{XU.

Isto mostra que todo elemento h de k((X)) é da forma

a_1 X 1 + a_l+lX_l+l +— + a_1X 1 + ao + a1X +...,

onde 1 E N e ai E k, V i. Os elementos de k((X)) são chamados de séries de potências formais de Laurent.

Dado h E k((X)), escrito como acima, definimos a parte polar de h como sendo

p(h) = aX 1 + a_l+l X t+l +— + a_1 X'

Temos que h— p(h) E k[[X]]. Escrevendo um elemento h E k((X))\{O} como X'w, onde r E Z e w é uma unidade em k[[X}, dizemos que r é a multiplicidade de h e denotamos por mult (h) = r.

Também definimos mult (0) = 00.

Analogamente a _k[[XU, definimos a distância entre h, k E k((X)) como sendo

d(hk)=

o

—mult (h-k) _{se h k}

se h= k

onde p> 1 é um número real. Observemos que d(h, k) :5 1 se, e somente se, p(h) = p(k). De fato, se p(h) = p(k) então h - k E k[[X}] e mult (h - k) > O. Logo

d(h, k) = p—mult (h-k) = 1 pmult (h-k)

pois p> 1 e mult (h - k) > O.

Reciprocamente, se d(h, k) > 1 então p mu1t (h-/C) > 1. Logo, mult (h - k) ~ O e, portanto,

p(h) = p(k).

Também podemos mostrar que o par (k((X)), d) é um espaço métrico completo, como visto na Proposição 1.2.1.

Seja 1F = {hÀ; À E A} uma família de elementos em k((X)), definimos

= {h - p(hÀ); ) E A} E k{[X]I.

Vamos dizer que F é somável em k((X)) se .F+ é somável em k[[X]] e p(hÀ) = O, exceto possivelmente

Proposição 1.3.1 Se T é um k—automorfismo de k((X)), então T(X)= Xu(X), onde u E _k[[X]1, com u(0) O.

Demonstração:

Seja T(X) = Xru(X), _{onde r E Z e u é uma unidade em k[[X]1. Como T é um homomorfismo,} temos que

T(X +X2+...)=T(X)+T(X2)+... =XTu(X)+X2Tu(X)2+...

Se r < O temos que T(X +X 2 +...) não pertence a k((X)). Absurdo, pois T é um.endomorfismo. Logo, r > O. Assim, T(X) = XTu(X), onde r > O e u é uma unidade em _k[[X]1.

Como T é um k—automorfismo, existe um k—automorfismo T', definido por T-1 (X) = Xsv(X), onde .s > O e v é uma unidade em k[[X]], tal que

X

=

T(T1(X))

=

T(Xsv(X))

=

(X3v(X))Tu(X3v(X)) =

xsrv(x)'u(xsv(x))

=

Xsrw

(X), onde w é uma unidade em k[[X]]. Logo, w(X) = 1 e X' = X. Portanto, .s = r = 1.

Logo, T(X) = Xu(X), onde _{u E k[[X]1,} com u(0) O.

o

1.4 Lema de Hensel

Nesta seção vamos estabelecer um importante critério de redutibilidade em k[[X]1 [Y], onde k é um corpo qualquer e X e Y são indeterminadas. Definimos o grau do polinômio nulo como sendo —co. Lema 1.4.1 Sejam p e q polinômios não constantes, relativamente primos em k [Y], de graus respec-tivamente r e s. Dado um polinômio F E k [Y], tal que 0(F) <r+s, existem polinômios unicamente determinados g, h E k [Y], com

0

< s e Oh <r, tais que

F =gp+hq.

Demonstração:

Como p e q são relativamente primos e. não constantes em k [Y], segue que mdc(p, q) = 1, e portanto, existem polinômios W,

'' E

k [Y] tais que

1 =çop+'bq. Assim,

F =Fp+F'i/iq. Do algoritmo da divisão segue que

F'b =pp+h, (1.2)

com p,h E k[Y] e5h<Op=r.

Substituindo (1.2) em (1.1), temos que

1.4 Lema de Hensel 13

onde g = Fço + pq. Assim, gp = F - hq e

ag+ap -= Dgp = 3(F— hq) <r+ s.

