AL aula3

Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2020.1

Objetivos

Apresentar as matrizes elementares Denir a inversa de uma matriz

Calcular a inversa de uma matriz por escalonamanto Denir e estudar o determinante de uma matriz

Matrizes Elementares

Denição

Uma Matriz Elementar é uma matriz obtida de uma matriz identidade por uma única operação elementar nas suas linhas

Exemplos de Matrizes Elementares

Considere a matriz identidade 4 × 4

I4 =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1    

Multiplicar uma linha (por exemplo a terceira) por um número λ 6= 0.

E1 =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 1    

Exemplos de Matrizes Elementares

Trocar duas linhas de posição (por exemplo a primeira e a quarta)

E2 =     0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0    

Substituir uma linha (por exemplo a segunda) por ela somada a um múltiplo k 6= 0 de outra (por exemplo a quarta)

E3=     1 0 0 0 0 1 0 k 0 0 1 0 0 0 0 1    

Operações Elementares e Matrizes Elementares

Uma operação elementar feita em uma matriz A corresponde à multiplicação de uma matriz elementar por A

Vamos exemplicar cada uma das operações elementares feitas em uma matriz A4×4

A =     a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44    

Multiplicar a terceira linha por λ 6= 0.     a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

λa31 λa32 λa33 λa34

a41 a42 a43 a44     =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 1         a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44     = E1A

Operações Elementares e Matrizes Elementares

Trocar de posição as linhas 1 e 4     a41 a42 a43 a44 a21 a22 a23 a24

λa31 λa32 λa33 λa34

a11 a12 a13 a14     =     0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0         a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

λa31 λa32 λa33 λa34

a41 a42 a43 a44     = E2E1A

Substituir a segunda linha por ela somada a um múltiplo k 6= 0 da quarta linha     a41 a42 a43 a44 a21+ ka11 a22+ ka12 a23+ ka13 a24+ ka14

λa31 λa32 λa33 λa34

a11 a12 a13 a14     = =     1 0 0 0 0 1 0 k 0 0 1 0 0 0 0 1         a41 a42 a43 a44 a21 a22 a23 a24

λa31 λa32 λa33 λa34

a11 a12 a13 a14     = E3E2E1A

A Matriz Inversa

Denição

Dada uma matriz An×n. Se existir uma matriz Bn×n tal que

A.B = B.A = In

então B é a Matriz Inversa de A, denotada por A−1

Cálculo da Matriz Inversa por Operações Elementares nas Linhas

Suponha que E1, E2, E3, . . . Ep sejam matrizes elementares tais que

Ep.Ep−1. . . . .E3.E2.E1.A = I Então, sendo B = Ep.Ep−1. . . . .E3.E2.E1 Temos B.A = I Portanto B = A−1

Cálculo da Matriz Inversa: algoritmo

Dada uma matriz quadrada A

Efetue operações elementares nas linhas de A e simultaneamente nas linhas de I Pare quando e se obtiver a matriz identidade linha equivalente a A. A matriz correspondente linha equivalente a I é a inversa de A

Vamos tentar calcular a inversa da matriz A =     1 0 0 0 2 −3 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0 −1    

Trabalhamos o escalonamento buscando a forma escada de A. Caso a forma escada de A não seja uma matriz identidade, concluímos que A não tem inversa. Para efetuar as mesmas operações elementares em I4, escrevemos uma matriz aumentada

Exemplo

       1 0 0 0 ... 1 0 0 0 2 −3 0 −1 ... 0 1 0 0 1 0 −1 0 ... 0 0 1 0 1 0 0 −1 ... 0 0 0 1        L2 → L2− 2L1 L3 → L3− L1 L4 → L4− L1        1 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 −3 0 −1 ... −2 1 0 0 0 0 −1 0 ... −1 0 1 0 0 0 0 −1 ... −1 0 0 1        L2 → −1₃L2, L3 → −L3, L4→ −L4        1 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 1 0 1₃ ... 2₃ −1₃ 0 0 0 0 1 0 ... 1 0 −1 0 0 0 0 1 ... 1 0 0 −1        L2 → L2−1₃L4        1 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 1 0 0 ... 1₃ −1₃ 0 1₃ 0 0 1 0 ... 1 0 −1 0 0 0 0 1 ... 1 0 0 −1       

