CÁLCULO I. Lista Semanal 06 - Gabarito. Sejam f(x) = x3 x x 1

Prof. Marcel Bertolini | Prof. Tiago Coelho

Lista Semanal 06 - Gabarito Questão 1. Seja g uma função derivável tal que g(−1) = 2 e g0

(−1) = 3. Sejam f(x) = x

3_{− x}

x − 1 e h(x) = f (g(x)). Ache a equação da reta tangente ao gráco de h em x = −1.

Solução: A equação da reta tangente ao gráco de h(x) no ponto (−1, h(−1)) será do tipo: y = h0(−1)(x + 1) + h(−1).

Sendo h(−1) = f(g(−1)) = f(2) = 23− 2 2 − 1 = 6.

Para se determinar o coeciente angular da reta é necessário encontrar h0_{(x) que, pela Regra da}

Cadeia, é dada por:

h0(x) = f0(g(x)) · g0(x). E, para x = −1, tem-se que

h0(−1) = f0(g(−1)) · g0(−1) ⇒ h0(−1) = f0(2) · 3; Dessa forma, f0(x) = x 3_{− x} x − 1 0 = (3x 2_{− 1)(x − 1) − (x}3_{− x)} (x − 1)2 . E f0 (x) aplicada em g(−1) = 2 resulta em f0(g(−1)) = (3 · 2 2_{− 1)(2 − 1) − (2}3_{− 2)} (2 − 1)2 = 5. Então, h0(−1) = f0(g(−1)) · g0(−1) = 5 · 3 = 15. Portanto, a equação da reta tangente é

y = 15(x + 1) + 6 ⇒ y = 15x + 21.

Questão 2. Determine dy

dt. (Obs.: Respostas sem os cálculos não serão aceitas) (a) y = ecos2_(πt−1)

Solução: Pela Regra da Cadeia dy

dt = e

cos2(πt−1)_·cos2_{(πt − 1)}0

= ecos2(πt−1)· 2 cos(πt − 1) · [cos(πt − 1)]0

(b) y = 3t − 4 5t + 2 −5 Solução: dy dt = −5  3t − 4 5t + 2 −6 · 3t − 4 5t + 2 0 = −5 3t − 4 5t + 2 −6 · 3(5t + 2) − 5(3t − 4) (5t + 2)2  dy dt = − 130 (5t + 2)2 ·  3t − 4 5t + 2 −6 (c) y = cos 5 · sen t 3

Solução: dy dt = − sen  5 · sen t 3  ·  5 · sen t 3 0 = −5 · sen  5 · sen t 3  ·  sen t 3 0 = −5 · sen  5 · sen t 3  · cos t 3  · t 3 0 dy dt = − 5 3 · sen  5 · sen t 3  · cos t 3  (d) y = 4 · senp1 +√t Solução: dy dt = 4 cos q 1 +√t  · q 1 +√t 0 = 4 cos q 1 +√t  · 1 2p1 +√t ! ·h1 +√ti 0 = _p 2 1 +√t · cos q 1 +√t  ·  1 2√t  dy dt = 1 p t + t√t · cos q 1 +√t 

Questão 3. A curva x3_{+ y}3_{− 9xy = 0é chamada de fólio de Descartes.}

(a) Determine o coeciente angular do fólio de Descartes nos pontos (4, 2) e (2, 4).

Solução: Levando-se em consideração que y dene implicitamente uma função de x, ou seja, y = y(x), pode-se aplicar a derivação implícita à equação do fólio de Descartes. Deste modo, tem-se que

x3_{+ y}3_{− 9xy}0

= [0]0 3x2+ 3y2y0− 9 y + xy0

= 0

3(y2− 3x)y0 = 3(3y − x2)

y0 = 3y − x 2 y2_{− 3x} y0(x) = 3y − x 2 y2_{− 3x}

Portanto, os coecientes angulares serão: • No ponto (4, 2): y0(4) = 3 · 2 − 4 2 22_{− 3 · 4} = 5 4 • No ponto (2, 4): y0(2) = 3 · 4 − 2 2 42_{− 3 · 2} = 4 5

(b) Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?