Portanto, 3g < s.

Mostremos agora a unicidade dos polinômios g e h. Suponhamos que existarh g', h' E k [Y] tais que

gp+hq =g'p+h'q,

com 3h, 3h' <r e 3g, 3g' < s. Logo,

(g—g')p=(h--h')q.

Como p e q são relativamente primos, então p divide h - h'. Como 3p = r > 3(h - h'), segue que

h - h' = O, o que por sua vez, implica que g - g' = O, pois p O. Logo, g e h são unicamente determinados.

o

Teorema 1.4.2 (Lema de Hensel) Seja f um polinômio mônico em k[[X]][Y] tal que f(O, Y) = p(Y)q(Y), onde p(Y) e q(Y) são relativamente primos e não constantes em k [Y] de graus r e s, respectivamente. Então existem polinômios g, h E k[[X]] [Y], unicamente determinados, de graus. (em

Y) respectivamente r e s, tais que f = gh, com g(O, Y) = p(Y) e h(O, Y) = q(Y).

Demonstração: Se _{n = 8yf,} então

ri = 3 (f (0, Y)) = 3 (p(Y)q(Y)) = r + s

pois _f é mônico. Escreva

f

=

f0(Y)+Xf1(Y)+X 2 f2(Y)+...,

onde f0(Y) = f(O, Y) tem grau n e cada f(Y), i> 1, se não nulo, é um polinômio em k [Y] de grau menor que n.

Queremos encontrar

g(X, Y) = p(Y) + Xg1(Y) + X 2_{92(Y) +•...} e

h(X, Y) = q(Y) + Xhi(Y) + X 2h2(Y) +

onde os gs, se não nulos, são polinômios em k [Y] de grau menor que r e os hs, se não nulos, são polinômios em k [Y] de grau menor que s, e são tais que f = gh. Logo,

f(Y) = _{p(Y)h(Y) + g1(Y)h_1(Y) + 92(Y)h_2(Y) +... + g_i(Y)hi(Y) + g(Y)q(Y).} No que segue, usaremos o lema anterior para obter os _gí s e h s de maneira recursiva. Aplicando o Lema 1.4.1 para f, (Y) temos que existem g1, h1 E k[Y], com a(91) < r,a(hi) < s, tais que

Aplicando o Lema 1.4.1 para

f2(Y)

-

gi (Y)hi (Y)

_{encontramos 92 e}

h2.

Suponhamos construídos g,

e

hj

de graus respectivamente menores que

r

e

s,

Vj

i

- 1. Aplicando o Lema 1.4.1 a

f(Y)

-

g1(Y)h_1(Y)

_-

92(Y)h_2(Y)

--

. -

encontramos g e

hí

de graus respectivamente menores que

r

e

s,

se não nulos.

o

Como a demonstração do Lema de Hensel é construtiva, é possível determinar as séries g e

h

de

forma recursiva.

Corolário 1.4.3

Seja k um corpo algebricamente fechado e u

=

u(X) uma unidade em k[{X11. Se n é um inteiro positivo que não é múltiplo da característica de k, então existe um elemento invertível v em k[[X11, tal que u

=

v.

Demonstração:

Como

u

é invertível, segue que u(0)

e

k \ {O}. Definindo f(X,Y)

=

-

u(X) E _k[[X]][Y]

temos que

f(O,

Y)

-

yn

- u(0) =

(Y

-

ai),

onde os as,

i

= 1,....

n,

são as raízes n—ésimas de u(0), pois

k

é algebricamente fechado. Observe que

f(O,

Y)

e

0

_OY Ç

(O,

Y)

=

nY'

não possuem raízes em comum, pois

n

não é múltiplo da característica

de

k. Logo, os

as sãô distintos.

Do Lema de Hensel, temos que existem gi,..• ,g

E _k[[X]1[Y]

tais que

gj(O, Y)

=

Y

-

ai

e

f=gi ... g.

Como o grau de

_f

como polinômio em

Y é n,

segue que o grau de cada gi em

Y

é 1. Assim

g=Y—aj(X)

e ai (0) =

a

O. Como

g1(X,ai (X))

= O, segue que

f(X,ai(X)) = O.

