PROJETO DE PESQUISA
Bolsa de Produtividade em Pesquisa - CNPq
"Melhorando a Eficiência de Métodos Sem Malha"
Prof. Renato Cardoso Mesquita
Departamento de Engenharia Elétrica - UFMG
Metas atingidas em relação à proposta anterior:
Um programa de cálculo de campos eletromagnéticos baseado no SPH eletromagnético (Smooth Particle Electromagnetics - SPEM) foi desenvolvido. Esse sistema gera uma aproximação flexível bastante interessante, com resultados semelhantes aos obtidos pelo método FDTD sem a necessidade de um grid: é preciso apenas uma distribuição de nós sobre o domínio. Também havíamos proposto trabalhar com um segundo método flexível, o FLAME. Porém, depois de resultados não muito encorajadores, decidimos tentar outra aproximação flexível, o método Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG). O MLPG mostrou-se bastante interessante, com resultados próximos aos do método de elementos finitos, porém sem a necessidade de uma malha. Mais ainda, de forma semelhante ao FLAME, ele permite a adição de funções de base não limitadas a polinômios, o que também gera aproximações flexíveis sem malha, que eram os nossos objetivos iniciais no projeto.
1. Introdução
1.1.Antecedentes
O GOPAC (Grupo de Pesquisa em Otimização e Projeto Assistido por Computador) da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) tem atuado ativamente na área de Projeto Assistido por Computador aplicado ao cálculo de campos eletromagnéticos, o que pode ser comprovado por nossas publicações na área, além dos trabalhos de dissertação de mestrado e teses de doutorado que vêm sendo desenvolvidos.
Trabalhamos especialmente com os métodos de Elementos Finitos (FEM), Diferenças Finitas e de Equações Integrais de Fronteira (EIF) aplicados à solução de problemas eletromagnéticos em várias faixas de freqüências (Mesquita e outros, 1990-2009, Silva e outros (1993-2009), etc.).
Nos últimos anos, temos atacado, além dos assuntos associados às formulações dos problemas eletromagnéticos e sua implementação computacional, aspectos críticos da implementação destes sistemas em três dimensões, como:
1. A descrição geométrica dos equipamentos, onde desenvolvemos novas metodologias para o modelamento de sólidos (Magalhães e outros, 1996, 1998(a), 1998(b), 1999(a), 1999(b), 1999(c), 2000, 2001; Nunes e outros, 2002, 2003(a), 2003(b)) usando estruturas híbridas CSG/B-rep que nos permitiram trabalhar com sólidos de variedade múltipla, muito encontrados em Eletromagnetismo, além da parametrização das mesmas geometrias, com vistas à sua posterior otimização (Mesquita e outros, 1997 e 1998; Mendonça, 1998). No momento, há uma dissertação de mestrado sendo orientada em nosso grupo, que está desenvolvendo um modelador de sólidos baseado em um novo princípio: os poliedros NEF (Cerqueira, defesa prevista para 2010). 2. A geração automática e adaptativa de malhas de elementos finitos, onde
foram desenvolvidas estratégias para a geração das malhas necessárias para o cálculo, com níveis de refinamento compatíveis com faixas de erro pré-especificadas (Gonzalez e outros, 1994, 1995, 1996, 1997 e 1998; Souza e outros, 1996 e Oliveira e outros, 1995 e 1996, Silva, 2005, Chaves e outros, 2006) e a geração de malhas superficiais nos modelos gerados pelos modeladores de sólidos para facilitar a geração da malha volumétrica de elementos finitos (Nunes e outros 2005, 2006, 2007(a) e 2007(b)). Recentemente, métodos para geração direta da malha volumétrica em sólidos com superfícies curvas foram desenvolvidos. Os primeiros resultados foram publicados em Lisboa e outros (2009). Outros trabalhos foram submetidos nessa linha e estão em processo de revisão.
1.2.Motivação e estado da arte
Apesar dos avanços conseguidos em nosso grupo e em outros grupos do mundo nas áreas de modelamento de sólidos e de geração automática de malhas de elementos finitos em três dimensões, estas continuam a ser as partes mais complexas de um sistema de cálculo de campos eletromagnéticos por elementos finitos em três dimensões, por diversas razões:
A geração da malha, se efetuada de forma realmente automática, sem o auxílio do usuário, é um processo que demanda um tempo de computação longo, em vários casos muitas vezes superior ao próprio tempo envolvido na solução do problema por elementos finitos (cálculo da matriz de contribuição dos elementos e sua solução) (Idelsohn e Oñate, 2006).
Existem problemas não totalmente resolvidos na geração de malhas de elementos finitos para problemas eletromagnéticos, como a dificuldade de se tratar os limites de precisão extremamente restritivos destes problemas. Alguns objetos do Eletromagnetismo são caracterizados por uma grande variabilidade de suas dimensões: um exemplo típico é o minúsculo entreferro de uma máquina elétrica de dimensões regulares. Um sistema desenvolvido para a Engenharia Mecânica, por exemplo, deve trabalhar com uma variação entre a máxima dimensão e a mínima na ordem de 105. Já um sistema para o Eletromagnetismo deve trabalhar com variações na ordem de 107, que são muito mais restritivas (Colier et al., 1997). Além disso, elementos distorcidos, especialmente os “slivers” necessitam de técnicas complexas para sua eliminação (Silva, 2005)
Um dos principais objetivos do nosso grupo é desenvolver sistemas de cálculo de campos eletromagnéticos capazes de trabalhar associados a sistemas de otimização de forma, isto é, sistemas onde a geometria do problema possa ser parametrizada e variada: alterações nela são feitas como resultado de processos iterativos de otimização, que levam ao projeto ótimo do dispositivo sob análise. Em sistemas deste tipo baseados no método de elementos finitos, a cada nova geometria uma nova malha deve ser gerada, o que torna a geração automática de malhas um dos aspectos mais críticos do sistema, sobretudo pelos tempos computacionais envolvidos e pelo fato de que a necessidade de determinar a solução entre malhas diferentes pode conduzir à degradação da precisão.
