AULA 7 MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

AULA 7

MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

PESQUISA OPERACIONAL

DEZ PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Carteira de Investimentos Escala de Funcionários

Fluxo Caixa Multiperíodo Problema de Mistura

Produção e Estoque Transporte

Escala de Produção Redes de Distribuição

DEZ PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Carteira de Investimentos Escala de Funcionários

Fluxo Caixa Multiperíodo Problema de Mistura

Produção e Estoque Transporte

Escala de Produção Redes de Distribuição

Menor Caminho Plantio em Fazendas

Carteira de Investimentos

A Gryphon Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros para decidir a composição de uma ou mais carteira de investimentos. Considerar que:

(A)Todo dinheiro deve ser alocado em alguma das opções disponíveis;

(B)Não mais que 25% do total aplicado deve ser investido em uma única aplicação;

(C)O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido; (D)Um valor superior a 50% do total aplicado

deve ser investido em títulos de maturidade maior que 10 anos.

Carteira de Investimentos

A Tabela 1 mostra os dados dos títulos existentes.

Determine qual o percentual do total deve ser aplicado em cada tipo título.

Título Retorno anual Anos para vencimento

Risco

1 8,7% 15 1 - Muito baixo

2 9,5% 12 2 - Regular

3 12,0% 8 4 - Alto

4 9,0% 7 2 - Baixo

5 13,0% 11 4 - Alto

6 20,0% 5 5 - Muito Alto

Carteira de Investimentos

Carteira de Investimentos

Variáveis de Decisão:

33% 34% 33%

Percentagem do total investido Dinheiro

Carteira de Investimentos

Deve ser considerado que:

(A)Todo dinheiro deve ser alocado em alguma das opções disponíveis;

+

+

=

P₁ + P₂ + P₃ = 100

Carteira de Investimentos

Deve ser considerado que:

(B)Não mais que 25% do total aplicado deve ser investido em uma única aplicação;

P_{1 ≤} 25 P_{2 ≤} 25 P_{3 ≤} 25

Carteira de Investimentos

Deve ser considerado que:

(C)O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido;

Carteira de Investimentos

Deve ser considerado que:

(D)Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maior que 10 anos.

P₁ + P_{3 ≥} 50

Variáveis de decisão:

P_i – percentual do total de R$ aplicado no título do tipo i, i = 1, ..., 6.

Função objetivo:

Maximizar a rentabilidade, ou seja, os juros ganhos e não o valor total.

Carteira de Investimentos

PASSO 1:

PASSO 2:

Max 

     +       +       +       +       +       100 20 , 0 100 13 , 0 100 09 , 0 100 12 , 0 100 095 , 0 100 087 ,

0 P1 P2 P3 P4 P5 P6

Restrições

Carteira de Investimentos

PASSO 3:

P_{1 ≤} 25;P_{2 ≤} 25;P_{3 ≤} 25;P_{4 ≤} 25;P_{5 ≤} 25;P_{6 ≤} 25

(B)Não mais que 25% do total aplicado deve ser investido em uma única aplicação;

P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ = 100

(A)Todo dinheiro deve ser alocado em alguma das opções disponíveis;

Restrições

Carteira de Investimentos

PASSO 3:

(C)O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido.

Título Retorno anual Anos para vencimento

Risco

1 8,7% 15 1 - Muito baixo

2 9,5% 12 2 - Regular

3 12,0% 8 4 - Alto

4 9,0% 7 2 - Baixo

5 13,0% 11 4 - Alto

6 20,0% 5 5 - Muito Alto

Restrições

Carteira de Investimentos

PASSO 3:

(D)Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade >10 anos.

Título Retorno anual Anos para vencimento

Risco

1 8,7% 15 1 - Muito baixo

2 9,5% 12 2 - Regular

3 12,0% 8 4 - Alto

4 9,0% 7 2 - Baixo

5 13,0% 11 4 - Alto

6 20,0% 5 5 - Muito Alto

P₁ + P₂ + P_{5 ≥} 50

Carteira de Investimentos

Max 

     +       +       +       +       +       100 20 , 0 100 13 , 0 100 09 , 0 100 12 , 0 100 095 , 0 100 087 ,

0 P1 P2 P3 P4 P5 P6

S.a.:

P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ = 100

P_{1 ≤} 25;P_{2 ≤} 25;P_{3 ≤} 25;P_{4 ≤} 25;P_{5 ≤} 25;P_{6 ≤} 25

P₃ + P₅ + P_{6 ≤} 50

P₁ + P₂ + P₅ ≥ 50

P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, P_{6 ≥} 0

Carteira de Investimentos

EXERCÍCIO 1

MODIFICAR O MODELO DE MODO QUE:

(A) Todo dinheiro pode ser alocado no máximo em até 100% do total.

(B) As aplicações 2 e 6 devem ter um mínimo de 5% do total .

