Capítulo 4 - Derivadas

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(1)Capítulo 4 - Derivadas. 1. Problemas Relacionados com Derivadas Problema I: Coeficiente Angular de Reta tangente. Problema II: Taxas de variação. Problema I) Coeficiente Angular de Reta tangente I.1) Inclinação da Reta. A Inclinação de uma reta () é o ângulo formado entre o eixo das abscissas () e a reta, considerado positivo se medido no sentido antihorário. *. . 0° ≤ ≤ 180° . I.2) Coeficiente angular da Reta O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao eixo das abscissas é o valor real () obtido no cálculo da tangente trigonométrica do ângulo . = tan() 0° ≤ ≤ 180°. Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo (tan()) como sendo o quociente entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a .. = Como = tan(), tem-se:. Se 0° < < 90° então > 0. !" #$ . (função crescente).. Se 90° < < 180° então < 0 (função decrescente). Se = 0° ou = 180° então = 0 Se = 90° então = ∄. (função constante).. (não é função).. Cálculo I -

(2) ℎ . 1.

(3) Muitas vezes a inclinação da reta é desconhecida, mas podemos determinar o valor o coeficiente angular () se forem conhecidas as coordenadas de dois pontos sobre ela. Seja uma função linear de equação * = () cujo gráfico é uma reta no plano . Considere dois pontos + (+ ,*+ ) e , (, , *, ) sobre a reta e denote por ∆ a diferença entre as coordenadas destes pontos (∆ = , − + ) e por ∆* a diferença entre as coordenadas * destes pontos (∆* = *, − *+ ). Sabendo que a tangente trigonométrica da inclinação da reta é igual ao coeficiente angular tem-se: = tan() =. *. ,. *, +. *+ . ∆* ∆ *, − *+ = = ∆ ∆ , − +. * = (). ∆*. . *+ = (+ ) *, = (, ). ∆ +. ,. + (+, *+ ) , (, , *, ). . Observe que, por semelhança de triângulos, qualquer que seja o valor de ∆, encontraremos por correspondência da função linear valores ∆/ não se altera. Fazendo ∆ = 1 tem-se para ∆* tais que a relação = ∆0. = ∆*, assim, o coeficiente angular ou declividade da reta pode ser representado geometricamente por um triângulo retângulo de cateto adjacente unitário e cateto oposto igual a . * = (). *. 1. . I.3) Equação da Reta na forma reduzida: A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo: * = () + 2. Onde é o coeficiente angular e 2 é o coeficiente linear.. A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos: •. Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular. •. Dois pontos sobre a reta. Cálculo I -

(4) ℎ . 2.

(5) a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular Considere conhecidas as coordenadas de um ponto + (+ ,*+ ) sobre uma reta. Imagine outro ponto qualquer (, *) , também sobre a reta, de forma que a coordenada de difere da coordenada de + por uma quantidade ∆ e que a coordenada * de difere da coordenada * de + por uma quantidade ∆* . Então a coordenada de é + + ∆ e a coordenada * de é *+ + ∆*. *. + (+ ,*+ ). . *+ + ∆* +. *+ . . = + + ∆ ∴ ∆ = − +. * = *+ + ∆* ∴ ∆* = * − *+. ∆ +. (, *) = (+ + ∆ , *+ + ∆*). ∆*. + + ∆. . Considere conhecida a inclinação da reta ou o seu coeficiente angular = tan (). Então,. =. Δ* * − *+ = Δ − +. * − *+ = ( − +) ∴ * = + (*+ − +). b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela Se as coordenadas de dois pontos + (+ ,*+ ) e , (, , *, ) sobre uma reta são conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular (). Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o procedimento descrito anteriormente. Assim,. =. Δ* *, − *+ = Δ , − +. * − *+ = ( − +) ∴ * = + (*+ − +). Cálculo I -

(6) ℎ . 3.