Exemplo

Concluímos que A =     1 0 0 0 2 −3 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0 −1     tem inversa e A−1=     1 0 0 0 1 3 − 1 3 0 1 3 1 0 −1 0 1 0 0 −1    

O Determinante de uma matriz quadrada

O Determinante é uma função do conjunto das matrizes n × n, M(n, n), no conjunto dos números reais R

det : M (n, n) → R A → det(A) que satisfaz três propriedades

det(I) = 1

se A, B e C são matrizes que diferem em apenas uma linha, digamos Li e

Li(A) = kLi(B) + λLi(C)então

det(A) = k.det(B) + λ.det(C)

se A e B são matrizes que diferem em apenas apenas duas linhas, digamos Li e Lj com

Li(A) = Lj(B)e Lj(A) = Li(B) então

Determinante e Sistemas Lineares

O determinante da matriz dos coecientes aparece naturalmente na resolução de um sistema linear com n equações e n incógnitas por escalonamento.

Observemos a solução por eliminação de variáveis do sistema linear AX = B para n = 2 e n = 3.

n = 2

Eliminando o y da primeira equação   a11 a12 ... b1 a21 a22 ... b2  ∼   a11a22 a12a22 ... b1a22 −a21a12 −a22a12 ... −b2a12  ∼ ∼   a11a22− a21a12 0 ... b1a22− b2a12 −a21a12 −a22a12 ... −b2a12  ⇒ (a11a22− a21a12)x = a22b1− a12b2

Eliminando o x da segunda equação   a11 a12 ... b1 a21 a22 ... b2  ∼   −a11a21 −a12a21 ... −b1a21 a21a11 a22a11 ... b2a11  ∼ ∼   −a11a21 −a12a21 ... −b1a21 0 a11a22− a21a12 ... b2a11− b1a21  ⇒ (a11a22− a21a12)y = b2a11− b1a21 Se D2 = a11a22− a21a12=     a11 a12 a21 a22     6= 0 temos x = a22b1− a12b2 D2 e y = a11b2− a21b1 D2

n = 3

    a11 a12 a13 ... b1 a21 a22 a23 ... b2 a31 a32 a33 ... b3     L2→ a11L2− a21L1 L3→ a11L3− a31L1     a11 a12 a13 ... b1 0 a11a22− a21a12 a11a23− a21a13 ... a11b2− a21b1 0 a11a32− a31a12 a11a33− a31a13 ... a11b3− a31b1     L3 → (a11a22− a21a12)L3− (a11a32− a31a12)L2     a11 a12 a13 ... b1 0 a11a22− a21a12 a11a23− a21a13 ... a11b2− a21b1 0 0 k ... h     onde

k = (a11a33− a31a13)(a11a22− a21a12) − (a11a23− a21a13)(a11a32− a31a12) = a11(a11a22a33− a12a21a33− a13a22a31− a11a23a32+ a12a23a31+ a13a21a32) e h = (a11a22− a21a12)(a11b3− a31b1) − (a11a32− a31a12)(a11b2− a21b1) = a11a11a22b3− a11a22a31b1− a11a12a21b3+ a12a21a31b1 −a₁₁a11a32b2+ a11a21a32b1+ a11a12a31b2− a12a21a31b1 = a11b1     a21 a22 a31 a32     − a₁₁b2     a11 a12 a31 a32     + a11b3     a11 a12 a21 a22     Se a116= 0e D36= 0

D3= a11a22a33−a12a21a33−a13a22a31−a11a23a32+a12a23a31+a13a21a32=

      a11 a12 a13 a21 a22 a13 a31 a32 a33       temos

z = b1     a21 a22 a31 a32     − b2     a11 a12 a31 a32     + b3     a11 a12 a21 a22     D3

