Aplicação da técnica da transformada integral generalizada em escoamentos em canais considerando efeitos magnetohidrodinâmicos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

BRUNO NUNES MELO DA SILVA

APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS

MAGNETOHIDRODINÂMICOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

BRUNO NUNES MELO DA SILVA

APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO EFEITOS

MAGNETOHIDRODINÂMICOS

Dissertação submetida à Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientador: Prof. Dr. João Alves de lima Área de concentração: Mecânica Computacional

UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede. Catalogação da Publicação na Fonte. Silva, Bruno Nunes Melo da.

Aplicação da técnica da transformada integral generalizada em escoamento em canais considerando efeitos magnetohidrodinâmicos. / Bruno Nunes Melo da Silva. – Natal, RN, 2014.

142 f.; il.

Orientador: Prof. Dr. João Alves de Lima.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.

1. Magnetohidrodinâmica – Dissertação. 2. Efeito hall - Dissertação. 3. Deslizamento de íons - Dissertação. 4. Tranformada integral - Dissertação. 5. Propriedades variáveis – Dissertação. I. Lima, João Alves de. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

6

AGRADECIMENTOS

A Jesus Cristo, por me ajudar nos momentos difíceis. Aos meus pais.

A minha família.

Ao professor João Alves de Lima, meu orientador, por acreditar em mim, seus ensinamentos, humildade e grandiosa inteligência que me servem de exemplo.

7 “... a simplicidade e a humildade são grandes virtudes do ser humano.”

8

SUMÁRIO

RESUMO ...10

ABSTRACT ...11

LISTA DE FIGURAS ...12

LISTA DE TABELAS ...15

LISTA DE SÍMBOLOS ...17

LETRAS GREGAS ...22

LISTA DE ANEXOS ...24

CAPÍTULO I 1 INTRODUÇÃO 1.1 INTRODUÇÃO ... 26

1.2 OBJETIVOS ... 29

CAPÍTULO II 2 REVISÃO DE LITERATURA 2.1 MAGNETOHIDRODINÂMICA EM CANAIS PARALELOS ... 31

2.2 A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA ... 34

CAPÍTULO III 3 MHD: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 40

3.2 CONCEITOS BÁSICOS ... 44

3.3 EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA ... 47

3.3.1 CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ ... 47

3.3.2 LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA ... 48

3.3.3 LEI DE AMPÈRE ... 49

3.3.4 LEI DE FARADAY ... 51

3.3.5 CONSERVAÇÃO DE CARGA-DIVERGÊNCIA ... 52

9

CAPÍTULO IV

4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

4.1 PROBLEMA FÍSICO ... 59

4.2 HIPÓTESES ADOTADAS ... 60

4.3 MODELO MATEMÁTICO ... 67

4.4 ADIMENSIONALIZAÇÃO ... 70

CAPÍTULO V 5 METODOLOGIA E SOLUÇÃO 5.1 PROCESSO DE FILTRAGEM DOS POTENCIAIS ... 74

5.2 EXPRESSÃO DOS FILTROS ... 75

5.2.1 FILTRO PARA OS CAMPOS DE VELOCIDADE ... 75

5.2.2 FILTRO PARA OS CAMPOS DE TEMPERATURA ... 76

5.3 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO SISTEMA ... 78

5.3.1 PROBLEMA DE AUTOVALOR AUXILIAR ... 78

5.3.2 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES ... 81

CAPÍTULO VI 6 RESULTADOS 6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 86

6.2 VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ... 87

6.2.1 ATTIA & KOTB (1996) ... 87

6.2.2 ATTIA (2006a) ... 91

6.2.3 ATTIA (1999) ... 96

6.2.4 ATTIA (2002) ... 100

6.2.5 ATTIA & ABOUL-HASSAN (2003) - ATTIA (2005b) ... 109

6.2.6 ATTIA (2005c) - ATTIA (2006b) ... 116

CAPÍTULO VII 7 CONCLUSÕES ... 124

REFERÊNCIAS ...128

10

RESUMO

APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA EM ESCOAMENTOS EM CANAIS CONSIDERANDO

EFEITOS MAGNETOHIDRODINÂMICOS

Propõe-se, no presente trabalho, a obtenção de soluções híbridas, através da aplicação da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), para o problema do escoamento com transferência de calor transiente, para fluidos newtonianos condutores elétricos submetidos a campos magnéticos constantes, em um canal de placas planas e paralelas com ou sem rotação do canal. No escoamento, o qual é mantido por um gradiente de pressão constante ou com decaimento exponencial, as influências de efeitos Hall, deslizamento de íons e a presença de partículas sólidas são consideradas. Considera-se ainda que a placa superior do canal pode se movimentar longitudinalmente e que ambas as placas podem ser porosas. O campo magnético é aplicado na direção normal ao escoamento. Assume-se que tal campo magnético é constante e não é afetado pelo escoamento, de maneira que apenas a interação de uma via entre o escoamento do fluido condutor elétrico e o campo magnético é estudada. Admite-se, ainda, a variação com a temperatura das propriedades físicas transportadas, isto é, a viscosidade e as condutividades térmica e elétrica. Resultados híbridos são obtidos e comparados com outros resultados numéricos para os campos de velocidade e temperatura do fluido e das partículas sólidas em função dos parâmetros governantes, a saber, número de Reynolds, Hartmann, parâmetros Hall, deslizamento de íons, concentração das partículas sólidas e parâmetros termofísicos. São realizadas análises de convergência para os principais potenciais com o objetivo de se ilustrar a consistência da técnica (GITT) e a sua utilização com finalidades de validação (benchmark) nessa área da dinâmica dos fluidos e transferência de calor.

Palavras-chaves: Magnetohidrodinâmica (MHD), Transformação Integral (GITT), Efeito

11

ABSTRACT

APPLICATION OF THE GENERALIZED INTEGRAL TRANSFORM TECHNIQUE TO CHANNEL FLOWS BY CONSIDERING

MAGNETOHYDRODYNAMIC EFFECTS

The present study proposes the development of hybrid solutions to the transient Hartmann flow problem with heat transfer of an electrically conducting and newtonian fluid subjected to a constant magnetic field. The Generalized Integral Transform Technique is employed to analyze the influence of Hall and ion-slip effects, as well as the presence of solid particles on flow behavior, which is maintained by a constant or exponential-decaying gradient pressure. A transverse flow normal to the walls can also occurs, so that plates can be both porous. Additionally, a movement of the upper plate in the longitudinal direction can be considered. Here, it is assumed that the magnetic field is constant, being not affected by the flow, so that only an one-way interaction between the flow and the magnetic field is studied. Temperature-dependent transport properties, such as viscosity, thermal and electrical conductivity, can be considered too. Hybrid results are obtained and compared to other numerical results for the velocity and temperature fields of flow and solid particles as function of the main dimensionless governing parameters, namely, Reynolds number, Hartmann number, Hall, Ion-slip and concentration of solid particles. Convergence analyses are carried out for the main potentials in order to illustrate the consistency of the technique (GITT) and its use for purposes of benchmarking in the area of heat and fluid flow.

Keywords: Magnetohydrodynamics (MHD), Magnetoconvection, Integral Transforms

12

LISTA DE FIGURAS

CAPÍTULO 3

Figura 3.1 – Esquema (a) de uma bomba eletromagnética (adpatado de Shercliff, 1965) e (b) do confinamento magnético de plasma (adaptado de Davidson, 2001).