(7) I. 4) Retas Secantes e Reta Tangente Seja uma função cujo gráfico * = () encontra-se representado na figura abaixo. Considere (+ ,*+ ) e 5(, , *, ) dois pontos sobre o gráfico da função, de forma que a coordenada de 5 difere da coordenada de por uma quantidade ∆. Assim, , = + + ∆ ∴ ∆ = , − +. Como os pontos e 5 pertencem ao gráfico da função .tem-se: *+ = (+ ) *, = (, ) = (+ + ∆) . Assim as coordenadas de e 5 são dadas por: (+ ,*+ ) = (+ , (+ )). 5(, , *, ) = 5(+ + Δ , (+ + 6)). *. 5. *, = (+ + ∆) *+ = (+ ). . 1. :. > (reta secante) ∆*. ∆. +. , = + + ∆. . 8888 que liga dois pontos de uma curva é chamado O segmento de reta 5 secante e a linha reta 9 contendo e 5 é chamada de reta secante. O coeficiente angular da reta secante (: ) é igual ao coeficiente do segmento secante, portanto pode ser calculado por: : =. Δ* *, − *+ (+ + ∆) − (+ ) = = Δ , − + ∆. Considere que o ponto esteja fixo e o que ponto 5 move-se, ao longo da curva da função , na direção de . Observe na figura que, à medida que o ponto 5 se aproxima do ponto (pontos 5 ; e Q’’), a reta secante 9 se aproxima da reta < (retas 9′ e 9′′). A reta < é uma reta que tangencia o gráfico da função no ponto e é chamada de reta tangente ao gráfico da função no ponto .. Cálculo I -

(8) ℎ . 4.

(9) E. * 5′′. >′′. 5′. 5. . *+ = (+ ). >′. ∆ + + ∆. +. >. . À medida que o ponto 5 se aproxima de a diferença ∆ entre as coordenadas destes pontos tende a zero (∆ → 0). Nestas condições, a reta secante tende a coincidir com a reta tangente ao gráfico da função no ponto . Portanto, o coeficiente angular da reta secante tende a se igualar com o coeficiente angular da reta tangente, quando ∆ → 0. Assim, o coeficiente angular (@) da reta tangente ao gráfico da função no ponto pode ser calculado como sendo o limite do coeficiente angular (: ) da reta secante quando 6→0 . Então, @ = lim : = lim ∆0→+. @ = lim. ∆0→+. ∆0→+. Δ*. Δ. (+ + ∆) − (+ ) ∆. Observe que o valor do coeficiente angular da reta secante que contém dois pontos e 5 do gráfico da função depende da posição destes pontos. O valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto depende da posição do ponto .. Exemplos: 1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função dada pela equação * = D quando = 1.. A equação de uma reta no plano é completamente determinada quando sabemos o seu coeficiente angular e as coordenadas de um ponto sobre ela. Precisamos, então, determinar as coordenadas do ponto (, ()) quando = 1 e a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa = 1.. Quando = 1 tem-se que * = (1) = 1. Assim a reta desejada tangencia o gráfico da função no ponto (1,1). O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função num ponto genérico (, ()) é dado por:. ( + ∆) − () * = () = D ∆0→+ ∆. @ () = lim. Cálculo I -

(10) ℎ . 5.

(11) ( + ∆)D − D ∆0→+ ∆. @ () = lim. D + 2∆ + ∆ D − D 2∆ + ∆ D = lim ∆0→+ ∆0→+ ∆ ∆. @ () = lim. @ () = lim 2 + ∆ = lim 2 = 2 ∆0→+. ∆0→+. @ () = 2 . O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função quando = 1 é: @(1) = 2.1 = 2. A reta desejada passa pelo ponto (1,1), + = 1 *+ = 1, e possui coeficiente angular = 2 e sua equação é dada por: * − *+ = ( − + ). * = *+ + ( − + ) = 1 + 2( − 1). * = 2 − 1. Problema II) Taxas de Variação: Seja uma função de equação * = () cujo gráfico encontra-se representado na figura abaixo. Considere (+ , *+ ) e 5(, , *, ) dois pontos sobre o gráfico da função de forma que a coordenada de 5 difere da coordenada de por uma quantidade ∆. *. 5. *, = (+ + ∆) *+ = (+ ). . 1. :. > (reta secante) ∆*. ∆. +. Cálculo I -

(12) ℎ . , = + + ∆. . 6.

(13) Quando a coordenada sofre uma variação ∆ de + para , , * sofre uma variação ∆* de *+ + para *, , + 1 ∆. A taxa de variação em * para a variação em que é formada é chamada de taxa de variação média de * por unidade de variação em ou taxa de variação média de * em relação a e é definida por: <GH . 6* , . + , . + 6. Alternativamente, fazendo , + 1 ∆ , tem-se: <GH . 6* + 1 ∆ . + 6 ∆. Se a taxa de variação média de * em relação a tende a um valor limitado quando ∆ → 0, parece razoável nos referirmos a este valor como taxa de variação instantânea de * em relação a no instante em que + , a qual é calculada como: <GI0J lim ∆0→+. Δ* + 1 ∆ . + lim ∆0→+ Δ ∆. Exemplos: 1) Um móvel desloca-se numa estrada reta a partir de uma cidade A tendo como destino final uma cidade C situada a 504 km. Após 2 horas de viagem o veículo passa pela cidade B, situada a 148 km da cidade A, e atinge o destino final 6 horas após sua partida. Neste problema, estamos relacionando a distância percorrida " com o tempo , ou seja, " e uma função de , " " . A. B. C. 0 2 6 "0 0 L "2 148 L "6 504 L Com base nestas informações responda os itens abaixo: a) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e B? Sabe-se que velocidade é a taxa de variação da distância ∆" em relação à variação do tempo ∆ , então: GOPQ . ∆" 148 . 0 148 74 L/ ∆ 2 .0 2. Cálculo I -