Solução: O ponto no qual o fólio tem uma uma reta tangente horizontal, além do (0, 0), será o ponto para o qual y0_{(x) = 0. Assim,}

y0(x) = 3y − x

2

y2_{− 3x} = 0

3y − x2

Substituindo-se y por x2

3 na equação do fólio, tem-se que x3+ x 2 3 3 − 9x x 2 3  = 0 x6 27 − 2x 3 _{= 0} x3 27 x 3_{− 54}
= 0 x3− 54 = 0 x = √354 Portanto, no ponto √3 54, 3 √ 542 3 !

a reta tangente ao fólio é horizontal.

(c) Determine as coordenadas do ponto A, na gura abaixo, em que o fólio possui uma tangente vertical.

Solução: No ponto A(xA, yA) a curva possui uma reta tangente vertical. Isso signica que

lim x→xA |y0(x)| = ∞ Logo, lim x→xA     3y − x2 y2_{− 3x}     = lim x→xA |3y − x2_| |y2_{− 3x|} = ∞

Para isso, é necessário que o limite de |y2_{− 3x| → 0 quando x → x}

A. Assim, lim x→xA |y2− 3x| = 0 Então, em (xA, yA) y2_A− 3xA = 0 xA = y_A2 3 Substituindo-se o xA na equação do fólio,

 y2 A 3 3 + y3_A− 9 y 2 A 3  yA = 0 y_A6 27 − 2y 3 A = 0 y_A3 27 y 2 A− 54
= 0 y_A3 − 54 = 0 yA = 3 √ 54

Portanto, as coordenadas do ponto A são

3 √ 542 3 , 3 √ 54 ! .

Questão 4. A potência P (watts) de um circuito elétrico está relacionada à resistência R (ohms) e à corrente I (em ampères) desse circuito pela equação P = R · I2_.

(a) Como estão relacionadas dP dt ,

dR dt e

dI

dt se P , R e I não são constantes. Solução: Se P = P (t), R = R(t) e I = I(t), então

d dt[P ] = d dtR · I 2 dP dt = dR dt · I 2_{+ R · 2I ·}dI dt dP dt = I 2_·dR dt + 2RI · dI dt (b) Como dR

dt está relacionada com dI

dt se P é constante? Solução: Se P (t) é uma função constante, então dP

dt = 0. Logo, I2·dR dt + 2RI · dI dt = 0 dR dt = − 2R I · dI dt Questão 5. Considere a função f(x) = sen(4x)_tg(5x).

(a) É possível utilizar a regra do limite do quociente para calcular lim

x→0f (x)? Justique a sua resposta.

Solução: Não é possível, pois ao calcularmos direto lim

x→0

sen(4x)

tg(5x) teremos uma indeterminação, do tipo 0

0 

.

(b) Descreva um método mais simples para calcular lim

x→0f (x)de tal forma que este método possa ser

aplicado como regra a limites do tipo 0 0.

Solução: De modo geral, para todo limite da forma lim

x→p

h(x) g(x)

Se h(x) → 0 e g(x) → 0, quando x → p, então o limite pode ou não existir, e é chamado de forma indeterminada da forma 0

0 

.

Para se determinar este limite, é possível denir um método sistemático conhecido como Regra de L'Hôspital, na qual, se h(x) e g(x) forem deriváveis e g0_{(x) 6= 0 em um intervalo aberto I}

que contém p (exceto possivelmente em p), tem-se que lim x→p h(x) g(x) = limx→p h0(x) g0_(x)

Deste modo, para f(x) = sen(4x) tg(5x) , lim x→0 sen(4x) tg(5x) = x→0lim d dx[sen(4x)] d dx[tg(5x)] = lim x→0 4 · cos(4x) 5 · sec2_(5x) = 4

5 · limx→0cos(4x) cos 2_(5x) lim x→0 sen(4x) tg(5x) = 4 5.