Estes fatos têm levado à busca de alternativas ao uso do método de elementos finitos quando se trabalha com problemas tridimensionais do Eletromagnetismo. Uma das alternativas mais promissoras é a utilização dos métodos sem malhas (meshless methods. Esses métodos dispensam o uso de uma malha de elementos, necessitando apenas de uma distribuição de pontos sobre o domínio.
Nos métodos sem malhas, a construção da aproximação para a solução é realizada em um conjunto de nós que cobrem o domínio de interesse. É associado a cada nó desse conjunto um subdomínio fechado, chamado de domínio de influência do nó, que forma o apoio para construção da função de aproximação ao redor do nó. A única exigência para os subdomínios é que a união deles forme uma cobertura para o domínio computacional. Não há nenhuma conexão fixa entre os nós. Os subdomínios são sobrepostos e podem ter formas bastante variadas. Estas características aliviam o usuário da tarefa de geração computacional da malha e de problemas quanto à qualidade da malha requerida. As funções são aproximadas por um processo discreto e são usadas para resolver problemas de valor de contorno empregando o método de Galerkin.
A técnica tem histórico recente, sendo que os primeiros trabalhos datam de 1977. Entre os primeiros métodos sem malha propostos para resolver problemas de contorno destaca-se o Método da Hidrodinâmica de Partículas Suavizado (Smoothed Particle Hydrodynamics – SPH) (Monaghan, 1982), seguido pelo Método de Elemento Difuso (Diffuse Element Method – DEM) (Nayroles, 1992), Método de Galerkin Sem Elemento (Element-Free Galerkin – EFG) (Belytscko, 1994) , Método de Partículas com Núcleo
Reproduzido usando Múltipla Escala e Wavelet (Wavelet and Multiple Scale Reproducing Kernel Method) (Liu, 1995d), Método de Partícula com Núcleo Reproduzido (Reproducing Kernel Particle Method – RKPM) (Liu, 1995a), Método de Ponto Finito (Finite Point Method – FPM) (Onate, 1995) e o Método de Partição da Unidade (The Partition of Unity Method - PUM) (Babuska, 1996).
O método de SPH é um dos métodos sem malha mais flexíveis, além de ter implementação simples (Monaghan, 1982) . Usa uma distribuição de nós para construir, na forma discreta, as equações que governam o problema, não requerendo nenhum tipo de quadratura para efetuar a integração numérica. O preço da simplicidade e flexibilidade do método é uma precisão ruim. Para se obter uma precisão razoável em aplicações práticas é necessário um elevado número de nós, o que implica em um aumento do custo computacional. O interesse nesse método cresceu consideravelmente nos últimos anos e meios para melhorar sua precisão e estabilidade também foram propostos. O método foi inicialmente desenvolvido para resolver problemas de diâmica de fluidos. Recentemente, ele foi aplicado por Ala para solucionar problemas de propagação de ondas eletromagnéticas. Este método foi batizado de SPEM (Smoothed Particle Electromagnetic Method) (Ala (2006 e 2007). Na dissertação de mestrado do aluno Miguel Lima Mendes, no GOPAC/UFMG, o método foi implementado, tendo sido geradas, inclusive, novas técnicas para imposição de condições de contorno absorventes para ele (Mendes e outros, 2008).
O RKPM é desenvolvido com base no método de Núcleo Reproduzido na forma discreta, construído a partir dos conceitos da análise de Fourier e da análise de wavelet. Os métodos SPH e RKPM apresentam algumas similaridades. A principal diferença entre eles está na introdução de uma função de correção no método RKPM que garante a condição de reprodução do núcleo e o torna mais preciso e eficiente do que o SPH (Liu, 1995a), (Liu, 1995c).
Os métodos EFG e DEM usam o Método de Mínimos Quadrados Móveis (Moving Least Square - MLS) (Lancaster, 1981) como meio de discretização do espaço e construção das funções de forma. Estas funções são usadas como base para construir um subespaço de dimensão finita (espaço de aproximação) e o método de Galerkin é empregado para determinar a solução aproximada neste espaço. O EFG e o DEM têm duas diferenças principais: o EFG inclui termos na derivada da função de forma que são omitidos no DEM e emprega os Multiplicadores de Lagrange para impor as condições de contorno essenciais. Estas melhorias fazem o EFG mais preciso que o DEM (Belytschko, 1994). Estes métodos são aplicáveis a domínios arbitrários e pode-se mostrar que o EFG é muito preciso e alcança elevadas taxas de convergência (Belystchko, 1994), (Lu, 1994). O desempenho do método, aparentemente, só é afetado pela utilização de nós distribuídos de forma muito irregular (Duarte, 1996). A principal desvantagem dos métodos é a complexidade envolvida na construção das funções de forma pelo método MLS, que requer a solução de pequenos sistemas de equações para todo ponto onde a função é avaliada. Verifica-se, ainda, que devido a sobreposição das funções de forma, a matriz global resultante não é similar à obtida nos métodos de Elementos Finitos (FEM).