(14) ℎ . 7.

(15) b) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades B e C? GOQT . ∆" 504 . 148 356 89 L/ ∆ 6.2 4. c) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e C? GOPT . ∆" 504 . 0 504 84 L/ ∆ 6.0 6. d) O motorista percebeu que com 3 h e com 5 h de viagem sua velocidade foi anotada pela polícia rodoviária. Sabendo que a velocidade máxima da estrada é de 90 km/h, deseja-se saber se motorista corre o risco de ter sido multado.. 0 2 3 5 6 As velocidades médias calculadas não ultrapassam o limite de velocidade média permitida na estrada. Porém, não interessa saber as velocidades médias. Desejamos estimar as velocidades nos instantes que o móvel passou pela polícia rodoviária, ou seja, desejamos saber as velocidades nos instantes em que 3 5 (velocidade instantânea). Construindo um gráfico de dispersão distância ( " ) versus tempo ( ) e utilizando um método numérico de aproximação, podemos estimar uma equação para a função " .. " 2,5 D 1 69 GI lim ∆@→+. ∆" ∆. A velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da distância em relação ao tempo, assim para um tempo genérico temos:. GI lim ∆@→+. ∆" " 1 ∆ . " lim " 2,5 D 1 69 ∆ ∆ ∆@→+. Cálculo I -

(16) . 8.

(17) 2,5( + ∆ )D + 69( + ∆ ) − (2,5 D + 69 ) = ∆@→+ ∆. GI lim. 2,5( D + 2 ∆ + (∆ )D) + 69 + 69 ∆ − 2,5 D − 69 = ∆@→+ ∆. = lim. 2,5 D + 5 ∆ + 2,5(∆ )D + 69 ∆ − 2,5 D 5 ∆ + 2,5(∆ )D + 69∆ = lim = ∆@→+ ∆@→+ ∆ ∆. = lim. ∆ (5 + 2,5 ∆ + 69) = lim ( 5 + 2,5 ∆ + 69) = 5 + 69 ∆@→+ ∆@→+ ∆. = lim. GI( ) = 5 + 69. Desejamos saber o valor da velocidade instantânea nos instantes que o automóvel passou pela polícia rodoviária = 3 ℎ e = 5 ℎ. GI(3) = 5. (3) + 69 = 15 + 69 = 84 L/ℎ, pode não ter sido multado GI(5) = 5. (5) + 69 = 25 + 69 = 94 L/ℎ, pode ter sido multado.. 2) Uma partícula se move de modo que no final de segundos, sua distância ", em metros, do ponto de partida é dada por "( ) = 3 D + . Calcule a velocidade da partícula no instante = 2 ". A velocidade é a taxa de variação da distância (") em relação ao tempo ( ). A velocidade da partícula no instante = 2 " é a taxa de variação " em relação a no instante em que = 2 " , ou seja, é a taxa de variação instantânea.. ∆s "( + ∆ ) − "( ) = lim = ∆@→+ ∆t ∆@→+ ∆. GI( ) = lim. = lim ∆@→+. = lim ∆@→+. 3( + ∆ )D + ( + ∆ ) − (3 D + ) = ∆. 3( D + 2 ∆ + (∆ )D) + ∆ − 3 D 6 ∆ + 3(∆ )D + ∆ = lim = ∆@→+ ∆ ∆. = lim 6 + 3∆ + 1 = 6 + 1 ∆@→+. GI( ) = 6 + 1. No instante = 2 ". GI(2) = 6 (2) + 1 = 12 + 1 = 13 /" . No instante = 2 ", a velocidade da partícula é 13 /", ou seja, para cada 1 segundo de acréscimo no tempo, a partícula percorre 13 m no sentido positivo do percurso.. Cálculo I -

(18) . 9.

