Parte 1 Espa¸cos de Banach

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Parte 1

Espa¸cos de Banach

1.1 Espa¸cos Normados

Defini¸cão 1.1. Seja X um espa¸co vetorial sobreK(K=CouK=R). Uma semi-norma em X é uma aplica¸cão p:X →[0,+∞[ que satisfaz as seguintes propriedades:

(N1) p(λx) =|λ| ·p(x), ∀x∈X,∀λ∈K;

(N2) (Desigualdade triangular) p(x+y)≤p(x) +p(y), ∀x, y ∈X.

Se p satisfaz a propriedade adicional (N0) p(x) = 0 ⇒x= 0,

p ´e dita uma norma em X e neste caso ´e comum escrever �x� no lugar de p(x).

Observe que se p é uma semi-norma em X então segue imediatamente de (N1) que p(0) = 0. Assim,p será uma norma se o único vetor x∈X com p(x) = 0 é o vetor nulo.

Estaremos mais interessados nas normas, embora as semi-normas aparecer˜ao em alguns momentos.

Um espa¸co normado ´e um espa¸co vetorial sobre K munido de uma norma. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.2. O corpo K (visto como espa¸co vetorial sobre si próprio) é um espa¸co normado se o equiparmos com a norma�λ�=|λ|. Mais geralmente,K^pé um espa¸co normado, pois sabemos que �x� = �

|x⁽¹⁾|² +|x⁽²⁾|²+· · ·+|x^(p)|², onde x = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p)) ´e 1

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uma norma em K^p. E f´acil veriﬁcar que´ �x�₁ = |x⁽¹⁾| + |x⁽²⁾| + · · · + |x^(p)| e

�x�_∞ = max{|x⁽¹⁾|,|x⁽²⁾|, . . . ,|x^(p)|}também são normas emK^p. As duas últimas normas são mais fáceis de se trabalhar e equivalentes à primeira (num sentido que precisaremos mais adiante).

Para o próximo exemplo, lembramos que seAé um espa¸co topológico ef uma fun¸cão f : A →K, então f é cont´ınua em a∈ A se, para todo ε > 0, existir um aberto V de A contendo a tal que |f(x)−f(a)|< ε, se x∈V.

Exemplo 1.3. Seja A�=∅um espa¸co topológico, e consideremos agora o espa¸co vetorial Cb(A) constitu´ıdo de todas as fun¸cõesf :A→Kque são cont´ınuas e limitadas. Definimos para f ∈ Cb(A)

�f�= sup

x∈A

|f(x)|.

Observe que pelo fato de f ser limitada tal supremo é finito. Então �f� ∈ [0,+∞[.

Afirmamos que � · � é uma norma em C_b(A). De fato, se �f�= sup_x∈A|f(x)|= 0, então

|f(x)|= 0 para todox∈A. Logo,f é a fun¸cão nula e (N0) está mostrada. Para mostrar (N1) observe que para cada x∈A

|λf(x)|=|λ| |f(x)| ≤ |λ| sup

x∈A

|f(x)|=|λ| �f�.

Então|λ| �f�é uma cota superior do conjunto{|λf(x)|:x∈A}. Então sup_x∈A|λf(x)| ≤

|λ| �f�, o que nos mostra que �λf(x)� ≤ |λ| �f�. Por outro lado, se λ �= 0, temos que

|f(x)| = |λ| |λ⁻¹| |f(x)| = |λ⁻¹| |λf(x)| ≤ |λ⁻¹| �λf�, e portanto, tomando o supremo,

�f� ≤ |λ⁻¹| �λf�, ou seja |λ| �f� ≤ �λf�. Assim |λ| �f� = �λf�, se λ �= 0. Porém, se λ = 0 a igualdade é imediata e portanto ela é valida para qualquer λ ∈ K. Finalmente, se f, g∈ C_b(A) e x∈A,

|f(x) +g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| ≤sup

x∈A

|f(x)|+ sup

x∈A

|g(x)|=||f�+�g�.

Portanto �f+g� ≤ ||f�+�g�, o que demonstra (N2).

1.2 A topologia da norma

SeX é um espa¸co normado, então X é também um espa¸co métrico, onde a métrica

é dada por d(x, y) =�x−y�. É quase que imediato qued é de fato uma métrica em X.

Dizemos que d ´e induzida pela norma de X.

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1.2. A topologia da norma 3

A topologia de X é definida a partir desta métrica: A bola aberta centrada em x0

de raio r > 0 é o conjunto B(x0, r) ^def= {x ∈ X : �x−x0� < r}. Um conjunto é aberto em X se é a reunião (finita ou não) de bolas abertas. Equivalentemente, um subconjunto V ⊂X será aberto se para todox0 ∈V existir um r >0 tal queB(x0, r)⊂V.

Os outros conceitos topológicos são definidos a partir destes abertos. Um conjunto F será fechado emX se seu complementar X\F for aberto em X. Denotaremos a bola fechada centrada em x0 de raio r > 0 por B[x0, r] ^def= {x ∈ X :�x−x0� ≤ r}. Verifique que de fato B[x0, r] é um conjunto fechado.

Um ponto x0 ∈X é chamado de aderente ao conjuntoZ ⊂X se toda bola centrada em x0 interceptaZ. Isso significa que há pontos deZ arbitrariamente próximos dex0. O fecho de um subconjunto Z de X é conjunto de seus pontos aderentes e é denotado por Z. É fácil ver que Z é o menor fechado que contémZ.

Uma sequência (x_n)_n∈^N⊂X converge para x∈ X se, para todo ε >0 existe n₀ ∈N tal quen > n₀ ⇒ �x_n−x�< ε.Neste caso, dizemos que (x_n)_né uma sequência convergente em X e quexé limite de (x_n)_n. Algumas propriedades das sequências convergentes estão destacadas nos exerc´ıcios.

Vejamos agora algumas propriedades da topologia da norma. Lembramos que se Y e Z são espa¸cos normados, estaremos considerando em Y ×Z a topologia produto. Um conjunto é aberto em tal topologia se é reunião de conjuntos da forma U ×V onde U é aberto emY e V é aberto em Z.

Proposi¸cão 1.4. Seja X um espa¸co normado. Então, são cont´ınuas as aplica¸cões

• S :X×X →X dada porS(x, y) = x+y;

• M :K×X →X dada porM(λ, y) = λy;

• N :X →X dada por N(x) = �x�.

Demonstra¸c˜ao. Mostraremos primeiramente que a soma ´e cont´ınua. Seja (x0, y0)∈X×X.

Dadoε >0, tomando o aberto W =B(x0,^ε₂)×B(y0,₂^ε), teremos que (u, v)∈W ⇒ �u−x₀�< ε

2 e �v−y₀�< ε

⇒ �(u+v)−(x0+y0)� ≤ �u−2x0�+�v−y0�< ε

⇒ �S(u, v)−S(x₀, y₀)�< ε,

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o que mostra que S ´e cont´ınua em (x0, y0).

