Análise das equações de Navier-Stokes no escoamento bidimensional em dutos com formulação em variáveis primitivas via GITT

ANÁLISE DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES NO

ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL EM DUTOS COM

FORMULAÇÃO EM VARIÁVEIS PRIMITIVAS VIA GITT

por

Juanice Helena de Andrade

Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Federal da

Paraíba para obtenção do grau de Mestre.

João Pessoa - Paraíba Setembro - 2010

-JUANICE HELENA DE ANDRADE

ANÁLISE DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES NO

ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL EM DUTOS COM

FORMULAÇÃO EM VARIÁVEIS PRIMITIVAS VIA GITT

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da

Universidade Federal da Paraíba, em

cumprimento às exigências para a obtenção

do Grau de Mestre.

Orientador:

Carlos Antônio Cabral dos Santos

Andrade. – João Pessoa: [s.n.], 2010. 81f.

Orientador: Carlos Antonio Cabral dos Santos. Dissertação (Mestrado) – UFPB/CT

1. Engenharia Mecânica 2. Navier-Stokes 3. Poisson 4. Variáveis Primitivas. 5. Fluido newtoniano

• Dedico este trabalho ao meu pai, Benedito, e a minha mãe, Luzia, pelos estímulos recebidos.

• Aos meus irmãos, Celma, Joilton, e em especial a minha irmã Josenice.

• Aos meus queridos filhos, Mariana e Ricardo, pelo incentivo, paciência, por terem suportado a distância durante esse tempo longe,

por todas as horas ausentes, e pelo grande amor que nos unem.

• Ao meu esposo, Mário, pelo apoio, compreensão nessa minha caminhada, por ter me incentivado nos momentos difíceis e pelo amor

que construímos ao longo desses anos.

• E a todos os meus familiares e amigos.

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela infinita fonte de fé e sabedoria.

Ao Professor Carlos Antonio Cabral dos Santos, pelas orientações fornecidas, discussões enriquecedoras, dedicação, confiança depositada em mim, e pela amizade construída durante a execução deste trabalho.

A todos os professores e funcionários do Programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica, e do Laboratório de Energia Solar – LES da Universidade Federal da Paraíba – UFPB, em especial ao Profº Zaqueu, a Mônica, a Andréia e a Iolanda.

A todos os professores e funcionários do Instituto Federal da Bahia, principalmente o Campus Simões Filho onde trabalho, e não podia deixar de lembrar da Profª Núbia e do Profº Esdras pelas orientações na minha caminhada para a pós-graduação.

Ao meu amigo Frank Werley, pela amizade, pelo apoio prestado durante o meu curso, pelas dúvidas tiradas e principalmente pela paciência comigo deixo um agradecimento especial pela valiosa ajuda.

A todos os colegas do curso de pós-graduação que tive a oportunidade de conhecer durante a nossa convivência na UFPB, em especial aos que juntos começamos essa caminhada Márcio, Wilton, Camilo, Oldineia e Edilma pela amizade que se fortaleceu a cada dia em busca deste objetivo em comum.

A Professora Elza Leão, pela amizade, pela ajuda indispensável aqui em João Pessoa.

A todos os colegas e amigos que conquistei nesta Universidade durante esses dois anos que tive a oportunidade de conviver harmoniosamente tanto neste mestrado como no mestrado da matemática, e em especial a minha amiga Tarciana.

Enfim, agradeço a cada uma das pessoas que se acharem merecedoras dos meus agradecimentos.

FORMULAÇÃO EM VARIÁVEIS PRIMITIVAS VIA GITT

RESUMO

No presente trabalho a Técnica da Transformada Integral Generalizada é empregada para produzir soluções híbridas para os campos de velocidade e pressão de um fluido newtoniano no escoamento bidimensional. O problema é formulado a partir da utilização das variáveis primitivas e as manipulações matemáticas necessárias foram usadas para a obtenção da equação de Poisson para o campo de pressão. As equações da quantidade de movimento na direção axial do escoamento e a de Poisson são transformadas para a retirada da dependência transversal. Os campos transformados resultantes são resolvidos com a subrotina numérica do IMSL, DBVPFD. Os resultados obtidos para o perfil de velocidade longitudinal no centro do canal são comparados com os dados disponíveis na literatura aberta para validação e ajustes do modelo. Ainda assim, são realizados estudos de convergência da solução para o perfil de velocidade no centro, bem como testes em diferentes valores do fator de contração de escala da coordenada axial para a escolha de um fator que melhor se ajuste a comparação com os dados disponíveis. Dados de interesses práticos, tais como: fator de atrito e velocidade média são obtidos ao longo do duto para uma condição de entrada no canal do escoamento paralelo (v = 0).

Palavras-chave: Navier-Stokes, Poisson, Variáveis Primitivas, Fluido Newtoniano, GITT.

ANALYSIS OF THE NAVIER-STOKES EQUATIONS IN TWO

DIMENSIONAL FLOW WITH PRIMITIVE VARIABLES

FORMULATION VIA GITT

ABSTRACT

In this paper the Generalized Integral Transform Technique is employed to produce hybrid solutions for the velocity and pressure fields of a newtonian fluid in two dimensional flow. The problem is formulated by using primitive variables and the necessary mathematical manipulations were used to obtain the Poisson equation for the pressure field. The momentum equations in the axial direction of flow and Poisson are transformed to remove the transversal dependency. The resulting transformed fields are solved with the IMSL numerical subroutine, DBVPFD. The obtained results for the longitudinal velocity profile at the center of the channel are compared with the available data in the open literature for validation and model fitting. Even so, studies are carried out about the convergence of the solution for the velocity profile in the centerline as well as testing different values of the scale factor of axial coordinate for the choice of a factor which can fit perfectly for comparison with available data. Interest practical datas such as: friction factor and mean velocity are obtained along the duct for a entry condition into the parallel flow channel (v = 0).