Para obter o valor de y voltamos ao passo 2 e zeramos o coeciente de z na segunda linha     a11 a12 a13 ... b1 0 a11a22− a21a12 a11a23− a21a13 ... a11b2− a21b1 0 a11a32− a31a12 a11a33− a31a13 ... a11b3− a31b1     L2 → (a11a33− a31a13)L2− (a11a23− a21a13)L3     a11 a12 a13 ... b1 0 q 0 ... t 0 a11a32− a31a12 a11a33− a31a13 ... a11b3− a31b1     onde

q = (a11a22− a21a12)(a11a33− a31a13) − (a11a32− a31a12)(a11a23− a21a13) = a11(a11a22a33− a12a21a33− a13a22a31− a11a23a32+ a12a23a31+ a13a21a32) +a12a13a21a31− a12a13a21a31 = a11(a11a22a33− a12a21a33− a13a22a31− a11a23a32+ a12a23a31+ a13a21a32) = a11D3 e t = (a11b2− a21b1)(a11a33− a31a13) − (a11b3− a31b1)(a11a23− a21a13) = a11((a11a33− a31a13)b2− (a11a23− a21a13)b3+ (a31a23− a21a33)b1)+ +a13a21a31b1− a13a21a31b1 = a11  −b1     a21 a23 a31 a33     + b2     a11 a13 a31 a33     − b3     a11 a13 a21 a23      y = −b1     a21 a23 a31 a33     + b2     a11 a13 a31 a33     − b3     a11 a13 a21 a23     D3

Falta encontrar o valor de x

Podemos agora substituir os valores encontrados para y e z na primeira equação para determinar o valor de x. Temos a11x + a12 −b₁     a21 a23 a31 a33     + b2     a11 a13 a31 a33     − b₃     a11 a13 a21 a23     D3 + +a13 b1     a21 a22 a31 a32     − b₂     a11 a12 a31 a32     + b3     a11 a12 a21 a22     D3 = b1 ou D3a11x = (a11a22a33−a12a21a33−a13a22a31− a11a23a32+a12a23a31+a13a21a32)b1 −a12((a31a23−a21a33)b1+ (a11a33−a31a13)b2− (a11a23−a21a13)b3) −a13((a21a32−a22a31)b1+ (a12a31− a11a32)b2+ (a11a22−a12a21)b3) = a11((a22a33− a23a32)b1+ (a13a32− a12a33)b2+ (a12a23− a13a22)b3)

Solução do sistema

x = b1     a22 a23 a32 a33     − b2     a12 a13 a32 a33     + b3     a12 a13 a22 a23     D3 y = −b₁     a21 a23 a31 a33     + b2     a11 a13 a31 a33     − b₃     a11 a13 a21 a23     D3 z = b1     a21 a22 a31 a32     − b2     a11 a12 a31 a32     + b3     a11 a12 a21 a22     D3

Determinantes: como generalizar?

Os números D2 e D3 são respectivamente os determinantes das matrizes A2×2 e A3×3

D2 =     a11 a12 a21 a22     = a11a22− a12a21 D3=       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33      

= a11a22a33−a12a21a33−a13a22a31−a11a23a32+a12a23a31+a13a21a32

Para denir o determinante de uma matriz n × n precisamos estabelecer os padrões para a sua lei de formação. Um deles é a quantidade de parcelas, n!. Cada parcela é o produto de n elementos, um de cada linha e um de cada coluna da matriz. Há ainda uma variação dos sinais +e − de cada parcela. Note que em D2 = a11a22− a12a21 cada parcela tem a linha do

elemento obedecendo a ordem 12. Quanto à coluna, na primeira parcela, positiva, a ordem é 12 e na segunda parcela, negativa, a ordem é 21.

Observemos D

3 D3=       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33      

= a11a22a33−a12a21a33−a13a22a31−a11a23a32+a12a23a31+a13a21a32

A ordem das linhas é sempre 123. Quanto às colunas, temos as 6 permutações de 1, 2, 3: 123, 213, 321, 132, 231e 312 com sinais + − − − ++ respectivamente.