Deixaremos a multiplica¸c˜ao como exerc´ıcio. Para mostrar que a norma ´e cont´ınua, observe que para quaisquer vetores x, y ∈X vale a desigualdade |�x� − �y�| ≤ �x−y�.

De fato x, y ∈X, �x�= �x−y+y� ≤ �x−y�+�y� e portanto �x� − �y� ≤ �x−y�.

Trocando y por x, obtemos �y� − �x� ≤ �x−y�. Logo, |�x� − �y�| ≤ �x−y�. Isso mostra que |N(x)−N(y)| ≤ �x−y�, sendoN uma contra¸c˜ao e portanto (uniformemente) cont´ınua.

A proposi¸cão anterior mostra que as opera¸cões de espa¸co vetorial são compat´ıveis com a topologia da norma. Vejamos uma consequência. Antes, lembramos da seguinte caracteriza¸cão computacionalmente mais simples: O fecho de Z é o conjunto de todos elementos x∈X para os quais existe uma sequência contida em Z convergindo para x.

Proposi¸cão 1.5. Seja X um espa¸co normado e S um subespa¸co vetorial de X. Então o fecho que S também é um subespa¸co vetorial de X

Demonstra¸c˜ao. Claro que 0 ∈ S, pois 0 ∈ S e S ⊂ S. Sejam x, y ∈ S e λ ∈ K.

Então existem sequências (x_n)_n,(y_n)_n ⊂ S com x_n → x e y_n → y. Pela continuidade das opera¸côes em X segue que x_n +λy_n → x +λy e como S é um subespa¸co de X, (x_n+λy_n)_n ⊂S. Logox+λy∈S.

1.3 Normas Equivalentes

Dizemos que duas normas� · � e � · �₀ definidas em um espa¸co vetorial X são equivalentes se geram a mesma topologia em X. Ou seja, se um subconjunto de X é aberto segundo � · � se, e somente o for segundo � · �. Assim, os valores �x� e �x�₀ podem ser distintos mas todos os conceitos topológicos permanecem invariantes se trocarmos a norma � · � pela norma � · �₀ em X.

E facil verificar que duas normas são equivalentes se, e somente se, toda bola aberta´ centrada em x0 segundo uma norma contém uma bola aberta centrada em x0 segundo a outra. Destacaremos o seguinte critério:

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1.4. Espa¸cos de Banach 5

Proposi¸c˜ao 1.6. Se existirem constantes positivas a e b tais que a�x�0 ≤ �x� ≤ b�x�0,

∀x∈X, ent˜ao � · � e � · �0 s˜ao equivalentes.

Demonstra¸cão. Considere uma bola abertaB_�·�(x₀, r) segundo a norma�·�. Então, sex∈ B_�·�₀(x₀,^r_b) então�x−x₀�₀ < ^r_b e portanto�x−x₀� ≤b�x−x₀�₀ < r. LogoB_�·�₀(x₀,^r_b)⊂ B_�·�(x₀, r). De maneira análoga mostramos que B_�·�(x₀, r·a)⊂B_�·�₀(x₀, r).

Exemplo 1.7. As normas de K^p do exemplo 1.2 s˜ao equivalentes, pois

�x�_∞ ≤ �x� ≤ �x�₁ ≤p�x�_∞.

A rec´ıproca da proposi¸cão anterior é verdadeira. Veremos a demostra¸cão mais adiante quando estudarmos as aplica¸cões lineares.

1.4 Espa¸cos de Banach

Lembramos que uma sequência (xn)n∈N em um espa¸co métrico M é dita de Cauchy se, para todo ε > 0, exitir um n0 ∈ N tal que d(xn, xm) < ε, se n, m > n0. É imediato que toda sequência convergente é de Cauchy. Porém, nem toda sequência de Cauchy é converge. Um espa¸co metrico é dito completose toda sequência de Cauchy converge (em M, claro).

Defini¸cão 1.8. Um espa¸co normadoX é chamado de Espa¸co de Banach se toda sequência de Cauchy em X converge.

Assim, um espa¸co normado é um espa¸co de Banach se é um espa¸co métrico completo em rela¸cão à metrica induzida por sua norma. Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 1.9. O espa¸cos normado Ré um espa¸co de Banach, pois sabemos do curso de análise real que toda sequência de Cauchy de números reais converge.

Exemplo 1.10. Vamos mostrar que R^p é um espa¸co de Banach. Seja (x_n)_n∈^N uma sequência de Cauchy em R^p. Note que aqui cada x_n é uma p-upla de números reais:

x_n = (x⁽¹⁾n , x⁽²⁾n , . . . , x^(p)n ). Como (x_n)_n∈^N ´e uma sequˆencia de Cauchy, para todo ε > 0, existe algum n₀ ∈N tal que

n, m > n0 ⇒ �x_n−xm�=

�

(x⁽¹⁾n −x⁽¹⁾m )²+ (x⁽²⁾n −x⁽²⁾m )²+· · ·+ (x^(p)n −x^(p)m )² < ε.

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Em particular, para cada i = 1,2, . . . , p, se n, m > n0 então |x⁽ⁱ⁾n −x⁽ⁱ⁾m| < ε. Isso nos mostra que cada sequência (x⁽ⁱ⁾n )n é uma sequência de Cauchy emR e portanto converge, pelo exemplo anterior. Defina então x⁽ⁱ⁾ = limnx⁽ⁱ⁾n e considere x = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p)).

Claro que x ∈ R^p e vamos mostrar que este é o limite da sequência (xn)n. Seja então ε >0. Comox⁽ⁱ⁾= limnx⁽ⁱ⁾n , para cadai= 1,2, . . . , p, existenital que|x⁽ⁱ⁾n −x⁽ⁱ⁾|² < ε²/p, se n > ni. Se k0 = max{n_i :i= 1,2, . . . , p}, então

n > k0 ⇒ �x_n−x�=

�

(x⁽¹⁾n −x⁽¹⁾)²+ (x⁽²⁾n −x⁽²⁾)²+· · ·+ (x^(p)n −x^(p))² < ε, o que mostra que (xn)n converge para x em R^p.

Observa¸cão 1.11. Como espa¸cos normados,Cé identico aR². Segue então pelo exemplo anterior que Cé um espa¸co de Banach. Consequentemente, C^p também é um espa¸co de Banach.

Exemplo 1.12. Consideremos agora o espa¸coC_b(A). Seja (fn)numa sequˆencia de Cauchy em C_b(A). Ent˜ao para todo ε >0, existe algumn0 ∈Ntal que

n, m > n₀ ⇒ �f_n−f_m�= sup

x∈A

|f_n(x)−f_m(x)|< ε.

Como no exemplo anterior, vemos que para cada x ∈ A a sequência (fn(x))n uma sequência de Cauchy em K e portanto converge (pela observa¸cão anterior) para algum α(x)∈K. Defina f :A→Kpondo f(x) =α(x). Observe que, se x∈A e n, m > n0

< ε+|fm(x)−f(x)|.