1 – INTRODUÇÃO... 01

1.1 – MOTIVAÇÕES E OBJETIVOS... 01

1.2 – SÍNTESE DO TRABALHO... 03

2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 05

2.1 – ESCOAMENTO DE FLUIDOS... 05

2.2 – TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA ... 07

3 – SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DO ESCOAMENTO EM DUTO CIRCULAR VIA TRANFORMAÇÃO INTEGRAL... 12

3.1 – INTRODUÇÃO... 12

3.2 – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA... 13

3.3 – APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL GENERALIZADA (GITT)... 18

3.3.1 – Problema auxiliar para o campo de velocidade... 18

3.3.2 – Problema auxiliar para o campo de pressão... 19

3.3.3 – Determinação dos pares Transformada - Inversa ... 20

3.3.4 – Cálculo da Velocidade Média ... 21

3.3.4 – Cálculo da Velocidade Transversal... 22

3.3.5 – Cálculo do Fator de Atrito ... 22

3.4 – TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO SISTEMA DE EQUAÇÕES... 23

3.5 – SOLUÇÃO DO SISTEMA DIFERENCIAL ORDINÁRIO... 29

4 – ANÁLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSÕES... 33

4.1 – ANÁLISE DOS RESULTADOS PARA O CAMPO DE VELOCIDADE... 33

4.1.1 – Resultados para duto circular... 35

5 – CONCLUSÕES... 45

REFERÊNCIAS... 48

APÊNDICE A... 52

Figura 3.1 – Definição do problema proposto... 12

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Convergência da velocidade longitudinal no centro do canal U(X,0) para Re = 20, condições de entrada U = 1 e V = 0... 35

Tabela 4.2 – Convergência da razão entre a velocidade longitudinal e a velocidade média no centro do canal, Uc/Um, para duto circular com Re = 20... 36

Tabela 4.3 – Convergência da velocidade longitudinal no centro do canal U(X,0) para Re = 20, condições de entrada U = 1 e V = 0 comparando as referências... 37

Tabela 4.4 – Convergência da pressão longitudinal no centro do canal P(X,0) para Re = 20, condições de entrada U = 1 e V = 0... 38

Tabela 4.5 – Convergência da velocidade longitudinal no centro do canal U(X,0) para Re = 20, condições de entrada U = 1 e V = 0, NU = NP = 40, Eik = 0 e vários

fatores de contração de escala.. ... 39

Tabela 4.6 – Convergência da razão entre a velocidade longitudinal e a velocidade média no centro do canal, Uc/Um, para Re = 20 condições de entrada U = 1 e V = 0,

NU = NP = 40, Eik = 0 e vários fatores de contração de escala... 39

Tabela 4.7 – Convergência da velocidade longitudinal no centro do canal U(X,0) observando o coeficiente Eik, computando a contribuição para diferentes

valores de y00 na posição x = 0,1 e N = NU = NP... 40

valores de y00 na posição x = 0,5 e N = NU = NP... 41

Tabela 4.10 – Convergência da velocidade longitudinal no centro do canal U(X,0) observando o coeficiente Eik, computando a contribuição para diferentes valores de y00 na posição x = 0,7 e N = NU = NP... 41

Tabela 4.11 – Convergência da velocidade longitudinal no centro do canal U(X,0) observando o coeficiente Eik, computando a contribuição para diferentes valores de y00 na posição x = 0,75 e N = NU = NP... 42

Tabela 4.12 – Convergência da velocidade longitudinal no centro do canal U(X,0) para Re = 20, condições de entrada U = 1, V = 0, C = 1,2, N = NU = NP = 30 e Eik

= 0... 43

Tabela 4.13 – Convergência da velocidade média Um em relação ao coeficiente Eik,

computando a contribuição para diferentes valores de y00 e Eik = 0,

referência x = 0,25... 43

Tabela 4.14 – Convergência da velocidade média Um em relação ao coeficiente Eik,

computando a contribuição para diferentes valores de y00 e Eik = 0,

LISTA DE SÍMBOLOS

m

A Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.36)

ijk

AB Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.28)

∞ ik

AB Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.29)

in

C Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.30)

b Distância entre a linha central e a parede [m]

∞ i

D Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.32)

ik

E Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.39)

ijk

E Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.40)

i

F Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.22 b)

ijk

F Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.41)

∞ ik

i

G Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.35)

im

G Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.38)

mat

P

Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.34)

i

M Integral de normalização da autofunção para o campo de pressão (3.16)

i

N Integral de normalização da autofunção para o campo de velocidade (3.11)

NP Número de termos da expansão para o campo de pressão

NU Número de termos da expansão para o campo de velocidade

(

X Y

)

P* , Potencial da pressão do campo em desenvolvimento.

(

X Y

)

P_F , Filtro adimensional para o campo de pressão pelas equações (3.6 d-e)

0

p Pressão de entrada [Pascal]

( )

X

P

_i Campo de pressão transformado

ik

Q Coeficientes da transformação integral definido pela equação (3.37)

) , ( *

Y X

U Potencial da velocidade do campo em desenvolvimento

) , (X Y

U Componente de velocidade longitudinal adimensional filtrado

(

x y

)

u , Componente de velocidade longitudinal dimensional [m/s]

i

U Componente de velocidade longitudinal transformado

0

u Campo de velocidade na entrada [m/s]

) (Y

U_∞ Campo de velocidade completamente desenvolvido

) , (X Y

V Componente de velocidade transversal adimensional

X Coordenada adimensional longitudinal

x Coordenada dimensional longitudinal [m]

Y Coordenada adimensional transversal

y Coordenada dimensional transversal [m]

Símbolos Gregos

i

β

Autovalores associado ao campo de pressão

in

(

_i Y

)

i ,

~

µ

φ

Autofunções de velocidade normalizada

µ Viscosidade dinâmica newtoniana [Pa.s]

i

µ

Autovalores associados ao campo da velocidade longitudinal

(

_i Y

)

i

β

,

ψ

Autofunções do problema auxiliar para a componente de pressão

(

_i Y

)

i ,

~

_β

ψ

Autofunções de pressão normalizada

Subscritos

F Relativo ao filtro

o Relativo a posição de entrada

i,j,k Índice da ordem dos autovalores

∞ Relativo ao final do duto

Superscritos

* _{Relativo aos potenciais de velocidade e pressão adimensionais}

~ Relativo à normalização das autofunções

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta as motivações que me levaram à execução desse trabalho e os objetivos para situar o problema físico abordado sob o ponto de vista das aplicações na engenharia. O estudo do escoamento laminar bidimensional em dutos circulares foi realizado utilizando um fluido newtoniano e a formulação em variáveis primitivas com a aplicação da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) nas equações de Navier-Stokes e de Poisson.

1. 1 – MOTIVAÇÕES E OBJETIVOS

O trabalho constitui-se de uma análise dos escoamentos, que tem fundamental importância na vida e em diversas áreas da engenharia, sendo que estas recorrem aos conhecimentos das ciências exatas e da natureza, tais como a matemática, a física e a engenharia mecânica, para a elaboração dos modelos a serem submetidos a simulações e ensaios. O equacionamento e o desenvolvimento matemático possibilita implementações, simplificações e interpretações físicas das soluções e conclusões obtidas. Com o uso das equações de Navier-Stokes e de Poisson, pode-se entender os fenômenos físicos e relacioná-los ao dia a dia.

Apesar da grande quantidade de estudos já realizados na análise de escoamentos, o tema ainda continua despontando interesse de pesquisadores principalmente na região de entrada hidrodinâmica onde os efeitos viscosos são mais pronunciados. A região de entrada exige análise mais complexa representada por formulações robustas e maiores dificuldades matemáticas associadas à obtenção dos campos de velocidade e de pressão.