Figura 3.2 – Esquema (a) de agitação magnética de um lingote, (b) do amortecimento magnético de movimento durante fundição e (c) de uma válvula eletromagnética. Adaptados de Davidson (2001).

Figura 3.3 – Instabilidade em uma célula de redução de alumínio. Adaptado de Davidson (2001).

Figura 3.4 – Interação entre o campo magnético, e um fio circular em movimento. Adaptado de Davidson (2001).

Figura 3.5 – Lei de Ohm em um condutor (a) estacionário e (b) em movimento. Adaptado de Davidson (2001).

Figura 3.6 – Lei de Ampère aplicada a um fio. Adaptado de Davidson (2001).

Figura 3.7 – Lei de Faraday (a) fem gerada pelo movimento de condutor, (b) fem gerada por um campo magnético dependente do tempo. Adaptado de Davidson (2001).

CAPÍTULO 4

13

CAPÍTULO 6

Figura 6.1 - Influência da sucção/ejeção nas paredes sobre a distribuição em regime permanente de velocidade. Ha = 0, Ru = 1, G0 = - 5, a = 0, Pr = 1 e Ec = 0.

Figura 6.2 - Influência do campo magnético e da viscosidade sobre a distribuição em regime permanente de velocidade. Ru = 1, Rv = 0, G0 = - 5, Pr = 1 e Ec = 1.

Figura 6.3 - Influência do campo magnético e da condutividade elétrica sobre a distribuição de velocidade em regime permanente, para diferentes números de

Hartmann e

a = - 0,5.

Figura 6.4 - Influência do campo magnético e da condutividade elétrica sobre a distribuição de velocidade em regime permanente, para diferentes números de Hartmann e a = 0.

Figura 6.5 - Influência do campo magnético e da condutividade elétrica sobre a distribuição de velocidade em regime permanente, para diferentes números de

Hartmann e

a = 0,5.

Figura 6.6 - Influência da viscosidade sobre a distribuição em regime permanente da temperatura. Ha = 1, G0 = 40, Pr = 1, Ec = 0,050875.

Figura 6.7 - Evolução temporal da velocidade no centro do canal em função do parâmetro de viscosidade. Ha = 2; G0 = 40; Pr = 1 e Ec = 0,050875.

Figura 6.8 - Evolução temporal da temperatura no centro do canal em função do parâmetro de viscosidade. Ha = 2; G0 = 40; Pr = 1 e Ec = 0,050875.

14 Figura 6.10 - Efeito do parâmetro a sobre a evolução temporal da temperatura no centro do

canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e c = 0.

Figura 6.11 - Efeito do parâmetro c sobre a evolução temporal da velocidade no centro do canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e a = 0.

Figura 6.12 - Efeito do parâmetro c sobre a evolução temporal da temperatura no centro do canal, (a) para o fluido e (b) para as partículas. Ha = 2 e a = 0.

Figura 6.13 - Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componente longitudinal de velocidade no centro do canal. Ha = 6 e a = 0, b = 0.

Figura 6.14 - Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da componente transversal de velocidade no centro do canal. Ha = 6 e a = 0, b = 0.

Figura 6.15 - Efeito do parâmetro Hall, β, sobre a evolução temporal da temperatura no centro do canal. Ha = 6 e a = 0, b = 0.

Figura 6.16 - Perfil da componente longitudinal de velocidade em três instantes de tempo selecionados, para Ha = 6, β = 3, βi = 3 e Rv = 2.

Figura 6.17 - Perfil da componente transversal de velocidade em três instantes de tempo selecionados, para Ha = 6, β = 3, βi = 3 e Rv = 2.

Figura 6.18 - Perfil de temperatura em três instantes de tempo selecionados, para Ha = 6,

β = 3, βi = 3 e Rv = 2.

Figura 6.19 - Efeito dos parâmetros Hall e de deslizamento de íons sobre a componente longitudinal de velocidade, em y = 0, para Ha = 6 e Rv = 2.

15

LISTA DE TABELAS

CAPÍTULO 6

Tabela 6.1 - Convergência da velocidade na linha de centro, em regime permanente, para diferentes valores de a, Ha e Rv e considerando Ru = 1, G0 = - 5, Pr = 1 e Ec

= 1.

Tabela 6.2 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para condutividade térmica constante (b = 0) e diferentes valores de a, c e Ha.

Tabela 6.3 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para condutividade elétrica constante (c = 0) e diferentes valores de a, b e Ha.

Tabela 6.4 - Comparação da temperatura no centro do canal, em regime permanente, para viscosidade constante (a = 0) e diferentes valores de b, c e Ha.

Tabela 6.5 - Evolução temporal da velocidade na linha de centro, para diferentes valores de a e Ha, considerando G0 = 40, Pr = 1 e Ec = 0,050875.

Tabela 6.6 - Evolução temporal da temperatura na linha de centro, para diferentes valores de a e Ha, considerando G0 = 40, Pr = 1 e Ec = 0,050875.

Tabela 6.7 - Análise de convergência e comparação da velocidade do fluido na linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a e c.

16 Tabela 6.9 - Análise de convergência e comparação da temperatura do fluido na linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a e c.

Tabela 6.10 - Análise de convergência e comparação da temperatura das partículas na linha de centro do canal, em regime permanente, para Ha = 2 e diferentes valores de a e c.

Tabela 6.11 - Comparação para a evolução, no centro do canal, da componente w de velocidade e para a temperatura, em função do efeito Hall. Ha = 6 e a = 0, b = 0.

Tabela 6.12 - Efeito do parâmetro Hall e da condutividade térmica sobre a temperatura no centro do canal, em regime permanente, para Ha = 6 e a = 0.

Tabela 6.13 - Comparação da influência do parâmetro de viscosidade e do efeito Hall sobre o coeficiente de atrito para regime permanente. Ha = 6 e b = 0.

Tabela 6.14 - Comparação da influência do parâmetro de viscosidade e do efeito Hall sobre o número de Nusselt para regime permanente. Ha = 6 e b = 0.

17

LISTA DE SÍMBOLOS

A Vetor potencial

*

/

a a Parâmetro de viscosidade adimensional / dimensional

* /

B B Vetor campo magnético / dimensional

0

B Vetor campo magnético externo

*

/

b b Parâmetro de condutividade térmica adimensional / dimensional

C Unidade de comprimento de uma dada curva fechada

*

/

c c Parâmetro de condutividade elétrica adimensional / dimensional

p

c Calor específico a pressão constante

Ps

c

Calor específico das partículas;

V

c

Calor especifico do fluido a volume constante;

ℓ

d Elemento diferencial de comprimento

S É qualquer superfície limitada por uma curva.

