CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

FGV

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Economia

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Fase –

16/

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MatEMátiCa

01. Um jogo de fichas funciona de acordo com as seguintes

regras:

1) Em cada jogada, o jogador com maior número de

fichas dará uma de suas fichas para cada um dos

demais jogadores, e uma de suas fichas para a banca.

2) Em caso de empate entre dois ou mais jogadores com

o maior número de fichas, sorteia-se, aleatoriamente,

um jogador dentre os que estão empatados para fazer a

jogada de descarte de fichas, conforme descrito em 1.

3) Vence o jogador que descartar primeiro todas as

fichas.

a) Álvaro, Breno e Catarina disputam esse jogo

começando com 15, 14 e 13 fichas cada um,

respectivamente.

Quem vencerá o jogo, e em quantas rodadas?

b) Em uma nova rodada do jogo, Álvaro começa com

x fichas, Breno começa com 4 fichas, e Catarina

também começa com 4 fichas. Sendo x um inteiro

maior que zero e menor que 9, determine quais são

as probabilidades de vitória de cada um dos três

jogadores em todas as possibilidades de x.

Resolução: a) Vamos fazer uma simulação das três primeiras rodadas: A B C 15 14 13 A descarta 12 15 14

→

1a _rodada B descarta 13 12 15

→

2a _rodada C descarta 14 13 12

→

3a _rodada

Nesse estágio, note que, como cada jogador descartou

uma única vez, o efeito líquido é +1 (o jogador perdeu

3 fichas e recebeu outras 2) ou seja: A, B e C perderam,

cada um, uma ficha do seu monte inicial.

Essa sequência (A descarta, B descarta, C descarta) vai

se repetir por 11 vezes, até observarmos a sequência:

A

B

C

4

3

2

A simulação a seguir indica o vencedor, após mais

algumas rodadas:

A B C 4 3 2

→

33a _rodada A descarta 1 4 3

→

34a _rodada B descarta 2 1 4

→

35a _rodada C descarta 3 2 1

→

36a _rodada

A descarta

0 3 2

→

fim do jogo!

O jogo terminará com a vitória de Álvaro, em 37

rodadas.

b) Faremos as simulação caso a caso, para x

Î

N

, 0 < x < 9. Entretanto, duas percepções são bastante úteis para encurtar os cálculos: ● quando dois ou mais jogadores tiverem, em algum instante, a mesma quantidade de fichas, podemos inferir que eles terão também as mesmas probabilidades de vitórias a partir daquele instante; ● eventualmente, B e C terão quantidades iguais de fichas nas simulações e decidirão aleatoriamente quem descartará 3 fichas. Na verdade, não importa quem dos dois descarte (se B, ou se C), já que as probabilidades de vitória de ambos são iguais (eles sempre começam com quantidades iguais). Assim, optamos por sempre atribuir o descarte ao jogador B. A B C 1 4 4 2 1 5 3 2 2 ↓ 0 P(A) = 100% P(B) = 0% P(C) = 0% A B C 2 4 4 3 1 5 4 2 2 1 3 3 ↓ 0 P(A) = 0% P(B) = 50% P(C) = 50% A B C 3 4 4 4 1 5 5 2 2 2 3 3 ↓ 0 P(A) = 0% P(B) = 50% P(C) = 50% A B C 4 4 4 P(A) = 1₃ P(B) = 1₃ P(C) = 1₃ A B C 5 4 4 2 5 5 3 2 6 4 3 3 1 4 4 já vimos P(A) = 100% P(B) = 0% P(C) = 0% A B C 6 4 4 3 5 5 4 2 6 5 3 3 2 4 4 já vimos P(A) = 0% P(B) = 50% P(C) = 50% A B C 7 4 4 4 5 5 5 2 6 6 3 3 3 4 4 já vimos P(A) = 0% P(B) = 50% P(C) = 50% A B C 8 4 4 5 5 5 P(A) = 1₃ P(B) = 1₃ P(C) = 1₃

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02. Um determinado produto deve ser distribuído a partir de

3 fábricas para 4 lojas consumidoras.

Seja C = (c

_ij

)

_3x4

a matriz do custo unitário de transporte da

fábrica i para a loja j, com c

_ij

= (2i – 3j)

2

_.

Seja B = (b

_ij

)

_3x4

a matriz que representa a quantidade de

produtos transportados da fábrica i para a loja j,

em milhares de unidades, com b

_ij

= i + j.

a) Determine as matrizes C = (c

_ij

)

_3x4

e B

t

_,

sendo que B

t

_{é a transposta da matriz B = (b}

ij

)

3x4

.

b) Sendo D =

1

1

1

1

_{4 1}

































_x

e E = [1 0 0]

_1x3

,

determine as matrizes X = (x

_ij

)

_3x1

e Y = (y

_ij

)

_1x3

tais que X = B . D e Y = E . (C . B

t

_).