O conhecimento do campo de pressão ao longo do escoamento pode auxiliar o monitoramento e o controle sobre o escoamento de fluidos. Um exemplo de aplicação é o setor de petróleo e gás, prevenindo e reduzindo danos ao meio ambiente.

Com o desenvolvimento científico-tecnológico alcançado nestas últimas décadas, aliado à rápida evolução dos computadores, problemas complexos e de grande relevância sócio-econômica podem ser simulados computacionalmente utilizando modelos sofisticados capazes de representar o comportamento real com alto grau de precisão.

A necessidade cada vez maior de soluções exatas, em curto intervalo de tempo, fez com que as técnicas de aproximação numérica ganhassem espaço sobre a experimentação e aos métodos analíticos clássicos. Sabe-se que a experimentação é quase sempre demorada, dispendiosa e o gasto com aquisição e aferição de equipamentos são enormes para cada nova situação e os métodos analíticos clássicos apresentam certas limitações na resolução do modelo matemático, o que os torna uma aproximação do problema proposto.

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proporcionarem um custo computacional elevado, pois em algumas situações, para se conseguir uma precisão necessita-se de uma malha com um número de pontos elevado, inviabilizando assim determinadas soluções.

O avanço das técnicas híbridas numérico-analíticas de solução tem permitido a abertura de novos rumos em pesquisas envolvendo escoamentos (em regimes laminares ou turbulentos) onde as equações governantes para o transporte da quantidade de movimento geralmente não são lineares. Para a solução de problemas complexos na engenharia foi utilizado um método híbrido bastante eficiente para a obtenção dos potenciais, o qual é formado pela combinação de técnicas analíticas associadas a aproximações numéricas que surgiram como alternativa para resolver os métodos puramente numéricos. E tudo isso só foi possível com o desenvolvimento dos computadores digitais com velocidades de processamento cada vez maiores, através dos quais tem-se avançado bastante na simulação de problemas em mecânica dos fluidos e transferência de calor, possibilitando um menor custo computacional e minimizando o tempo de trabalho.

A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), utilizada neste trabalho, é considerada como eficiente na resolução de certas classes de problemas difusivos. O objetivo da mesma é transformar um sistema de equações diferenciais parciais original em um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias, através da eliminação de dependências espaciais. Esses sistemas diferenciais podem ser resolvidos de maneira mais simples, com a vantagem de produzir uma solução mais aprimorada e mais econômica, além de permitir um controle pré-estabelecido sobre o erro dos resultados.

O presente estudo pretende inicialmente estender a aplicação da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) na solução em termos de variáveis primitivas das equações de Navier-Stokes para o problema hidrodinâmico do escoamento laminar bidimensional em dutos circulares com um fluido newtoniano em seu interior, levando-se em consideração os campos de velocidade e de pressão com a equação de Poisson.

Este trabalho está subdividido em cinco capítulos, incluindo este introdutório, os outros estão divididos da seguinte forma:

O capítulo II apresenta uma revisão bibliográfica sobre escoamentos de fluidos, e uma breve revisão da Técnica Transformada Integral Generalizada (GITT), destacando as etapas básicas e aplicações da mesma.

O capítulo III trata da formulação matemática do desenvolvimento da solução para a equação de Navier-Stokes, com formulação em variáveis primitivas para o problema bidimensional de um escoamento laminar em dutos circulares com perfis de velocidade e pressão uniformes na entrada. Além disso, será feita a aplicação da Técnica Transformada Integral Generalizada em cada termo nas equações.

O capítulo IV apresenta uma análise dos resultados para o campo de velocidade e de pressão, as tabelas de convergências e discussões em relação ao problema em estudo.

No capítulo V, são apresentadas as conclusões e sugestões para futuros trabalhos.

CAPÍTULO II

REVISÃO BIBLIOGRAFICA

No presente capítulo será apresentada uma descrição das principais contribuições na literatura que trataram dos escoamentos em dutos circulares, e da Técnica da Transformada Integral Generalizada foram utilizadas as equações de Navier-Stokes e a equação de Poisson.

2.1 – ESCOAMENTO DE FLUIDOS

Compreender o significado da mecânica dos fluidos é necessário para iniciar o presente estudo e extremamente importante em muitas áreas da engenharia, quais sejam: na biomecânica, com o escoamento do sangue; na meteorologia e na engenharia oceanográfica, com a compreensão dos deslocamentos dos movimentos do ar e das correntes marítimas; na química para projetar os diferentes equipamentos de processamento químico, tratamentos de esgotos; aeronáutica para aumentar a sustentação aerodinâmica e diminuir a resistência em aeronaves e para projetar motores a jato; na mecânica projetam bombas, turbinas, canais de irrigação, motores de combustão interna, compressores a ar, equipamentos de ar condicionado, equipamentos de controle de poluição do ar e da água, usinas de energia, dentre outras.

Chaussees (escola de pontes e açudes), foram os primeiros a incluir cálculo e teoria científica no currículo de engenharia, que se tornou um modelo para o resto do mundo. Antonie Chezy (1718-1798), Louis Navier (1785-1836), Gaspard Coriolis (1792-1843), Henry Darcy (1803-1858) e muitos outros que contribuíram para a engenharia e teoria dos fluidos foram estudantes e/ou professores nessas escolas. Em meados do século XIX, o médico Jean Poiseuille (1799-1869) mediu com precisão o escoamento em tubos capilares de fluidos múltiplos; na Alemanha, Gitthilf Hagen (1797-1884) definiu a diferença entre escoamento laminar e turbulento em tubulações, na Inglaterra, Lord Osborne Reynolds (1842-1912) continuou esse trabalho e desenvolveu o número adimensional que leva o seu nome. De modo similar, em paralelo ao trabalho inicial de Navier, George Stokes (1819-1903) completou as equações gerais do movimento dos fluidos com atrito que levam seus nomes, ÇENGEL (2007).

As equações de Navier-Stokes tem sido largamente utilizadas no modelamento matemático para muitos fenômenos na mecânica dos fluidos. Por exemplo: escoamentos laminares ou turbulentos, que podem ser utilizados em dutos ou em placas planas com formulação em função corrente ou em variáveis primitivas. Os escoamentos podem ser estudados e analisados em função de determinadas grandezas tais como: velocidade, pressão ou temperatura.

A análise de estudos envolvendo escoamentos de fluidos usando ferramentas computacionais tem sido uma área em constante desenvolvimento, com diferentes campos de aplicações e com progresso no tratamento das equações com formulações seja com visão em camada limite ou com o uso das equações de Navier-Stokes. Devido à procura de métodos que suportem a solução destas equações, tem-se investido no estudo e na avaliação de problemas aplicados tanto na matemática quanto na engenharia.

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disponíveis tem facilitado o desenvolvimento e os testes de modelos cada vez mais sofisticados e completos para a simulação dos escoamentos.