(C) O total aplicado em títulos de risco baixo ou regular deve ser no mínimo de 15%.

(D) Associar ao retorno de cada aplicação uma probabilidade de ocorrência e achar o retorno médio esperado.

A Express Correios e Malotes, uma franquia da ECT (Empresa de Correios e Telégrafos), deseja

determinar o número de funcionários que deve contratar para iniciar suas atividades. Cada dia da semana precisa de um número diferente de

funcionários conforme a Tabela 2:

Escala de Funcionários

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

Um acordo sindical diz que um empregado que trabalha 5 dias consecutivos deve folgar em seguida 2 dias. Por exemplo, se o empregado trabalha de segunda a sexta, então, deverá folgar sábado e domingo. Determinar o número total de

Determinar o número de funcionários que deve contratar para iniciar suas atividades.

Escala de Funcionários

Funcio nário

Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

1 x x x x x

2 x x x x x

3 x x x x x

Grupo Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 11 11 11 11 11

G2 7 7 7 7 7

G3 16 16 16 16 16

Variáveis de Decisão:

Número de funcionários que começam no dia i Escala por funcionário

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Um acordo sindical diz que um empregado que trabalha 5 dias consecutivos deve folgar em seguida 2 dias.

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

N₁ + N₂ + N₅ + N₆ + N_{7 ≥} 18

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

N₁ + N₂ + N₃ + N₄ + N_{7 ≥} 15

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

N₂ + N₃ + N₄ + N₅ + N_{6 ≥} 14

Escala de Funcionários

# Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

G1 N1 N1 N1 N1 N1

G2 N2 N2 N2 N2 N2

G3 N3 N3 N3 N3 N3

G4 N4 N4 N4 N4 N4

G5 N5 N5 N5 N5 N5

G6 N6 N6 N6 N6 N6

G7 N7 N7 N7 N7 N7

Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab

# 11 18 12 15 19 14 16

Min N₁ + N₂ + N₃ + N₄ + N₅ + N₆ + N₇

S.a.:

N₁ + N₄ + N₅ + N₆ + N₇ ≥ 11 N₁ + N₂ + N₅ + N₆ + N_{7 ≥} 18 N₁ + N₂ + N₃ + N₆ + N_{7 ≥} 12 N₁ + N₂ + N₃ + N₄ + N₇ ≥ 15 N₁ + N₂ + N₃ + N₄ + N_{5 ≥} 19 N₂ + N₃ + N₄ + N₅ + N₆ ≥ 14 N₃ + N₄ + N₅ + N₆ + N_{7 ≥} 16 N₁, N₂, N₃, N₄, N₅, N₆, N_{7 ≥} 0

MODELO COMPLETO

Escala de Funcionários

EXERCÍCIO 2

MODIFICAR O MODELO DE MODO QUE:

(A) Todo funcionário que começar a trabalhar no sábado ou domingo deverá folgar 3 e não 2 dias.

(B) A partir do modelo original impor que todo funcionário que trabalhar no sábado ou domingo deverá folgar 3 dias.

(C) Alterar os custos do modelo original de modo que quem trabalha no sábado ou no domingo tem uma remuneração 50% maior.

Uma firma produz dois tipos de tintas: seca rápido (SR) e superseca (SS).Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato de e de óleo de linhaça

vindas de duas soluções ou isoladamente:

Cada litro de SR requer, no mínimo, 25% de silicato e 50% de óleo de linhaça e cada litro de SS requer, no mínimo, 20% de silicato e, no máximo, 50% de óleo de linhaça. Formular o PPL e achar quantos litros comprar de cada solução para produzir 100 litros de SR e 250 litros de SS.

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0% Linhaça R$ 1,50 0% 100%

Solução A Solução B

Linhaça Silicato Linhaça Silicato

60% 40% 30% 70%

Solução A Solução B Linhaça Silicato

Tinta SR

Problema de Mistura

x

x

x

x

Quantidade de Solução Apara produção da

Tinta SR

Quantidade de Silicatopara produção da

Tinta SR Variáveis de Decisão:

Solução A Solução B Linhaça Silicato

Tinta SR

Problema de Mistura

x

x

x

x

Tinta SS

Problema de Mistura

Solução A Solução B Linhaça Silicato

x

x

x

x

x_as + x_bs + x_ls + x_ss = 250

Uma firma produz dois tipos de tintas: seca rápido (SR) e superseca (SS).Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato de e de óleo de linhaça

vindas de duas soluções ou isoladamente:

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0%

Linhaça R$ 1,50 0% 100% Tinta SR

Cada litro de SR requer, no mínimo, 25% de silicato.