Observemos D

3 D3=       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33      

= a11a22a33−a12a21a33−a13a22a31−a11a23a32+a12a23a31+a13a21a32

Podemos ainda trocar a ordem dos produtos em algumas parcelas e observar os índices das colunas D3=       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33      

= a11a22a33−a21a12a33−a31a22a13−a11a32a23+a31a12a23+a21a32a13

A ordem das colunas é sempre 123. Quanto às linhas, temos as 6 permutações de 1, 2, 3: 123, 213, 321, 132, 312e 231 com sinais + − − − ++ respectivamente.

Observemos D

3 D3=       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33      

= a11a22a33−a12a21a33−a13a22a31−a11a23a32+a12a23a31+a13a21a32

Podemos ainda trocar a ordem dos produtos em algumas parcelas e observar os índices das colunas D3=       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33      

= a11a22a33−a21a12a33−a31a22a13−a11a32a23+a31a12a23+a21a32a13

Inversões numa permutação

Denição

Em uma permutação de 1, 2, 3, . . . , n, sempre que um elemento está antes de um menor que ele, tem-se uma inversão

Os sinais das parcelas no cálculo do determinante estão relacionados com o número de inversões nas permutações das linhas ou colunas. Observe em cada permutação, o número de inversões e o sinal da parcela

123 0 + 213 1 − 321 3 − 132 1 − 231 2 + 312 2 +

O Determinante D

n

O conjunto das permutações de N = {1, 2, 3, . . . , n} é denotado por Pn. Para cada um dos n!

elementos de Pn dena uma função ρ : N → N que associa a cada posição k o elemento que

está nesta posição. Por exemplo, para a permutação 3421 temos ρ(1) = 3, ρ(2) = 4, ρ(3) = 2 e ρ(4) = 1. O número de inversões de ρ é denotado por J(ρ)

Denição Dn=            a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n a31 a32 a33 . . . a3n ... ... ... ··· ... an1 an2 an3 . . . ann            = X ρ∈P (n) (−1)J (ρ)a1ρ(1)a2ρ(2)a3ρ(3). . . anρ(n)

O Determinante D

n

O conjunto das permutações de N = {1, 2, 3, . . . , n} é denotado por Pn. Para cada um dos n!

elementos de Pn dena uma função ρ : N → N que associa a cada posição k o elemento que

está nesta posição. Por exemplo, para a permutação 3421 temos ρ(1) = 3, ρ(2) = 4, ρ(3) = 2 e ρ(4) = 1. O número de inversões de ρ é denotado por J(ρ)

Denição Ou Dn=            a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n a31 a32 a33 . . . a3n ... ... ... ··· ... an1 an2 an3 . . . ann            = X ρ∈P (n) (−1)J (ρ)a_ρ(1)1a_ρ(2)2a_ρ(3)3. . . a_ρ(n)n

Determinantes: método recursivo

Existem vários métodos (algoritmos) para calcular determinantes. O Método de Laplace é um método recursivo. Para entendê-lo, observemos o cálculo do determinante D3 em função de

determinantes D2       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11a22a33−a12a21a33−a13a22a31−a11a23a32+a12a23a31+a13a21a32 = a11     a22 a23 a32 a33     −a12     a21 a23 a31 a33     +a13     a21 a22 a31 a32     = a11detA11−a12detA12+a13detA13

Determinantes: método recursivo

Existem vários métodos (algoritmos) para calcular determinantes. O Método de Laplace é um método recursivo. Para entendê-lo, observemos o cálculo do determinante D3 em função de

determinantes D2       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11a22a33− a12a21a33− a13a22a31− a11a23a32+ a12a23a31+ a13a21a32 = −a21     a12 a13 a32 a33     +a22     a11 a13 a31 a33     −a23     a11 a12 a31 a32     = −a21detA21+a22detA22−a23detA23