S

d Elemento diferencial de área – superfície

E Vetor campo elétrico

i

E Campo elétrico induzido

e

18

0

E Campo elétrico externo

s

E Campo eletrostático

z

E Parâmetro elétrico adimensional

c

E Número de Eckert

F Vetor força eletromagnético

f Força eletromagnética resultante

F _{Parâmetro massa das partículas} *

MHD

F Força de Lorentz dimensional

* *

/

D Dx

F F Força de arraste dimensional, modelada em função do movimento relativo fluido/partícula / avaliada na componente x

0

/

G G Gradiente de pressão constante adimensional / dimensional

h Distância entre as placas

Ha Número Hartmann

*

/

J J Vetor densidade de corrente elétrica / dimensional

e

J Corrente de condução associada aos elétrons

*

/

k k Condutividade térmica do fluido adimensional / dimensional

K Constante de Stokes

ℓ _{Escala característica de comprimento}

0

L

19 p

m

Massa média das partículas

i

m

Massa média dos íons

e

n

Número de elétrons

m

N Parâmetro de interação magnética

i

N Norma da autofunção associada ao campo de velocidade e temperatura

u

N Número de termos empregado nas expansões do campo de velocidade

t

N Número de termos empregado nas expansões do campo de temperatura

*

P , P Campo de pressão, dimensional e adimensional, respectivamente

r

P Número de Prandtl

q Carga do elétron

*

visc

q

Geração de energia por dissipação viscosa dimensional

*

joule

q

Geração de energia por dissipação Joule

R

_{Parâmetro concentração de partículas}

p

R

Raio médio das partículas

m

Re Número de Reynolds magnético

Ru Número de Reynolds relacionado a placa superior

Rv Parâmetro de sucção/ejeção nas paredes porosas do canal

*

20

e

t Tempo de colisão dos elétrons

*

T , T Campo de temperatura, dimensional e adimensional, respectivamente

p

T* , T Campo de temperatura das partículas sólidas, dimensional e adimensional, _p respectivamente

0

T Temperatura inicial

1

T Temperatura da placa inferior

2

T Temperatura da placa superior

F

T Campo de temperatura filtrado do fluido

V Potencial eletrostático

V Campo vetorial de velocidade do fluido

p

V Campo vetorial da velocidade das partículas sólidas

e

V Velocidade transversal de difusão dos elétrons

a

v Velocidade de Alfvén

*

,

u u Campo de velocidade, dimensional e adimensional, respectivamente

) , (y t

u Componente longitudinal da velocidade do fluido

) (t

u_hi Campo filtrado e transformado da velocidade do fluido

h

u Campo filtrado da velocidade

) , ( ty

u_p Componente longitudinal da velocidade das partículas sólidas

) (t

21 )

(t

u_pi Potencial filtrado e transformado da velocidade das partículas sólidas

ph

u Campo filtrado da velocidade das partículas sólidas

) , (y t

w Componente transversal da velocidade do fluido

) (t

wi Potencial transformado da velocidade transversal do fluido

) (t

w_pi Potencial transformado da velocidade transversal das partículas sólidas

) , (y t

w_i Componente transversal da velocidade do fluido

) , ( ty

w_p Componente transversal da velocidade das partículas

w

v Componente transversal da velocidade do fluido

*

x , x Coordenada longitudinal, dimensional e adimensional, respectivamente

*

22

LETRAS GREGAS

*

/

G G

α α Constante de amortecimento do gradiente de pressão adimensional / dimensional

*

coriolis

α

Aceleração de Coriolis dimensional para o fluido

* _p

coriolis

α

Aceleração de Coriolis dimensional para as partículas

i

λ

_{Autovalor associado aos campos de velocidade e temperatura}

s

λ

Tempo de relaxação para temperatura

s

γ

Tempo de relaxação para a velocidade

e

β Constante Hall para os elétrons

i

β _{Constante Hall para os íons}

0

ε Constante de permissividade no vácuo

θ _{Campo de temperatura filtrado do fluido}

p

θ Campo de temperatura filtrado das partículas sólidas

) (t

i

θ _{Campo de temperatura normalizado e transformado do fluido}

) (t

pi

θ Campo de temperatura normalizado e transformado das partículas sólidas

0

µ _, v0 _{Viscosidade dinâmica e cinemática respectivamente}

1

µ _{Viscosidade dinâmica avaliada na placa inferior,} 1

23

2

µ _{Viscosidade dinâmica avaliada na placa superior,} 2

T

ρ

_{Densidade do fluido}

e

ρ

Densidade de elétrons

p

ρ

Massa das partículas por unidade de volume de fluido;

s

ρ _{Massa específica das partículas;}

*

/

σ σ Condutividade elétrica do fluido adimensional / dimensional

e

τ Tempo de relaxação da carga

m

τ Tempo de amortecimento magnético

) ( y

i

τ _{Autofunção dos campos de velocidade e temperatura}

) ( ~ yi

τ Autofunção autonormalizada dos campos de velocidade e temperatura

* 0 /

Ω Ω Velocidade angular / vetorial, dimensional

24

LISTA DE ANEXOS

Anexo A.1 - Trabalhos de Interesse sobre Magnetohidrodinâmica em Canais de Placas Paralelas.

Anexo A.2 - Propriedades Físicas de Metais Líquidos.

Anexo A.3 - Símbolos/Variáveis, Grandezas e Unidades encontradas no eletromagnetismo.

Anexo A.4 - Equações de Maxwell e da Magnetohidrodinâmica.

Anexo A.5 - Avaliação dos Vetores Densidade de Corrente e Força de Lorentz.

25

CAPÍTULO I

26

1.1 INTRODUÇÃO

A magnetohidrodinâmica, ou simplesmente MHD, é a combinação da mecânica dos fluidos e com a eletrodinâmica, ou seja, é um ramo da ciência que estuda o fenômeno da interação do escoamento de fluidos condutores sob a presença de campos magnético. MHD é a área do conhecimento que ganhou espaço na comunidade científica devido a sua aplicabilidade em várias áreas do conhecimento. Dentre essas áreas, é possível citar a geofísica, que estuda o núcleo do planeta, o qual se comporta como um grande sistema magnético; a física nuclear, com a análise de gases ionizados para manter as reações de fusão nuclear e a engenharia, com motores de propulsão magnéticos. Desde os primeiros estudos sobre eletricidade e magnetismo, sabe-se que os campos magnéticos interagem com muitos líquidos naturais e artificiais. Eles são utilizados em indústrias para o aquecimento, produções de novos materiais supercondutores, bombeamento e levitação de metais líquidos, geradores magnetohidrodinâmicos, no resfriamento de reatores nucleares, e mais fortemente nas indústrias de alumínio (células de redução de alumínio) e siderúrgicas (Shercliff, 1965; Davidson, 2001; Sutton, 2006).

Segundo Shercliff (1965), um condutor (fluido ou sólido) na presença de um campo magnético variável (obtido por meio do movimento de um ímã permanente ou de um solenoide alimentado por uma fonte de corrente externa que varia com o tempo) cria uma densidade de corrente elétrica induzida neste condutor, o qual interage mutuamente com o campo magnético original. Resultam desse processo, basicamente, forças eletromagnéticas que alteram o gradiente de pressão do fluido ou o estado de movimento do sólido, os quais são frutos do produto vetorial entre o vetor densidade de corrente elétrica e o vetor densidade de campo magnético aplicado.

27 (elétrons). Diz-se, nesse caso, de se considerar o efeito de deslizamento de íons. Em líquidos condutores, tais efeitos podem ser desprezados.

Adicionalmente, a presença de partículas sólidas ou de poeira em um escoamento tem significante importância na indústria de petróleo, purificação de óleo bruto, tecnologia de polímeros, separação em centrífuga da matéria e fluido e várias outras aplicações. Em bombas, geradores, aceleradores e medidores de fluxo, as partículas sólidas em forma de cinzas ou fuligem são suspensas no fluido condutor, sendo resultado de processos de corrosão.

Em outras aplicações da engenharia (processamento de alimentos, indústria de processos químicos, processos de filtração centrifugação e máquinas rotativas), o escoamento dos fluidos é submetido à rotação. A inserção de tal efeito requer o estudo mais refinado de sua dinâmica (Chand, 2013).

Finalmente, em algumas situações, a consideração de propriedades termofísicas constantes não pode ser atendida. Por exemplo, reatores nucleares operam à temperaturas elevadas e as propriedades termofísicas variam, geralmente de maneira exponencial, com a temperatura. Assim, expressões para a massa específica, condutividade térmica e condutividade elétrica que dependam da temperatura devem ser adotadas.

