= R, a velocidade característica será a. = = / π e, no caso do regime oscilatório, o = T. U U Q R

Hemodinâmica – Normalização das equações. Modelo Carreau-Yasuda. P.J. Oliveira, Dezembro 2009

Introdução

A equação do movimento sob forma dimensional, para escoamento unidireccional e completamente desenvolvido em tubo de secção circular, e para fluido newtoniano generalizado (GNF) é: 1 u p u r t z r r r ρ∂ = −∂ + ∂ _ η∂ _ ∂ ∂ ∂  ∂  (1)

onde a velocidade só depende da coordenada radial e do tempo, u r t( , ), e viscosidade

η

pode em geral ser função da taxa de deformação,

η γ

( )
com

γ

= ∂ ∂

u

/

r

. O gradiente de pressão é dado pela soma duma componente estacionária e uma oscilatória:

cos( ) e o e o p p p P P t z z z ω ∂  ∂   ∂  − = −_{ } + −_{ } ≡ + ∂  ∂   ∂  (2)

com frequência angular

ω

=2 f

π

, onde a frequência propriamente dita (em s-1=Hz) é igual ao inverso do período f =1/T. As amplitudes estacionária e oscilatória do gradiente de pressão,

e

P e P_o, são constantes.

As grandezas físicas da Eq. (1) são todas dimensionais, com unidades no sistema SI dadas por: massa volúmica

ρ

[kg/m3]; velocidade

u

[m/s]; tempo t [s]; pressão p [N/m2] = [Pa]; viscosidade

η

[kg/m.s] = [Pa.s]; distância radial r, ou axial z, [m].

O objectivo desta nota é mostrar como se passa da forma dimensional das equações para a forma adimensional (sem dimensões).

Normalização

Começa-se por definir escalas características de comprimento, L_c, velocidade, U_c, e tempo, c

t . A definição depende do problema concreto a resolver; para escoamento em tubo circular, o comprimento característico será o raio do tubo, L_c =R, a velocidade característica será a velocidade média obtida do caudal, Uc =U =Q/

π

R2 e, no caso do regime oscilatório, o tempo característico é dado pelo período da oscilação, t_c =T.

Multiplicando a Eq. (1) por

2 1 c c c L u p u r t z r r r U ρ η η  ∂ _{= −}∂ ₊ ∂  ∂ _×  _{∂ ∂ ∂}  _∂      z u(r,t) 2R O parede eixo tubo r

obtém-se a equação de movimento sob forma adimensional: 2 1 c c c L u p u r t t z r r r ρ _η η  ∂ ′_{= −}∂ ′₊ ∂  _{′ ′}∂ ′  _{∂′ ∂ ′ ′∂ ′} _{∂ ′}     (3)

O grupo adimensional que surge antes do 1º termo depende da definição do tempo característico, podendo tomar diversas formas como se verá de seguida.

As variáveis sem dimensões são indicadas por pelica, sendo definidas como: Distâncias: c r r L ′ = e c z z L ′ = (4) Velocidade: c u u U ′ = (5) Viscosidade: c

η

η

η

′ = (6)

Da dedução verifica-se também que: Pressão: / c c c p p U L

η

′ = (7) Gradiente de pressão: 2 c c c L P P U

η

′ = (8)

Quanto à definição da escala temporal, podem ocorrer dois casos, que conduzem a resultados diferentes para o grupo adimensional da Eq. (3) referido acima.

1- Não existe uma escala de tempo que seja imposta externamente:

(a) Escala convectiva, t_c =t_C, com t_C ≡L U_c/ _c (9) Repare-se que a escala de tempo convectiva resulta das escalas de velocidade e espaço, fazendo simplesmente: espaço = velocidade X tempo. O grupo fica:

2 2 / c c c c c c c L L t L U

ρ

ρ

η

η

⇒ = = c c c

U L

Re

ρ

η

=

(10) ⇒ u p 1 u Re r t z r r η r ′ ′ ′ ∂ _{= −}∂ ₊ ∂  _{′ ′}∂    ′ ′ ′ ′ ′ ∂ ∂ ∂  ∂  (11)

O número de Reynolds representa fisicamente a razão entre forças de inércia e forças viscosas. Pode também ser interpretado como a razão entre os tempos difusivo e convectivo.

2 2 2 1 / c c c c c c c L L t L

ρ

ρ

η

η ρ

η

⇒ = = ⇒ u p 1 u r t z r r η r ′ ′ ′ ∂ _{= −}∂ ₊ ∂  _{′ ′}∂    ′ ′ ′ ′ ′ ∂ ∂ ∂  ∂  (14)

Nota: nestas duas equações, o gradiente de pressão adimensional pode ser escrito:

p P z ′ ∂ _′ − = ′ ∂

Com a escala difusiva a equação do movimento não depende de qualquer grupo adimensional, sendo por isso preferível à escala convectiva. De facto, é sabido que no escoamento completamente desenvolvido dentro de condutas o perfil de velocidades não depende no número de Reynolds.