Fazendo m→ ∞, obtemos que |f_n(x)−f(x)| ≤ε para qualquer x∈A. Ent˜ao, sup

x∈X

|f_n(x)−f(x)| ≤ε, sen > n0 (∗)

Devemos mostrar que f est´a em Cb(A):

Mostremos inicialmente quef é cont´ınua. Sejam x0 ∈Ae ε >0. Usando (∗) com ^ε₃, obtemos n fixo tal que |f_n(x)−f(x)| ≤ ^ε₃, para qualquer x∈X. Ora, fn está emC_b(A).

Ent˜ao, existe um aberto Vε contendo x0 tal que |f_n(x)−fn(x0)| < ^ε₃, se x ∈ Vε. Assim, para cada x∈Vε,

|f(x)−f(x₀)| ≤ |f(x)−f_n(x)|+|f_n(x)−f_n(x₀)|+|f_n(x₀)−f(x₀)| ≤ ε 3 +ε

3 +ε 3 =ε,

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o que mostra que f é cont´ınua. Claramente f é limitada, pois usando (∗) com ε = 1, obtemosn fixo tal que|fn(x)−f(x)| ≤1, para qualquer x∈A, e portanto

|f(x)| ≤ |f(x)−fn(x)|+|f_n(x)| ≤1 +�f_n�.

Finalmente, ´e imediato por (∗) que (fn)n converge para f em Cb(A). Isso completa a demonstra¸c˜ao.

O exemplo anterior ´e bem gen´erico. A seguir daremos dois exemplos particulares importantes baseados no anterior.

Exemplo 1.13. (O espa¸co �∞) O espa¸co �∞ ´e deﬁnido fazendo A = N no exemplo anterior. Assim, �∞

def= Cb(N). Note que como toda fun¸c˜ao f :N→K ´e cont´ınua (pois N

é discreto), segue que �∞é o espa¸co de Banach das sequências limitadas de escalares. Se x= (xn)n∈�∞, então �x�= sup_n∈N|xn|.

Exemplo 1.14. (Espa¸cos C(K)) Seja agora A = K um espa¸co topol´ogico compacto.

Então toda fun¸cão continua em K é limitada. Denotamos então o espa¸co C_b(K) simplesmente por C(K), o espa¸co de Banach das fun¸cões cont´ınuas no compacto K.

Observa¸cão 1.15. Veremos adiante que �∞ pode ser visto como um espa¸co da forma C(K), onde K é a compactifica¸cão de Stone- ˘Cech de N (N não é compacto!!).

Vejamos agora um exemplo de espa¸co normado n˜ao completo.

Exemplo 1.16. (Um espa¸co normado que não é Banach) Seja X = c00 o espa¸co das sequências quase nulas. Ou seja, uma sequência pertence a c00 se possui apenas zeros a partir de um certo ´ındice. Mostraremos que c00 não é um espa¸co de Banach. Para tanto, devemos exibir uma sequência de Cauchy em c00 que não converge.

Considere a sequência (de sequências quase nulas) (x_n)_n definida por x1 = (1,0,0. . . ,0,0, . . .),

x2 = (1,1

2,0. . . ,0,0, . . .) ...

x_n = (1,1

2,0, . . . , 1

n,0, . . .) ...

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Note que (xn)n ´e de Cauchy, pois dado ε > 0, existe n0 ∈ N, n0 > ¹_ε. Assim, se n > m > n0,

�xn−xm�=�

��(0,0. . . , 1

m+ 1, 1

m+ 2, . . . , 1

n,0,0, . . .)�

��= 1

m+ 1 < 1 n₀ < ε.

Porém, (x_n)_nnão converge emc₀₀. De fato, suponha por absurdo quex= (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . ,)∈ c₀₀ seja o limite de (x_n)_n. Então existe um k ∈ N tal que x⁽ⁱ⁾ = 0, se i ≥ k. Assim, se n ≥k,

�xn−x�= sup

n∈N

|xn−x| ≥ 1 k, contradizendo o fato de (x_n)_n convergir para x.

Note quec₀₀é um subespa¸co (vetorial e normado) de �_∞ que não é completo, apesar deste ser. A proposi¸cão seguinte nos dá um critério para decidir se um subrespa¸co S de X é Banach. Quando nos referirmos a subespa¸co significará sempre que a norma de S é a induzida por X.

Proposi¸cão 1.17. Todo subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach é Banach. Recipro- camente, todo subespa¸co de Banach de um espa¸co normado é fechado.

Demonstra¸cão. Suponha que S seja fechado em X Banach. Tomamos um sequência de Cauchy (xn)n ⊂S. Mas (xn)ntambém é uma sequência de Cauchy emX que é completo.

Logo, (xn)n converge para algumx∈X. Isso implica que x∈S. Sendo¯ S fechado, temos quex∈S. Mostramos então que toda sequência de Cauchy emSconverge (emS). Logo, S é completo.

Reciprocamente, sejaScompleto no normadoX. Considerex∈S. Então existe uma¯ sequência (xn)n⊂S que converge para X. Ora, toda sequência convergente é de Cauchy.

Assim, (xn)n é uma sequência de Cauchy emS que é completo e portanto converge para algum y ∈ S ⊂ X. Pela unicidade do limite em X (todo espa¸co normado é Hausdorff), temos que x=y, e portantox∈S, sendo este fechado.

A proposi¸cão anterior é útil para mostrar que determinados espa¸cos normados são Banach. Vejamos alguns exemplos

Exemplo 1.18. SejaAum espa¸co topológico Hausdorff e considere C₀(A) o subconjunto das fun¸cões f ∈ C_b(A) tais que para cada ε >0, o conjuntoVε(f)^def={x∈A:|f(x)| ≥ε}

é compacto. Vamos mostrar que C₀(A) é um espa¸co de Banach. Como uma aplica¸cão da proposi¸cão anterior, mostraremos que é um subespa¸co fechado em C_b(A).

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Note que C0(A) é um subespa¸co vetorial de Cb(A). De fato, a aplica¸cão nula está em C0(A) pois Vε(0) = {x ∈ A : 0 ≥ ε} = ∅. Além disso, se λ �= 0 é um escalar e f ∈ C0(A), então Vε(λf) = {x ∈ A : |λf(x)| ≥ ε} = {x ∈ A : |f(x)| ≥ _|λ|^ε } = V_|λ|^ε (f), sendo compacto. Finalmente, sejam f, g ∈ C0(A). Como Vε(f +g) ⊂ V_ε/2(f)∪V_ε/2(g) segue que Vε(f +g) é compacto, pois é fechado (f e g são cont´ınuas) e está contido em um compacto. Logo f +g ∈ C₀(A).