Liu e Belytschko demonstraram que o método de MLS é, na maioria dos casos, idêntico ao método de aproximação usado no RKPM. Isso levou ao desenvolvimento do Método de Mínimos Quadrados Móveis com Núcleo Reproduzido (Moving Least Square Reproducing Kernel Method - MLSRKM) (Liu, 1995b).
O EFG é considerado um método sem malha no sentido de não existir uma conectividade direta entre os nós, como acontece no método de elementos finitos
através das arestas da malha. No EFG, a conectividade entre os nós é dada pela região de influência exercida por cada nó.
Uma crítica que se faz ao EFG é que ainda há a necessidade de se criar uma malha (grid) para a integração da forma fraca que gera o sistema matricial a ser resolvido (Atluri e Shen, 2002). Essa grade não depende da distribuição dos nós sobre o domínio podendo ser regular. Dessa forma, sua construção é bem mais simples que a malha do método de elementos finitos.
No EFG as funções de forma e de teste têm que pertencer ao mesmo espaço de funções devido ao uso do método de Galerkin (Liu, 2002). Uma outra possibilidade, é usar uma formulação fraca local, como é feita pelo Meshless Local Petrov Galerkin Method (MLPG), proposto por Atluri e Shen (2002). Nessa técnica, cada nó define seu próprio sub-domínio que é independente dos demais. Cada sub-domínio pode ter qualquer tamanho ou forma geométrica e o conjunto de subdomínios deve cobrir completamente o domínio global. Os sub-domínios dispensam a utilização de uma grade de integração pois a integração é feita em cada sub-domínio. Além disso, no MLPG se aplica o método de Petrov-Galerkin que permite que funções de teste e de forma pertençam a espaços de funções diferentes. Essas características tornam o método bastante flexível e caracteriza o MLPG como um método “verdadeiramente sem malha” (Atluri e Shen, 2002).
Permutando as possíveis combinações entre funções de teste e de forma, obtém-se variações do MLPG como (Atluri e Shen, 2002):
MLPG 1: A função de forma utilizada sobre os subdomínios e a função de peso utilizadas são as mesmas utilizando o método de mínimos quadrados móveis (MLS) ou o RKPM
MLPG 2: A função de teste é a função delta de Dirac o que resulta em um método de colocação. Nesse caso as integrais da forma fraca local se anulam e a forma forte da equação diferencial parcial é discretizada.
MLPG 3: Escolhe-se como função de teste o resíduo da equação diferencial a ser resolvida. Ou seja, resolve-se um problema de mínimos quadrados.
MLPG 4: A função de teste é a solução fundamental modificada da equação diferencial. Essa variação do método é conhecida também como Local Boundary Integration Equation (LBIE)
MLPG 5: A função de teste é a função de Heaviside, que é constante e igual a um sobre todo o subdomínio, e igual a zero fora dele.
MLPG 6: As funções de forma e de teste são idênticas o que torna esse método um caso especial do Bubnov-Galerkin method (Fries e Matthies, 2004). Se esferas são utilizadas como subdomínios, o método passa a ser conhecido também como método das esferas finitas (MFS) (De e Bathe, 2000).
Em (Atluri e Shen, 2002) é feita uma análise comparativa do desempenho computacional e da precisão dessas variações e o MLPG 5 é o método que consegue unir boa precisão e o menor custo computacional, uma vez que o uso da função de Heaviside como função de teste elimina a necessidade de integração no interior dos subdomínios.
Motivada pela eficiência dos métodos sem malha aplicados à resolução de problemas de contorno em Engenharia Mecânica, a comunidade internacional de Eletromagnetismo Computacional começou a utiliza-los na solução de problemas eletromagnéticos (Maréchal, 1996), (Cingoski, 1998), (Viana e Mesquita, 1998(a), 1998(b) e 1999). Cada grupo de pesquisa utilizou métodos diferentes para a aproximação: Maréchal utilizou o Método de Elementos Difusos (DEM), Cingoski
utilizou o Método de Galerkin sem malha (EFG), enquanto, em nosso grupo, utilizamos o Método de Mínimos Quadrados Móveis com Núcleo Reproduzido (MLSRKM) e o EFG para determinar a solução de problemas de contorno eletrostáticos e magnetostáticos em duas dimensões. Os bons resultados obtidos nesses primeiros testes levaram vários outros grupos da comunidade de eletromagnetismo a trabalharem com o método. Como exemplo, no Brasil, tem-se os trabalhos de Ho e outros (2001), Verardi e outros (2002), Shiyou e outros (2003) e Marques e outros (2007).
Em nosso grupo, depois do trabalho pioneiro em método sem malha de Viana e Mesquita (1998(a), 1998(b) e 1999), foram geradas várias outras contribuições, que serão citadas sucintamente a seguir:
1) Parreira e outros (2005(a) e 2006(a)) desenvolveram um sistema de cálculo eletromagnético em 3D baseados no EFG. Este foi o primeiro trabalho em métodos sem malha aplicados a eletromagnetismo em 3 dimensões publicado na literatura. 2) Parreira e outros (2005(b) e 2006(b)) aceleraram o cálculo do EFG, utilizando
algumas estruturas de dados e algoritmos vindos da área de geometria computacional (de Berg e outros, 2007).
3) Pimenta e outros (2006, 2007 e 2008) usaram o SPH para modelar um fluido eletrificado imerso em um campo elétrico. Utilizando uma analogia em que um robô autônomo pode representar uma partícula do fluido, desenvolvem uma estratégia simples para o controle de um enxame de robôs.
4) Guimarães e outros (2007) desenvolveram um novo método sem malha baseado na utilização de funções multiquádricas.