2- Existe escala de tempo imposta (por exemplo, o período, tal como referido acima):

Neste caso, t_c =T ⇒ 2 2 2 2 2 c c c c c c c L L f L t T

ρ

ρ

ρ

α

η

=

η

=

η

=

π

onde o número de Womersley é definido como: _c

c

L

ρω

α

η

=

(15) ⇒ 2 cos(2 ) 1 2 e o u u P P t r t r r r α _{π η} π ′ ′ ∂ _{= ′+ ′ ′ +} ∂  _{′ ′}∂    ′ ′ ′ ′ ∂ ∂  ∂  (16)

O grupo que aparece junto ao termo de variação no tempo não é mais do que a razão entre a escala de tempo difusiva e o período da oscilação de pressão imposta:

2 2 2 / 2 2 c c c D c L L t T T

ρω

ρ η

α

π

=

πη

= = . (17)

Relação Entre Escalas de Velocidade e de Pressão

O problema do escoamento num tubo pode ser abordado de duas formas: (i) o caudal é imposto; (b) o gradiente de pressões é imposto.

No caso (i) existe desde logo uma escala de velocidade, definida por exemplo como a velocidade média, U_c =U com U =Q_dado/

π

R2. Quando se tem tudo normalizado a velocidade média é unitária.

No caso (ii) a escala de velocidade pode ser definida indirectamente a partir do valor imposto do gradiente de pressão como:

2 8 dado c c c P L U

η

= (18)

No caso particular de fluido newtoniano, esta escolha faz com que um valor de P′dado =8 implique uma escala de velocidade unitária, pois U_c =U_N ≡PR2/ 8

µ

. Repare-se que no caso não newtoniano o carácter reofluidicante dos fluidos implica que um valor adimensional do gradiente de pressão de 8 irá produzir uma velocidade média bastante superior à unidade, pelo que as velocidades normalizadas com esta escala U_N tenderão também a ser significativamente superiores à unidade (ver abaixo, Fig. 1 a).

Normalização da viscosidade

Em geral, para um modelo de viscosidade GNF,

η η γ

= ( )
, a viscosidade característica deve ser calculada para uma taxa de deformação característica, isto é:

( ) c c

η

=

η γ

com c c c U L

γ

= (19)

Obviamente quando se trata do modelo newtoniano a viscosidade é constante e, nas equações anteriores,

η

_c transforma-se na própria viscosidade

µ

; por exemplo o número de Womersley para escoamento em tubo fica:

2 f

R

ρ π

α

µ

= (20)

Para os modelos GNF em uso corrente é preciso alguma atenção para transformar as fórmulas dimensionais em expressões adimensionais. Consideremos o caso do modelo de Carreau-Yasuda como exemplo, uma vez que contém uma série de outros modelos como casos particulares. Neste modelo a viscosidade dimensional é obtida da expressão empírica:

(

0

)

1

( )

1 n a _a

η η

η η

λγ

−       ∞ ∞   = + − _ +
_ (21)

Esta expressão pode escrever-se da seguinte maneira sem dimensões

( )

(1 ) / 0 1 1 n a a

η η

η η

_λγ

∞ − ∞ − ₌ − _{ + } 
 (22)

e a o modelo adimensional de Carreau-Yasuda deve ter a mesma forma funcional do membro da direita desta equação. Como o expoente deve ser n ≤1, a viscosidade diminui quando

γ

aumenta, ilustrando o efeito de reofluidificação.

Para adimensionalizar a equação de Carreau-Yasuda começa-se por dividi-la pela viscosidade característica 1 0 ₁ n a _a c c c c c c

η

η

η

η

_λγ

γ

η

η

η

η

γ

−       ∞  ∞ _   _ = +_ − _ +_{ }    _   _

(

0

)

1

(

)

1 n a _a

η η

η η

λ γ

−       ∞ ∞   ′= ′ + ′− ′ _ + ′ ′
_ (23)

onde o parâmetro de tempo é definido como:

λ

′ =

λ

U_c/L_c. Os parâmetros

a

e

n

do modelo são à partida adimensionais. Como para

1

γ

′ = , se tem

η

′ =1 (24)

os parâmetros adimensionais devem satisfazer

(

0

)

( )

1 1 1 n a _a

η

η η

λ

−       ∞′ ′ ∞′  ′  = + − _ + _ o que implica: 1 1 0 1 1 a _a n

η η

λ

η

      − ∞ ∞   ′ ′  −    ′ = _{ } − _{ − ′ }      (25)

