SMA 5878 Análise Funcional II

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SMA 5878 An´

alise Funcional II

Alexandre Nolasco de Carvalho

Departamento de Matem´atica

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computa¸cão Universidade de São Paulo

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Objetivos da Disciplina

O objetivo desta disciplina ´e, dado um operador linear L,

I Encontrar subespa¸cos invariantes por L de modo que, nestes espa¸cos, L tenha uma representa¸c˜ao mais simples

(diagonaliza¸cão ou, mais geralmente, a forma canônica de Jordan em dimensão finita),

I Desenvolver o cálculo operacional para determinar quando o problema ˙x = Lx é localmente bem colocado (dar sentido para eLt e estudar suas propriedades) ou (equivalentemente) para determinar para quais escalares λ é poss´ıvel resolver o problema (λI − L)x = f (encontrar x como fun¸cão de f ) e

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I Compreender as situa¸cões em que uma separa¸cão do espectro induz uma dicotomia no comportamento das solu¸cões de

˙

x = Lx (teoremas da aplica¸c˜ao espectral – estabilidade ou mais geralmente hiperbolicidade).

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Coment´

arios

Estas questões são bem conhecidas dos alunos de gradua¸cão que cursaram alguma disciplina sobre sistemas lineares de equa¸cões diferenciais autônomas. No entanto, em dimensão infinita elas ganham novos contornos e surpreendentes caracter´ısticas novas. Um fato marcante é a impossiblidade de, em geral, caracterizar (em espa¸cos de dimensão infinita) a estabilidade de solu¸cões de

˙

x = Lx pela posi¸cão do espectro de L e o estudo das situa¸cões em que esta caracteriza¸cão é poss´ıvel.

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Um outro importante aspecto ´e o conjunto de restri¸c˜oes que precisam ser impostas a L para que o problema ˙x = Lx seja bem colocado.

Exemplos importantes de equa¸cões em que o operador L está definido em um espa¸co de dimensão infinita são as EDP’s evolutivas lineares e as EDF’s lineares.

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Pr´

e-requisitos

Vamos utilizar fortemente, nesta primeira aula, alguns resultados de an´alise funcional elementar e de an´alise complexa tais como:

I O Teorema de Hahn-Banach ou suas conseq¨uˆencias,

I O Princ´ıpio da Limita¸c˜ao uniforme,

I A no¸c˜ao de convergˆencia fraca,

I O Teorema de Cauchy e as f´ormulas integrais de Cauchy,

I As expans˜oes de Taylor e de Laurent e

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An´

alise Funcional II - Conte´

udo da disciplina

I _C´_{alculo de Func}_{¸ ˜}_{oes Vetoriais}

I _An´_{alise Espectral de Operadores Lineares}

I _{Semigrupos e Seus Geradores}

I _Potˆ_{encias Fracion´}_arias

I _{Teoremas de Aproximac}_¸˜_ao

I _{Teoremas Espectrais e Dicotomias}

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Bibliografia

I Notas de Aula: Dispon´ıvel online no endere¸co

http://www.icmc.usp.br/pessoas/andcarva/AnaliseFuncional-II.pdf

I A. E. Taylor & D. C. Lay, Introduction to functional analysis, John-Wiley & Sons, New York, 1980.

I A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.

I T. Kato, Perturbation theory for linear operators,

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Cap´ıtulo 1

(10)

Introduc

¸˜

ao

Neste cap´ıtulo estudaremos a extensão da no¸cão de analiticidade para fun¸cões definidas em um aberto de um plano complexo e tomando valores em um espa¸co de Banach complexo e da no¸cão de integrabilidade (Riemann-Stieltjes) para fun¸cões cont´ınuas. Algumas propriedades importantes das fun¸cões anal´ıticas vetoriais são também exploradas para uso no estudo de propriedades espectrais de operadores lineares.

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Sejam X , Y espa¸cos de Banach sobre um corpo K (K = R ou K = C) e L(X , Y ) o espa¸co dos operadores lineares e cont´ınuos de X em Y com a norma

kT k_{L(X ,Y )}= sup

x ∈X

kxkX=1

kTxk_Y.

Em particular, se Y = K escrevemos X∗ := L(X , K) para denotar o espa¸co dual de X e L(X ) para denotar L(X , X ).