5) Mendes e outros (2008) implementaram o Smoothed Electromagnetic Particle Method (SPEM), incluindo uma nova maneira de impor condições de contorno absorventes para o método.
6) Coppoli e outros (2008) desenvolveram uma nova técnica para tratar a descontinuidade em materiais presentes no domínio de estudo, baseada no uso do Interpolating Moving Least Squares.
7) Fonseca e outros (2008(a)) desenvolveram uma nova técnica para imposição de condições de contorno de Dirichlet no MLPG, baseada em uma formulação mista. 8) Fonseca e outros (2008(b) e 2009) paralelizaram os métodos sem malha em
processadores com múltiplos núcleos. Os métodos paralelizados foram o MLPG e o SPEM.
9) Coppoli e outros (2009) desenvolveram uma nova técnica para imposição de condições de contorno periódicas no EFG, baseada no uso do Interpolating Moving Least Squares.
10) Nicomedes e outros (2009) desenvolveram uma nova formulação para o problema de espalhamento de ondas eletromagnéticas pela utilização de uma formulação integral discretizada por um método sem malha (chamaremos essa formulação de Integral Meshless).
1.3. Objetivos
Todos esses trabalhos desenvolvidos na UFMG contribuiram para o avanço do uso dos métodos sem malha em Eletromagnetismo. Porém, a maior crítica que ainda se faz a esses métodos é referente à sua eficiência computacional. Desenvolver um método sem malha eficiente é muito difícil (De e Bathe, 2001). A eficiência depende da escolha apropriada do método de interpolação a ser utilizado para a geração das
funções de forma, dos procedimentos utilizados na integração numérica, da determinação da relação de interdependência entre nós e das técnicas utilizadas para impor as condições de contorno (De e Bathe, 2001; Idelsohn e Oñate, 2006).
A revisão da literatura sobre métodos sem malha revela que praticamente todos os trabalhos estão voltados para a aplicação dessas novas técnicas nas diversas áreas da engenharia. Mas está claro que, para aplicações gerais, nenhum dos métodos sem malha é tão eficiente computacionalmente quanto os métodos tradicionais baseados em malhas como o método de elementos finitos (De e Bathe, 2001). Assim, um ponto chave para popularizar os métodos sem malha é diminuir o seu alto custo computacional.
Este é, portanto, o Objetivo central desse trabalho: identificar os principais fatores limitadores de desempenho dos métodos sem malha e propor soluções para torná-los mais eficientes, do ponto de vista de custo computacional.
Diversos objetivos complementares estão associados, como o
desenvolvimento de novas técnicas para o cálculo de campos eletromagnéticos, o uso de técnicas híbridas nos métodos sem malha, a determinação de ordens de integração mínimas para as funções de forma geradas pelos métodos sem malha e o estudo de problemas específicos do método sem malhas no eletromagnetismo, como o tratamento de fronteiras internas, a imposição de condições de contorno, etc.
2. Descrição do Processo a ser utilizado e Metodologia
Para alcançar os objetivos explicitados na seção anterior, vão ser utilizados sistemas de cálculo de campos eletromagnéticos por métodos sem malha já desenvolvidos em nosso grupo de pesquisa. Hoje temos implementados em nosso grupo os métodos SPEM, EFG, MLPG e Integral Meshless. Para entender como estes sistemas podem ter sua implementação otimizada, é necessário que se faça uma breve apresentação dos métodos sem malha, o que é feito na próxima subseção. Para não tornarmos esse texto muito longo, apresentaremos apenas as idéias básicas de um dos métodos sem malha mais populares, o EFG, que é baseado no uso de mínimos quadrados móveis (MLS). Maiores detalhes sobre esse e outros métodos sem malha podem ser encontrados em Liu (2002). Na subseção seguinte, aspectos específicos de implementação são detalhados e, finalmente, um plano de trabalho que leve à geração do software, objetivo central deste trabalho, é apresentado.
2.1.Apresentação dos Métodos sem Malha
Nos métodos sem malha, parte-se da forma fraca para o problema eletromagnético, que pode ser obtida facilmente a partir da forma forte, como explicitado em Mesquita (1990). De uma maneira geral, esta forma fraca pode ser escrita como:
,T
FT ( )BU TU (1) onde U é um potencial eletromagnético a ser determinado, S é o espaço das funções admissíveis, T é uma função de teste pertencente ao espaço das funções de teste U(), B(U,T) é uma forma bilinear simétrica, cuja expressão é dependente do
tal que: SU
problema eletromagnético específico que se está solucionando e F é um funcional linear, também dependente do problema a ser resolvido.
Esta forma bilinear pode ser discretizada utilizando o método de Galerkin que simplesmente substitui os espaços das funções admissíveis e de teste por seus subespaços de dimensão finita Sh() e Uh(), usando as mesmas funções de base (I) em ambos espaços. Ao final do processo de discretização chega-se à forma
matricial: F U K (2) onde
I J
IJ B , K (3) e FJ = F(J) (4)Esta é a mesma expressão da forma fraca discretizada que se utiliza para a resolução dos problemas eletromagnéticos utilizando o método de elementos finitos (Mesquita, 1990). Por exemplo, no caso dos problemas eletrostáticos, tem-se:
I d I N N J J T J I d V 1,... 1
(5)No método de elementos finitos são escolhidas como funções de base, I ,
funções associadas aos nós da malha de elementos finitos. Estas funções são diferentes de zero apenas nos elementos que contêm aquele nó. Além disto, são iguais a 1 (um) nos nós em que são definidas e zero nos demais nós. O sistema matricial resultante é esparso, porque as funções de forma são nulas na maior parte do domínio, fazendo com que a maior parte dos elementos KIJ da matriz K se anule.