Mostremos agora que C₀(A). Seja f ∈ C₀(A) e tome uma sequência fn ⊂ C₀(A) convergindo para f. Temos que mostrar que para todo ε >0, Vε(f) é compacto. Sejam então ε > 0 arbitrário e x ∈ Vε(f). Então |f(x)| ≥ ε. Como fn converge para f, existe N ∈N tal que �f_N −f�< ε/2. Assim

ε≤ |f(x)| ≤ |f(x)−f_N(x)|+|f_N(x)| ≤ �f_N −f�+|f_N(x)|< ε

2+|f_N(x)|, ou seja, |fN(x)| ≥ ^ε₂, o que mostra que x∈ V^ε

2(fN). Logo, Vε(f)⊂V^ε

2(fN) e este ´ultimo

é compacto. Isso mostra que Vε(f) também é compacto (pois é um fechado contido em um compacto) e conclui a demonstra¸cão.

Vejamos agora um importante caso particular do exemplo anterior.

Exemplo 1.19. Suponha que A=Ne considere C₀(N). Note que

(xn)∈ C0(N) ⇔ {n ∈N:|xn| ≥ε}´e compacto, ∀ε >0

⇔ {n ∈N:|x_n| ≥ε}´e ﬁnito, ∀ε >0

⇔ xn →0.

Logo

c0

def= C₀(N) = {(x_n)∈�∞:xn →0}.

Lembrando que a norma ´e a induzida por�∞.

Finalizamos esta parte com a generaliza¸c˜ao de um resultado conhecido deR. Dizemos que uma s´erie �

k∈N

xk em um espa¸co normado X é absolutamente convergente se a série numérica �

k∈N

�xk� for convergente.

Teorema 1.20. Seja X um espa¸co normado. Então X é Banach se, e somente se, toda série de elementos de X absolutamente convergente é convergente.

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Demonstra¸c˜ao. Seja X Banach. Tomamos uma s´erie �

k∈N

xk absolutamente convergente.

Temos que mostrar que a sequˆencia de suas somas parciais (sn)nconverge. Como�

k∈N

�xk� converge ela é uma série de Cauchy. Então, dado ε >0 existe n0 ∈ N tal que m > n ≥ n0 ⇒

�m

k=n+1

�xk�. Assim, se m > n≥n0,

�sm−sn�=�

�m

k=n+1

xk� ≤

�m

k=n+1

�xk�< ε.

Logo, (sn)n é uma sequência de Cauchy emX que é completo. Logo, (sn)n converge.

Reciprocamente, Considere uma sequˆencia (x_n)_nde Cauchy emX. Ent˜ao, paraj = 1, existe n₁ ∈N tal que �x_m−x_n�<2⁻¹, se m, n≥ n₁. Para j = 2 existen₂ > n₁ tal que

�x_m −x_n� < 2⁻², se m, n ≥ n₂. Prossegindo desta forma, construimos uma sequência crescente de ´ındices (n_j) tal que �x_m −x_n� < 2^−j, se m, n ≥ n_j. Definimos y₀ = x_n₁ e y_j =x_n_j+1−x_n_j, para j ∈N. Vemos então que

�∞

j=0

�y_j�<�y₀�+

�∞

j=1

2^−j <∞,

o que mostra que

�∞

j=0

yj ´e absolutamente convergente em X e portanto converge, por hip´otese, para algum y ∈X. Mas lim

k xnk = lim

k

�k−1

j=0

yj =y. Vemos então que a sequência de Cauchy (xn)n possui um subsequência convergente. Logo, (xn)n é convergente.

1.5 Os Espa¸cos �

_p

e L

_p

Defini¸cão 1.21. O espa¸co vetorial das sequências de escalares absolutamentep-somáveis

´e denotado por �p. Ou seja,

�p =�

x= (xk)k∈N∈K^N :�

k∈N

|x_k|^p <∞� .

Tal espa¸co ´e munido de uma norma natural, dada por �x�_p =��

k∈N|x_k|^p�_p¹ .

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1.5. Os Espa¸cos �p e Lp 11

Primeiramente, temos que veriﬁcar que �p ´e de fato um espa¸co vetorial e que � · �p

é uma norma. Se λ é um escalar qualquer e x ∈ �p, então �λx�p = ��

k∈N|λxk|^p�¹_p

=

|λ|��

k∈N|xk|^p�¹_p

=λ�x�p. Isso mostra que a opera¸cão de multiplica¸cão por escalar está bem definida em �p e que �λx�1 =λ�x�1. É imediato que a sequência nula pertence a �p

e que �x�p = 0 ⇒x= 0.

Quandop= 1, é fácil ver que�1 a soma em�1é bem definida e que vale a desigualdade triangular: Sejam x, y ∈�1. Então, para todo n∈N,

�n

k=1

|x_k+y_k| ≤

�n

k=1

|x_k|+|y_k| ≤

�∞

k=1

|x_k|+

�∞

k=1

|y_k|<∞.

Assim, �∞

k=1|x_k + yk| ≤ �∞

k=1|x_k| + �∞

k=1|y_k|. Isso mostra que x + y ∈ �1 e que

�x+y�₁ ≤ �x�₁+�y�₁.

Por´em, para mostrar o mesmo quando 1 < p <∞, precisamos de alguns resultados preliminares.

Lema 1.22. Sejamp, q >1, tais que ¹_p+¹_q = 1 (dizemos queq ´e conjugado de p). Ent˜ao ab≤ a^p

p + b^q

q , ∀a, b≥0.

Demonstra¸cão. Fixe b e considere a fun¸cão ϕ(a) = â_p^p + ^b_q^q −ab. É um exerc´ıcio simples de Cálculo 1 verificar que o m´ınimo absoluto de ϕ ocorre ema=b^p−1¹ . Assim, para todo a≥0 (note que _p−1^p =q= ^q+p_p ),

ϕ(a)≥ϕ(b^p−1¹ ) = b^p−1^p p + b^q

q −b^p−1¹ b = b^q p + b^q

q −b^q+p^p = b^q p +b^q

q −b^q = 0, e portanto ^a_p^p +^b_q^q ≥ab.

Teorema 1.23. (Desigualdade de H¨older) Sejamp, q >1, tais que ¹_p+¹_q = 1. Ent˜ao para quaisquer ak, bk ∈K (k = 1, . . . , n), temos

�n

k=1

|a_kbk| ≤

� _n

�

k=1

|a_k|^p

�¹_p

·

� _n

�

k=1

|b_k|^q

�¹_q .

Demonstra¸cão. Se todos ak’s ou todos bk’s são nulos, então a desigualdade é trivial.

Suponha ent˜ao que nem todos ak’s e nem todos bk’s s˜ao nulos. Para k = 1, . . . , n de-

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ﬁna

A_k= ak

� _n

�

k=1

|a_k|^p

�¹_p e B_k = bk

� _n

�

k=1

|b_k|^q

�¹_q.

Aplicando o lema anterior para cada Ak e Bk, obtemos

�n

k=1

AkBk≤ 1 p

=1

� ��

�n

k=1

A^p_k+ 1 q

=1

� ��

�n

k=1

B^q_k= 1 p+ 1

q = 1, e portanto

�n

k=1

|akbk|=

� _n

�

k=1

AkBk

�

·

� _n

�

k=1

|ak|^p

�¹_p

·

� _n

�

k=1

|bk|^q

�¹_q

≤

� _n

�

k=1

|ak|^p

�¹_p

·

� _n

�

k=1

|bk|^q

�¹_q .