Determinantes: método recursivo

Existem vários métodos (algoritmos) para calcular determinantes. O Método de Laplace é um método recursivo. Para entendê-lo, observemos o cálculo do determinante D3 em função de

determinantes D2       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11a22a33− a12a21a33−a13a22a31− a11a23a32+ a12a23a31+a13a21a32 = a13     a21 a22 a31 a32     −a23     a11 a12 a31 a32     +a33     a11 a12 a21 a22     = a13detA13−a23detA23+a33detA33

Determinantes: método recursivo

Existem vários métodos (algoritmos) para calcular determinantes. O Método de Laplace é um método recursivo. Para entendê-lo, observemos o cálculo do determinante D3 em função de

determinantes D2

Denotando por Aij a matriz obtida de A pela remoção da linha i e da coluna j e denindo o

cofator do elemento aij por

∆ij = (−1)i+jdetAij

temos

detA = ak1∆k1+ ak2∆k2+ ak3∆k3

onde k pode ser substituído por 1, 2 ou 3 ou

detA = a1k∆1k+ a2k∆2k+ a3k∆3k

O Desenvolvimento de Laplace

Para uma matriz An×n, denimos Denição

O cofator do elemento aij é

∆ij = (−1)i+jdetAij

onde Aij é a matriz obtida de A pela remoção da linha i e da coluna j

O determinante de A calculado pelo desenvolvimento de Laplace relativo à linha k é detA = ak1∆k1+ ak2∆k2+ ak3∆k3+ · · · + akn∆kn

onde k pode ser substituído por 1, 2, 3, . . . , n

O determinante de A pelo desenvolvimento de Laplace relativo à coluna k é detA = a1k∆1k+ a2k∆2k+ a3k∆3k+ · · · + ank∆nk

Exemplo

Vamos calcular o determinante da matriz 4 × 4 A =     1 0 0 0 2 −3 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0 −1    

fazendo o desenvolvimento de Laplace relativo à primeira linha         1 0 0 0 2 −3 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0 −1         =       −3 0 −1 0 −1 0 0 0 −1       = −     −3 −1 0 −1     = −3

A Regra de Kramer

Volte ao processo de apresentação de determinantes na resolução de um sistema linear e escreva os numeradores encontrados na solução em termos de determinantes. Você encontrará a Regra de Kramer

O determinante de uma matriz elementar

Para cada um dos 3 tipos de matrizes elementares temos

Se E é obtida de I pela multiplicação de uma linha por uma constante k 6= 0 então det(E) = k

Se E é obtida de I pela troca de posição e duas linhas então det(E) = −1

Se E é obtida de I pela substituição de uma linha por sua soma com um múltiplo k 6= 0 de outra então

Simplicando o cálculo de determinante

Observe que se B é obtida de A por uma única operação elementar então, para alguma matriz elementar

B = E.A e

det(B) = det(E).det(A)

Se B é obtida de A por uma sequência de operações elementares do tipo 3 então det(B) = det(A)

Propriedades gerais dos determinantes

Vamos listar a principais propriedades do determinante

1 Se A tem uma linha (ou coluna) toda nula então det(A) = 0.

2 det(A) = det(At₎

3 Se uma linha (ou coluna) de A é multiplicada por uma constante, o determinante da

matriz obtida é o de A multiplicado pela mesma constante.

4 Se trocamos duas linhas (ou colunas ) de posição em A, o determinante da matriz obtida

é −det(A)

5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0 6 Se A = (a_ij)n×n com a_{kj = pj + qj} e B = (bij)n×n com bij =  aij se i 6= k pj se i = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se i 6= k qj se i = k

então det(A) =det(B)+det(C)

7 Se A = (a_ij)n×n com a_{ik= pi+ qi} e B = (bij)n×n com bij =  aij se j 6= k pi se j = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se j 6= k qi se j = k

Propriedades gerais dos determinantes

Vamos listar a principais propriedades do determinante

1 Se A tem uma linha (ou coluna) toda nula então det(A) = 0. 2 det(A) = det(At₎

3 Se uma linha (ou coluna) de A é multiplicada por uma constante, o determinante da

matriz obtida é o de A multiplicado pela mesma constante.