Os métodos sem malha caracterizam-se somente por uma distribuição de nós em todo domínio. Assim, considera-se o domínio de estudo descrito por um conjunto de nós de coordenadas espaciais xI , I = 1,2, ..., N, onde N é o número total de nós
distribuídos no domínio. A Figura 1 mostra uma possível distribuição de nós para um domínio bidimensional.
Figura 1- Distribuição de nós para um método sem malha.
Como no método de elementos finitos, para determinação da solução aproximada, é introduzida uma função de forma associada a cada nó. Essa função é construída a partir de uma função denominada função janela, simbolizada por WI(x),
onde I é o nó ao qual a função está associada. Esta ainda não é a função de forma I,
mas será utilizada para construí-la. A função janela também é diferente de zero somente em uma parcela do domínio em torno do nó, isto é, ela é uma função com suporte compacto.
As diferentes formulações para os métodos sem malha são caracterizadas principalmente pela maneira como as funções associadas a cada nó (I) são geradas
a partir das funções janela.
Várias funções diferentes podem ser utilizadas como função janela, por exemplo: Função gaussiana 1 R , 0 1 R , e ) (
para
para
2 a R I R W , (6) Spline cúbica 1 R , 0 1 R 2 1 , 3 4 4 4 3 4 2 1 R , 4 4 3 2 ) (para
para
para
3 2 3 2 R R - R R R R WI , (7) Spline quádrica
1
,
0
1
,
3
-8
6
-1
2 3 4 ) (R
R
R
R
R
R WI , (8)onde R é a distância normalizada de um ponto x qualquer (coordenadas x, y, z) ao nó xI onde a função janela está sendo definida (coordenadas xI, yI, zI ), isto é:
d x x
R I (9) O parâmetro d é utilizado para controlar o tamanho do domínio de influência de cada função janela. Quanto maior o valor de d, maior será a região em que a função janela será diferente de zero. Os domínios de influência poderão ser circulares (2D), esféricos (3D), retangulares (2D) ou cúbicos (3D) dependendo da maneira que for utilizada para definir a norma xI x . Nas figuras 2 e 3, são mostrados os domínios de influência para uma dada distribuição de nós, nos casos em que estes domínios são circulares e retangulares, respectivamente. Observa-se que os domínios são sobrepostos e que não há conexão entre os nós.
Figura 2– Domínios de Influência Circulares.
Figura 3 - Domínios de Influência Retangulares
As funções de interpolação, ou funções de forma, I, são geradas (a partir das
funções janela WI), utilizando o método dos mínimos quadrados móveis (MLS): seja
U(x) uma função contínua no domínio . Assume-se que U(x) possa ser aproximada por Uh(x) e que seus valores U(xI), para os pontos xI , sejam dados. O índice h
refere-se à discretização. O MLS admite que a função de aproximação global Uh(x) possa ser obtida por uma projeção do espaço de funções contínuas C() sobre o espaço Ck(), onde Ck() representa o espaço de funções contínuas k vezes diferenciáveis. A função Uh(x) é determinada inicialmente por uma aproximação local
) ˆ , (x x
Uh para cada ponto xˆ .
A função de aproximação local Uh(x,xˆ) é definida por uma série polinomial finita do tipo
x x P
x a x
x x U T m j j j h ,ˆ ˆ ˆ 1 a P
(10) ondexˆ é um ponto fixo arbitrário
xˆ
a0
xˆ , a1
xˆ ,...,am
xˆ
a são coeficientes a serem determinados e que
dependem da posição xˆ;
x [P1(x),P2(x),...,Pm(x)]T
P é uma base polinomial completa que deve satisfazer
as seguintes condições: 1 ) ( 1 x P (11a) m j C x P k j( ) (), 2... (11b) k representa a ordem da base polinomial;
( )1
m j j x
P é um conjunto de termos linearmente independentes x
Admitindo que a base polinomial é conhecida, deve-se determinar os coeficientes
xˆa de forma que Uh(x,xˆ) seja uma boa aproximação para U(x). Define-se o erro residual r( xx,ˆ) entre U(x) e Uh(x,xˆ) como
) ( ) ˆ , ( ) ˆ , (x x U x x U x r h . (12) No método MLS define-se o seguinte funcional quadrático do erro:
N I I I I N I I I x r x x W x U x U x x) W r h 1 1 2 2 ˆ , ( ˆ ˆ , ˆ Π (13)Nesta equação, WI é a função janela introduzida anteriormente. Como já visto, os
domínios de influência das funções janelas são sobrepostos. Assim, para qualquer ponto xˆ deve existir I1,I2,...,INP onde NP é o número de domínios de influência que envolvem o ponto xˆ, tal que NP IZ
Z
xˆ 1 . Pode-se então definir uma região S( x formada pelos NP nós cujos domínios de influência envolvem ˆ) xˆ, como mostrado na figura (4). Nesta figura o ponto xˆ é destacado por um quadrado e a área escura ao seu redor é uma representação da região S( x . Esta região define onde a ˆ) aproximação local é válida.