Para que as funções de

γ

da equação original e do modelo adimensional se sobreponham é necessário: 0 0

η η

η η

η η

η η

∞ ∞ ∞ ∞ ′ ′ − − = ′ ′ − − , e para

γ γ

=
c vem 0 0 1 c

η η

η

η η

η η

∞ ∞ ∞ ∞ ′ − − ⇒ = ′ ′ − −

Para a forma adimensional pode escolher-se como caso particular

0

η

_∞

′ =

(26) e portanto 0 0 c

η η

η

η η

∞ ∞ − ′ = − (27)

com a Eq. (24) escrita de forma simplificada: 1 1 0

1

a a n

λ

η

         ₋   





′

=

_

′

−

_





(28)

Estas três relações permitem os valores adimensionais a ser usados na aplicação do modelo de Careeau-Yasuda, quando conhecidos os valores dimensionais.

Exemplo

Para sangue humano (

ρ

=1150 kg/m3), um grupo de parâmetros usuais para o modelo de Carreau-Yasuda é:

0 0.056

Em escoamento a Re =100 num tubo com diâmetro D =10mm (Lc = =R 0.005 m), um procedimento iterativo (visgnf.for) para resolver a equação

2 / ( )_c

Re=

ρ

U R

η γ

, ⇒

γ

_c = f Re( ) (com

γ

_c=U R/ ) (29) permite obter para a taxa de corte e viscosidade características:

13.8 c

U R

γ

= = 1/s,

η

_c=

η γ

( )
_c =0.00794Pa.s, U =0.0691 m/s.

Com estes valores, as Eqs. (26)-(28) dão:

0

η

∞

′ =

,

η

0′ =11.704,

λ

′ =45.8.

Quando se muda o número de Reynolds, os parâmetros do modelo adimensional têm de ser novamente ajustados. Existe assim um efeito “escondido” do número de Reynolds através da normalização das propriedades, apesar de na equação que rege o escoamento (Eq. 14) não aparecer Re.

O perfil de velocidades obtido para um gradiente de pressão dado (P′ =8) é mostrado na Fig. 1. A linha a vermelho corresponde ao perfil teórico obtido com modelo de lei-de-potência,

0.3568

n = , K =1. Verifica-se que os resultados são quase iguais, o que se pode esperar tendo em conta que o modelo Carreau-Yasuda da Eq. (23) com

η

_∞

′ =

0

e

λ

′ >>1 se reduz a:

1 1

0

n n

η η λ γ

_{′= ′ ′} − _′ −

Esta relação corresponde de facto uma lei de potência com

1 0.3568 1

0 11.704 45.8 1.000

n

K =

η λ

′ ′ − = × − = , daí a quase igualdade entre resultados, que também decorre de se ter escolhido

η

_∞

′ =

0

na Eq. (26). Na parte (a) da figura usou-se com escala de velocidade a decorrente do gradiente de pressão imposto, o U_N da Eq. (18) . Na parte (b) usou-se a velocidade média, obtida por integração numérica do perfil de velocidades resultante do programa de simulação.

(a) 0 4 8 12 16 u(r)/U_N 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/ R numérico teórico (b) 0 0.4 0.8 1.2 1.6 u(r)/U 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/ R numérico teórico

ANEXO – Programa para resolver iterativamente a Eq. (29).

C

C MODELO CARREAU-YASUDA

C CALCULAR VALOR DA VELOCIDADE MEDIA PARA REYNOLDS DADO C - VIS0, VISINF, LAMBDA E N CONSTANTES

C PROGRAM VISGNF AN=0.3568 DEN=1150. VIS0=0.056 VISI=0.00345 AL=3.313 RE=100.

C H: largura canal ou diametro tubo H=0.01

PRINT *,' LARGURA CANAL OU DIAM TUBO=',H ITMAX=100 ITER=0 TOL=1.E-4 U1=0.0745 PRINT *,' RE ?' READ(*,*) RE PRINT *,' n' READ(*,*) AN C 10 CONTINUE ITER=ITER+1 U1N=U1 GAM1=U1/(0.5*H) VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**2)**((AN-1)/2.) U1=VIS*RE/DEN/H WRITE(*,*) ITER,U1 IF(ITER.GT.ITMAX) THEN

PRINT *,' ITER GT ITMAX, STOP' STOP END IF IF(ABS(U1-U1N)/U1N.GT.TOL) GO TO 10 VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**2)**((AN-1)/2.) RE=DEN*U1*H/VIS

PRINT *,' VIS EFF=',VIS,' (PA.S) RE=',RE PRINT *,' U1=',U1,' M/S'

PRINT *,' GAM1=',GAM1

print *,' GAMA WALL canal=',3.*GAM1,' tubo=',4.*GAM1 STOP