Teorema 1.24. (Desigualdade de Minkowski) Se p∈ [1,∞[ e ak, bk ∈K (k = 1, . . . , n), ent˜ao

� _n

�

k=1

|a_k+bk|^p

�_p¹

≤

� _n

�

k=1

|a_k|^p

�¹_p

·

� _n

�

k=1

|b_k|^p

�¹_p .

Demonstra¸cão. A desigualdade para p= 1 já foi mostrada no in´ıcio desta se¸cão. Suponha então que p > 1 e seja q seu conjugado. Podemos assumir que ak, bk ≥ 0. Por Hölder obtemos que (Note que (p−1)q=p)

� _n

�

k=1

(ak+bk)^p

�

=

�n

k=1

(ak+bk)^p−1(ak+bk)

=

�n

k=1

(ak+bk)^p−1ak+

�n

k=1

(ak+bk)^p−1bk (H¨older)

≤

� _n

�

k=1

(ak+bk)^(p−1)q

�¹_q

·

� _n

�

k=1

|a_k|^p

�¹_p

+

� _n

�

k=1

(ak+bk)^(p−1)q

�¹_q

·

� _n

�

k=1

|b_k|^p

�¹_p

=

� _n

�

k=1

(ak+bk)^p

�¹_q

·





� _n

�

k=1

|ak|^p

�¹_p +

� _n

�

k=1

|bk|^p

�¹_p

,

(13)

1.5. Os Espa¸cos �p e Lp 13

e portanto

� _n

�

k=1

(a_k+b_k)^p

�^q−1_q

≤

� _n

�

k=1

|a_k|^p

�¹_p +

� _n

�

k=1

|b_k|^p

�¹_p

. Como ^q−1_q = ¹_p, obtemos a desigualdade.

Vamos mostrar agora que a soma em �p ´e bem deﬁnida a desigualdade triangular.

Sejam ent˜aox, y ∈�p. Ent˜ao, por Minkowski, para todon ∈N,

� _n

�

k=1

|xk+yk|^p

�¹_p

≤

� _n

�

k=1

|xk|^p

�¹_p +

� _n

�

k=1

|yk|^p

�¹_p

≤

� _∞

�

k=1

|xk|^p

�¹_p +

� _∞

�

k=1

|yk|^p

�_p¹

<∞.

Assim,

� _∞

�

k=1

|x_k+y_k|^p

�¹_p

≤ �x�_p+�y�_p, o que mostra que x+y∈�_p e que �x+y�_p ≤

�x�p+�y�p.

Se p = ∞, o espa¸co �∞ foi definido em 1.13 e é um espa¸co de Banach. O proximo teorema diz que os outros�p’s também são completos.

Teorema 1.25. Seja 1≤p≤ ∞, ent˜ao �p ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Se p = ∞ já sabemos. Suponha então que 1 ≤ p < ∞. Seja (x_n)n∈N

uma sequência de Cauchy em �p. Note que aqui cada xn é uma sequência de escalares xn = (x⁽¹⁾n , x⁽²⁾n , . . .) ∈ �p. Como (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy, para todo ε > 0, existe algum n0 ∈N tal que

n, m > n0 ⇒ �xn−xm�p =

� _∞

�

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n −x⁽ⁱ⁾_m|^p

�¹_p

< ε. (∗)

Em particular, para cada i∈ N, sen, m > n0 então |x⁽ⁱ⁾n −x⁽ⁱ⁾m|< ε. Isso nos mostra que cada sequência (x⁽ⁱ⁾n )né uma sequência de Cauchy emKe portanto converge, por este ser completo.

Defina entãox⁽ⁱ⁾= limnx⁽ⁱ⁾n e considerex= (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . .).Vamos mostrar quex∈�p. Como a sequência (xn)n é de Cauchy, então é limitada (Exec´ıcio). Logo, existe M > 0 tal que

� _∞

�

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n |^p

�¹_p

≤ M, para todo n ∈ N. Ent˜ao

� _k

�

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n |^p

�¹_p

≤ M, para todo

n, k ∈ N. Fazendo n → ∞, obtemos que

� _k

�

i=1

|x⁽ⁱ⁾|^p

�¹_p

≤ M, para todo k ∈ N. Ent˜ao

� _∞

�

i=1

|x⁽ⁱ⁾|^p

�¹_p

≤M, o que mostra que x∈�p.

(14)

Resta mostrar que (xn)n converge para x (na norma de �p). Dado ε > 0, fazendo m → ∞ em (∗), obtemos que

� _k

�

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n −x⁽ⁱ⁾|^p

�_p¹

≤ ε, para n > n0 e k ∈ N. Ent˜ao,

�x_n−x�_p =

� _∞

�

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n −x⁽ⁱ⁾|^p

�¹_p

≤ε, se n > n0.

Defini¸cão 1.26. • Seja 1 ≤ p < ∞. Denotamos por Lp[0,1] o espa¸co vetorial das classes de equivalências das fun¸cões escalares (Lesbesgue)-mensuráveis tais que

�

[0,1]|f(t)|^pdt < ∞ (Aqui duas fun¸cões estão na mesma classe se são iguais quase sempre), munido de uma norma natural

�f�p =

��

[0,1]

|f(t)|^pdt

�¹_p .

• Denotamos por L∞[0,1] o espa¸co vetorial das classes de equivalências das fun¸cões escalares (Lesbesgue)-mensuráveis que são limitadas quase sempre munido da norma

�f�_∞= inf{α >0 :µ{t∈[0,1] :f(t)> α}= 0}, onde µ denota a medida de Lesbeguem em [0,1].

Os espa¸co acima definidos são espa¸cos de Banach. A demonstra¸cão pode ser encon- trada em qualquer livro sobre a medida de Lesbegue.

1.6 Espa¸cos Separ´ aveis

SejaX um espa¸co métrico e suponha queD⊂A⊂X. Dizemos queDédensoem A se toda bola aberta centrada em elementos de A contém algum elemento de D. Observe que isso significa que todo elemento de A é aderente a D. Então, D é denso em A se D ⊃ A. É fácil ver que se D é denso em A e A é denso em X, então D é denso em X.

Também é imediato que A é denso em ¯A. Verifique como exerc´ıcio.

Um subconjunto A ⊂ X é dito separável se possui um conjunto enumerável denso.

Por exemplo, sabemos que um intervalo da reta é separável, pois o conjunto dos racionais deste intervalo é enumerável e denso. Em particular a reta é um espa¸co separável.

Estaremos interessados em saber quando um espa¸co normado é separável. O seguinte critério é útil para decidir. Lembramos que seAé um subconjunto de X, então [A] denota o subespa¸co gerado por A (no sentido da Álgebra Linear).

(15)

1.6. Espa¸cos Separ´aveis 15

Proposi¸c˜ao 1.27. Seja X um espa¸co normado sobre K.

(a) SeX possui um subconjunto Aenumerável (podendo ser finito) tal queX = [A], então X é separável.