Considerando o que foi apresentado acima, pode-se definir o funcional (r ) em ) ˆ S( x . Assim, tem-se
NP I I I I NP I I I x r x,x W x x U(x ) U x x) x W h 1 1 2 2 ˆ , ( ˆ ˆ ˆ Π(r) (14)Substituindo a Eq. (10) em (14) obtém-se:
NP I I T I I x U x x x x W r 1 2 ˆ ˆ Π P a (15)Os coeficientes a
xˆ podem ser determinados pela minimização de (r) em relação aos coeficientes a
xˆ . Fazendo WI
xˆ W
xI xˆ
e UI U(xI) tem-se
0 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( Π 1 2
x x x U x W x r NP I I T I I a a P a . (16)Após desenvolvimento detalhado em Liu (2002), obtém-se:
NP I I I xU x x 1 1 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( A B a (17) com
( ) ( )
) ˆ ( ) ˆ ( 1 I T I NP I I x x x W x P P A
, (18) e
(ˆ) ( )
) ˆ ( I I I x W x P x B , (19)Substituindo a Eq. (17) em (10), a aproximação local pode ser escrita como
NP I I I xU x x x x Uh 1 1 ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ , P A B . (20)Pode-se transladar a função janela por todo o domínio. Assim, considerando que
xˆ pode ser qualquer ponto do domínio, a aproximação global é obtida fazendo xˆx
na equação (20), isto é:
NP I I I xU x x x Uh 1 1 ) ( ) ( B A P . (21)) ( ) ( ) ( ) (x x 1 x x I I P A B . (22)
Portanto, a função de aproximação global pode ser escrita em termos das funções de forma como:
) ( ) ( 1
NP I I I xU x Uh , xS( x). (23)Tipicamente, o método MLS não resulta em uma interpolação: pode-se notar que as funções de forma definidas na Eq. (22) não satisfazem a condição de delta de Kronecker : I(xj)Ij, isto é , Uh(xI)UI. Isso se deve ao fato de que a função de aproximação para o ponto I não depende somente do parâmetro nodal UI associado a ele, mas também de todos os U ,...,1 UNP associados aos domínios de influência que o envolvem. A função de forma I(x) apresenta suporte compacto que é idêntico ao suporte da função WI(x), e ainda, a continuidade da função de forma e suas derivadas dependem da continuidade da função janela e suas derivadas. As derivadas espaciais de I(x) podem ser obtidas da seguinte forma
( )
, ( ) ( )
( )
( )
,
( )
, ( ) , ) (x i x i 1 x I x x 1 x I x i x 1 x i I x I P A B P A B P A B , (24)onde o subscrito ,i denota a derivada espacial. E
A1(x)
,i A1(x)
A1(x)
,iA1(x). (25) A derivada espacial, é determinada em relação ao nó x. Assim,
NP I T I I I x x i x W i x 1 , ) ( , ) ( P P A , (26) e
I T I I x i W x i P x B ( ), ( ), . (27)Pode-se verificar que o cálculo das funções de forma e de suas derivadas é bem mais complexo que no caso do método de elementos finitos. No entanto, a facilidade oferecida pelo processo de discretização torna o método muito atraente, principalmente para problemas de geometria complexa ou variável (por exemplo, um problema de otimização parametrizado), onde gerar-se uma malha de elementos finitos não é tarefa trivial.
Uma vez determinadas as funções de forma associadas a cada um dos nós, pode-se construir e solucionar o sistema matricial resultante da aplicação do método de Galerkin, determinando uma solução aproximada para o problema de contorno em questão.
Para a determinação da solução aproximada através dos métodos sem malha discutidos nesta seção, é necessário considerar alguns aspectos quanto à sua implementação prática. Esses aspectos são apresentados na próxima seção.
2.2.Questões de Implementação associadas aos métodos sem malha
Várias questões importantes devem ser consideradas quando da implementação de um método sem malha. A seguir, listamos algumas delas:
1. Como visto na seção anterior, a aproximação pelo MLS faz com que a função de aproximação para o nó I dependa de todos os parâmetros nodais, cujos domínios de influência envolvem o nó. Isto complica a imposição das condições de contorno essenciais (Dirichlet) em relação ao método de Elementos Finitos, onde elas são impostas diretamente pelas funções de forma. Para impor as condições de contorno são necessárias técnicas especiais como Multiplicadores de Lagrange, Modificação Variacional ou acoplamento com o Método de Elementos Finitos (Liu, 2002). Métodos alternativos foram propostos em nosso grupo para o EFG (Coppoli, 2009) e para MLPG (Fonseca, 2008).
2. A escolha do tamanho do suporte das funções janelas é um dos fatores que precisam ser bem estudados quando da implementação computacional dos métodos sem malha. Se o suporte é muito pequeno, pode-se não conseguir gerar as funções de forma, pois a matriz A pode não ter inversa (Liu, 2002). Por outro lado, um suporte muito extenso aumenta o grau de acoplamento entre as incógnitas, gerando matrizes menos esparsas para o sistema. Estas questões foram estudadas em nosso grupo e são discutidas em Parreira (2006 (b)).
3. Outra questão fundamental é que a maioria dos problemas eletromagnéticos envolvem interfaces entre meios diferentes que provocam descontinuidades em alguns componentes de campo na passagem de um meio para outro. Isso implica que as derivadas das funções de forma necessitam ser descontínuas na interface. Como a continuidade das funções de forma depende da continuidade da função janela, é necessário introduzir essa descontinuidade na própria função janela. Uma das formas de introduzi-la é utilizar um critério de visibilidade, como proposto por Belytschko (1996). Critérios alternativos também foram criados em nosso grupo (Coppoli, 2008).
4. No EFG, como não existe uma malha que possa auxiliar um processo de integração numérica das integrais geradas pela discretização da forma fraca, considera-se um arranjo de células envolvendo o domínio que auxilia na geração dos pontos de quadratura pelo método de Gauss. As células são independentes dos pontos usados na discretização do domínio e somente são considerados os pontos de quadratura que pertencem ao domínio de estudo. A densidade dos pontos de integração depende da densidade de nós do domínio. No MLPG a integração é puramente local e não há a necessidade dessa malha de integração, o que facilita o procedimento.