(19) Relação entre Taxa de Variação Instantânea e Coeficiente Angular de Reta Tangente O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico * = () num ponto (+ ,(+ )) e a taxa de variação instantânea de * em relação a no instante em que = + são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite. lim . ∆0→+. (+ + ∆) − (+ ) Δ* = lim ∆0→+ ∆ Δ. Limites nesta forma aparecem com tanta frequência que é necessário uma terminologia especial que é a DERIVADA. A operação de calcular a derivada ( ′) de uma função chama-se derivação ou diferenciação.. 2. Definição A derivada de uma função , denotada por ’, é uma função tal que seu valor em qualquer número de seu domínio é dado por: ( + ∆) − () , desde que este limite exista ∆0→+ ∆. ; lim. OBS: Quando o limite existe dizemos que é diferenciável ou derivável em , ou que tem derivada em .. Seja uma função definida em um intervalo aberto que contém + , então a derivada da função no ponto em que = + , denota-se ; (+), é dada por: (+ + ∆) − (+ ) () − (+ ) ] ; (+ ) = lim. ∆0→+ 0→0J ∆ − + . ; (+ ) = lim. ; () é uma função ’(+ ) é o valor da derivada de quando = +. Outras Notações:. Seja * = () uma função com derivada, denotaremos tal derivada por: * ; ; ; (); _0 (*); _0 ();. Cálculo I -

(20) . #* # ; # #. 10.

(21) Interpretação Geométrica da Derivada Seja * uma função derivável. O valor da derivada da função em um determinado ponto de seu domínio +, denota-se ′+, é igual ao valor do coeficiente angular ` da reta tangente ao gráfico da função no ponto + , + . Genericamente, para um ponto qualquer do domínio tem-se: ; ` Exemplo: Seja uma função dada pela equação * D /2. Na figura abaixo foram representados os valores do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função em alguns pontos de seu domínio. Os valores ` , juntamente com os valores da função , encontram-se indicados na tabela.. -4 -2 0 1 3. * 8 2 0 0,5 4,5. D 2. ` -4 -2 0 1 3. Encontre a equação da função ; que é a derivada de e trace seu gráfico. Sabe-se que o valor da derivada de uma função em um determinado ponto de seu domínio + é igual ao valor do coeficiente angular da reta tangente ` ao gráfico da função no ponto + ,+ , então ; ` . Assim, podemos construir uma tabela relacionando os valores de e ′.. -4 -2 0 1 3. * ; ; ` -4 -2 0 1 3. O gráfico da função ′ é uma reta de coeficiente angular igual a 1 que passa pela origem + 0,0. A equação desta reta é * ; , então ; .. Cálculo I -

(22) . 11.

(23) Outra forma de encontrar a equação da função ; é calcular o limite: ( + ∆) − () D () = ∆0→+ ∆ 2. ; lim. ( + ∆)D D a b− a b ( D + 2 ∆ + (∆)D) − D 2 2 ; () = lim = lim = ∆0→+ ∆0→+ ∆ 2 ∆ 2 ∆ + (∆)D ∆ ∆ = lim + = lim + lim = ∆0→+ ∆0→+ ∆0→+ ∆0→+ 2 2 ∆ 2. = lim ; () = . 3. Diferenciabilidade. Se é uma função contínua num ponto de seu domínio = +, então ;(+ ) existe, se e somente se, as derivadas à direita e à esquerda de = + existirem e forem iguais.. f′ (+ ) = lim g 0→0J. () − (+) () − (+ ) h′ (+) = lim i 0→0J − + − +. Se f′ (+ ) = h′ (+ ) então ;(+) existe.. Se é uma função diferenciável num ponto = + de seu domínio, então é contínua em = +. Exemplo: Verificar se () = | + 1| é derivável em = −1.. A função pode ser descrita por duas equações equivalentes: () = | + 1| = d. + 1 , " + 1 ≥ 0 , ] " $ , " ≥ −1 −( + 1), " + 1 < 0 , ] " $ , " < −1. Cálculo I -

(24) . 12.