Em seguida, determine o significado econômico de

x

_ij

e de y

_ij

.

Resolução: a) C = c c c c c c c c c c c c 11 12 13 21 22 23 31 32 33 14 24 34               = 1 16 49 1 4 225 9 0 9 100 64 36             B = b b b b b b b b b b b b 11 12 13 21 22 23 31 32 33 14 24 34 2 3 4 3 4 5 4               = 55 6 5 6 7             de onde obtemos: Bt ₌ 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7                 b) X = B . D X = 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 1 1 1 1 14 18 22                             =     . _       

O significado econômico de x_ij é a quantidade total de produtos transportados de cada fábrica i para o conjunto de lojas. Y = E . (C . Bt₎ Y = [1 0 0] . 1 16 49 1 4 25 9 0 9 100 64 36 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7                          . _                   Y = [1 0 0] 746 912 1078 434 528 622 234 288 342             Y = [746 912 1078]

O significado econômico de y_ij é o custo total do transporte da produção da fábrica j.

03. Na figura, AC e BD são diagonais do quadrado

ABCD de lado x, M e N são pontos médios de AB e

BC, respectivamente.

a) Calcule a área da região sombreada na

figura, em função de x.

b) Calcule o perímetro do quadrilátero

PQRS, em função de x.

Resolução:

a) No

Δ

BCD, P é ponto médio de BD e

N é ponto médio de BC, e concluímos que S é seu baricentro. Da mesma forma, Q é baricentro do

Δ

ABC, pois M é ponto médio de AB e P é ponto médio de AC. Como

Δ

DNB ~

Δ

DSQ, encontramos SQ = x_{3 e SQ // BC.} Deste paralelismo, concluímos ainda que PS = PQ. Aplicando o Teorema de Pitágoras no

Δ

PQS, temos: PS2 _{+ PQ}2 _{= SQ}2

_Û

_{PS = PQ =} x 2 6 Ainda do paralelismo entre SQ e BC, notamos que

Δ

CNR ~

Δ

QSR, que nos fornece SR RN= CNSQ (I). Do baricentro S do

Δ

BCD, temos SN =

1

₃

. DN = 1 3. x25= x65 (II). De (I) e (II), temos: SR x _SR x x SR x 5 6 3 2 5 15 − = ⇔ = Aplicando o teorema de Pitágoras no

Δ

SRQ, temos: SR2 _{+ RQ}2 _{= SQ}2

x₁₅5 RQ x₃ RQ 2 15x₁₅ 2 2 2         + =     ⇔ =

A área da região sombreada pode ser calculada por: A = A_AMC + A_BDN – 2A_PQRS

A = 1_{2 2} 1_{2 2} 2 1_{2 6}2 1_{2 15}5 2 15₁₅ 2 x x. + x x. − x x . x        +                     = 2 5 2 x b) O perímetro do quadrilátero PQSR é PQ + QR + SR + PS = x 2 x x x _x 6 + 2 515 + 155+ 62= 32+ 55        

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04. No poliedro ABCDEFGH, as arestas AE, BF, CG e DH

são perpendiculares ao plano que contém a face retangular

ABCD, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que

AE = 1, AB = DH = 4 e 2AD = 2BF = CG = 6.

a) Calcule a distância entre os pontos A e G.

b) Calcule o volume do poliedro ABCDEFGH.

Resolução: a) No triângulo ABC, temos:

AC2 _{= AB}2 _{+ BC}2

_Þ

_AC2 _{= 4}2 _{+ 3}2

_Þ

_{AC = 5}

No triângulo ACG, temos:

AG2 _{= AC}2 _{+ CG}2

_Þ

_AG2 _{= 5}2 _{+ 6}2

_Þ

_{AG = 61}

A distância entre os pontos A e G é 61. b) Duplicando a figura, observamos que o volume pedido é a metade de um paralelepípedo de dimensões 3, 4 e 7. Logo, V = 3 4 7 2 . . _{= 42}

O volume do poliedro ABCDEFGH é 42.

CoMEntário do CPV

O modelo da prova de 2ª fase vem se consolidando, nas últimas edições, como uma proposta de prova exigente e sofisticada, cobrando dos candidatos não apenas habilidade com cálculos e modelagem, mas também bastante intimidade com as situações apresentadas. Elogiamos o cuidado da banca com a clareza dos textos e a eficácia dos enunciados. Cremos que, na proposta de uma seleção em duas fases (cada qual cobrando habilidades distintas dos candidatos), a Banca cumpriu mais uma vez seus objetivos.