Portanto,

u

=

(a1 (X)).

0 resultado segue tomando

v

= a

1

(X).

Capítulo 2

O Teorema da Preparação

2.1 O Teorema da Divisão

Vamos continuar denotando por R. o anel das séries de potências k [[X1,.. Xr]] e por Mnseu

ideal maximal.

Definição 2.1.1 Seja f E R. Diremos que f é regular de ordem m com respeito a indeterminada

X, se f(O, .... X1,. .. , O) é divisível por X, mas não é divisível por Xim

Diremos que f é regular em X, se f é regular com respeito a X1 de ordem n = mult _(f). Neste

caso,

mult _(f) =mult (f(O,... ,X,... ,O)).

Lema 2.1.2 Dados f, g E M R então fg é regular com respeito a Xj de uma certa ordem se, e somente se, f e g são regulares com respeito a X1 de determinadas ordens.

Demonstração:

Suponhamos que fg é regular com respeito a Xj, ou seja,

(fg) (O, , X, _{O) = Xru(X1),}

onde u(X) é uma unidade em k [[Xj]]. Observemos que, como consequência, f(O,. ,Xj,.. . O) O

e g(O, ... , Xj,..., O) 54 O.

Se _f não é regular com respeito a X, então f(O, . .. ,X,.. . , O) é uma unidade em k [[Xj]]. Logo, _f é uma unidade em R., o que é uma contradição, pois f E M. Analogamente, segue que g é regular com respeito a Xj.

Reciprocamente, se _f e g são regulares com respeito a X de determinadas ordens, temos

f (O, .... Xi,, .... O) = X' u1 (X1)

onde u1 (X) e U2 (Xj) são unidades em k [[Xj]]. Logo,

Assim, fg é regular de ordem

_{m1 +}

m2 com respeito a X7.

LI Vamos denotar

k[[Xi ,

. . , X._]] por 7?! e

MR,

seu ideal maximal.

O próximo resultado, provado por Stickelberger em 1887,

foi

inspirado no Teorema da Preparação de Weierstrass de 1860 e tem como corolário o próprio Teorema da Preparação.

Teorema 2.1.3 (O Teorema da Divisão) Seja

F

E

Mnregular de ordem m com respeito a Xr.

Dado G

E 7?,

existem

Q E 7?

e R

E 7?![Xr]:

com 9r(R) <m, unicamente determinados por F e

G, tais que

G=FQ+R.

Demonstração:

Escrevamos G como um elemento de 7?![[Xr]]

00

G — > ,' -

AE7J,

Vi,

i=o e seja

R_1 = >Aix

E onde 9Xr(1Li)

<m.

Suponhamos que mult

(F) = n

e escrevamos

F = Fn +

...+

Fm + Fm+i+

onde

F

é um polinômio homogêneo de grau

i.

Observemos que

n m.

Seja

P = F +

— +

Fm.

Como

F

é regular de ordem

m

com respeito a

Xr

temos que

M-

1

P=Fn+...+Fm=cX+>BjX, BEMi.',

i=o come E

k\{0}.

00

Seja

H = G

-

R1 =

>

AX

e escrevamos

i=rn

H = Hm + Hm+i ±

sua decomposição em polinômios homogêneos.

Como

P =

cX + B E

Mn,,

existem q E

k, R0

E '[X,] tais que

Hm = qoP + RO,

com

R0 =

O ou 9XrRO

<m.

2.1 O Teorema

da

Divisão

17

Temos que

C = R 1

H = R_1 +H+H

1 +...=R_i +qoP+Ro +Hm+1 +...

Observando que

P

=

F

-

(Fm+i

+...)

temos

Efetuando a divisão de

Hm+i qoFm+i

por

P,

obtemos

Hm+i qoFm i

=

q1 P + Ri,

onde q1 E 7?. e

Ri

=

O ou

9XrRi

<m.

Notemos que mult (qi) 1.