2.2 - A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA (GITT)

A Técnica da Transformada Integral Generalizada (G.I.T.T.) surgiu há mais de duas décadas, destacando-se como uma ferramenta poderosa que permite a solução dos diversos e complexos problemas com o trabalho de ÖZISIK & MURRAY (1984) a partir das ideias da Técnica da Transformada Integral Clássica, MIKHAILOV & ÖZISIK (1974). A G.I.T.T. proporciona soluções híbridas numérico-analíticas para problemas de difusão e de convecção-difusão cuja transformação integral resulta em sistemas de equações diferenciais ordinárias acopladas. Desde então a aplicação da G.I.T.T. tem solucionado problemas de classes mais gerais, tanto lineares, quanto não-lineares. O estudo mais detalhado e completo sobre G.I.T.T. foi feito por COTTA (1993).

A ideia principal é transformar um sistema de equações diferenciais parciais original em um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias através da expansão em autofunções, que é truncado em um número de termos necessários para garantir a convergência. A solução é obtida analiticamente para problemas que possam ser transformados em sistemas desacoplados para que possa ser resolvido de forma simples, ou numericamente para problemas mais complexos.

Do ponto de vista computacional, o principal problema é a escolha da ferramenta numérica conveniente para a solução do problema físico através das equações em estudo. Sabe-se que na literatura existem vários métodos numéricos e suas diversas implementações para resolver tais problemas. Dentre estas ferramentas, vamos utilizar a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), que tem o reconhecimento da comunidade internacional como uma ferramenta importante para a construção de resultados “benchmark”, ou seja, é um método apropriado para fins de validação de

retendo neste aspecto as mesmas propriedades de uma solução puramente analítica, em problemas de transferência de calor e mecânica dos fluidos.

Uma característica importante desta metodologia, e que a diferencia de outros métodos numéricos, é a garantia de convergência satisfatória das soluções para ordens crescentes de truncamento das séries. Este comportamento indica que é possível obter-se soluções com um número de algarismos significativos convergidos para um determinado número de termos nas expansões. Pela sua natureza híbrida, a Técnica da Transformada Integral Generalizada apresenta vantagens com relação a métodos puramente numéricos, pois retém as mesmas bases de uma solução analítica, não necessitando de discretização de domínio nem geração de malha, LIMA (2000).

Com a GITT podemos resolver problemas das cinco classes diferentes:

• problemas de difusão;

• problemas de convecção-difusão; • problemas de autovalor;

• equações da camada limite; • Equações de Navier-Stokes.

Para a solução de um determinado problema através da GITT deve-se seguir as seguintes etapas:

• Escolha de um problema auxiliar apropriado, que contenha o maior número de informações possíveis a respeito do problema original;

• Solução do problema auxiliar e obtenção das autofunções, autovalores, normas e propriedade de ortogonalidade;

• Escrevendo o potencial original como uma expansão das autofunções oriundas do problema auxiliar e da propriedade de ortogonalidade, determina-se o par de fórmulas Transformada-Inversa;

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integral que contenha a autofunção do problema auxiliar que possibilite a eliminação de uma ou mais variáveis espaciais;

• Resolução numérica do sistema de equações diferenciais ordinárias acopladas, através do truncamento da série em uma ordem suficientemente grande para a precisão desejada, utilizando subrotinas numéricas disponíveis e obtendo-se os potenciais transformados. Estas subrotinas são encontradas em pacotes comerciais de bibliotecas científicas, tais como a IVPAG para problemas de valor inicial (parabólicos) e BVPFD para problemas de valor de contorno (elípticos), ambas da biblioteca do IMSL (1989).

• Utilizar a fórmula inversa definida anteriormente, a fim de recuperar o potencial original.

Recentemente alguns passos intermediários são utilizados com o objetivo de melhorar a performance da técnica, como a utilização de filtros para aceleração da convergência, reordenamento de autovalores e potenciais.

Podemos citar alguns trabalhos envolvendo soluções das equações de Navier-Stokes ou Camada Limite empregando métodos numéricos tais como: WANG e LONGWELL (1964), FRIEDMANN et al (1968) e MCDONALD et al (1972).

A aplicação da técnica da transformada integral generalizada (G.I.T.T.) na solução de escoamentos bidimensionais laminares ou turbulentos de fluidos foi bastante estudada, tanto para as equações de Navier-Stokes, como para as equações da Camada Limite com a formulação em função corrente, podemos citar: PAZ et al (2007), SILVA et al (2009),

SILVA et al (2004), PEREIRA et al (1998), dentre muitos outros.

Em relação às aplicações práticas de engenharia, pode-se citar o sucesso da utilização da GITT na análise de equipamentos termo-hidraúlicos, migração de rejeitos radiativos em solos, poluição ambiental, aerodinâmica de veículos espaciais, resfriamento de equipamentos eletrônicos, reservatórios de petróleo entre outros.

O problema de escoamento laminar entre placas planas e duto circular é considerado um problema clássico na literatura de métodos de solução de problemas convectivos, porque a sua geometria permite um tratamento matemático mais simples.

No estudo de escoamentos com o perfil hidrodinâmico desenvolvido existe uma vasta literatura compilada por SHAH e LONDON (1978) para diferentes condições de contorno tais como: temperatura constante, fluxo de calor uniforme, combinação entre as anteriores e introdução do termo de radiação.

MEDEIROS (1998) estuda a convecção forçada em regime permanente e transiente no escoamento em desenvolvimento simultâneo com variação senoidal do perfil de temperatura de entrada em canais de placas planas e dutos circulares. A G.I.T.T. foi usada para fornecer uma solução híbrida semi-analítica da equação da energia que está sujeita a uma condição de contorno do 5º tipo, considerando os efeitos da capacitância térmica da parede, como também para resolver as equações da camada limite com formulação em variáveis primitivas e em função corrente para placas planas, e para dutos circulares com formulação em variáveis primitivas.

LIMA (2000) estuda em sua tese o escoamento incompressível turbulento, em desenvolvimento térmico e hidrodinâmico no interior de um canal de placas planas paralelas, utilizando as equações da camada limite com formulações em varáveis primitivas e função corrente, empregando-se o método da GITT.

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variáveis primitivas, utilizando a técnica da G.I.T.T., para determinar os perfis hidrodinâmico e de concentração.

NASCIMENTO et al (2006) analisam a aplicação da técnica GITT na solução da

equação do momento para um escoamento laminar hidrodinâmico de um fluido não-newtoniano em duto circular, utilizando a equação da camada limite com formulação em variáveis primitivas.