(25) Para ser derivável em +, uma função tem que ser contínua em + e as derivadas à direita jf;+ k e à esquerda jh;+k de + devem ser iguais, isto é, f;+ h;+ . A função lm é contínua em m mn se: lim + . 0→0J. a) Verificação da existência do limite da função quando → .1 lim lim g 1 1 lim g 1 lim g1 .1 1 1 0. 0→h,g. 0→h,. 0→h,. 0→h,. lim limi . 1 1 lim i . 1 limi . 1 1 . 1 0. 0→h,i. 0→h,. 0→h,. 0→h,. lim limi 0 ∴ lim 0. 0→h,g. 0→h,. 0→,. b) Cálculo do valor da função em .1 | 1 1 | ∴ .1 |.1 1 1| 0 Como lim .1 a função é contínua em .1 0→h,. Se função lm é contínua em m mn , lm será derivável em m mn se:. f′ + h′ + f′ + lim g. . + 1 1 . 0 1 1 limg lim g limg 1 1 0→h, . .1 0→h, 1 1 0→h, . + . h′ .1 limi. . + . 1 1 . 0 lim i 0→h, . + . .1. 0→0J. 0→0J. lim i 0→h,. . 1 1 limi .1 .1 0→h, 1 1. Como f;+ o h;+ a função não é derivável em .1, apesar de ser contínua em .1.. Cálculo I -

(26) . 13.

(27) 4. Técnicas de Diferenciação 1) Regra da Constante: Derivada de uma constante é zero. 9 é ] " () = então ′() = 0 # () = 0 #. Exemplos:. p → ; () = 2) * = 3 → * ; = 0. # = 0 #. 2) Regra da Função Potência: Derivada da função potência 9 é ] ú ( ≠ 0) () = { ã ;() = {h, ; . # ( { ) = {h, #. OBS: pode ser um número inteiro, racional, positivo ou negativo Exemplos:. ) () = → ; () = 1. ,h, = 1 . 2) q( ) = r → q; () = 3. rh, = 3 D ) * =. #* 2 1 = s hD → = −2 s hDh, = −2s hr = − r D s #s s. #) s = √ = ,/D →. #s 1 , h, 1 h, 1 1 = D = D = ,/D = # 2 2 2 2√. 3) Regra da Homogeneidade: Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função. 9 $ ] " () ] ]çã #

(28) á

(29) " () = () então ;() = . ;() " * = () então . Cálculo I -

(30) . # #* (. *) = . # #. 14.

(31) Exemplos:. p → ; = 2)s =. √3 = √3 | hD |D. s ; =. # # ( p) = p ( ) = p # #. #s # # 2 √3 = j √3 | hD k = √3 ( | hD ) = √3(−2)| hr = − r | #| #| #| 1. , 1 =

(32) h D 2 √

(33) 2 , , #* # 1 h, 1 # 1 1 1 r 1 = a

(34) D b = a

(35) hD b = a− b

(36) hDh, = −

(37) hD = − #

(38) #

(39) 2 2 #

(40) 2 2 4 4√

(41) r. ) * =. 4) Regra da Soma: Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções. 9 $ ] = ()

(42) = () ]çõ " #

(43) á

(44) ". " ℎ() = () + () então ℎ′() = ;() + ; () # #] #

(45) (] ±

(46) ) = ± # # #. Exemplos:. )() = 4 r + 3 D − + 5 # # # # ( 4 r) + ( 3 D) − ( ) + ( 5) ;() = # # # # # # ;() = 4 ( r) + 3 ( D) − 1 + 0 = 12 D + 6 − 1 # # 2) * = √2 ]} + * ; =. , ]~ ]~ √3 + p D − r = √2 ]} + + p D − √3 ]hr p p √]. , #* # # ]~ # # = j√2 ]}k + + (p D) − a√3 ]hrb #] #] #] p #] #]. , # 1 # # (]}) + (]~) + 0 − √3 a]hrb #] p #] #] 1 1 ~ * ; = √2 (5 ]~) + (4 ]r) − √3 a− ]hrb p 3. * ; = √2. * ; = 5√2 ]~ +. 4]r √3 1 4]r √3 ~+ + = 5√2 ] + r ~/r p 3 ] p 3 √]~. Cálculo I -

(47) . 15.

(48) 5) Regra do Produto: Derivada do produto de duas funções é a primeira multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela derivada da primeira. 9 $ ] = () e

(49) = () ]çõ " #

(50) á

(51) ". " ℎ() = (). () então ℎ′() = (). ; () + (). ;() # #

(52) #] (].