Observemos que mult

(Hm+i qoFm+i )

=

m+

1 ou mult

(Hm+i qoFm+i)

=

oo. Se mult

(Hm+i

-

qoFm+i)

=

m

+ 1 então

m +

1

=

mult

(qi P + R1)

<min{mult (q) +

n,

mult

(R1)}.

Logo mult

(R1)

=

m +

1 >

n +

1

>

n.

Se mult

(Hm+i

-

qoFm+i )

=

co então

R1

—q1P

e

mult (Ri)

=

mult

(q)

+ n> n +

1

>

n.

Portanto, em ambos os casos, mult (Ri) ~

n.

Assim,

C=R_i+Ro+qoF+(qiP+Ri)+(Hm+2—qoFm1-2)+...=

R_1 + R0 + R1 + (q0F + qi F) + (Hm-i2

-

qoFm2

-

qiFm+i)

+...

Prosseguindo analogamente construímos

q0, q1,...

e

R0, R1,...,

de modo que

F(qo + q+..

.)

+ R_1+ R0 + R1 +

Tome

Q=qo+qi+...eR=R_i +Ro+Ri +...em'R'[Xr], assim C=FQ+R.

Teorema 2.1.4 (Teorema da Preparação de Weierstrass) Seja

F

E 7?.

regular de ordem m com

respeito a Xr. Então existem U

E 7?.

invertível e Ai.

.

. .

Am

E

M7?,, unicamente determinados por

F tais que

FU=X+A1 X +A2X

2 ...+An.

Além disso, se F é regular em Xr, isto é, sem

=

mult (F), então mult (Ai) ~ i,

Vi

=

1,

. . .

,m.

Demonstração:

Tomando

C

=

X no Teorema da Divisão, temos que existem

_Q

E 7?. e

R

E W[X], com

9Xr (t)

<m,

unicamente determinados por

F

e

C,

tais que

Xrm =FQ+R.

Como R E W[Xr] e 9r (R)

<m,

existem

A1,..., Am

E 7?! tais que —R

=

A1X

1 + A2X

2 ... +

Am. Tome

U

₌

Q. O

fato de

U

ser uma unidade segue da demonstração do Teorema da Divisão, pois

Temos que

F(O, .... O, Xr)U(O,.... O, Xr) = X + A1(Q)X' + A2(0)X

2 . + A n (0)

. Mas X divide

F(O, .... O,Xr

) e portanto

Ai (0) = A2 (0) =

= A n

(0) = O

Assim Ai, .... Am

EM' Se

F

é regular em Xr, então

mult (X + A1 X' + A2 X

2 .. + Am)

= mult

(FU) =

mult

(F) = in.

Logo, mult

_{(Ai) > i, Vi =}

1, ,

m.

A unicidade segue da unicidade no Teorema da Divisão.

o

Corolário 2.1.5 (Teorema da Função Implícita)

Seja

F

E Mne tal quei

(0) O.

Então existe (p(X1,....

_{Xr_i)}

E

.M.'

tal que

F(X1

,.

, Xr_i, (p(X1,.... Xr_)) = O

como um elemento de 7?j.

Demonstração:

Podemos escrever

F

como um elemento de

R!{{Xr]],

F=Aú+AiXr+A2X+...+AmX+..

Como

F(0) = O,

segue que

A0

E Temos que

Í9

F =+2142Xm

+...

DXr

Comof-(o) O, temos que

A, (0) O.

Logo,

A1

é uma unidade em

R/

e

F

é regular de ordem 1 em Xr

Segue do Teorema da Preparação que existem

U

E

R

invertível e

B1

E

.Á4 1

unicamente deter- minados por

F,

tais que

FUXr +Bi.

O resultado segue tomando (X1, ,

Xr_i) = B] ,

O5

F(Xi ,.. ,

Xr

i,B

1

)U(Xi,. . ,Xr

_,B

1

) = O. Como

U

é invertível, temos que

F(X1

,.

,Xr_i,Bi) = O.

D A condição de

F

ser regular não é tão restritiva quanto parece, pois se assumirmos que o corpo

k

é infinito, mostraremos que compondo

F

com um automorfismo linear de R., transformamos

F

numa série regular em uma das indeterminadas, que pode ser escolhida arbitrariamente.