(12)

Se X ´e um espa¸co de Banach, r > 0 e x ∈ X , a bola aberta (fechada) de centro em x e raio r em X ´e denotada por B_rX(x ) (BX_r (x )) ou simplesmente por Br(x ) (Br(x )) quando estiver claro

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Func

¸ ˜

oes anal´ıticas vetoriais

Se Ω ⊂ C é um conjunto aberto e X é um espa¸co de Banach sobre C, diremos que uma fun¸cão f : Ω → X é anal´ıtica em Ω se, para cada λ0 ∈ Ω existe o limite

lim

λ→λ0

f (λ) − f (λ0)

λ − λ0

.

O valor deste limite, denotado por f0(λ0), ´e chamado derivada de

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Observe que, se f : Ω → X ´e anal´ıtica e x∗∈ X∗_{, ent˜}_ao

h := x∗_{◦ f : Ω → C ´e anal´ıtica e h}0(λ0) = x∗(f0(λ0)).

Surpreendentemente (já que, em geral, convergência fraca não implica convergência forte), a rec´ıproca também é verdadeira.

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Teorema

Seja X um espa¸co de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto de C e f : Ω → X uma fun¸c˜ao tal que x∗◦ f : Ω → C ´e anal´ıtica para todo x∗ ∈ X∗_{. Ent˜}_{ao f : Ω → X ´}_{e anal´ıtica.}

Prova: Seja λ0∈ Ω. Como X ´e completo, ´e suficiente provar que

para cada λ0∈ Ω, a express˜ao

f (λ) − f (λ0)

λ − λ0

−f (µ) − f (λ0) µ − λ0

(16)

Escolha r > 0 tal que o ¯BC

r (λ0) ⊂ Ω e denote por γ fronteira de

¯ BC

r (λ0) orientada no sentido anti-hor´ario.

Para cada x∗∈ X∗ _{a fun¸c˜}_{ao x}∗_{◦ f : ¯}_BC

r (λ0) → C ´e cont´ınua e

portanto limitada. Do Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme, existe uma constante M > 0 tal que

(17)

Agora, se x∗∈ X∗ _{e λ, µ ∈ ¯}_BC_r

2

(λ0). Pela f´ormula integral de

Cauchy, se ζ ∈ ¯BC_r 2 (λ0), temos x∗(f (ζ)) = 1 2πi Z γ x∗(f (ξ)) ξ − ζ d ξ. (2)

Utilizando 2 para ζ igual a λ, µ e λ0, obtemos

x∗ f (λ)−f (λ0) λ−λ0 −f (µ)−f (λ0) µ−λ0 = 1 2πi Z γ (λ−µ) x∗(f (ξ)) (ξ −λ)(ξ −µ)(ξ −λ0) d ξ. (3)

(18)

Nossa escolha de λ e µ assegura que |λ − ξ| ≥ r₂ e |µ − ξ| ≥ r₂. Disto e de (1), segue de (3) que

x∗ f (λ) − f (λ0) λ − λ0 −f (µ) − f (λ0) µ − λ0 ≤ 4r−2Mkx∗k_X∗|λ − µ|. Logo, f (λ)−f (λ0) λ−λ0 −f (µ)−f (λ0) µ−λ0 = sup x ∗∈X ∗ kx∗_k=1 x∗f (λ)−f (λ0) λ−λ0 −f (µ)−f (λ0) µ−λ0 ≤ 4r−2M|λ − µ|.

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A seguir, consideramos fun¸c˜oes definidas em subconjuntos abertos de C com valores no espa¸co dos operadores lineares e cont´ınuos entre dois espa¸cos de Banach.

Teorema

Sejam X , Y , espa¸cos de Banach sobre C e Ω um subconjunto aberto de C. Se T : Ω → L(X , Y ), as seguintes afirmativas s˜ao equivalentes:

(a) Para cada x ∈ X e y∗ ∈ Y∗_{, a fun¸}_c˜_ao

Ω 3 λ 7→ y∗(T (λ)x ) ∈ C ´e anal´ıtica.

(b) Para cada x ∈ X , a fun¸c˜ao Ω 3 λ 7→ T (λ)x ∈ Y ´e anal´ıtica.

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Prova: A prova de (a) ⇒ (b) segue diretamente do Teorema 1, a prova de (b) ⇒ (c) é análoga à prova do Teorema 1 e a prova de (c) ⇒ (a) é imediata.

Estes teoremas permitem que uma parte significativa da teoria de fun¸cões de variáveis complexas possa ser transferida para fun¸cões com valores vetoriais sem muito esfor¸co adicional.

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Curvas retific´

aveis

Dados a, b ∈ R com a < b, uma parti¸cão P do intervalo [a, b] é uma cole¸cão de pontos {t0, t1, · · · , tnP}, nP ∈ N

∗ _{:= N\{0}, tal}

que a = t0 < t1< · · · < tnP = b.