28 O desenvolvimento de métodos numéricos, empregados na solução das equações que governam o escoamento e a transferência de calor, tem ganhado cada vez mais espaço na comunidade científica e tecnológica, principalmente no que diz respeito ao seu uso e aplicação. Atualmente, os métodos conhecidos como volumes finitos e elementos finitos formam a base das metodologias numéricas, que são empregadas nos núcleos de cálculo dos “softwares” atuais, encontrados nos campos de dinâmica dos fluidos computacional e de análise estrutural computacional.

Por outro lado há necessidade do desenvolvimento e aplicação de metodologias matemáticas que mantenham um caráter analítico na obtenção da solução das equações dos mais variados campos da ciência se mantém como meta científica. Dentre as metodologias que satisfazem tal requerimento, pelo menos parcialmente, está o método conhecido como Técnica da Transformada Integral Generalizada GITT (Cotta,1993; Cotta, 1998; Santos et al., 2001). A GITT é uma técnica híbrida, numérico-analítica, que vem sendo desenvolvida

de forma paralela aos métodos puramente numéricos, e que mantêm, na sua aplicação, todas as características de uma solução analítica, como o método de separação de variáveis, associada, por outro lado, a robustez dos métodos puramente numéricos para soluções de sistemas das equações diferenciais ordinárias.

29

1.2 OBJETIVOS

O objetivo geral do presente trabalho é a obtenção de soluções híbridas, numérico-analíticas, através da aplicação da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), do problema do escoamento e da transferência de calor de fluidos newtonianos, condutores elétricos submetidos a campos magnéticos constantes em um canal de placas planas e paralelas, com ou sem rotação. No caso da rotação do canal, todo o sistema roda em torno de um eixo perpendicular aos planos das placas com velocidade angular uniforme. A avaliação da influência de Efeitos Hall, partículas sólidas, deslizamento de íons no escoamento do fluido e a avaliação dos parâmetros termofísicos, são considerados, de maneira a alcançar uma maior proximidade de problemas comumente encontrados. Por outro lado, tal geometria se apresenta como uma boa simplificação para muitos escoamentos encontrados na prática e facilita o procedimento de análise e geração de resultados de referência (“benchmark”).

Especificamente, busca-se com o desenvolvimento do trabalho:

1. Obter os campos de velocidades e temperatura e seus parâmetros correlatos em função de diversos fatores físicos que caracterizam o tipo de escoamento analisado, utilizando a técnica da transformada integral generalizada (GITT);

2. Analisar as taxas de convergência dos resultados, com a finalidade de demonstrar o comportamento numérico da técnica da transformada integral para esse tipo de fenômeno físico;

3. Analisar a convergência e comparar os resultados obtidos, para validação do método, com outros resultados numéricos previamente reportados na literatura;

30

CAPÍTULO II

31

2.1 MAGNETOHIDRODINÂMICA EM CANAIS PARALELOS

Grandes contribuições no intuito de compreender o problema que governa o escoamento MHD em canais foram desenvolvidas sob o ponto de vista do enriquecimento de modelos e métodos apropriados para estudá-lo. Sabe-se, por exemplo, que no interior de canais, dificilmente o escoamento é completamente desenvolvido sobre toda sua extensão, além disso, para manter o escoamento, podem ser aplicados gradientes de pressão constantes ou variáveis. Normalmente, tem-se considerado que o campo magnético atua perpendicularmente ao escoamento e que efeitos de propriedades termofísicas variáveis, efeito Hall, efeito de deslizamento de íons e presença de partículas sólidas ou impurezas podem ser incluídos na análise. Uma revisão bibliográfica dos trabalhos mais representativos que levam em conta tais efeitos é a seguir efetuada.

Attia e Kotb (1996) analisaram a magnetohidrodinâmica com transferência de calor em regime permanente de um fluido condutor elétrico em um canal de placas paralelas (porosas) onde a placa superior se movia à velocidade constante. Empregando o esquema implícito de diferenças finitas de Crank-Nicolson, avaliou o efeito da dependência da viscosidade dinâmica do fluido com a temperatura sobre o campo de escoamento.

Dez anos depois, Attia (2006a) avaliou a dependência de todas as propriedades de transporte (viscosidade, condutividades térmica e elétrica) sobre o escoamento em regime permanente em um canal não poroso.

Attia (1999) estendeu o trabalho desenvolvido por Attia e Kotb (1996) para a situação de regime transiente, desprezando, no entanto, o efeito de porosidade das placas. A partir desse trabalho, todos os demais envolvendo fluidos newtonianos foram realizados considerando-se que ambas as placas eram fixas.

32 Attia (2002) estudou o escoamento e a transferência de calor de um fluido condutor elétrico com impurezas ou partículas sólidas, submetido a um gradiente de pressão constante e um campo magnético uniforme externo perpendicular às placas. As propriedades viscosidade e condutividade elétrica foram considerados dependentes da temperatura e as equações foram resolvidas numericamente usando o método de diferenças finitas para os campos de velocidade e temperaturas do fluido e das partículas.

Attia e Aboul-Hassan (2003) estudaram o efeito da dependência com a temperatura da viscosidade e da condutividade térmica sobre o escoamento MHD transiente com transferência de calor. O efeito Hall é levado em consideração sob a hipótese de gradiente de pressão constante. As equações diferenciais acopladas da quantidade de movimento e de energia foram obtidas usando o método de diferenças finitas.

Attia (2003) pesquisou sobre o desenvolvimento do escoamento permanente MHD de um fluido viscoso, incompressível, eletricamente condutor com transferência de calor entre as placas, considerando os efeito Hall e de deslizamento de íons. Novamente, o gradiente de pressão e o campo magnético eram constantes e resultados para os dois campos foram obtidos com o método das diferenças finitas.

Attia e Sayed-Ahmed (2004) analisaram o escoamento e a transferência de calor transientes de um fluido não-newtoniano (Bingham), considerando ainda injeção/sucção uniforme através das placas. A placa inferior é estacionária e a placa superior se move com uma velocidade constante e as duas placas são mantidas a temperaturas diferentes mas constantes. Os efeitos do parâmetro Hall e da velocidade de injeção sobre os campos de velocidade e temperatura do fluido foram analisados via método de diferenças finitas.

33 Attia (2005b) analisou a influência do efeito Hall sobre o escoamento e a transferência de calor transientes, desconsiderando a porosidade das placas do canal e as partículas de poeira no escoamento.

Finalmente, Attia (2005c) generalizou o modelo e analisou, numericamente, os efeitos da porosidade das placas sobre o escoamento e a transferência de calor transientes, na presença de partículas sólidas, incluindo ainda os efeito Hall e de deslizamento de íons e um gradiente de pressão com decaimento exponencial no tempo. Não obstante, considerou constantes as propriedades de transporte. Apesar da descrição completa da metodologia de solução adotada, ele não informa os valores de todos os parâmetros usados em cada análise, de maneira que seus resultados não puderam ser reproduzidos.

Posteriormente, empregando uma metodologia em que a equação da quantidade de movimento (fluido e partículas) eram resolvidas analiticamente através da Transformada de Laplace, enquanto que a da energia (fluido e partículas) foi resolvida numericamente usando o método de diferenças finitas, Attia (2006b) desconsiderou a presença de partículas sólidas no escoamento e refez as análises desenvolvidas por Attia (2005c).