2.1 O Teorema da Divisão 19

Lema 2.1.6

Seja k um corpo infinito. Dada uma família finita j de polinômios homogêneos não nulos em k [Y1,...

.

Y.] existe uma transformação linear T k [Xi,.... XJ k [Y1, .... Yr ] tal que

V

F E J, de grau n, existe CF E k\{O} tal que

F(T(Xi), .... T(X)) =CFXr+Bi, Bi E (Xi, .... Xr_i) C k[Xi,...,Xr_i].

Demonstração:

Como

j

é finita e

k

é infinito existe

(aj,.... ar) E kr

tal que

F(aj,..., ar) O,VF E p

De fato, como

.F

é uma família finita de polinômios homogêneos em

k [Yj, . . , Yr]

e cada um deles tem

um número finito de raízes em

k7',

podemos tomar

a E k \ {

raízes de

F E Jc

em

k,

V F}, pois k é

infinito.

Definimos

T

por

}'.=T(Xj)=Xj+ajXr, i=1,...,r-1, Yr =T(Xr)=arXr.

Portanto

ylfli _{yrnlymr = (Xi + a j Xr)ml . .} (Xr _{+ ar_jXr)rnr_1(ar Xr)rnr =}

mj ... mr-i

+

CjEk[Xi, .... Xr_i].

i=O

Então V

F E J,

de grau

n,

temos que

F(T(Xi), .... T(Xr)) = F(Yi,...,Yr) =F(aj,...,ar)X+BiX, B E k{Xi,...,Xr _i].

Tomando

_{CF = F(aj,. . ,ar) 554}

O, temos que

CFXrn Ek[Xj,...,Xr_i].

Observemos que

B(O,.... O) = O.

u

Corolário 2.1.7

Seja k um corpo infinito. Dada uma família finita JF de elementos não nulos em M, existe um automorfismo linear T de R tal que V F E J, F o T é regular em Xr.

Demonstração:

Suponhamos =

{F1,...

.

_{F }.}

Sejam

f,... f

os polinômios homoêneos que definem a

multipli-cidade dos elementos de

Jc

respectivamente.. Segue do Lema 2.1.6 que existe umá transformação linear

Ti k [Xi,..., Xr] k [Xi,..., Xr]

tal que

f (TI (X1), . .

. ,

Ti (Xr)) é

regular em

Xr, Vi = 1,..., n.

Seja

T: 7

- Ra aplicação de substituição

T

=

Sy,,...,yr ,

onde

e (a1,..., ar ) E kr é tal que fi(ai,. . . ,a-) O, i = 1,..., ri. Notemos que Yi, .... Y. são linearmente independentes. Segue da Proposição 1.2.7 que T é um automorfismo linear. Ainda

T(F) = F(X1 + aiXr,..._. aX) = f(T1 (X1),.. ,Ti (Xr )) +

Como f(T1(X1 ),.... Ti (X)) é regular em Xr, V i = 1, .... ri, segue que F o T é regular em Xr,

i=l, .... n.

ri

O corolário seguinte é consequência dos principais resultados desta seção.

Corolário 2.1.8 _{Seja k um corpo infinito. Seja F} E R

\

{O} de multiplicidade n. Então existem

um k—automorfismo T de 1?,, uma unidade U E 1?. e A1,.. . A E 1?! tais que mult (Ai) ~ i, para i= li . ..,n, e

T(F)U=X+AiX' +...+A.

2.2 Fatoração no anel das .séries de potências

Nesta seção vamos estudar a fatoração no domínio R = k[[X1,.... XT}} e mostraremos que R é um domínio de fatoração única. Vamos começar definindo duas classes de séries de potências que serão muito importantes: os pseudo-polinômios e os polinômios de Weierstrass.

Definição 2.2.1 Um pseudo-polinômio (resp. um polinômio de Weierstrass) em Xr é uma série de potênciasda forma

P(Xi, ... ,Xr)=X+AiX'+...+An E R,'[Xrl,

onde n > 1 e mult (Ai) ~ 1 (resp. mult (Ai) ~ i), para i = 1, .... n.