A malha kPk de uma parti¸c˜ao P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b ´e o

comprimento do maior dos sub-intervalos determinados por ela; isto ´e, kPk = max{ti − ti −1 : 1 ≤ i ≤ nP}.

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Defini¸c˜ao

I Uma curva ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua γ : [a, b] → C.

I _{Se γ : [a, b] → C é diferenciável e γ}0_{: [a, b] → C é cont´ınua,}

diremos que γ ´e uma curva suave.

I _{Uma curva γ : [a, b] → C ´e dita suave por partes se existe}

uma parti¸c˜ao P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo

[a, b] tal que γi : [ti −1, ti] → C dada por γi(t) = γ(t),

t ∈ [ti −1, ti], ´e suave i = 1, · · · , nP.

I _{Uma curva γ : [a, b] → C ´e uma poligonal se existe uma}

parti¸c˜ao P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b] tal

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I _{Uma curva γ : [a, b] → C ´e de varia¸c˜ao limitada se existe uma}

constante M ≥ 0 tal que, para toda parti¸c˜ao P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b] v (γ, P) := nP X i =1 |γ(t_i) − γ(ti −1)| ≤ M.

Se γ : [a, b] → C é de varia¸cão limitada, a varia¸cão de γ é definita por

(24)

Quando for importante especificar o intervalo de defini¸c˜ao da curva γ escreveremos V (γ, [a, b]) para denotar a varia¸c˜ao da curva γ : [a, b] → C.

Exerc´ıcio

Se γ : [a, b] → C for de varia¸cão limitada V (γ, [a, b]) então |γ| : [a, b] → C definida por |γ|(t) = V (γ, [a, t]) será de varia¸cão limitada e V (γ, [a, b]) = V (|γ|, [a, b]).

(25)

Proposi¸c˜ao

Sejam γ, σ : [a, b] → C curvas de varia¸c˜ao limitada.

(a) Se P, Q são parti¸cões de [a, b] com P ⊂ Q, então v (γ, P) ≤ v (γ, Q).

(b) Se α, β ∈ C, então αγ + βσ : [a, b] → C definida por (αγ + βσ)(t) = αγ(t) + βσ(t), t ∈ [a, b] é de varia¸cão limitada e V (αγ + βσ) ≤ |α|V (γ) + |β|V (σ).

(26)

Proposi¸c˜ao

Se γ : [a, b] → C é suave por partes, então γ é de varia¸cão limitada e

V (γ) =

Z b

a

|γ0(t)|dt.

Prova: Faremos apenas a prova para o caso em que γ ´e suave. O caso geral ´e deixado como exerc´ıcio para o leitor.

(27)

Note que, para toda parti¸c˜ao P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do

intervalo [a, b], temos que

(28)

Consequentemente

V (γ) ≤

Z b

a

|γ0(t)|dt.

Como γ0 : [a, b] → C ´e uniformemente cont´ınua, dado > 0, existe δ1> 0 tal que, para todo t, s ∈ [a, b] com |t − s| < δ1, temos que

|γ0(t) − γ0(s)| < _2(b−a) . Seja δ2> 0 tal que, para toda parti¸c˜ao

P : a = t0< t1< · · · < tnP= b com malha kPk = max{ti−ti −1: 1 ≤ i ≤

nP} < δ2, temos que Z b |γ0(t)|dt − nP X |γ0(τi)|(ti − ti −1) < 2, ∀ τi ∈ [ti −1, ti].

(29)

Logo, se kPk < min{δ1, δ2}, Z b a |γ0(t)|dt ≤ 2 + nP X i =1 |γ0(τi)|(ti − ti −1) = 2 + nP X i =1 Z ti ti −1 γ0(τi)dt ≤ 2 + nP X i =1 Z t_i ti −1 γ0(t)dt + nP X i =1 Z t_i ti −1 [γ0(τi) − γ0(t)]dt ≤ + nP X i =1 |γ(ti) − γ(ti −1)| ≤ + V (γ).

(30)

Como > 0 ´e arbitr´ario, segue que Z b

a

|γ0(t)|dt ≤ V (γ) e a prova est´a completa.

(31)

Defini¸c˜ao

Seja γ : [a, b] → C uma curva. Diremos que γ é retificável se γ for de varia¸cão limitada, diremos que γ é fechada se γ(a) = γ(b) e diremos γ é simples se γ : [a, b) → C for injetiva.