(53) ) = ]. +

(54) . # # #. Exemplos:. * r . 2 − ). #* # # (2 − ) + (2 − ) ( r − ) = ( r − ) # # # # # # # () + (2 − ). ( r) − () * ; = ( r − ) (2) − # # # # * ; =. * ; = ( r − ). (−1) + (2 − ). (3 D − 1). * ; = − r + + 6 D − 2 − 3 r + = −4 r + 6 D + 2 − 2 2) | = (3s D + 1)(7s r + s). #| = (3s D + 1) 7s r + s; + (7s r + s) . 3s D + 1′ #s | ; = (3s D + 1). (21s D + 1) + (7s r + s). (6s) | ; =. | ; = 63s ~ + 3s D + 21s D + 1 + 42s ~ + 6s D = 105s ~ + 30s D + 1 6) Regra do Quociente: Derivada da divisão de duas funções é a função do denominador multiplicada pela derivada da função do numerador menos a função do numerador multiplicada pela derivada da função do denominador dividido pela função do denominador elevada ao quadrado. " ℎ() =. 9 $ ] = ()

(55) = () ]çõ " #

(56) á

(57) ". () (). ;() − (). ; (). () ≠ 0 então ℎ;() = ()D () #] #

(58)

(59) . − ]. # ] = # D # #

(60)

(61). Cálculo I -

(62) . 16.

(63) Exemplos:. D. * r 17. # D # r r D #* ( + 7). # ( ) − ( ). # ( + 7) * = = ( r + 7)D # ;. * ; =. ( r + 7). (2) − ( D). (3 D) 2 ~ + 14 − 3 ~ 14 − ~ = = r ( r + 7)D ( r + 7)D ( + 7)D. 2) q( ) = q ; ( ) = q ;( ). 2 +1. D. ( D + 1). 2 ; − (2 ). D + 1; ( D + 1). (2) − 2 . (2 ) = ( D + 1)D ( D + 1)D. 2 D + 2 − 4 D 2 − 2 D = = D ( D + 1)D ( + 1)D. 5. Aplicação das Derivadas: Taxas de Variação Instantânea e Coeficiente Angular 1) De acordo com a Lei de Ohm, a voltagem G (em volts), a corrente I (em amperes) e a resistência (em ohms, Ω) de um circuito elétrico estão relacionadas pela equação: G I= . Considere um circuito de voltagem G = 100

(64) " e determine: a) A taxa de variação da corrente em relação à resistência. Desejamos calcular. . , então estamos considerando a corrente elétrica. (I) com uma função da resistência do circuito (), ou seja, G 100 I() = = = 100 h, #I # # 100 () = (100 h,) = 100 ( h,) = −100 hD = − D /Ω # # # . b) A taxa de variação da corrente em relação à resistência, quando a resistência é de 20Ω #I 100 1 = − D = − = −0,25 /Ω # D+ 20 4. c) Qual o significado da taxa encontrada? Significa que num circuito elétrico de voltagem 100

(65) ", se a resistência for de 20 Ω, a corrente decrescerá de 0,25 para cada 1 Ω de acréscimo na resistência.. Cálculo I -

(66) . 17.

(67) 2) Sabe-se que a tensão circunferencial ( em MPa ) de um duto de parede fina, fechado nas extremidades e submetido à pressão interna uniforme ( em MPa) é: =. onde e ( ) são o raio externo e a espessura do duto, respectivamente. a) Qual a taxa de variação da tensão em relação à pressão de um duto de raio = 250 e = 10 ? O que esta taxa significa? . , então estamos considerando a tensão ( ) Desejamos calcular com uma função da pressão interna (), ou seja, 250 = = 25 . 10 # # # (25 ) = 25 () = (25)(1) = 25 O ⁄O. ; () = = # # #. () =. Significa que para uma duto de = 250 e = 10 a tensão circunferencial aumenta de 25 O para cada 1 O de aumento na pressão interna. b) Qual a taxa de variação da pressão em relação ao raio de um duto de espessura = 8 cuja tensão circunferencial é de 600O ? O que esta taxa significa? . Desejamos calcular , então estamos considerando a pressão interna () com uma função do raio do duto (), ou seja, 1 () = = (600 . 8) h, = 4800 h, # # # (4800 h,) = 4800 ( h, ) = −4800 hD ; () = = # # # 48000 ; () = − O ⁄ D. Neste caso, a taxa de variação instantânea também depende do valor do raio. Por exemplo, 4800 = −0,48 O / 100D Isto significa que para uma duto de = 100 , = 8 e = 600 O a pressão diminui de 0,48 O para cada 1 de aumento no seu raio. 9 = 100 ã ; (10) = −. 4800 = −0,12 O / 200D Isto significa que para uma duto de = 200 , = 8 e = 600 O a pressão diminui de 0,12 O para cada 1 de aumento no seu raio.. 9 = 200 ã ; (10) = −. Cálculo I -

(68) . 18.