Lema 22.2 Sejam F1,.. . , F8 polinômios mônicos em R![Xr }. Então F1 . . . F8 é um pseudo-polinômio

(resp. um polinômio de Weierstrass) se, e somente se, cada F, i = i, .... s, é um pseudo-polinômio

(resp. um polinômid de Weierstrass).

Demonstraçao:

É suficiente considerar o caso s = 2.

Sejam F1 = X + A1X' + ... + Am e F2 = X + B1 X + ... + B, onde Ai, Bj E Ri,

i=1,...,m,j=1,...,n.Então

F1 F2 = X +(Ai +B1)X' +(A2 +A1B1 +B2)X 2 +

+(A + Ai-1B1 +... + A1B1 + Bi)Xr +— + AmBn-

Se F1 e F2 são pseudo-polinômios (resp. polinômios de Weierstrass), então mult (Ai) 1 (resp.

mult (Ai) ~: i), para i = 1, .... m, e mult (B) ~ 1 (resp. mult (B) ~: i), para i = 1,.... n. Logo mult (A + Ai- 1 B1 + _{... + A B}i- 1 + B) ~ min{mult (Ai), mult (A_1 Bi), .... mult (B)} =

2.2 Fatoração no anel das séries de potências

21

Portanto,

F1

F2 é um pseudo-polinômio (resp. um polinômio de Weierstrass).

Reciprocamente, se F1F2 é um pseudo-polinômio então F1

F2(O,.

... O.

Xr )

= Mas

F1F2

_{(O. .... O,Xr) = (X + A1(0)X}

1

+ +

Ant (0))(Xr'i + B1 (0)

+.. +

B(0)).

Portanto, A(0)=O,Vi=1,...,m,eBj(0)=O.Vjl,...fl.

Logo.

F1

e

F2

são pseudo-polinômios.

Se

F1 F2

é um polinômio de Weierstrass então

mult

(F1F2)=mult (F1F2(0,...0,Xr))m+n.

1as mult

(F1F2)

= mult

(Fj) +

mult (F2). Como mult

(F

1

) <

m

e mult (F2)

n,

segue que mult

(F1)

=

m

e mult

(F

2

) =

n.

Logo,

F1

e F2 são polinômios de Weierstrass.

Lema 2.2.3

Seja F

E

1.'[Xr] um pseudo-polinômio. Então F é redutível em R. se, e somente se, F

é redutível em 7Z'[Xr

].

Demonstração:

Suponhamos que

F

é redutível em 7?.. Então existem

F1, F2

E 7?., não unitários, tais que

F = F1 F

2

.

Como

F

é um pseudo-polinômio segue que

F

é regular de uma certa ordem com respeito à Xr. Segue do Lema 2.1.2 que

F1

e F2 são regulares de ordem > 1 com respeito a

X,..

Do Teorema da Preparação de Weierstrass, temos que existem

U1

, U2 E 7?. invertíveis, tais que

H1 = F1 U1

e

H2

= F2

U2

são pseudo-polinômios de grau > 1.

Seja

U

=

U1U2.

Temos que

U

é uma unidade e

FU = F1F2U1LT2

=

171 H

2

.

Como

H1

e

H2

são pseudo-polinômios segue que

FU

é um pseudo-polinômio. Mas

F.1 = F, e

sendo

F

um pseudo-polinômio, segue da unicidade do Teorema da Preparação que

F = H, H2,

ou seja,

F é

redutível em

Reciprocamente, suponhamos que

E E 7?.'[Xr

I é um pseudo-polinômio redutível de grau

d.

Então existem

H1

e

H2

polinômios mônicos não unitários de graus respectivamente

m

e

n

em

7?.'[Xr],

tais que

F = H1H2,

com

m + n = d.

Pelo Lema 2.2.2, temos que

H1

e

H2

são pseudo-polinômios de grau > 1. Isto mostra que

H1

e [12

não são invertíveis em

R.

Então

F

é redutível em

R.

o

Seja

A

um domínio. Um elemento não nulo e não invertível

a E A

é primo, se toda vez que

a

divide uni produto de dois elementos de

A

então ele divide um dos fatores. Um elemento a

E A

Lema 2.2.4 (Lema de Gauss)

Seja A um domínio de fatoração única. Então A[X] também é um

domínio de fatoração única.