(32)

Observa¸c˜ao

O conjunto {γ} = {γ(t) : t ∈ [a, b]} é chamado tra¸co da curva γ : [a, b] → C . Se γ : [a, b] → C é uma curva simples de varia¸cão limitada, a sua varia¸cão V (γ) é comprimento de {γ}. O resultado anterior nos diz que, a no¸cão usual de comprimento para o tra¸co de uma curva simples suave por partes γ : [a, b] → C é estendida pela no¸cão de varia¸cão às curvas de varia¸cão limitada.

(33)

Integral de Riemann-Stieltjes

Teorema

Seja X um espa¸co de Banach sobre K, γ : [a, b] → K uma curva retificável e f : [a, b] → X uma fun¸cão cont´ınua. Então, existe um vetor I em X com a seguinte propriedade: Dado > 0, existe δ > 0 tal que, se P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b é uma parti¸cão

de [a, b] com kPk < δ, ent˜ao I − nP X i =1 f (τi)[γ(ti) − γ(ti −1)] X < , (4)

para qualquer escolha de τi ∈ [ti −1, ti], 1 ≤ i ≤ np. Este vetor I ´e

(34)

Prova: Seja {δm} uma seq¨uˆencia estritamente decrescente em

(0, ∞) com a seguinte propriedade: se t, s ∈ [a, b] e |t − s| < δm,

ent˜ao kf (t) − f (s)kX < _m1, m ∈ N∗. Para m ∈ N∗ defina

Pm= {parti¸c˜oes de [a, b] com malha kPk < δm}.

Defina ainda F_m = (_n_P X i =1 f (τi)(γ(ti) − γ(ti −1) : P ∈ Pm e τi ∈ [ti −1, ti] ) .

(35)

Suponha que diam(Fm) ≤ _m2V (γ) e seja I o ´unico vetor em

∩_m≥1F_m. Dado > 0 escolha m > 2V (γ). Como I ∈ Fm, se

tomamos P ∈ Pm, temos que

I − nP X i =1 f (τi)(γ(ti) − γ(ti −1)) X ≤ diam(Fm) ≤ 2 mV (γ) < , para cada escolha de τi ∈ [ti −1, ti], 1 ≤ i ≤ nP.

Assim, dado > 0, escolhendo m > 2V (γ) e δ = δm temos que, se

P : a = t0< t1< · · · < tnP = b ´e uma parti¸c˜ao de [a, b] com

(36)

Primeiramente mostremos que, se P ∈ Pm e P ⊂ Q, ent˜ao kS(P) − S(Q)k_X < 1 mV (γ) (5) onde S (P) = nP X i =1 f (τi)(γ(ti) − γ(ti −1)), τi ∈ [ti −1, ti] e S (Q) = nQ X i =1 f (σi)(γ(si) − γ(si −1)), σi ∈ [si −1, si].

(37)

Se P : a = t0< t1 < · · · < tnP= b e Q : a = t0< · · · < tp−1< t ∗_{< t} p< · · · < tnP= b, temos que S (Q) := nQ X i =1 f (σi)(γ(si) − γ(si −1)) = nP X i =1 i 6=p f (σi)(γ(ti)−γ(ti −1))+f (σ)[γ(t∗)−γ(tp−1)]+f (σ0)[γ(tp)−γ(t∗)] S (P) := nP X i =1 f (τi)(γ(ti) − γ(ti −1)) = nP X f (τi)(γ(ti)−γ(ti −1))+f (τp)[γ(t∗)−γ(tp−1)]+f (τp)[γ(tp)−γ(t∗)]

(38)

e kS(Q) − S(P)k_X ≤ nQ X i =1 1 m|γ(si)−γ(si −1)| = 1 mv (γ, Q) ≤ 1 mV (γ). Isto prova (5) para P ∈ Pm e Q = P ∪ {t∗}. O caso geral em que

P ⊂ Q ´e deixado como exerc´ıcio.

Se P e Q são duas parti¸cões quaisquer em Pm, então

kS(Q)−S(P)k_X ≤ kS(Q)−S(P∪Q)k_X+kS (P∪Q)−S (P)kX ≤

2 mV (γ). Isto conclui a prova da estimativa diam(Fm) ≤ _m2V (γ) e completa

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Exerc´ıcio

Se f , g : [a, b] → X são fun¸cões cont´ınuas e γ, σ : [a, b] → K são curvas retificáveis, mostre que:

(a) Z b a (αf + βg ) d γ = α Z b a f d γ + β Z b a g d γ, (b) Z b a f d (αγ + βσ) = α Z b a f d γ + β Z b a f d σ, (c) Z b a f d γ = k X i =1 Z ti ti−1 f d γ, a = t0< t1 < · · · < tk = b. (d) Z b f d γ ≤ Z b kf kXd |γ|