SILVA (2001) analisa a convecção forçada no escoamento bifásico com o objetivo de simular um trocador de calor do tipo arame e tubo muito usado em refrigeradores domésticos. Foi utilizada a técnica G.I.T.T. para produzir soluções híbridas para os campos hidrodinâmico e térmico no interior do duto circular horizontal. O resultado obtido para o perfil hidrodinâmico ao longo do tubo é apresentado primeiro em desenvolvimento, devido à influência dos efeitos de entrada e, em seguida, um perfil totalmente desenvolvido por não sofrer mais a influência da entrada.

SILVA (2003) estuda o escoamento laminar de um fluido newtoniano incompressível no desenvolvimento simultâneo em dutos de geometrias regulares com formulação em variáveis primitivas e no desenvolvimento hidrodinâmico em dutos irregulares com formulação em termos de função corrente, aplicando o método G.I.T.T. na solução das equações de Navier-Stokes e da Energia para a determinação dos campos de velocidades e temperaturas.

SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DO ESCOAMENTO EM DUTO

CIRCULAR VIA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL

3.1 – INTRODUÇÃO

O objetivo deste capítulo é desenvolver uma solução para a equação de Navier-Stokes com formulação em variáveis primitivas para o problema bidimensional de um escoamento laminar de um fluido newtoniano em duto circular com perfis de velocidade e pressão uniformes na entrada. Para construção da solução é feito uso da aplicação da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) para fornecer uma solução híbrida, ou seja, uma solução analítico-numérica das equações da conservação da quantidade de movimento e de Poisson, com o conhecimento dos campos de velocidades, de pressão ao longo do canal analisado. A seguir é apresentado, de forma esquemática, na Fig. 3.1, que serve de base para o desenvolvimento da análise e busca da solução dos problemas propostos.

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3.2 – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

Considere o desenvolvimento simultâneo de um escoamento laminar de um fluido newtoniano em um duto circular para a solução do problema hidrodinâmico. O problema é descrito através das equações da continuidade, da quantidade de movimento, de Poisson, e estas apresentam desafios sob o ponto de vista numérico quando são modeladas em variáveis primitivas.

A formulação matemática do problema físico é obtida a partir das seguintes considerações:

- Fluido newtoniano e incompressível;

- Os efeitos da dissipação viscosa não serão considerados; - As propriedades físicas serão constantes;

- Impermeabilidade e não-deslizamento nas paredes do duto; - Escoamento laminar, bidimensional;

- Regime permanente;

- Velocidade longitudinal (u) e velocidade transversal (v)

As equações são descritas a seguir para 0 < y < b e x > 0:

Equação da continuidade

= y

[y.v(x,y)] y

+ x u(x,y)

0 1

∂ ∂ ∂

∂

(3.1 a)

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento na direção x:

(

)

x y x u y

u(x,y) y.

y y

ȡ

x p

ȡ

= -y u(x,y) + v(x,y)

x u(x,y)

u(x,y) _»

¼ º «

¬ ª

∂ ∂ + ¸¸ ¹ · ¨¨

© § ∂

∂ +

∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂

2 2 _, 1

1

∂ ∂

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento na direção y:

(

)

(

)

» ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ + ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 _, 1 1 x y x v y yv(x,y) . y y ȡ y p ȡ = -y v(x,y) + v(x,y) x v(x,y) u(x,y) ∂ ∂ µ (3.1 c)

Equação de Poisson é determinada a partir de algumas operações matemáticas tais como derivadas, multiplicações, simplificações e utilizando a equação da continuidade nas equações da quantidade de movimento nas direções x e y. A dedução dessa equação em coordenadas cilíndricas veja no apêndice A.

» ¼ º « ¬ ª − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 y v y u x v y v x u y p y y y x p

ρ

(3.1 d)

Condições iniciais e de contorno:

) , ( , 0 ) , ( , ) ,

(x y u₀ v x y p x y p₀

u = = = , para x = 0 (3.1 e-g)

0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 ) , ( = ∂ ∂ = = ∂ ∂ y y x p y x v y y x u

, para y = 0, (3.1 h-j)

( )

( )

» ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = _∞ ∞ y y u y y y x y x p y x v y u y x

u( , ) , ( , ) 0, ( , )

µ

, para x > 0, (3.1 k-m)

(

)

(

(

)

)

» ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = y y x yv y y y y x p y x v y x

u( , ) 0, ( , ) 0, ,

µ

1 , , para y = b (3.1 n-p)

Os grupos adimensionais utilizados:

, , ) , ( ) , ( , ) , ( ) , ( , , ₂ 0 0 0 u p P u y x v Y X V u y x u Y X U b y Y b x X

ρ

= = = =

= (3.2 a-e)

15

ν µ

ρu₀b u₀b

Re= = , sendo

ρ µ

ν = (3.3)

Aplicam-se os seguintes grupos adimensionais nas equações anteriores e obtém-se o sistema de equações adimensionalizadas no domínio 0 < y < 1 e x > 0:

Equação da Continuidade:

0 ] . [ 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ Y V Y Y X U (3.4 a)

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento em X:

¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ∂ ∂ + »¼ º «¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 1 Re 1 X U Y U Y Y Y X P Y V V X U

U (3.4 b)

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento em Y:

(

)

¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ∂ ∂ + »¼ º «¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 . 1 Re 1 X V Y V Y Y Y Y P Y V V X V

U (3.4 c)

Equação de Poisson:

» ¼ º « ¬ ª − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 Y V Y U X V Y V X U Y P Y Y Y X P (3.4 d)

As condições iniciais e de contorno tornam-se:

1

)

,

(

X

Y

=

U

;

V

(

X

,

Y

)

=

0

; P

(

X,Y

)

=P0, em X = 0 (3.5 a-c)

0 ) , ( = ∂ ∂ Y X Y U

;

V

(

X

,

Y

)

=

0

;

(

,

)

=0 ∂ ∂ Y Y X P

(

X Y

)

U

( )

Y

U , = _∞ ; V

(

X,Y

)

=0;

(

)

( )

¿ ¾ ½ ¯

® ­

» ¼ º «

¬ ª

∂ ∂ ∂

∂ =

∂

∂ _∞

Y Y U Y Y Y X

Y X

P 1 .

Re 1 ,

, em X→ ∞

(3.5 g-i)

0 ) , (X Y =

U ;

V

(

X

,

Y

)

=

0

;

(

)

(

)

¿ ¾ ½ ¯

® ­

»¼ º «¬

ª ∂ ∂ ∂

∂ =

∂ ∂

Y V Y Y Y Y

Y X

P 1 .

Re 1 ,

, em Y = 1 (3.5 j-l)

Para aplicar adequadamente a GITT e melhorar a performance computacional, ou seja, melhorar a convergência, é necessário fazer uma homogeneização das condições de contorno na direção escolhida através da utilização de filtros que significa a separação dos potenciais como da velocidade; velocidade do campo em desenvolvimento, que é uma função de X e Y, e a velocidade do campo completamente desenvolvido, que é uma função apenas de Y.