(b) SeX possui um subconjuntoB não enumerável tal que, para algumr >0, �x−y� ≥r, para qualquer par de elementos distintos x, y de B, então X não pode ser separável.

Demonstra¸cão. (a) Seja S = [A]. Um elemento de S é portanto uma combina¸cão linear (finita!!) de elementos deA. SejaDo subconjunto deSformado apenas pelas combina¸cões lineares com coeficientes racionais (Se K = C, coeficientes com parte real e imaginária racionais). Então D tem a cardinalinada das fun¸cões finitas de N em Q e portanto é enumerável (aqui é importante que seja combina¸cão finita). É fácil ver que Dé denso em em S. Claramente, S é denso em S= [A] =X. Logo,D é denso em X, sendo separável.

(b) Seja D um conjunto denso qualquer em X. As bolas centradas em elementos de B e raio r/2 são disjuntas. Cada uma dessas bolas deve conter pelo menos um elemento de D. Como há uma quantidade não enumerável dessas bolas, segue que D não pode ser enumerável. Logo, X não possui conjunto enumerável denso.

Vamos usar a proposi¸cão anterior para dar exemplo de espa¸cos separáveis e não separáveis.

Exemplo 1.28. c0 é um espa¸co separável. De fato, considere a sequência unitária canônica en = (0, . . . ,0,

n−esima

��1 ,0, . . .). Vamos mostrar que c0 = [en :n∈N] e portanto c0

será separável pela parte (a) da proposi¸cão anterior. Seja então x = (xn) ∈ c0 e ε > 0.

Então, existe n0 tal que |xn| < ε, se n > n0. A sequência xε = (x1, x2, . . . , xn0,0,0, . . .) está em [en :n∈N] e�x−xε�< ε.Como ε era arbitrário, segue que x∈[en:n ∈N].

Exemplo 1.29. �∞ não é separável. Considere, para cada subconjunto N ⊂ N a sequência caracter´ıstica de N. Ou seja, a sequência x = xN = (xn), onde xn = 1 se n ∈N exn = 0 se n /∈N. Claro que cada uma destas sequências está em �∞. Tomamos o conjunto B ={x_N : N ⊂ N} ⊂ �∞. Então a cardinalidade de B é a das partes de N e portanto não enumerável. Além disso, �x_N −xN^��= 1, seN^� �=N. Então, pela parte (b) da proposi¸cão anterior,�∞ não é separável.

Exemplo 1.30. Qualquer espa¸co normado de dimensão finita é separável, pois é gerado por um conjunto finito. (Que conjunto é esse?)

Exemplo 1.31. Pelo Teorema de Aproxima¸cão de Weierstrass, os polinômios são densos emC[0,1] (Veja por exemplo o livro do Elon de Espa¸cos Métricos). Então, [tⁿ:n= 0,1, . . .] = C[0,1], o que mostra que C[0,1]é sepárável.

(16)

1.7 Aplica¸ c˜ oes Lineares

Estaremos agora tratando das aplica¸cões lineares entre espa¸cos normados. Os as- pectos algébricos destas aplica¸cões são estudados no curso de Álgebra Linear. Como um espa¸co normado também possui uma estrutura topológica, é natural estudá-las também no que diz respeito à continuidade.

SeX é um espa¸co normado denotaremos por BX a bola fechada de raio 1 centrada na origem. Ou seja BX = {x ∈ X : �x� ≤ 1}. A esfera unitária de X é o conjunto SX ={x∈X :�x�= 1}. Come¸camos com o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.32. Sejam x e Y espa¸cos normados e T : X → Y linear. Então são equivalentes:

(a) T ´e cont´ınua;

(b) T ´e cont´ınua na origem;

(c) existe uma constante M > 0 tal que �T(x)� ≤M para qualquer x∈BX. (d) existe uma constante M > 0 tal que �T(x)� ≤M�x� para qualquer x∈X.

Demonstra¸c˜ao. (a) ⇒ (b): E evidente.´

(b) ⇒ (c): Como T ´e cont´ınua na origem, para ε = 1, existe δ > 0 tal que, para qualquer x∈X, com �x�< δ, temos que �T(x)�<1. Se x ∈BX, temos que �^δx₂ �< δ e portanto �T�_δx

2

��<1. Ent˜ao, pela linearidade de T, �T(x)�< ²_δ.

(c) ⇒ (d): Se x ∈ X \ {0}, temos que _�x�^x tem norma 1 e portanto T�

x

�x�

� ≤ M. Então, �T(x)� ≤ M�x�. Se x = 0, temos que T(x) = 0 e a desigualdade também é satisfeita.

(d) ⇒ (a): Se existe M > 0 tal que �T(x)� ≤ M�x� para qualquer x ∈ X, ent˜ao dados u, v ∈ X temos que �T(u)−T(v)�=�T(u−v)� ≤ M�u−v�. Isso mostra que T

´e lipschitziana e portanto (uniformemente) cont´ınua.

O item (c) nos mostra que aplica¸cões lineares cont´ınuas são limitadas sobre BX. É por esse motivo que aplica¸cão lineares cont´ınuas são também chamadas de limitadas.

(17)

1.7. Aplica¸c˜oes Lineares 17

Antes do próximo exemplo, salientamos que se � · � e � · �0 são normas equivalentes em X então uma fun¸cão f definida emX será cont´ınua segundo � · � se, e somente se, o for segundo � · �0.

Exemplo 1.33. Qualquer aplica¸cão linear definida em K^p é cont´ınua. Vamos demonstar este fato usando a norma da soma de K^p. Como sabemos, ela é equivalente à norma euclidiana e mais simples de se trabalhar. Seja {e₁, e₂, . . . , e_p} a base canônica de K^p e considere uma aplica¸cão linear T :K^p →Y linear. Então

�T(x1, . . . , xp)� = �x₁T(e1) +· · ·+xpT(ep)�

≤ |x1|�T(e1)�+· · ·+|xp|�T(ep)�

≤ max

i=1,...,p�T(ei)� ·(|x₁|+· · ·+|x_p|)

= M�(x1, . . . , xp)�1,

onde M = maxi=1,...,p�T(ei)�. Logo T ´e cont´ınua pela proposi¸c˜ao anterior.

Exemplo 1.34. Considere o espa¸co vetorial P(R) de todos os polinômios reais munido da norma �p� = sup_t∈[0,1]|p(x)|. Então o operador deriva¸cão D : P(R) → P(R) não é cont´ınuo, pois para cadan ∈No polinômiotⁿ está emBP(R) mas sua derivadantⁿ⁻¹ tem norma n. Como n pode ser suficientemente grande, segue que é imposs´ıvel encontrarM como na proposi¸cão anterior.

Umisomorfismo entre espa¸cos normados, ou simplesmente isomorfismo, é uma aplica¸cões linear cont´ınua invers´ıvel e com inversa cont´ınua. Ou seja, é um isomorfismo no sentido da Algebra Linear e um homeomorfismo. Se há um isomorfismo entre´ X eY, então diremos que X e Y são isomorfos e escreveremos X ∼=Y.