Teorema 2.2.5

O anel R = k[[Xi,.... X

v

]]

é um domínio de fatoração única.

Demonstração:

Já sabemos que

R = k[[Xi,.... X,]] é

um domínio, assim basta mostrar que todo elemento não nulo e não invertível de

R possui

uma fatoração em finitos elementos irredutíveis e que todo elemento irredutível de

R é

primo (ver [6], Teorema 5, pag. 150). A prova será por indução sobre

r.

Primeiramente, mostremos .que

k[[X]]

é um domínio de fatoração única. Sejam

1

um ideal próprio

de k[[X]}

e

A={m

_{E N\{O};Xmlf,Vf E}

I}.

Temos que

A

0, pois 1 E

A.

Além disso,

A

possui um máximo. De fato, seja

f = Xmou,

onde

u

uma unidade. Então, Xm0 não divide

_f.

Logo,

mo

+ 1 é um limitante superior para

A

e, portanto,

A

tem Um máximo.

Seja

n

= maxA. Vamos mostrar que

1

= (X). Seja

f

E

1,

então X' divide

_f.

Logo,

f = X7 g

e, portanto,

1

c

(X). Por outro lado, cowo

ri

= maxA, existe

h

E

1

tal que X' divide

h

mas não divide

/i.

Logo,

h = X'u,

onde

u

é uma unidade. Então, X =

hu 1

e, portanto, (X)

c

I.

Portanto,

k[[X]]

é um domínio de ideais principais e logo é um domínio de fatoração única (ver [3], Teorema 5.2, pag. 112).

Suponhamos por hipótese de indução que 7' é um D.F.U.. Sejam

F, G, H

E

R

com

F

irredutível e

F i GH.

Então,

F

também é irredutível em 7Z'[Xr] e, portanto,

E

é primo em

1Z'[Xr ],

que é um D.F.U., pelo Lema de Gauss. Queremos mostrar que

F

1

G ou

E

1

H.

Como

GH = EB,

para algum

B E

7?, se

G

é invertível em 7?., então

H = FBG'.

Logo,

F

₁

H.

Analogamente, se

H é

invertível em

1?,,

então

E

₁

G. Se G e

H

não são invertíveis em 7?., então pelo Teorema de Preparação da Weierstrass,

E, G

e

H

são associados a polinômios de Weierstrass. Considerando então

F, G

e

H

como elementos de 7'[X,], como

E

é primo em

7?.'[Xr],

segue que

E

G ou

E H.

Logo, 7?. é um domínio de fatoração única.

LIJ

Corolário 2.2.6

Suponhamos que F

E

1Z'[Xr] seja um pseudo-polinômio- (resp. um polinômio de

Weierstrass) com respeito à indeterminada Xr. Se F = E1 ... F8 é a decomposição de E em fatores

irredutíveis em

7,

então podemos escolher uma decomposição onde cada F é um pseudo-polinômio

(resp. um polinômio de Weierstrass).

Demonstração:

Se

F = E1

..

F3 é

a decomposição de

F

em fatores irredutíveis em 7?., então

F

= F1 ...

F3 é

também a decomposição de

F

em fatores irredutíveis em _R.'[Xr]. Como

F

é um pseudo-polinômio (resp. um polinômio de Weierstrass), portanto um polinômio mônico, podemos supor que os Fs são mônicos. Então

E1

,.. . ,

F

são pseudo-polinômios (resp. um polinômio de Weierstrass), pelo Lema 2.2.2.

2.3 Teorema da base de Hilbert-Rückert 23

2.3 Teorema

da base de Hilbert-Rückert

Um anel A é Noetheriano se todo ideal de A é finitamente gerado.

Seja f = a 1X'1 +. . . + a1X + a0 E A[X]. Chamamos aX'1 de termo líder de f e a de coeficiente

líder de _f.

Teorema 2.3.1 (Teorema da Base de Hilbert) Se A é um anel Noetheriano, então A[X] é Noe-theriano.