Filtro para o campo da velocidade:

(

X Y

)

U

(

X Y

)

U

( )

Y

U ∗ _∞

+ = ,

, , (3.6 a)

Onde:

(

X Y

)

U∗ , _{: o potencial da velocidade do campo em desenvolvimento;}

( )

Y

U_∞ : o potencial da velocidade do campo completamente desenvolvido.

Para coordenadas cilíndricas:

( )

(

2

)

1 2 Y Y

U∞ = − (3.6 b)

Filtro para o campo da pressão:

(

X Y

)

P

(

X Y

)

P

(

X Y

)

P , = ∗ , + _F , _{(3.6 c)}

17

(

X Y

)

P∗ , _{: o potencial da pressão do campo em desenvolvimento;}

(

X Y

)

PF , : o filtro que satisfaz a equação da conservação do movimento na direção y na

parede do duto, ou seja, quando y = 1 e possui solução analítica dada por:

(

)

(

)

»¼ º «¬ ª ∂ ∂ + = Y Y X V Y Y P Y X

P_F 1 . ,

Re 1 )

,

( ₀ ou

(

)

(

)

»

¼ º « ¬ ª ∂ ∂ − = ∗ X Y X U P Y X

P_F ,

Re 1

, 0 (3.6 d-e)

Substituindo os filtros nas equações anteriores obtém-se:

Equação da Continuidade = Y V] [Y Y + X U 0 . 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∗ (3.7 a)

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento na direção X:

+ ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∗ ∗ ∞ ∗ ∗ ∞ ∗ X P X P X U U X U U Y U V Y U V F °¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® ­ ∂ ∂ + » ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ + » ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ ∗ _∞ ∗ 2 2 1 1 Re 1 X U Y U Y Y Y Y U Y Y

Y (3.7 b)

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento na direção Y:

(

)

¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ∂ ∂ + »¼ º «¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∗ ∞ ∗ 2 2 . 1 Re 1 X V V Y Y Y Y Y P Y P X V U X V U Y V

V F (3.7 c)

Equação de Poisson:

» ¼ º «

¬ ª

− ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂

∂ ∞

∗ ∗

2 2 2

Y V X V Y U X V Y U X

U Y V

(3.7 d)

As condições iniciais e de contorno tornam-se:

0 ) , ( ); ( 1 ) ,

( = − _∞ =

∗

Y X V Y U Y

X

U ; ∗

(

,

)

=0

Y X

P , para X = 0 (3.8 a-c)

(

,

)

=0

∗

Y X

U ; V

(

X,Y

)

=0;

(

)

( )

¿ ¾ ½ ¯

® ­

» ¼ º «

¬ ª

∂ ∂ ∂

∂ =

∂

∂ ∗ ∞

Y Y U Y Y Y X

Y X

P 1 .

Re 1 ,

, para X→ ∞

(3.8 d-f)

0 ) , (

= ∂

∂ ∗

Y Y X U

; V

(

X,Y

)

=0;

(

,

)

=0 ∂

∂ ∗

Y Y X P

, para Y = 0 (3.8 g-i)

0 ) , ( ) ,

( = =

∗ _{X Y V X Y}

U ;

(

,

)

=0

∂ ∂ ∗

Y Y X P

, para Y = 1 (3.8 j-l)

3.3 – APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA (GITT)

Determinação dos Problemas de Autovalores

3.3.1 - Problema Auxiliar para o Campo de Velocidade:

0 ) ( )

(

1 2

= +

» ¼ º «

¬ ª

Y dY

Y d Y dY

d

Y i i

i _{µ φ}

φ

; 0 < Y < 1 (3.9 a)

Condições de contorno para o problema:

0 ) 1 ( =

i

φ

e (0) =0 dY d

φ

_i

19

O problema auxiliar para o campo de velocidade é um problema de Sturm-Liouville e tem solução analítica dada por (OZISIK, 1993).

Autofunções: φ_i(Y)= J₀(µ_i,Y) ; i = 1, 2, 3, ... (3.10)

Norma: =

³

1

0

2_{( )}

dY Y Y

N_i φ_i (3.11)

Os autovalores, µi 's, são as raízes das equações transcendentais J0(µi)=0

Autofunções normalizadas:

i i i

N Y Y) ( )

(

~ φ

φ =

(3.12)

As autofunções,

φ

_i, têm a seguinte propriedade de ortogonalidade para a velocidade:

¯ ® ­

= ≠ =

³

se_se i_i j_j dY

Y Y Y _{i j}

, 1

, 0 )

( ~ ) ( ~ 1

0

φ

φ (3.13)

3.3.2 - Problema Auxiliar para o Campo de Pressão:

0 ) ( )

(

1 2

= +

» ¼ º «

¬ ª

Y dY

Y d Y dY

d

Y i i

i _{β ψ}

ψ

0 < Y < 1 (3.14 a)

Com as seguintes condições de contorno para o problema:

( )

0 ₀ =

dY dψ_i

e (1) =0

dY dψ_i

(3.14 b-c)

Autofunções: ψ_i(Y)=J₀(β_i,Y); i = 1, 2, 3, ... (3.15)

Autocondição: J₁

( )

β_i =0

Os autovalores, βi 's, são as raízes das equações transcendentais acima:

A norma: =

³

1

0

2_{( )}

dY Y Y

M_i ψ_i (3.16)

As autofunções normalizadas: ~

( )

( )

_1/2 i i i

M Y

Y ψ

ψ = (3.17)

As autofunções, ψi, têm a seguinte propriedade de ortogonalidade para a pressão:

¯ ® ­

= ≠ =

³

se i j j i se dY

Y Y Y _{i j}

, 1 , 0 )

( ~ ) ( ~ 1

0

ψ

ψ (3.18)

3.3.3 - Determinação dos Pares Transformada-Inversa

Campo de Velocidade:

Transformada: =

³

1

0

*_{( , )} )

( ~ )

(X Y Y U X Y dY

U_i φ_i (3.19 a)

Inversa:

¦

∞

=

∗ ₌

1

) ( ) ( ~ )

, (

i

i i Y U X

Y X

U

φ

(3.19 b)

21

Transformada:

( )

³

( ) (

∗

)

=

1

0

, ~ _{Y P X Y dY}

Y X

P_i ψ_i (3.20 a)

Inversa: P

(

X Y

)

( ) ( )

Y P_i X

i i

¦

∞

= ∗

=

1

~

,

ψ

(3.20 b)

Os operadores integrais são definidos a partir da expressão das transformadas:

³

1

0

) ( ~

dY Y

Yφ_i e

³

( )

1

0

~ _{Y dY}

Yψ_i (3.21 a-b)

3.3.4 - Cálculo da Velocidade Média

Para calcular a velocidade média determiná-se a integração do perfil de velocidade e substitui a fórmula da inversa a Eq. (3.19 b).