(69) 3) Uma flecha é atirada do nível do solo da lua para cima, com uma velocidade inicial

(70) + 58 /" . A equação da altura ℎ (em metros) atingida pela flecha, após segundos de seu lançamento é dada pela equação: ℎ( ) =

(71) + − 0,83 D a) Encontre a equação da velocidade da flecha em função do tempo t. Sabe-se que a velocidade é a variação da distância percorrida em relação ao tempo. #ℎ

(72) ( ) = # ℎ( ) = 58 − 0,83 D #

(73) ( ) =. #ℎ # = (58 − 0,83 D ) = 58 − 1,66 # #.

(74) ( ) = 58 − 1,66 b) Encontre a velocidade da flecha após 1 segundo de seu lançamento. Queremos saber o valor da velocidade quando = 1, ou seja,

(75) (1)

(76) (1) = 58 − 1,66 (1) = 56,34 /". c) Determine o tempo após o lançamento necessário para a flecha atingir o solo. Quando a flecha atinge o solo, a função altura ℎ( ) deve ser nula. A altura da flecha em relação ao solo também é nula no momento do seu lançamento = 0, mas este momento não nos interessa. Devemos ter: ℎ( ) = 0 ≠ 0. ℎ( ) = 58 − 0,83 D = 0 . 58 − 0,83 D = 0 ∴ (58 − 0,83 ) = 0. = 0 ] 58 − 0,83 = 0 , ≠ 0, − " 58 − 0,83 = 0 ∴ =. 58 ∴ ≅ 69,88 " 0,83. Levará aproximadamente 69,88 " para a flecha atingir novamente o solo. d) Com que velocidade a flecha atinge o solo? A flecha atinge o solo no instante = 69,88 ". Então queremos saber o valor de

(77) (69,88)

(78) (69,88) = 58 − 1,66 (69,88) ≅ −58 /". Cálculo I -

(79) . 19.

(80) 4) Seja 3 D − 12 + 8: a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (3, −1) Cálculo do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função: # (3 D − 12 + 8) = 6 − 12 () = ; () = #. , = 3 → (3) = ; (3) = 6(3) − 12 = 6. A equação da reta que passa por um ponto (+ ,*+ ) de coeficiente angular conhecido pode ser dada como: * − *+ = ( − + ). (3,−1) ∴ + = 3 *+ = −1 = 6 quando + = 3 portanto. * = *+ + ( − + ) = (−1) + 6( − 3) = −1 + 6 − 18 = 6 − 19. * = 6 − 19. b) Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto (3,−1) A reta normal ao gráfico de no ponto é a reta perpendicular à reta tangente. Se o valor do coeficiente angular de uma determinada reta , é ,então o valor do coeficiente angular da reta normal a ela é − . . Como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (3, −1) é ` = 6, o coeficiente angular da reta normal ( ) ao gráfico da função no ponto (3,−1) é:. = −. 1 1 =− ` 6. A equação da reta é:. * − *+ = ( − + ). A reta desejada passa pelo ponto (3,−1) e seu coeficiente angular , = − . Então, . 1 1 1 * = *+ + ( − + ) = (−1) − ( − 3) = −1 − + = − − 6 6 2 6 2 1 *=− − 6 2. c) Determine o ponto do gráfico no qual reta tangente ao gráfico é horizontal. Se a reta tangente é horizontal então () = = 0, logo, ; (+) = 0. ; (+ ) = 6+ − 12 = 0 ∴ + = 2 (+ ) = 3.2D − 12.2 + 8 = −4 Portanto, o ponto do gráfico onde a reta tangente é horizontal é (2,−4). Cálculo I -

(81) . 20.

(82) 6. Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica Função Exponencial: A função exponencial é uma função do tipo * 0 ( 0 o 1. 0 & & 1 ( 1 Função Logarítmica: A função logarítmica é uma função do tipo * log ( 0 , o 1 ( 0. 0 & & 1 ( 1 As funções exponencial e logarítmica são funções inversas: " * log então / " * 0 então log * Das propriedades das funções inversas tem-se 1 0 2 log 0 . Cálculo I -

(83) . 21.