Recentemente, Chand et al. (2013) estudaram o efeito da rotação do frame de referência sobre o escoamento MHD com efeito Hall e transferência de calor de um fluido condutor elétrico empoeirado, viscoso, incompressível sob a influência, ainda, de um gradiente de pressão variável. Assumem que as placas do canal são porosas, sujeitas a um sistema de injeção e ejeção uniformes, de baixo par cima. Um campo magnético uniforme é aplicado na direção normal ao plano das placas. As placas são mantidas à diferentes temperaturas que variam periodicamente. Todo o sistema roda em torno do eixo perpendicular aos planos das placas com velocidade angular uniforme. As equações são resolvidas para se obter as distribuições de velocidade e temperatura para o fluido e as partículas de poeira, para os diversos parâmetros governantes.

34 Como um contraponto a essa situação, atualmente estão sendo desenvolvidos métodos híbridos, numérico-analíticos, que se utilizam da robustez dos métodos numéricos, na etapa final do procedimento de solução, mas conservam a natureza analítica em etapas de manipulação analítica anteriores. Sob esse panorama, Lima et al. (2007) obtiveram uma solução híbrida dos problemas do escoamento MHD permanente e transiente, completamente desenvolvidos, de um fluido condutor elétrico em um canal de placas paralelas, anteriormente estudados por Attia e Kotb (1996) e Attia (1999), empregando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT)

Posteriormente, Rêgo (2010) e Lima e Rêgo (2013) empregaram a mesma técnica para analisar o problema do desenvolvimento simultâneo do escoamento MHD com transferência de calor em um canal de placas paralelas mantidas a temperatura constante, iguais ou diferentes. Naquele estudo, o escoamento podia entrar no canal sob um perfil uniforme ou parabólico de velocidade.

A Tabela A.1 do apêndice mostra um resumo geral, em ordem cronológica, dos trabalhos de interesse que guiaram a presente revisão bibliográfica, caracterizando a ênfase física analisada por cada um de seus autores.

2.2 A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA

Nos últimos anos, devido ao avanço tecnológico, têm surgido problemas cada vez mais complexos na área de engenharia, os quais necessitam de soluções mais acuradas e tempos de processamento mais reduzidos, visando o maior aproveitamento dos recursos empregados. Esses problemas, que na sua maioria não apresentam soluções analíticas, podem ser tratados por técnicas de aproximação numéricas, graças ao desenvolvimento de computadores de alta velocidade de processamento e de grande capacidade de armazenamento de dados.

35 Integral Generalizada (GITT) estão associadas ao trabalho de Ozisik e Murray (1974), sobre a solução de problemas difusivos com coeficientes variáveis nas condições de contorno, onde vislumbrou-se a capacidade de se fornecer soluções analíticas aproximadas a uma faixa muito maior de problemas. A GITT proporciona soluções de natureza híbridas, numérico-analíticas, para problemas de convecção-difusão cuja transformação integral resulte em sistemas de equações diferenciais ordinárias acopladas, ou cujos problemas auxiliares são complexos do ponto de vista computacional.

Desde, então a GITT avançou na direção de estender as ideias do procedimento de transformação integral para classes gerais de problemas, tanto lineares, quanto não-lineares. Um trabalho completo e sistemático sobre GITT é apresentado em Cota (1993) e revisões e atualizações posteriores do progresso da técnica encontram-se em Cotta (1998) e Santos et al. (2001).

Além de ser um método computacional alternativo, a abordagem proporcionada pela GITT é particularmente adequada para a obtenção de soluções para validação de códigos numéricos, devido a característica de controle automático de erro, semelhante a uma solução analítica pura. Outro aspecto destacável do método é a extensão direta a situações multidimensionais com um aumento não muito grande no esforço computacional, comparativamente ao caso unidimensional. A característica híbrida é a responsável por esse comportamento, uma vez que a solução analítica é empregada em todas as variáveis independentes, com exceção de uma, fazendo com que a tarefa numérica seja sempre reduzida à integração de um sistema diferencial ordinário em apenas uma direção.

36 Segundo Cotta (1998), as aplicações do método podem ser divididas em:

• Problemas que apresentem coeficientes variáveis em suas condições de contorno (Özisik, 1974; Cotta, 1998; Santos et al., 2001);

• Problemas que apresentem coeficientes variáveis nas equações governantes (Özisik, 1974);

• Problemas que apresentem contornos variáveis;

• Problemas com fronteiras móveis. (Cotta, 1992);

• Problemas que envolvem dificuldades na solução do problema auxiliar (Özisik, 1974; Cotta, 1992);

• Problemas não lineares caracterizados pela presença de equações cujos termos fonte e / ou condições de contorno dependem do potencial a ser obtido;

Na última categoria, se encontra a maioria dos problemas na engenharia, particularmente na mecânica dos fluidos e transferência de calor, que podem ser citados: condução de calor com condutividade térmica variável, solução das equações da camada limite e solução das equações de Navier-Stokes (Cotta, 1992; Lima, 1995; Lima, 2000).

Para se utilização da GITT alguns passos devem ser aplicados, sequencialmente, os quais podem ser assim resumidos:

1. Escolha de um problema auxiliar apropriado. Este tem por base um problema de autovalor que satisfaz, simultaneamente, dois requisitos:

a) Possuir a maior quantidade de informações possíveis do problema original, a ser resolvido nas direções coordenadas, escolhidas para a transformação;

b) Ser de solução relativamente simples, de preferência analítica.

37 3. Descrição do potencial original como uma expansão das autofunções oriundas

do problema auxiliar: determinação do par de transformada/inversa.

4. Transformação integral do sistema de equações diferenciais parciais originais, aplicando-se a fórmula da transformada em todos os termos das equações originais, seguida da fórmula de inversão nos termos não transformáveis. Obtém-se, assim, um sistema diferencial ordinário acoplado na variável independente restante.

5. Truncamento do sistema diferencial ordinário infinito e solução do sistema restante, por procedimentos numéricos bem estabelecidos disponíveis em pacotes de sub-rotinas, para obtenção dos campos transformados com precisão prescrita. Neste ponto, utiliza-se o controle automático de erro global para se ajustar as ordens de truncamento do sistema transformado e oferecer estimativas de erro relativo.

6. Obtenção do potencial original, fazendo-se uso da fórmula analítica de inversão.

38 Do ponto de vista das aplicações práticas de engenharia, pode-se citar o sucesso da utilização da GITT na análise de equipamentos termo hidráulicos, migração de rejeitos radioativos em solos, aerotermodinâmica de veículos espaciais, poluição ambiental, processo de secagem, problemas térmicos em siderurgia, enriquecimento isotópico, combustão, resfriamento de equipamentos eletrônicos, reservatórios de petróleo, entre outros (Pereira, 2000).

39

CAPÍTULO III

40

3.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A interação do movimento de fluidos condutores elétricos com campos elétricos e magnéticos prevê uma rica variedade de fenômenos associados com mecânica dos fluidos e conversão elétrica de energia. Efeitos de tais interações podem ser observados em líquidos, gases, misturas de fases e plasmas. Existem inúmeras aplicações científicas e técnicas, tais como aquecimento e controle de fluxo de processamento de metais, geração de energia a partir de misturas de duas fases ou permeadas com gases a temperaturas elevadas, confinamento magnético de plasmas a alta temperatura (mesmo processo que cria campos magnéticos em corpos planetários). Vários termos têm sido aplicados para o amplo campo de efeitos eletromagnéticos sobre o escoamento de fluidos, tais como magneto-fluido-dinâmica, a magneto-gás-magneto-fluido-dinâmica, a magnetohidromagneto-fluido-dinâmica, ou simplesmente "MHD". Os fluidos em questão devem ser eletricamente condutores e não-magnéticos, os quais se limitam a metais líquidos, gases quentes ionizados (plasmas) e eletrólitos fortes.