4 Se trocamos duas linhas (ou colunas ) de posição em A, o determinante da matriz obtida

é −det(A)

5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0 6 Se A = (a_ij)n×n com a_{kj = pj + qj} e B = (bij)n×n com bij =  aij se i 6= k pj se i = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se i 6= k qj se i = k

então det(A) =det(B)+det(C)

7 Se A = (a_ij)n×n com a_{ik= pi+ qi} e B = (bij)n×n com bij =  aij se j 6= k pi se j = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se j 6= k qi se j = k

Propriedades gerais dos determinantes

Vamos listar a principais propriedades do determinante

1 Se A tem uma linha (ou coluna) toda nula então det(A) = 0. 2 det(A) = det(At₎

3 Se uma linha (ou coluna) de A é multiplicada por uma constante, o determinante da

matriz obtida é o de A multiplicado pela mesma constante.

4 Se trocamos duas linhas (ou colunas ) de posição em A, o determinante da matriz obtida

é −det(A)

5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0 6 Se A = (a_ij)n×n com a_{kj = pj + qj} e B = (bij)n×n com bij =  aij se i 6= k pj se i = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se i 6= k qj se i = k

então det(A) =det(B)+det(C)

7 Se A = (a_ij)n×n com a_{ik= pi+ qi} e B = (bij)n×n com bij =  aij se j 6= k pi se j = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se j 6= k qi se j = k

Propriedades gerais dos determinantes

Vamos listar a principais propriedades do determinante

1 Se A tem uma linha (ou coluna) toda nula então det(A) = 0. 2 det(A) = det(At₎

3 Se uma linha (ou coluna) de A é multiplicada por uma constante, o determinante da

matriz obtida é o de A multiplicado pela mesma constante.

4 Se trocamos duas linhas (ou colunas ) de posição em A, o determinante da matriz obtida

é −det(A)

5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0 6 Se A = (a_ij)n×n com a_{kj = pj + qj} e B = (bij)n×n com bij =  aij se i 6= k pj se i = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se i 6= k qj se i = k

então det(A) =det(B)+det(C)

7 Se A = (a_ij)n×n com a_{ik= pi+ qi} e B = (bij)n×n com bij =  aij se j 6= k pi se j = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se j 6= k qi se j = k

Propriedades gerais dos determinantes

Vamos listar a principais propriedades do determinante

1 Se A tem uma linha (ou coluna) toda nula então det(A) = 0. 2 det(A) = det(At₎

3 Se uma linha (ou coluna) de A é multiplicada por uma constante, o determinante da

matriz obtida é o de A multiplicado pela mesma constante.

4 Se trocamos duas linhas (ou colunas ) de posição em A, o determinante da matriz obtida

é −det(A)

5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0

6 Se A = (a_ij)n×n com a_{kj = pj + qj} e B = (bij)n×n com bij =  aij se i 6= k pj se i = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se i 6= k qj se i = k

então det(A) =det(B)+det(C)

7 Se A = (a_ij)n×n com a_{ik= pi+ qi} e B = (bij)n×n com bij =  aij se j 6= k pi se j = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se j 6= k qi se j = k

Propriedades gerais dos determinantes

Vamos listar a principais propriedades do determinante

1 Se A tem uma linha (ou coluna) toda nula então det(A) = 0. 2 det(A) = det(At₎

3 Se uma linha (ou coluna) de A é multiplicada por uma constante, o determinante da

matriz obtida é o de A multiplicado pela mesma constante.

4 Se trocamos duas linhas (ou colunas ) de posição em A, o determinante da matriz obtida

é −det(A)

5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0 6 Se A = (a_ij)n×n com a_{kj = pj + qj} e B = (bij)n×n com bij =  aij se i 6= k pj se i = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se i 6= k qj se i = k

então det(A) =det(B)+det(C)

7 Se A = (a_ij)n×n com a_{ik= pi+ qi} e B = (bij)n×n com bij =  aij se j 6= k pi se j = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se j 6= k qi se j = k

Propriedades gerais dos determinantes

Vamos listar a principais propriedades do determinante

1 Se A tem uma linha (ou coluna) toda nula então det(A) = 0. 2 det(A) = det(At₎

3 Se uma linha (ou coluna) de A é multiplicada por uma constante, o determinante da

matriz obtida é o de A multiplicado pela mesma constante.