2.3. Metodologia, Plano de Trabalho e Cronograma
Como apresentado na introdução deste projeto, o objetivo central de nosso trabalho é desenvolver técnicas para reduzir o tempo de cálculo associado aos métodos sem malha. Para isto, partiremos de estudos já desenvolvidos na UFMG que
resultaram na implementação das formulações SPEM, EFG, MLPG e Integral Meshless.
Na implementação desses programas, utilizou-se o paradigma de programação orientada a objetos pela possibilidade de estruturar classes de forma hierárquica, facilitando o desenvolvimento pela reutilização de código através de composição e herança e por mecanismos de programação genérica usando templates. Entre as possíveis linguagens de programação que suportam a orientação a objetos, escolheu-se o C++ por questões de eficiência e por possibilitar programação genérica com templates.
Nos programas desenvolvidos existem diferentes métodos para a geração de funções de forma. O primeiro método implementado por nós foi o de mínimos quadrados móveis (MLS), apresentado no item 2.1 e utilizado pelo EFG, MLPG e pelo Integral Meshless. Também implementamos o SPH, utilizado pelo SPEM. O MLPG pode utilizar vários tipos de funções de forma. Assim, também implementamos o Point Interpolation Method (PIM) com funções de base radial associadas a termos polinomiais(RPIMp) (Liu, 2002; Viana, 2006). O MLS se mostrou mais eficiente em relação ao tempo de processamento. Entretanto, o RPIMp dispensa o uso de técnicas especiais para impor as condições de contorno, e é mais preciso nas bordas do problema. Levando em conta as vantagens de cada método, criamos um método misto, utilizando simultaneamente as duas técnicas obtendo-se um tempo de execução menor que o do RPIMp (próximo ao do MLS) e precisão semelhante à do RPIMp (bem melhor que a do MLS) (Fonseca e outros, 2008).
Uma dificuldade dos métodos sem malhas é determinar a relação de interdependência entre nós para o cálculo das funções de forma, visto que um determinado ponto precisa conhecer os nós vizinhos cujos domínios de influência o atingem. Encontrar essa vizinhança é um problema que não é tratado em sua real dimensão na maioria dos artigos (Idelsohn e Oñate, 2006). Achar os vizinhos de um nó usando um método força bruta é computacionalmente caro, podendo tornar a solução, para problemas com muitos nós, inviável. Para contornar esse problema, aplicaremos estruturas de dados mais eficientes, como árvores de busca, para reduzir a ordem de complexidade do método. Possíveis estruturas de dados a serem utilizadas são a k-d tree e a range-tree (de Berg e outros, 2007).
Fonseca (2009) mostra em seu exame de qualificação que, para o MLPG, mais de 90% do tempo de computação é consumido na construção das funções de forma e na integração dos subdomínios. Reduzir o tempo através de métodos de cálculo das funções de forma e integração mais eficientes é, portanto, um dos pontos chave desse trabalho. Uma maneira de fazer isso é utilizar funções de forma que não sejam tão “caras” quanto as do MLS ou do RPIMp. Fonseca (2009) propõe o uso das funções de Shepard (Liu, 2002) que são uma simplificação do MLS com custo computacional mais baixo, porém com consistência também baixa (ordem zero). Devido à baixa ordem de consistência, as funções de Shepard, quando utilizadas como a única função de forma sobre todo o domínio, apresentam problemas nas fronteiras (Fries e Matthies, 2004). Entretanto, pode-se utilizar o método misto de Fonseca e outros (2008), com, por exemplo, o RPIMp nas fronteiras e as funções de Shepard no interior do domínio, gerando uma opção interessante de aceleração de cálculos das funções de forma, sem sacrificar a precisão. Essa técnica será testada nesse trabalho.
Outra possibilidade é usar variações do MLS que evitem a inversão da matriz local (matriz A da equação 22). O trabalho de Zhuang e Augarde (2009 – aceito para publicação) propõe uma estratégia baseada no uso de uma base ortogonal no MLS, ao
invés de utilizar polinômios comuns. Isto gera uma matriz A que é diagonal, evitando sua inversão e reduzindo o tempo de cálculo.
Para reduzir o tempo de integração, uma possibilidade é encontrar a ordem de integração mínima que ainda gere resultados suficientemente precisos para o método de Gauss. A dificuldade de determinar a ordem mínima analiticamente é que as funções de forma dos métodos sem malha não possuem expressão analítica. Assim, deve-se testar experimentalmente, de forma exaustiva, qual seria a ordem de integração mínima.
Na mesma direção da redução do tempo de computação das funções de forma e do processo de integração, deve ser destacada a disseminação de processadores com vários núcleos de processamento ocorrida nos últimos anos. De fato, os principais melhoramentos dos processadores em um futuro próximo consistirá no aumento do número de núcleos e da quantidade de memória cache (Bischof e outros, 2007). Implementações paralelizadas terão um papel fundamental na obtenção de códigos de alto desempenho. Seguindo essa tendência, uma paralelização do método, baseada em uma arquitetura de múltiplos processadores compartilhando a mesma memória, será proposta e implementada. Resultados preliminares no tema já foram obtidos e publicados em Fonseca e outros (2008 e 2009) demonstrando a viabilidade da proposta.
Além disso, para que todo esse desenvolvimento e otimização computacional possam ser integrados em um único sistema de fácil utilização, pretende-se criar um framework para os métodos sem malha em eletromagnetismo, semelhante ao que já foi desenvolvido para o método de elementos finitos por nosso grupo em conjunto com pesquisadores da USP e da UFSC (Mesquita e outros, 2002). A idéia é disponibilizar o framework na Internet como código livre.