41 Apesar de alguns trabalhos pioneiros terem sido realizados pelo engenheiro Hartmann que, em 1918, inventou a bomba eletromagnética (ilustrada na Figura 3.1 a) e também, em 1937, empreendeu uma sistemática investigação, teórica e experimental do escoamento de mercúrio, sob um campo magnético homogêneo. (Hartmann é considerado o pai da magnetohidrodinâmica de metal líquido, sendo o termo de “escoamento de Hartmann” usado para descrever escoamentos em dutos na presença de um campo magnético). O desenvolvimento da magnetohidrodinâmica na engenharia só aconteceu efetivamente a partir da década de 1960. Esse lento progresso, se deve especialmente à baixa condutividade elétrica dos fluidos comumente empregados na engenharia, a saber, o mercúrio e alguns eletrólitos. O ímpeto à mudança veio, principalmente, a partir de três inovações tecnológicas:

a) Reatores de alimentação/produção rápida, que usam sódio liquido como fluido refrigerante e necessita ser bombeado (bomba eletromagnética – Figura 3.1 a);

b) Fusão termonuclear controlada, que requer que um plasma quente seja mantido distante das superfícies do reator por forças eletromagnéticas (Figura 3.1 b),

c) Geração de potência magnetohidrodinâmica, na qual um gás ionizado é propelido através de um campo magnético. Tal inovação mostrou-se posteriormente, tecnicamente inviável.

42 Posteriormente, enquanto a pesquisa por geração de potência magnetohidrodinâmica começava a declinar, a indústria metalúrgica começava a demonstrar interesse por MHD. Duas décadas mais tarde, campos magnéticos eram rotineiramente empregados para aquecer, bombear, agitar (Figura 3.2 a), amortecer o movimento (Figura 3.2 b) e levitar (Figura 3.2 c) metais líquidos em indústrias metalúrgicas de todo o mundo.

Figura 3.2 – Esquema (a) de agitação magnética de um lingote, (b) do amortecimento magnético de movimento durante fundição e (c) de uma válvula eletromagnética.

Adaptados de Davidson (2001).

43 Atualmente, a magnetohidrodinâmica tem-se mostrado importante no processo de eletrólise, particularmente em células de eletrólise usadas para reduzir óxido de alumínio em alumínio. Essas células consistem de camadas largas, mas rasas, de eletrólito/criolita e alumínio líquido, com o eletrólito permanecendo no topo. Uma corrente elétrica extrema (aproximadamente 200 kA) passa verticalmente para baixo através das duas camadas, reduzindo continuamente o óxido de metal. Esse processo é energeticamente intensivo, principalmente por causa da elevada resistência elétrica do eletrólito. Sabe-se que campos magnéticos dispersos podem desestabilizar a interface entre o eletrólito e o alumínio, através de ondas de gravidade interfaciais, as quais absorvem energia do campo magnético convertendo-a em energia cinética (Figura 3.3). De maneira a evitar estas instabilidades, a camada de criolita deve ser mantida em uma espessura acima de algum valor crítico, às custas de uma severa penalidade energética (Davidson, 2001; Gerbeau et al., 2004).

Figura 3.3 – Instabilidade em uma célula de redução de alumínio. Adaptado de Davidson (2001).

Entre outras aplicações da magnetohidrodinâmica na engenharia e na metalurgia, podem-se citar ainda a reformulação de super ligas baseadas em titânio e níquel, a remoção eletromagnética de inclusões não-metálica de metal fundido, propelidores/lançadores eletromagnéticos e o chamado processo de fundição a frio por indução em cadinhos (vitrificação de lixo nuclear altamente ativo).

44

3.2 CONCEITOS BÁSICOS

A interação mútua de um campo magnético, B, e um campo de velocidade, u surge parcialmente como resultado das leis de Faraday e Ampère, e parcialmente por causa da força de Lorentz experimentada por um corpo condutor de corrente elétrica. De maneira conveniente, embora artificial, divide-se essa interação em três ações:

i) O movimento relativo de um fluido condutor e um campo magnético gera uma força eletromotriz, fem (da ordem de u B× ), de acordo com a lei de Faraday da indução. Em geral, correntes elétricas são geradas/induzidas, a densidade de corrente, J, sendo da ordem de, σ

(

u×B

)

, e σ sendo a condutividade elétrica.

ii) As correntes induzidas devem também, de acordo com a lei de Ampère, gerar/induzir um segundo campo magnético. Esse campo magnético se “soma” ao campo magnético original e a mudança é geralmente tal que o fluido parece “arrastar” as linhas de campo magnéticos.

iii) O campo magnético combinado interage com a densidade da corrente induzida, Jgerando/induzindo uma força por unidade de volume, a força de Lorentz,

J ×B. Essa força age sobre o condutor e, geralmente, é dirigida de maneira a inibir o movimento relativo entre o campo magnético e o fluido.

As duas últimas ações têm consequência similares. Em ambos os casos, o movimento relativo entre o fluido e o campo magnético tende a ser reduzido. Fluidos podem “arrastar” linhas de campos magnéticos (efeitos ii) e campos magnéticos podem “segurar” fluidos condutores (efeitos iii). É este “congelamento” parcial do meio e do campo magnético que é o ponto principal da magnetohidrodinâmica.

45 Figura 3.4 – Interação entre um campo magnético e um fio circular em movimento.

Adaptado de Davidson (2001).

O campo magnético associado com a corrente induzida perturba o campo magnético original, e o resultado líquido é que as linhas de campo magnético parecem ser “arrastadas” pelo fio (efeito ii). A corrente induzida também faz surgir a força de Lorentz

J ×B, a qual age no fio na direção oposta ao do movimento (efeito iii). Assim, é necessário fornecer uma força para o movimento do fio.

Para um melhor entendimento do efeito (ii), inicia-se pela percepção de que o campo magnético imposto deverá ser influenciado (a) pela velocidade típica do fluido, (b) pela condutividade elétrica do fluido e, de maneira não tão explícita, (c) por uma escala característica de comprimento, ℓ_{, do movimento. Se o fluido não é condutor ou a sua} velocidade é desprezível, não existirá campo magnético induzido significante. Por outro lado, se σ ou

u

são grandes, então o campo magnético induzido pode alterar o campo magnético imposto (Figura 3.4). Conforme citado, a fem gerada pelo movimento relativo entre o campo magnético imposto e o meio fluido é da ordem de u B× , de maneira que, pela lei de Ohm, a densidade da corrente induzida é da ordem de

(

u×B

)

. No entanto, uma densidade de corrente modesta espalhada sobre uma área pode produzir um campo magnético elevado, enquanto que a mesma densidade de corrente espalhada sobre uma área pequena induz apenas um campo magnético fraco.

Logo, é o produto σ uℓ que determina a razão entre o campo magnético induzido e o campo magnético aplicado. No limite em que

σ

u

ℓ

→∞

_{(condutores ideais), os campos}

46 A astrofísica se situa mais próxima do primeiro caso, não apenas pela alta condutividade dos plasmas, mas devido à grande escala de comprimento envolvida. A MHD de metal líquido, por outro lado, se situa no segundo limite, de maneira que o campo de velocidade não perturba significativamente o campo magnético imposto. Apesar desse fato, o efeito (iii) ainda é forte em metais líquidos, de maneira que um campo magnético imposto altera substancialmente o campo de velocidade (interação de uma via).