Lembramos que inversa de aplica¸cão linear é sempre linear, mas nem sempre é cont´ınua, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 1.35. Considere X = c₀₀ e o operador linear T : c₀₀ → c₀₀ dado por T(x₁, x₂, x₃, . . .) = (x₁,^x₂²,^x₃³, . . .). Temos que, se x= (x₁, x₂, x₃, . . .)∈c₀₀,

�T(x)�=�(x1,x2

2 ,x3

3 , . . .)�= sup

n∈N

{|x1|,|x2

2|,|x3

3 |, . . .} ≤sup

n∈N

{|x1|,|x2|,|x3|, . . .}=�x�.

Logo, T é cont´ınua pelo item (c) da proposi¸cão. Porém, a inversa de T é dada por T⁻¹(x1, x2, x3, . . .) = (x1,2x2,3x3, . . .). Para cada n ∈ N, os vetores en = (0, . . . ,0,

n−esima

��1 ,0, . . . ,) têm norma 1 mas �T(en)� = n. Logo, T⁻¹ não satisfaz o item (c) da proposi¸cão.

(18)

Observe que no exemplo anterior o espa¸co normado em questão não era completo, como vimos em 1.16. Isso não foi por acaso. Veremos mais para frente que se os espa¸cos forem completos, então a inversa é sempre cont´ınua. Será uma consequência do Teorema da Aplica¸cão Aberta.

O seguinte critério é tão simples quanto útil.

Proposi¸cão 1.36. Uma bije¸cão linear T :X → Y é um isomorfismo, se, e somente se, existem constantes positivas a e b tais que a�x� ≤ �T(x)� ≤b�x�, ∀x∈X.

Demonstra¸cão. De fato, a segunda desigualdade nos diz que T é cont´ınua. A primeira que T⁻¹ é cont´ınua, pois dado y ∈ Y, existe x ∈ X tal que T(x) = y e portando

�T⁻¹(y)�=�x� ≤a⁻¹�T(x)�=a⁻¹�y�.

Corolário 1.37. Para que duas normas � · � e � · �0 sejam equivalentes é necessário e suficiente que existam constantes positivas a e b tais que a�x�0 ≤ �x� ≤b�x�0, ∀x∈X.

Demonstra¸cão. Que a condi¸cão acima é suficiente foi visto na proposi¸cão 1.6. Para mostrar que é necessária, basta observar que as normas serem equivalente significa que a identidade de �

X,� · �� em �

X,� · �₀�

´e um isomorﬁsmo.

Teorema 1.38. Seja T :X →Y um isomorfismo entre espa¸cos normados. Então, se X for de Banach, então Y também será.

Demonstra¸c˜ao. Seja (yn)numa sequˆencia de Cauchy emY. Temos que mostrar que (yn)n

converge. Seja ent˜ao ε >0. Para cada n, yn =T(xn), comxn ∈X. Ent˜ao,

�xn−xm�=�T⁻¹(yn)−T⁻¹(ym)�=�T⁻¹(yn−ym)� ≤M�yn−ym�,

poisT⁻¹ ´e cont´ınua. Logo, como (y_n)_n´e de Cauchy existen₀ ∈Ntal que �y_n−y_m�< _M^ε , se n, m > n₀. Assim, se n, m > n₀, temos que �x_n−x_m� ≤ M�y_n−y_m� < M_M^ε = ε.

Vemos que (x_n)_n é uma sequência de Cauchy em X e portanto converge para algum x∈ X, já queX é completo. Pela continuidade de T,y_n=T(x_n)→T(x), o que mostra que (y_n)_n converge.

Observa¸cão 1.39. O teorema anterior nos diz que ‘ser Banach’ é preservado por isomorfismos. Talvez seja interessante observar que em espa¸cos métrico em geral nem sempre ser completo é preservado por homeomorfismos. Por exemplo, Ne {1/n :n ∈N}são homeo- morfos pois ambos são enumeráveis e discretos. Porém, Né completo e{1/n:n ∈N}não (conven¸ca-se disso). O que acontece é que os isomorfismos são sempre homeomorfismos uniformes, pela proposi¸cão 1.32. Estes sempre preservam a completude.

(19)

1.7. Aplica¸c˜oes Lineares 19

Como uma aplica¸cão do teorema anterior, vamos mostrar que todo espa¸co de di- mensão finita é de Banach.

Proposi¸cão 1.40. Seja V um espa¸co normado sobre K de dimensão finita p. Então V é isomorfo aK^p. Consequentemente, todo espa¸co normado de dimensão finita é de Banach.

Demonstra¸cão. Tomamos uma base{v₁, v₂, . . . , v_p}deV. Definimos a aplica¸cãoT :K^p → V pondo T(x₁, . . . , x_p) = x₁v₁+· · ·+x_pv_p. Pela defini¸cão de base, T é um isomorfismo algébrico. Pelo exemplo 1.33, T é cont´ınua. Resta mostrar que T⁻¹ é cont´ınua. S^K^p é um subconjunto limitado e fechado de K^p e portanto compacto. Então a fun¸cão cont´ınua x�→ �T(u)�admite m´ınimoM emS^K^p. Mas comoT é injetora, segue queT(u)�= 0, para todo u∈S^K^p e portanto �T(u)� ≥M >0. Assim, se x∈ K^p\ {0},�T(_�x�^x )� ≥ M >0 e portanto �T(x)� ≥M�x�. Isso mostra que T é um isomorfismo, pela proposi¸cão 1.36.

Que V ´e um espa¸co de Banach segue imediatamente do teorema anterior.

Corolário 1.41. Se X é um espa¸co normado, então todo subespa¸coV ⊂X de dimensão finita é fechado.

Demonstra¸cão. SeV tem dimesão finita,V é Banach e portanto fechado pela proposi¸cão 1.17.

Corolário 1.42. Toda aplica¸cão linear definida em um espa¸co normado de dimensão finita é cont´ınua.

Demonstra¸cão. Seja T : V → Y, V de dimensão finita. Tomamos S : K^p → V isomorfismo. Então T ◦ S é cont´ınua pois está definida em K^p (exemplo 1.33). Mas T = (T ◦S)◦S⁻¹ e portanto é cont´ınua.

Corolário 1.43. Quaisquer duas normas definida em um espa¸co vetorial de dimensão finita são equivalentes.

Demonstra¸cão. Se V tem dimensão finita então a aplica¸cão identidade de �

V,� · �� em

�V,� · �₀�

´e sempre isomorﬁsmo. Logo�

V,� · �� e�

V,� · �₀�

tˆem a mesma topologia.

(20)

1.8 O espa¸ co L(X ; Y )

Sejam X e Y espa¸cos normados. Denotaremos por L(X;Y) o espa¸co vetorial das aplica¸cões lineares cont´ınuas(ou limitadas) de X em Y. As opera¸cões de espa¸co vetorial em L(X;Y) são as usuais.