[

]

1

0 2 1

0 1

0 1

0

2

) ( ) , ( )

, (

Y

dY Y U Y X U Y

YdY dY Y X YU U_m

³

³

³

∞

∗

+ =

=

(

)

1 1

0

2 1

0

1 2 2 ) , (

2

³

+

³

−

= YU∗ X Y dY Y Y dY

U_m

( )

( ) 1

~ 2 1

0 ₁

³ ¦

∞

=

+ =

i

i i

m Y Y U X dY

³

¦

+ = = ∞ = 1 0 1 ) ( ~ ) 0 ( ; 1 ) ( ) 0 (

2 F U X F Y Y dY

U _{i i}

i i i m φ (3.22 a-b)

3.3.5 - Cálculo da Velocidade Transversal

Para o cálculo da velocidade transversal, faz-se a integração da equação da continuidade em relação à y utilizando o filtro:

(

)

(

)

( )

( )

³

¦

³ ¦

³

³

³

³

³

= = = Ÿ ∂ ∂ = = − + ∂ ∂ = + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∞ = ∞ = ∗ ∗ ∗ ∗ 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ) ( ~ ) ( ; ) ( 1 ) , ( ) ( ~ 1 ) , ( ) , ( ) , ( . 0 ) , ( . ) 1 , ( . 1 ) , ( 0 1 , . ) , ( 0 ) , ( . ) , ( Y i i i i i Y i i i Y Y Y Y Y dY Y Y Y F dX X U d Y F Y Y X V dY dX X U d Y Y Y Y X V dY X Y X U Y Y X V Y Y X V Y X V dY X Y X U Y Y Y X V Y dY X Y X U Y dY Y Y X V Y dY X Y X U Y φ φ (3.23 a-b)

3.3.6 - Cálculo do Fator de Atrito

Por definição o fator de atrito é:

2 0 2 1 u f w

ρ

τ

23

onde τ_w é a tensão de cisalhamento na parede

Para determinar o produto do fator de atrito pelo número de Reynolds é necessário adimensionalizar os termos da Eq. (3.24).

» ¼ º «

¬ ª

= ∂

∂ + = −

=

∗ ∞

1 ) , ( 1

) ( 2

Re

Y Y

Y X U Y

dY Y dU

f (3.25)

» ¼ º «

¬ ª

= ∂

∂ + − − =

∗

1 ) , ( 4

4 Re 2

Y Y

Y X U f

Aplicá-se a fórmula da inversa para o campo de velocidade a Eq. (3.19 b) na Eq. (3.25), tem-se:

¦

∞

=

− =

1

) ( ) 1 ( ~ 4 16 Re

i

i i

H U X

f φ , sabendo que Re_H =2Re (3.26)

3.4 – TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

O processo de transformação integral do sistema de equações diferenciais parciais formados pela equação da quantidade de movimento na direção X e pela equação de Poisson em um sistema diferencial ordinário é feito utilizando os operados nos potenciais, dados a seguir:

3.4.1. Aplica-se o operador (3.21 a) sobre todos os termos da equação (3.7 b).

+ ∂

∂ +

∂ ∂ +

∂

∂ ∞ ∗ ∗

∗

³

³

³

dY

X U U Y Y dY Y U V Y Y dY Y U V Y

Y _{i i i}

1

0 1

0 1

0

) ( ~ )

( ~ )

( ~

φ

φ

+ ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂

³

³

³

∞ ∗ ∗ dY

X P Y Y dY X P Y Y dY X U U Y

Y _{i i i} F

1 0 1 0 1 0 ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~

φ

φ

φ

( )

( )

_» + ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ + °¯ ° ® ­ » ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂

∂ ∗

³

∞

³

dY Y U Y Y Y Y Y dY Y U Y Y Y Y

Y~_i 1 ~_i 1

Re 1 1 0 1 0 φ φ

( )

¿ ¾ ½ ∂ ∂ ∗

³

dY X U Y

Y _{i 2}

2 1

0

~

φ

Aplicando a propriedade de ortogonalidade (3.18), as fórmulas da inversa (3.20 b) e (3.21 b), a velocidade transversal (3.23 a) e o problema auxiliar para o campo de velocidade (3.9 a).

( )

( )

( )

( )

( )

+

¦¦³

∞ = ∞ = dX X U d X U dY Y F dY Y d

Y k _j k

j k j i 1 1 1 0 ~ ~ φ φ

( ) ( ) ( )

( )

( )

+

¦¦³

∞ = ∞ = dX X U d X U dY Y Y Y

Y _j k

j k k j i 1 1 1 0 ~ ~ ~

φ

φ

φ

( )

( )

( )

( )

+

¦³

( ) ( ) ( )

( )

=

¦³

∞ = ∞ ∞ = ∞ dX X U d dY Y U Y Y Y dX X U d dY Y F dY Y dU Y k k k i k k k i 1 1 0 1 1 0 ~ ~ ~ φ φ φ

( ) ( )

( )

+

( ) ( )

( )

−

−

¦³

¦³

∞ = ∞ = 2 2 1 1 0 1 1 0 ~ ~ Re 1 ~ ~ dX X U d dY Y Y Y dX X P d dY Y Y

Y _j j

j

i n

n n

i

ψ

φ

φ

φ

( ) ( )

( )

³

( )

( )

¦³

_» +

¼ º « ¬ ª + ∞ ∞ = 1 0 2 1 1 0 ~ Re 1 ~ ~ Re 1 dY dY Y dU Y dY d Y X U dY Y

Y _{j j} j _i

j

i

φ

µ

φ

25

Após algumas manipulações matemáticas, obtém-se:

( )

_{( )}

( )

( )

2 2 2 Re 2 1 1 1 2 2 X U D dX X P d C dX U d AB X U AB dX X U

d i i i

n n in k k j ik j ijk i µ + − °¯ ° ® ­ °¿ ° ¾ ½ + » » ¼ º « « ¬ ª + = ∞ ∞ = ∞ = ∞ = ∞

¦

¦ ¦

(3.27)

Onde os coeficientes acima são gerados pela transformação integral para o problema de velocidade e são determinados analiticamente pelas seguintes integrais:

( )

( )

F

( )

Y dY Y

( ) ( ) ( )

Y Y Y dY dY

Y d Y

AB_ijk =

³

_i j k +

³

_{i j k}

1 0 1 0 ~ ~ ~ ~ ~ φ φ φ φ

φ (3.28)

( )

( )

F

( )

Y dY Y

( ) ( ) ( )

Y Y U Y dY dY

Y dU Y

AB_ik∞ =

³

φ_i ∞ k +

³

φ_i φ_{j ∞}

~ ~ ~ 1 0 1 0 (3.29)

( ) ( )

³

= 1 0 ~ ~ dY Y Y Y

C_in φ_i ψ_n (3.30)

( ) ( )