Considerando-se a permeabilidade do espaço livre, µ_m, a condutividade elétrica,

, a massa específica do meio, , e uma escala de comprimento característica, ℓ pode-se construir os três seguintes parâmetros chaves da magnetohidrodinâmica.

Re_m =µ σ_m uℓ _{Número de Reynolds Magnético (3.1)}

a

m

B v

ρµ

= Velocidade de Alfvèn (3.2)

1 2 m

B

σ τ

ρ −

 

= 

  Tempo de Amortecimento Magnético (3.3)

O número de Reynolds magnético é uma medida adimensional da condutividade elétrica, de maneira que é Rem, e não apenas , o fator importante em MHD. Quando Rem é grande, as linhas de campo magnético agem como cordas elásticas “agarradas” ao meio, implicando em duas consequências. Primeiro, o fluxo magnético através de uma curva material fechada tende a ser conservado durante o movimento do fluido (as linhas de fluxo tendem a acompanhar a curva, Figura 3.4). Segundo, pequenos distúrbios no meio resultam em oscilações quasi-elásticas, o campo magnético fornecendo a força de restauração para as oscilações. Isso resulta nas ondas de Alfvèn, de frequência ω ≈v_a /ℓ_{. Quando Re}

47

3.3 EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA

As leis básicas do eletromagnetismo são as leis de Lorentz, de Ohm, de Faraday e de Ampère, e serão discutidas em maiores detalhes nesta seção.

3.3.1 CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ

Uma partícula se movendo com velocidade

u

e transportando uma carga q está, em geral, submetida a três forças eletromagnéticas:

s i

f =qE +qE +qu×B (3.4)

- O primeiro termo é a força eletrostática, ou força de Coulomb, a qual surge da repulsão ou atração mútua de cargas elétricas (E_s, é o campo eletrostático),

- O segundo termo é a força que a carga experimenta na presença de um campo magnético dependendo do tempo (E_i, é o campo elétrico induzido pelo campo),

- O terceiro termo é a força de Lorentz, a qual surge com o movimento da carga em um campo magnético.

A lei de Coulomb afirma que E_s é irrotacional, e a lei de Gauss estabelece a sua divergência (Eq.3.5.a). Assim:

(

)

0 e

V ρ

ε

∇ ⋅ −∇ = ; ∇ ×Es =0 (3.5a,b)

onde ρ_e é a densidade de carga total (cargas livres e de ligação) e ε₀ é a permissividade do espaço livre. Em função da Eq. (3.5b), pode-se introduzir o potencial eletrostático

V

, definido por E_s = −∇V , de maneira que, da Eq. (3.5.a), tem-se ∇ = −2V ρ ε_e/ ₀. Por outro lado, o campo elétrico induzido tem divergência nula, enquanto o seu rotacional é finito e governado pela lei de Faraday (ver Eq. 3.6.b):

0

i

E

∇ × = ; E_i B

t ∂ ∇× = −

48 Assim, é conveniente definir o campo elétrico total como E=E_s +E_i, de tal maneira que se pode escrever de maneira generalizada:

0 e

E ρ

ε

∇⋅ = ; E B

t ∂ ∇× = −

∂ (3.7a,b)

(Lei de Gauss) (Lei de Faraday)

(

)

f =q E u B+ × (Força Eletrostática + Força de Lorentz) (3.8)

Se, diferentemente de

u

, E e B, for medido um campo elétrico em um sistema de coordenadas fixo na carga em movimento, define-se o campo elétrico relativo/efetivo:

r

f =qE ; E_r = + ×E u B (3.9, 3.10)

3.3.2 LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA

Em MHD, o interesse é na força global agindo sobre o meio, não nas forças sobre partículas individuais. Assim, um somatório sobre um volume unitário do condutor produz:

e

q ρ

∑ ₌ ; ∑qu= J (3.11, 3.12)

(Densidade de Carga) (Densidade de corrente)

Logo, a versão volumétrica da Eq. (3.8), isto é, da força de Lorentz é:

e

F =ρ E+ ×J B (Força p/ Unidade de Volume) (3.13)

Por outro lado, as velocidades comumente encontradas em aplicações de engenharia são muito menores do que a velocidade da luz e a densidade de carga é muito pequena, de maneira que o primeiro termo da Eq. (3.13) pode ser desprezado. Assim, na magnetohidrodinâmica de metais líquidos, a força de Lorentz é escrita na forma:

49 Sabe-se, por outro lado, que a densidade de corrente, J, em um condutor estacionário é proporcional à força gerada pelas cargas livres, qE , sendo descrita pela lei de Ohm convencional como J =σE (Figura 3.5 a).

Figura 3.5 – lei de Ohm em um condutor (a) estacionário e (b) em movimento. Adaptado de Davidson (2001).

Se, em adição, o condutor se move com velocidade

u

sob um campo magnético, as cargas livres experimentarão uma força adicional qu B× , e a lei de Ohm é agora escrita de maneira generalizada como a (Figura 3.5 b):

(

)

r

J =σE =σ E+ ×u B (Lei de Ohm para MHD/Não-MHD) (3.15)

Se o condutor é um meio fluido, o campo de velocidade

u

variará, em geral, com a posição, tornando a interação entre

u

e B mais sutil e mais difícil de se mensurar.

3.3.3 LEI DE AMPÈRE

Simplificadamente, a lei de Ampère trata do campo magnético gerado por uma distribuição de corrente (Figura 3.6). Se é uma curva fechada, composta de elementos de linha, dℓ_{e é qualquer superfície limitada por essa curva, a lei de Ampère estabelece:}

m

cB d⋅ =µ sJ dS⋅

50 Figura 3.6 – Lei de Ampère aplicada a um fio. Adaptado de Davidson (2001).

Essa lei pode ser entendida como a circulação do campo magnético em torno da curva é igual ao fluxo (densidade) de corrente através da superfície (área, ) delimitada pela curva sobre a qual a circulação está sendo calculada. Na forma diferencial, aplicado o teorema de Gauss, a lei de Ampère é descrita como:

m

B µ J

∇× = (Lei de Ampère) (3.17)

Posteriormente, Maxwell verificou que a lei necessitaria levar em conta a antes desconhecida corrente de deslocamento (a qual se fazia necessária para satisfazer o princípio de conservação da carga, Eq. 3.30), de maneira que a lei passou a ser denominada lei de Ampère-Maxwell. Na forma diferencial ela é escrita como:

0 m

E

B J

t

µ  ε ∂ 

∇× =  + 

∂

  (Lei de Ampère-Maxwell) (3.18)

51

3.3.4 LEI DE FARADAY

A lei de Faraday trata da força eletromotriz (fem) a qual é gerada em um condutor como resultado de (i) um campo magnético variável (depende do tempo), ou (ii) do movimento de condutor no interior de um campo magnético (Figura 3.7). A lei de Faraday pode ser escrita como:

c s

d

fem E d B dS

dt

=

_∫

⋅ ℓ= −

_∫

⋅ (Lei de Faraday/Lenz) (3.19)

Figura 3.7 – Lei de Faraday (a) fem gerada pelo movimento de condutor, (b) fem gerada por um campo magnético dependente do tempo. Adaptado de Davidson (2001).