Demonstração:

Seja 1 um ideal de A[X], queremos mostrar que 1 é finitamente gerado. Escolha uni elemento fi

de 1 de grau mínimo. Se 1 = (fi), o resultado está provado. Caso contrário, escolha f2 E 1 _{\ (fi)}

de menor grau. Se 1 _{= (fi, f2),} o resultado segue. Senão, escolha f3 E 1 _{\ (}fi, f2) de menor grau. Se 1 = (fi, f2 f), o resultado segue. Senão, continuamos o processo. Mostraremos que este processo para após um número finito de passos. Seja J o ideal em A gerado pelo coeficientes líderes as dos

fs

escolhidos acima. Como A é um anel Noetheriano, podemos supor que J = (ai, . . . , a) para algum mEN.

Mostremos que 1 _{= .. , f).} Suponhamos. por absurdo, que _{1 (fi,.}

_{.. ,}

_f,,). Consideremos o elemento _fm+i E 1 _{\ (fi,.. . , fm),} o qual sabemos ser de menor grau, por construção. Temos que

M

=

Eca; Cj E A.

i=1

Por construção, 8(f,,+,) 8(ft). i = 1,.... m. Então

E

Como o coeficiente líder de g é igual ao coeficiente líder de _fm+i, segue que o grau de _{fm+i - 9} menor que o grau de _fm+i e, além disso

fm+i -9E 1\(fi,...,fm),

o que é uma contradição.

Portanto, 1 = (f,.

.. ,

f) e A[X] é Noetheriano.

o Vamos usar o Teorema da Base de Hilbert e o Teorema de Divisão para provar o seguinte resultado Teorema 2.3.2 (Teorema da Base de Rückert) O anel R = k[[Xi , . . . , Xfi é Noetheriano.

Demonstração:

A prova será feita por indução sobre r.

Sabemos que k[[X]} é um domínio de ideais principais, e portanto, é um anel Noetheriano. Suponhamos, por hipótese de indução, que R'= k[[X1,... , X,-1

11

é Noetheriano para r > 2. Seja

Como 7?] é Noetheriano, segue do Teorema da Base de Hilbert que _{W[XrI é} Noetheriano. Além disso, existem C1.... , Cm E 'R![Xr ], tais que

1fl7?][Xr] = (C1,... ,Cm).

Seja F E 1, segue do Teorema da Divisão que podemos escrever

F = gC + R; g E R e R E fl![Xr].

Como F, C E 1, segue que R E 1 e, portanto, R E 1 fl 7?][Xr]. Logo, existem _{9i,• ,9m E}

7?][Xr ] C R tais que

RgiCi+...+gmCm.

Segue que

FgC+giCi+...+gmCm.

Portanto, F E (C, C1,.. . ,C) e assim 1 = (C, C1, . ,Cm).

E

2.4 Eliminação

Sejam A um D.F.U. e f = a0Y1 + a1Y' +... + an e g = b0Ym + b1Y"' +... + bm polinômios em A[Y]. Queremos determinar um critério para decidir quando os polinômios _f e g possuem fator comum não constante em A[Y]. Para tanto, definimos a resultante de _f e g, que denotamos por

Ry.(f,g), e é dada por

ao ai an O O

O ao ai a7 O

Q O ao ai a

b0 b1 bm O O

O b0 b1 bm O

O O b0 b1 bm

Lema 2.4.1 Os polinômios f e g em A[Y] admitem fator comum não constante se, e somente se,

existem polinômios não nulos p, q E A[Y], de graus menores que os graus de f e g respectivamente,

tais que qf = pg.

Demonstração:

Suponhamos que h é um fator comum não constante de f e g, ou seja, existem p, q € A[Y] tais que f = hp e g = hq. Então qf = qhp e pg = phq, portanto qf = pg, pois A[Y] é um anel comutativo. Reciprocamente, suponhamos que existam polinômios não nulos p, q E A[Y], tais que qf = pg,

com 8p < 8f e 8q < 89. Se _f e g não têm fator comum no constante, então _f divide p, pois

A[Y] é um D.F.U.. Portanto, 8 f < 8p, o que é um absurdo. Logo _f e g admitem fator corrïum não constante.