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0%

Linhaça R$ 1,50 0% 100% Tinta SR

0,25(x_ar+x_br+x_lr+x_sr)

Solução A Solução B Silicato Linhaça

0,6x

0,3x

1,0x

0,0x

≥

0,6x_ar + 0,3x_br + 1,0x_{sr ≥} 0,25(x_ar+x_br+x_lr+x_sr)

Uma firma produz dois tipos de tintas: seca rápido (SR) e superseca (SS).Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato de e de óleo de linhaça

vindas de duas soluções ou isoladamente:

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0%

Linhaça R$ 1,50 0% 100% Tinta SR

Cada litro de SR requer, no mínimo, 50% de linhaça.

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0%

Linhaça R$ 1,50 0% 100% Tinta SR

0,50(x_ar+x_br+x_lr+x_sr)

Solução A Solução B Silicato Linhaça

0,4x

0,7x

0,0x

1,0x

≥

0,4x_ar + 0,7x_br + 1,0x_{lr ≥} 0,5(x_ar+x_br+x_lr+x_sr)

Uma firma produz dois tipos de tintas: seca rápido (SR) e superseca (SS).Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato de e de óleo de linhaça

vindas de duas soluções ou isoladamente:

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0% Linhaça R$ 1,50 0% 100%

Cada litro de SS requer, no mínimo, 20% de silicato.

≥ 20%

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0% Linhaça R$ 1,50 0% 100%

0,2(x_as+x_bs+x_ls+x_ss)

Solução A Solução B Silicato Linhaça

0,6x

0,3x

1,0x

0,0x

≥

0,6x_as + 0,3x_bs + 1,0x_{ss ≥} 0,2(x_as+x_bs+x_ls+x_ss)

Uma firma produz dois tipos de tintas: seca rápido (SR) e superseca (SS).Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato de e de óleo de linhaça

vindas de duas soluções ou isoladamente:

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0% Linhaça R$ 1,50 0% 100%

Cada litro de SS requer, no máximo, 50% de linhaça.

≤ 50%

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0% Linhaça R$ 1,50 0% 100%

0,50(x_as+x_bs+x_ls+x_ss)

Solução A Solução B Silicato Linhaça

0,4x

0,7x

0,0x

1,0x

≤

0,4x_as + 0,7x_bs + 1,0x_{ls ≤} 0,5(x_as+x_bs+x_ls+x_ss)

Uma firma produz dois tipos de tintas: seca rápido (SR) e superseca (SS).Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato de e de óleo de linhaça

vindas de duas soluções ou isoladamente:

Problema de Mistura

Solução Preço/litro Silicato Linhaça

A R$ 0,50 60% 40% B R$ 0,75 30% 70% Silicato R$ 1,00 100% 0% Linhaça R$ 1,50 0% 100%

Min 0,5(x_ar + x_as) + 0,75(x_br + x_bs) + 1,0(x_sr + x_ss) + 1,5(x_lr + x_ls)

S.a.:

x_ar + x_br + x_lr + x_sr = 100 x_as + x_bs + x_ls + x_ss = 250

0,6x_ar + 0,3x_br + 1,0x_sr ≥ 0,25(x_ar+x_br+x_lr+x_sr) 0,4x_ar + 0,7x_br + 1,0x_{lr ≥} 0,5 (x_ar+x_br+x_lr+x_sr) 0,6x_as + 0,3x_bs + 1,0x_{ss ≥} 0,2 (x_as+x_bs+x_ls+x_ss) 0,4x_as + 0,7x_bs + 1,0x_ls ≤ 0,5 (x_as+x_bs+x_ls+x_ss) x_ar, x_br, x_lr, x_sr, x_as, x_bs, x_ls, x_{ss ≥} 0

MODELO COMPLETO

Problema de Mistura

Min 0,5(x_ar + x_as) + 0,75(x_br + x_bs) + 1,0(x_sr + x_ss) + 1,5(x_lr + x_ls)

S.a.:

x_ar + x_br + x_lr + x_sr = 100 x_as + x_bs + x_ls + x_ss = 250

0,35x_ar + 0,05x_br + 0,75x_sr - 0,25x_lr ≥ 0 -0,1x_ar + 0,2x_br - 0,5x_sr + 0,5x_{lr ≥} 0 0,4x_as + 0,1x_bs + 0,8x_ss - 0,2x_{ls ≥} 0 -0,1x_as + 0,2x_bs - 0,5x_ss + 0,5x_{ls ≤} 0 x_ar, x_br, x_lr, x_sr, x_as, x_bs, x_ls, x_{ss ≥} 0

MODELO COMPLETO SIMPLIFICADO

EXERCÍCIO 3

MODIFICAR O MODELO DE MODO QUE:

(A) O total produzido de tinta SR é igual a 150 e SS é de 150.

(B) O total produzido de tinta SR é menor ou igual à 100 e de tinta SS é menor ou igual à 250.

(C) Cada litro de tinta SR e SS precisa no mínimo de 45% de linhaça.

Problema de Mistura