Onde é uma curva fechada, composta de elementos de linha dℓ _{e é qualquer} superfície limitada por essa curva. Novamente, como na Eq. (3.10), E_ré o campo elétrico

efetivo, medido em uma referência fixa na carga/elemento dℓ _{em movimento.}

Similarmente à lei de Ampère, a lei de Faraday pode ser entendida como a circulação do campo elétrico em torno da curva (fem gerada) sendo igual ao decréscimo da taxa de variação com o tempo do fluxo (densidade) magnético através da superfície (área, ) delimitada pela curva sobre a qual a circulação está sendo calculada.

Na forma diferencial, aplicando o teorema de Gauss e supondo que a curva é rígida e está em repouso (a carga de cada elemento dℓ_{), a lei de Faraday é descrita por:}

B E

t ∂ ∇× = −

52 A Eq. (3.20) é um caso especial da Eq. (3.19), sendo uma definição menos geral do que a sua versão original. Na Eq. (3.19), a fem pode ser gerada pela variação do fluxo de Bcom o tempo, pelo movimento uniforme da curva em ukm campo não-homogêneo, ou pela mudança da forma da curva. Por outro lado, a Eq. (3.20) estabelece apenas o campo elétrico induzido por um campo magnético variante com o tempo.

3.3.5 CONSERVAÇÃO DE CARGA-DIVERGÊNCIA

Conforme já citado, o requerimento de conservação da carga requer que a taxa na qual a carga decresce em um volume de controle deve ser igual ao fluxo de carga para fora através de sua superfície (densidade de corrente, Eq.3.12).

e

J

t

ρ ∂ ∇⋅ = −

∂ (Eq. Conservação da Carga) (3.21)

Tomando o divergente em ambos os lados da equação anterior, e usando a lei de Gauss, obtém-se:

( )

0

e e e

u B t

ρ _{ρ σ}

τ

∂ + + ∇⋅ × =

∂ ;

o e

ε τ

σ

= (3.22 a,b)

A quantidade τ_e é o tempo de relaxação da carga, e para um condutor típico é aproximadamente 10−18s, um valor extremamente pequeno. Para apreciar a origem do seu nome, considere a situação onde

u

=

0

. Nesse caso a Eq. (3.22b) e sua solução são:

0

e e e

t

ρ ρ

τ ∂ + =

∂ ; e

( )

e

( )

0 exp

e

t t

ρ ρ

τ

 

= − 

  (3.23 a,b)

53 Agora, considere a situação em que

u

≠

0

. Desde que se está interessado em eventos que ocorrem em uma escala de tempo muito maior do queτ_e, pode-se desprezar

t

e

∂ ∂ρ

em comparação com ρ_e /τ_e, de maneira que a Eq. (3.23) é escrita como:

( )

u B

e =−ε0∇⋅ ×

ρ (3.24)

Logo, quando existe movimento, pode-se sustentar uma densidade de carga finita no interior de um condutor. Entretanto, como se verá, ρ_e é muito pequena, incapaz de

produzir qualquer força elétrica significante, ρ_eE , de maneira que se justifica o uso da Eq. (3.14).

Em termos de escalas características, a equação anterior pode ser aproximada por

ℓ

/ ~ 0uB e ε

ρ , enquanto da lei de Ohm por E ~ J/σ , de maneira que

(

uB

)(

J

)

u JB

E e

e

ℓ

ℓ σ τ

ε

ρ ~ ₀ / / ~ . Por argumentos dimensionais, _uτ_e/ℓ~10−18, assim, a força de Lorentz domina completamente a Eq. (3.13), a qual passou a ser escrita como a Eq. (3.14):

B J

F = × (Força de Lorentz Volumétrica - MHD)

Observa-se também que para

u

≠

0

, uma hipótese básica é desprezar t

e

∂ ∂ρ

de

maneira que a equação de conservação da carga, Eq. (3.21), passa a ser escrita como:

0

= ⋅

∇ J (Eq. Conservação da Carga - MHD) (3.25)

Com relação à lei de Ampère-Maxwell, explicitando a densidade de corrente J, aplicando o divergente sobre a equação obtida e fazendo uso da lei de Gauss, obtém-se:

( )

t E t J e ∂ ∂ − = ⋅ ∇ ∂ ∂ − = ⋅

54 Esta é exatamente a equação da conservação da carga, a qual demonstra que se a lei de Ampère for empregada sem a corrente de deslocamento (correção de Maxwell), a

conservação da carga seria violada. Entretanto, como já citado, em condutores, o termo

t

e

∂ ∂ρ

é desprezível, ou, por argumentos dimensionais, a corrente de deslocamento é muito

menor do que J. Assim a Eq. (3.17) é suficiente para análises de MHD:

J B=µm

×

∇ (Lei de Ampère - MHD)

Em adição, essa equação é consistente com a Eq.(3.25), a equação da conservação da carga simplificada, uma vez que, tomando-se o divergente da Eq. (3.17), obtém-se a Eq. (3.25). Finalmente, com relação a lei de Faraday, Eq. (3.20), tomando-se o divergente em ambos os lados, obtém-se:

(

E

)

B 0

t

∂ ∇ ⋅ ∇ × = −∇ ⋅ =

∂ (3.27)

Tal resultado mostra que

t B

∂ ∂

(e o próprio B) são solenoidais. Isto é:

0

= ⋅

∇ B (Pra MHD e Não-MHD) (3.28)

Isto permite a introdução de um outro campo, A, denominado vetor potencial, o qual é definido tal que:

B A =

×

∇ ; ∇⋅A= 0 (3.29, 3.30)

Essa definição assegura, automaticamente, que B é solenoidal, uma vez que

(

A

)

0

∇ ⋅ ∇ × = . Agora a substituição de Ana lei de Faraday, Eq.(3.20), produz:

(

)

A

E A E

t t

∂ ∂

∇ × = − ∇ × = −∇ ×

∂ ∂ ⇒

A

E V

t

∂ ∇ × = − − ∇

55 Onde é uma função escalar arbitrária (potencial eletrostático), necessária no resultado, tendo em vista queE=E_s +E_i, e as restrições impostas pela Eq. (3.5b),

0

= ×

∇ Es , e Eq. (3.6a),∇×Ei =0:

V E_s =−∇ ;

t A E_i

∂ ∂ −

= (3.32a,b)

3.3.6 INCLUSÃO DOS EFEITOS HALL E DESLIZAMENTO DE ÍONS

No regime entre partículas colisionais e não-colisionais, as partículas portadoras de carga (elétrons e íons) sofrem deflexão de sua trajetória ao interagir com um campo magnético transversal. Para balancear esse efeito de deflexão, surge uma densidade de corrente elétrica induzida. Tal corrente induzida é a denominada corrente Hall e o fenômeno associado de geração de uma componente transversal de velocidade é conhecido como efeito Hall (Sutton e Sherman, 2006).

Em sólidos e líquidos condutores e em gases totalmente ionizados, a velocidade de difusão dos elétrons é muito maior do que a de íons e, como aproximação, a densidade da corrente elétrica induzida é determinada principalmente pela difusão dos elétrons, a qual depende da razão entre a frequência cíclotron dos elétrons e a frequência de colisões.

De maneira geral, a intensidade do efeito Hall para elétrons (corrente de condução associada aos elétrons) é proporcional à velocidade transversal de difusão dos elétrons:

e e e

J = −n e V (3.33)

Onde, n é o número de elétrons, _e e é a carga elétrica e V é a velocidade _e transversal de difusão dos elétrons. A corrente elétrica induzida provoca, assim, um campo elétrico secundário, o qual é descrito por:

(

)

e e e

E = −

β

J ×B (3.34)

1 e

e

n e