(84) Lei dos Logaritmos. Lei dos Expoentes. 1) log (. *) = log () + log (*). 1) 0f/ = 0 . /. 2) 0h/. 2) log (/*) = log () − log (*). 0 = /. 3) ( 0) /. =. 3) log ( ¡ ) = ! log (). 0./. 4) ( . 2) 0 = 0 . 2 0. 4) log =. log¢ log¢. Logaritmos Naturais: Os logaritmos na base e (e = 2,71828..., número de Euler) são chamados de logaritmos naturais e recebem uma notação especial.. 1) " * = ln() entã o . /. log£ () = ln(). = ; " * =. 2) ! # # " # ]çã

(85) " : . 3) O]# ç # 2 " ∶ log () =. 0 . ¥( 0). ã ln(*) = . = ; ln(. log£ () ln( ) = ln( ) log£ ( ). 0). =. Derivada da Função Exponencial 9 > 0,. ≠ 1 () = 0 ã ′ () = 0 . ln( ) # ( 0 ) = 0 . ln( ) #. § ! ] , () =. 0 . ã ′ () = # ( 0) = 0 #. 0. Derivada da Função Logarítmica. 9 > 0, ≠ 1, > 0 () = log () ã ;() = # 1 (log ()) =. # . ln( ). § ! ] , () = ln() ã ;() = # 1 (ln()) = # . Cálculo I -

(86) . 1 . ln( ). 1 . 22.

(87) Exemplos: Calcule a derivada das funções. 1) () =. 0. − r + logD () # ( #. ;() =. 0) −. # r # ( ) + (logD ) = # #. 0. − 3 D +. 1 ln(2). 2) s = 3 0 ln() + p r + p 0 + p D. # 0 # # #s # (3 ln()) + (p r) + = (p 0 ) + (p D) # # # # #. #s # # # = 3 0 . ( ln()) + ln() . (3 0 ) + p. ( r) + p 0 . ln(p) + 0 # # # # #s 1 = 3 0 . + ln() . 3 0. ln(3) + p. (3 D) + p 0 . ln(p) # #s 3 0 = + 3 0 ln(3) ln() + 3p D + p 0 ln(p) # 3) ] = . logD( ) @. #] # logD ( ) = a b = @ # # #] = # #] = #. # # (logD( )) − logD( ) . ( @ ) # # ( @ )D. 1 − logD( ) . . ln(2) ( @ )D. @. @. @.. @. =. @. −. . ln(2) ( @ )D. @. ln( ) ln(2). − @ ln( ) @ − @ ln( ) @ (1 − ln( )) ln(2) = = ( @ )D ln(2)( @ )D ln(2)( @ )D. #] 1 − ln( ) = = # ln(2) @. Cálculo I -

(88) . 23.

(89) 7. Derivadas de Funções Trigonométricas. Derivada da Função Seno. 9 () = sen() ã ;() = cos() # jsen()k = cos() # Derivada da Função Co-Seno. 9 () = cos() ã ;() = −sen() # jcos()k = −sen() # Uma vez conhecida as derivadas das funções seno e co-seno, podemos deduzir a derivada de outras funções trigonométricas. a) Derivada da Função Tangente. * tan(). #* # # sen() (tan()) = = a b # # # cos(). # # cos() . j" ()k − sen(). (cos()) # # # (tan()) = cos()D #. # cos() . cos() − " (). (−sen()) cos D() + senD() (tan()) = = cos()D # cos D() # 1 (tan()) = = sec D() # cos D(). b) Derivada da Função Co-Tangente. * = cot(). #* # # cos() (cot()) = = a b # # # sen(). # # sen() . jcos()k − cos(). (sen()) # # # (cot()) = sen()D #. # sen() . j−sen()k − cos() . (cos()) −senD() − cos D() (cot()) = = sen()D # senD() −1 # (cot()) = = −" D() senD() #. Cálculo I -

(90) . 24.

(91) c) Derivada da Função Secante. * sec(). # #* # 1 (sec()) = = a b # cos() # #. # # cos() . (1) − (1). (cos()) # # # (sec()) = cos()D #. # cos(x) . (0) − (−sen()) sen() sen() 1 (sec()) = = = a b . a b cos()D # cos() . cos() cos() cos(). # (sec()) = tan() . sec() #. d) Derivada da Função Co-Secante. * = cosec(). #* # # 1 (cosec()) = = a b # # # sen(). # # sen() . (1) − (1). (sen()) # # # (cosec()) = sen()D #. # −cos() cos() 1 (cosec()) = = −a b.a b D D sen() # sen () sen() # (cosec()) = − cot() . cosec() # Exemplo Calcule a derivada da função. s = " ( ). (1 + 3 cos(t)). #s # = sen( ). (1 + 3 cos(t)) # #. # #s # = sen( ). (1 + 3 cos( )) + (1 + 3 cos( )). (sen( )) # # #. #s # # = sen( ). (1) + (3 cos( )) + (1 + 3 cos( )). cos( ) # # # #s = sen( ). (0 − 3 sen( )) + (1 + 3 cos( )). cos( ) # #s = −3" D ( ) + (1 + 3 cos( )). cos( ) #. Cálculo I -

(92) . 25.

(93)