Y Y dY Y _{i j}

ij φ φ

δ ~ ~

1

0

³

= (3.31)

( )

( )

³

«_¬ª »_¼º

= ∞ ∞ 1 0 ~ dY dY Y dU Y dY d Y

D_i φ_i (3.32)

3.4.2. Aplicando o operador (3.21 b) sobre todos os termos da equação (3.7 d), tem-se:

( )

( )

( )

+ ∂ ∂ + » ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ + » ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ ∗ ∗

³

³

³

dY X P Y Y dY Y P Y Y Y Y Y dY Y P Y Y Y Y Y i F i i ₂ 2 1 0 1 0 1 0 ~ ~

~ _{ψ ψ}

ψ

( )

( )

( )

− ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∗ ∗

³

³

³

dY X V Y U Y Y dY X U Y V Y Y dY X P Y

Y _i F _{i i}

1 0 1 0 2 2 1 0 ~ 2 ~ 2

~

_ψ

_ψ

( )

( )

dY Y V Y Y dY X V Y U Y

Y _{i i 2}

2 1 0 1 0 ~ 2 ~

2

³

−

³

∂ ∂ ∂ ∂ _∞

ψ

ψ

Com o uso da propriedade de ortogonalidade (3.18), e as fórmulas das inversas (3.19 b) e (3.20 b), a velocidade transversal (3.23 a) e o problema auxiliar para o campo de pressão (3.14 a), obtém-se:

( )

( ) ( )

+ » » ¼ º « « ¬ ª ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ∂ ∂ ∂ ∂

¦

³

∞ = dY X P Y Y Y Y Y Y Y n n n i 1 1 0 ~ 1 ~ _ψ ψ

( )

+ » » ¼ º « « ¬ ª ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂

³

dY X U P Y Y Y Y Y Y _i * 0 1 0 Re 1 1 ~ ψ

( )

( ) ( )

( )

» = ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ − ∂ ∂ + » » ¼ º « « ¬ ª ∂ ∂

³

¦

³

∞ = dY X U P X Y Y dY X P Y X Y

Y n i

n n i * 0 2 2 1 0 1 2 2 1 0 Re 1 ~ ~

~

_ψ

_ψ

ψ

( )

( )

( )

( ) ( )

− ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § ∂ ∂ » » ¼ º « « ¬ ª ∂ ∂

¦

¦

³

∞ = ∞ = dY X U Y X dX X U d Y F Y Y Y Y _j j j k k k i 1 1 1 0 ~ 1 ~

2 ψ φ

( )

( ) ( )

( )

( )

− » » ¼ º « « ¬ ª ∂ ∂ ¸¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ © § ∂ ∂

¦

¦

³

∞ = ∞ = dY dX X U d Y F Y X X U Y Y Y Y k k k j j j i 1 1 1 0 1 ~ ~

2 ψ φ

( )

( )

( )

− » » ¼ º « « ¬ ª ∂ ∂

_¦

³

∞ = ∞ _dY dX X U d Y F Y X dY dU Y Y k k k i 1 1 0 1 ~

2

ψ

( )

( )

( )

dY

dX X U d Y F Y Y Y k k k i 2 1 4 1 0 1 ~ 2 » » ¼ º « « ¬ ª

¦

³

∞ =

ψ

Fazendo as devidas simplificações e manipulações matemáticas, obtém-se:

( )

¦

( )

¦

( )

¦¦

( )

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = − − + + − 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 Re 1 m n n mn im n n in k k k ik i i dX X P d C G dX X P d dX X U d Q X

P

µ

δ

27

( )

( )

_{( )}

( )

¦

¦

¦¦

¦

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = − − = 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 j j k j k ijk k j k ijk m m im dX X U d X U F dX X U d dX X U d E A G

( )

( )

( )

dX X U d dX X U d E dX X U d

F k k

k ik k k ik

¦

¦

∞ = ∞ = ∞ − 1 2 2 1 2 2

Organizando os termos da equação, tem-se:

( )

_{( )}

( )

+ + − = » » ¼ º « « ¬ ª −

¦

¦

¦

¦

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = m m im k k k ik i i n n mn m im

in G A

dX X U d Q X P dX X P d C G 1 1 2 2 2 2

1 1 2

1 Re 1 2 1 µ β δ

( )

( )

_{( )}

( )

( )

− − −

¦

¦

¦

¦¦

∞ = ∞ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 dX X U d F dX X U d X U F dX X U d dX X U d E k k ik j j k j k ijk k j k ijk

( )

( )

dX X U d dX X U d

E k k

k ik

¦

∞

=1 2

A equação escrita na forma matricial:

( ) ( )

_¸¸ ¹ · ¨ ¨ © § + =

¦

∞ = − 1 1 2 2 2 1 . m m im i mat n A G G P dX X P d (3.33)

Onde os coeficientes são:

mn m

im

in G C

Pmat

¦

∞ = − = 1 2 1

δ

(3.34)

( )

( )

( )

( )

( )

dX X U d dX X U d E dX X U d E dX X U d Q X P G k k k ik j j ijk k k k ik i i

i

¦

¦ ¦

( )

2 ₂

( )

1 1

2

dX X U d F X U

F k

k

ik j

j ijk

¦ ¦

∞

=

∞ ∞

=

» »

¼ º

« «

¬ ª

+

− (3.35)

( )

( )

_{( )}

( )

( )

¦

∞

¦

¦ ¦

=

∞

=

∞ ∞

= ∞

=

+ »

»

¼ º

« «

¬ ª

+ +

=

1 1

2

2 2

1

1 Re

j k

m m k

mk j

j

mjk k

j

k

mjk m

dX X U d dX

X U d AB X U AB dX

X U d dX

X U d AB

A µ

(3.36)

( ) ( )

Y Y dY Y

Q_ik ψ~_i φ~_k

1

0

³

= (3.37)

( ) ( )

Y Y dY Y

G_im ψ~_i φ~_m

1

0

³

= (3.38)

( )

Y

[

F

( )

Y

]

dY Y

E_{ik i} k

2 1

0 3 ~ 1

³

= ψ (3.39)

( ) ( )

( )

dY

Y Y F dY

d Y Y Y

Eijk i j k »

¼ º «

¬ ª

=

³

ψ

~

φ

~

1

0

(3.40)

( ) ( )

( )

dY

dY Y d Y F Y

F_{ijk i} k j

φ ψ

~ ~

1

0

³

= (3.41)

( ) ( )

( )

dY

dY Y dU Y F Y

F_ik∞ =

³

_i k ∞

1

0

~

ψ (3.42)

Aplicando a transformação integral nas condições iniciais e de contorno:

Velocidade:

( )

X Y

(

U

( )

Y

) ( )

Y dY

Ui 1 φ~_i

1

0

³

− ∞

= , em X =0 (3.43)

( )

X =0

Ui , em X →∞ (3.44)