Em particular, se Y = K denotaremos L(X;K) por X^∗. Ou seja, X^∗ é o espa¸co de todos os funcionais lineares cont´ınuos definidos em X. Note que X^∗ é sempre Banach, pois K é completo. Para evitar confusão, o espa¸co vetorial dos funcionais lineares em X será chamado de dual algébrico de X e o denotaremos por X^#. Como vimos, se V tem dimensão finita, então todo funcional linear é cont´ınuo e portanto V^∗ = V^#. Porém, se X tem dimensão infinita X^# sempre possui funcionais descont´ınuos. Veja os exerc´ıcios.

Considere a fun¸cão T ∈ L(X;Y) �→ �T� = sup_x∈B_X�T(x)�. Pela proposi¸cão 1.32 temos que sup_x∈B_X�T(x)� é finito e portanto �T� está bem definida. Se �T� = 0,

�T(x)� = 0 para todo x em BX e portanto T é identicamente nula em BX. Pela linearidade, T é a aplica¸cão nula. De maneira indêntica ao exemplo 1.3 mostramos que

�λT�=|λ|�T� e�T +S� ≤ �T�+�S�. Vemos ent˜ao que �T�= sup_x∈B_X�T(x)�´e uma norma em L(X;Y).

Note que se T ∈ L(X;Y) então é imediato pela linearidade de T e pela defini¸cão de supremo que �T(x)� ≤ �T��x�, para todo x ∈ X. O próximo teorema é sobre a completude de L(X;Y).

Teorema 1.44. O espa¸co normado L(X;Y) ´e um espa¸co de Banach, se Y o for.

Demonstra¸cão. Seja (Tn)numa sequência de Cauchy emL(X;Y). Então para todoε >0, existe algum n0 ∈N tal que

n, m > n0 ⇒ �Tn−Tm�= sup

x∈BX

�(Tn−Tm)(x)�< ε. (∗)

Assim, para cada x ∈ X, �T_n(x)−T_m(x)� = �(T_n−T_m)(x)� ≤ �T_n−T_m��x�. Então, para cada x fixado temos por (∗) que a sequência (T_n(x))_n uma sequência de Cauchy em Y e portanto converge (pois Y é Banach). Defina T :X → Y pondo T(x) = lim

n→∞T_n(x).

Observe que, se x∈B_X e n, m > n₀

�T_n(x)−T(x)� ≤ �T_n(x)−T_m(x)�+�T_m(x)−T(x)� ≤ �T_n−T_m�+�T_m(x)−T(x)�

< ε+�T_m(x)−T(x)�.

(21)

1.8. O espa¸co L(X;Y) 21

Fazendom → ∞, obtemos que�Tn(x)−T(x)� ≤ε para qualquer x∈BX. Ent˜ao, sup

x∈BX

�T_n(x)−T(x)� ≤ε, sen > n₀ (∗∗) Devemos mostrar que T ∈ L(X;Y). T ´e claramente linear, pois T(x+λy) = lim

n→∞Tn(x+λy) = lim

n→∞(Tn(x) +λTn(y)) = lim

n→∞Tn(x) +λ lim

n→∞Tn(y)

= T(x) +λT(y), pela continuidade das opera¸c˜oes.

Mostremos agora que T ´e cont´ınua. Fazendo ε = 1 em (∗∗), encontramos n tal que

�T_n(x)−T(x)�<1 para qualquer x∈BX e portanto

�T(x)� ≤ �T(x)−Tn(x)|+�T_n(x)� ≤1 +�T_n�, ∀x∈BX. Logo, T ´e limitada em BX.

Finalmente, ´e imediato por (∗∗) que (Tn)n converge para T.

SeY não é Banach não há motivo de L(X;Y) ser. Daremos exemplo nos exerc´ıcios.

O proximo resultado é sobre extensão de aplica¸cões lineares.

Teorema 1.45. Sejam X um espa¸co normado e Y um espa¸co de Banach. Se M um subespa¸co deX eT ∈ L(M;Y), entãoT admite uma única extensão cont´ınuaT :M →Y. Tal extensão é também linear e �T�=�T�.

Demonstra¸cão. Seja x ∈ M. Então existe uma sequência (xn)n convergindo para x. A sequência (xn)n, por ser convergente, é de Cauchy em M. Então T(xn)n também é de Cauchy emY e portanto converge, por Y ser completo. DefinimosT(x) = limn→∞T(xn).

Note que se (yn)né outra sequência que converge parax, então, limn→∞T(xn)−limn→∞T(yn) = limn→∞T(xn−yn) = T(limn→∞(xn−yn)) = 0.Logo, T está bem definida.

E fácil ver que´ T é linear. Se m ∈M, então tomando a sequência constante igual a m, vemos que T(m) = limn→∞T(m) =T(m). Logo, T estendeT.

Pela densidade deBM emB_M e pelo modo queT foi deﬁnida, vemos que sup_x∈M�T(x)�= sup_x∈M�T(x)�=�T�, o que mostra que T ´e cont´ınua e �T�=�T�.

A unicidade segue do fato de que se duas fun¸c˜oes cont´ınuas coincidem em um conjunto denso do dom´ınio, ent˜ao coincidem em todo dom´ınio.

(22)

1.9 Isometrias

Uma aplica¸cão linearT :X →Y é umaimersão isométicase�T(x)�=�x�,∀x∈X.

As seguintes propriedades s˜ao imediatas.

Proposi¸cão 1.46. Seja T :X →Y uma imersão isomética. Então (a) T é cont´ınua;

(b) T ´e injetora;

(c) T é invers´ıvel sobre sua imagem e T⁻¹ : ImT → X também é uma imersão isométrica e portanto é cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. (a) Basta tomar M = 1 na proposi¸c˜ao 1.32.

(b) ´E injetora poisT(x) = 0⇒ �T(x)�= 0⇒ �x�= 0 ⇒KerT ={0}.

(c) Dado y∈ImT, seja x∈X tal que T(x) =y. Ent˜ao

�T⁻¹(y)�=�T⁻¹� T(x)�

�=�x�=�T(x)�=�y�.

Logo T⁻¹ : ImT →X é uma imersão isométrica e portanto cont´ınua pelo item (a).

Tendo em vista a proposi¸cão anterior, para uma imersão isométrica ser um isomorfismo basta que seja sobrejetora. Chameremos então uma imersão isométrica sobrejetora de isomorfismo isométrico ou simplesmente isometria. Se existir um isomorfismo isométrico entreX eY escreveremosX ≡Y. Quando dois espa¸cos são isométricos, existe uma correspondência entre seus elementos que preserva tanto a estrutura algébrica quanto a norma. Ou seja, podem ser diferentes como conjunto, mas são idênticos como espa¸cos normados.

Veremos um exemplo importante de imers˜ao isom´etrica quando estudarmos os espa¸cos duais.

1.10 O espa¸ co Quociente

Seja X um espa¸co vetorial e M um subespa¸co de X. Lembramos que o espa¸co quociente de X por M ´e o espa¸co vetorial X/M formado pelas classes de equivalˆencias