Levando em conta todas essas questões, o framework será desenvolvido de acordo com as seguintes etapas:
1 – Projeto do sistema: o sistema servirá como base para diversas
implementações futuras. Por isso é importante que seu projeto leve em conta a facilidade de uso e extensibilidade. Além disso, como o projeto visa a melhoria do desempenho numérico dos métodos sem malhas, é fundamental que a eficiência da implementação seja levada em conta durante a etapa de projeto, de maneira que as soluções adotadas nessa etapa não venham a prejudicar a implementação de algoritmos de melhor desempenho.
2 – Implementação das estruturas de busca a serem utilizadas: como não
existe conectividade nos métodos sem malha, estruturas de busca geométrica precisam ser implementadas para que a determinação dos vizinhos mais próximos seja efetuada de maneira eficiente. Nesta etapa, devemos implementar diferentes estruturas de busca e efetuar a comparação entre elas, escolhendo a que for mais apropriada em termos de tempo de execução e memória ocupada. Inicialmente, as estruturas a serem testadas são a kd-tree, range-tree e a quadtree/octree.
3 - Implementação da geração dos vários tipos de funções de forma para os métodos sem malha : as funções a serem geradas são as do SPH, MLS, PIM, RPIM,
RPIMp e Shepard.
4 – Acoplamento entre as várias funções de forma, gerando novos métodos mistos: o acoplamento entre as funções de forma pode ser utilizado para redução de
tempo de computação. Funções mais simples, como as de Shepard, seriam utilizadas na parcela interna do domínio e funções que satisfazem o delta de Kronecker (como as geradas pelo RPIMp) seriam utilizadas no contorno do domínio.
5 – Implementação de variações do método MLS que evitem a inversão da matriz: esse método deve reduzir bastante o tempo de cálculo do MLS. Além disso, é
previsto que o método se tornará mais robusto.
6- Implementação de métodos eficientes de integração numérica:
tipicamente utilizamos o método de integração de Gauss com número de pontos suficiente para gerar integrais das funções de forma com boa precisão. Porém, o número de pontos adotados pode ser excessivo e tentar reduzi-lo sem diminuir a precisão é uma boa alternativa para gerar métodos mais eficientes.
7 – Paralelização da montagem da matriz do sistema utilizando
processadores de múltiplos núcleos: a paralelização, nesta etapa, será realizada
somente na montagem do sistema matricial, isto é, no cálculo das funções de forma e integração numérica.
8 – Paralelização da solução do sistema de equações utilizando
processadores de múltiplos núcleos: a paralelização, nesta etapa, incluirá a
resolução do sistema linear obtido através da paralelização “multi-core” dos métodos hoje utilizados no GOPAC/UFMG, como o método de gradientes conjugados com pré-condicionamento por decomposição incompleta de Cholesky, GMRES, UMFPACK, etc.
9 - Integração e testes: cada uma das classes e cada um dos módulos
desenvolvidos deverão ser exaustivamente testados. Além disto, testes de integração deverão ser realizados para o sistema como um todo.
10 - Documentação e geração de relatórios finais: O sistema será
documentado utilizando padrões de documentação de código usados internamente em nosso grupo. Artigos devem ser publicados nos principais periódicos da área, apresentando as principais contribuições e resultados obtidos. Relatório final será gerado.
Estas etapas serão desenvolvidas de acordo com o cronograma a seguir:
Etapas 1o sem 2o sem 3o sem 4o sem 5o sem 6o sem 7o sem 8o sem
1 xxxxx xxxxx xxxxx 2 xxxxx xxxxx xxxxx 3 xxxxx xxxxx xxxxx 4 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 5 xxxxx xxxxx xxxxx 6 xxxxx xxxxx 7 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 8 xxxxx xxxxx xxxxx 9 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 10 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx
3. Equipe executora
Prof. Renato Cardoso Mesquita, Dr. (UFSC), ), Grupo de Otimização e Projeto Assistido por Computador (GOPAC), Depto de Eng. Elétrica, UFMG, Coordenador da Pesquisa.
Professores Elson José da Silva UFMG), Jaime Arturo Ramirez (GOPAC-UFMG) e Rodney Rezende Saldanha (GOPAC-(GOPAC-UFMG).
Adriano Chaves Lisboa: Doutor em Engenharia Elétrica, atualmente em estágio de pós-doutorado no GOPAC-UFMG.
Alunos do curso de Mestrado e Doutorado em Engenharia Elétrica da UFMG. No momento, temos Alexandre Ramos Fonseca (aluno de doutorado), Miguel Lima Mendes (aluno de mestrado) Naísses Zoia (aluno de mestrado) e Williams L. Nicomedes (aluno de mestrado, orientando do professor Fernando Moreira).
Alunos do curso de Graduação em Engenharia Elétrica da UFMG (bolsistas de IC).
4. Contrapartida da instituição:
O LOPAC, laboratório de Otimização e Projeto Assistido por Computador do Departamento de Engenharia Elétrica da UFMG, oferecerá como contrapartida toda sua equipe de professores/pesquisadores, equipe técnica e equipe administrativa. Também será oferecida sua infra-estrutura, compreendendo laboratório de computação (rede de 30 estações de trabalho, impressoras, acesso à Internet e ao portal de periódicos da CAPES), pacotes computacionais, gabinetes e instalações, bibliografia e documentação técnica e todos os recursos existentes que se fizerem necessários para o bom desempenho da pesquisa.
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