4 Se trocamos duas linhas (ou colunas ) de posição em A, o determinante da matriz obtida

é −det(A)

5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0 6 Se A = (a_ij)n×n com a_{kj = pj + qj} e B = (bij)n×n com bij =  aij se i 6= k pj se i = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se i 6= k qj se i = k

então det(A) =det(B)+det(C)

7 Se A = (a_ij)n×n com a_{ik= pi+ qi} e B = (bij)n×n com bij =  aij se j 6= k pi se j = k e C = (cij)n×n com cij =  aij se j 6= k qi se j = k

Determinante do Produto de duas Matrizes n × n

Para An×n e Bn×n

det(AB) = detA.detB

Justicativa: Seja S a forma escada de A. Então existem matrizes elementares E1, E2, . . . , Ep

com inversas F1, F2, . . . , Fp respectivamente tais que

S = Ep.Ep−1. . . E2.E1.A e A = F1.F2. . . Fp−1.FpS

Se S = In então

det(AB) = det(F1.F2. . . Fp−1.Fp.B) = det(F1).det(F2. . . Fp−1.Fp.B)

= det(F1).det(F2) . . . det(Fp).det(B)

= det(A).det(B)

Se S 6= In então det(A) = 0 e det(AB) = 0, portanto

Matriz dos cofatores e Matriz Adjunta

A matriz n × n cuja entrada ij é o cofator ∆ij é a matriz dos cofatores de A

A =      ∆11 ∆12 · · · ∆1n ∆21 ∆22 · · · ∆2n ... ... ··· ... ∆n1 ∆n2 · · · ∆nn      Denição

A Matriz Adjunta de An×n é a transposta da matriz dos cofatores de A

adjA = At=      ∆11 ∆21 · · · ∆n1 ∆12 ∆22 · · · ∆n2 ... ... ··· ... ∆1n ∆2n · · · ∆nn     

Propriedade da Matriz Adjunta

Teorema

A.At= A.(adjA) = (detA)In Demonstração

Para demonstrar esse teorema, temos que mostrar que a entrada ii desse produto é o

determinante de A e as demais entradas são nulas. Vamos fazer para n = 3. Seja M = A.adjA M =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  .   ∆11 ∆21 ∆31 ∆12 ∆22 ∆32 ∆13 ∆23 ∆33   m11= a11∆11+ a12∆12+ a13∆13= detA

e o mesmo vale para m22 e m33

Continuação m12= a11∆21+ a12∆22+ a13∆23= det   a11 a12 a13 a11 a12 a13 a31 a32 a33  = 0

e o mesmo vale para mij com i 6= j.

Em resumo, mkk= detA pois é o desenvolvimento de Laplace de detA pela linha k e mij = 0

para i 6= j pois é o desenvolvimento de Laplace do determinante de uma matriz que tem duas linhas iguais.

A Matriz Adjunta e a Matriz Inversa

Denição

A Inversa da matriz An×n, caso exista, é a matriz A−1n×n tal que

A.A−1= A−1.A = In

De acordo com o Teorema, se detA 6= 0 então

A. 1

detA(adjA) = In Portanto

A−1= 1

Propriedades da Matriz Inversa

1 _An×n tem inversa se e somente se detA 6= 0

2 _detA−1 ₌ 1

detA

Propriedades da Matriz Inversa

1 _An×n tem inversa se e somente se detA 6= 0 2 _detA−1 ₌ 1

detA

Propriedades da Matriz Inversa

1 _An×n tem inversa se e somente se detA 6= 0 2 _detA−1 ₌ 1

detA

Exercícios

Decida se existe a inversa de cada matriz abaixo. Caso exista, encontre-a através da matriz adjunta. 1.  1 4 −5 2  2.   1 1 0 0 −1 2 0 0 1   3.     1 2 −1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0    