PEA 2211 Introdução à Eletromecânica e à Automação GERADOR SÍNCRONO - I

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2009 geradores página 1 de 38

1. Objetivos

Estabelecer os conceitos fundamentais da indução de tensão elétrica em condutores, por efeito do movimento relativo entre condutor e campo magnético (tensão elétrica de origem mocional). Apresentar alguns aspectos construtivos dos geradores de tensão. Deduzir as equações da tensão induzida em bobinas. Apresentar o sistema trifásico de tensões. Avaliar as influências da velocidade e da corrente de excitação no valor da tensão induzida.

2. Motivação

As máquinas rotativas que produzem energia elétrica por meio da conversão eletromecânica de energia fornecem quase a totalidade da energia elétrica consumida no planeta. Convertem a energia cinética em energia elétrica, em escalas de potência que vão de dezenas de Volt-Ampere até centenas de MVA. A energia primária pode vir da queda da água em uma represa ou da queima de combustível, da força dos ventos ou das marés, ou de outros processos: não importa a fonte primária nem a escala de potência, o princípio de funcionamento é o mesmo que será discutido neste texto, o gerador de tensão alternada.

3. Teoria

3.1 Resumo

!" A tensão induzida-(3.2) é resultado do movimento relativo entre condutores e campo de indução magnética. Fig.1; eq. (3) e (5).

!" A forma de onda senoidal-(3.3) da variação da tensão induzida no tempo é obtida com forma senoidal da variação do campo de indução no espaço, ou seja, no entreferro do gerador. Fig. 3 e Fig. 4; eq. (8) e (11).

!" O número de pólos-(3.4) de um gerador define a proporção entre a velocidade de rotação de seu eixo e a freqüência da tensão induzida em suas bobinas. Fig. 6; eq. (16).

!" O controle da tensão induzida-(3.5 e 3.10) é feito pela corrente de excitação e pela velocidade de rotação, ou seja, pelo torque aplicado ao eixo. Com o nível de excitação se controla o módulo da tensão.

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Fig. 8; eq. (17). A freqüência da tensão induzida é proporcional à velocidade.

!" As fases de um gerador-(3.6) são construídas interligando-se condutores do estator, adequadamente espaçados. Assim, cada fase terá, ao menos, uma bobina. Fig. 9 e 10; eq. (19) e (20).

!" Os fasores das tensões-(3.7) têm o mesmo módulo e estão defasados entre si de 2!/3 [rd]. Fig. 13; eq. (24).

O valor eficaz da tensão de fase é E $4.44fN#_max. As fases do

gerador podem ser ligadas em estrela ou em triângulo. Fig. 11.

3.2 Tensão induzida

A tensão elétrica pode ser induzida por variação, no tempo, do fluxo magnético ! [Wb] que atravessa um contorno fechado ou pelo movimento de um condutor em relação a um campo de indução magnética B! [T].

O primeiro caso leva ao estudo dos transformadores, tendo como equação fundamental a primeira equação de Maxwell, que exprime a Lei de Faraday-Lenz:

%

& $' & S C S d B dt d l d E ! ! ! ! [V] (1) Ou, em sua forma mais conhecida,

dt d

e$' # [V].

A segunda forma de indução produz uma força-eletromotriz denominada mocional, nome que se deve ao fato de ser condição necessária a existência de velocidade relativa (entre campo e condutor) diferente de zero. Nos transformadores a força-eletromotriz é denominada variacional, pois resulta apenas da variação temporal do fluxo magnético que atravessa a bobina, de acordo com a equação (1).

A diferença mais importante entre estes dois tipos de tensão induzida é a existência de movimento relativo. Sem movimento não seria possível se estabelecer a conversão eletromecânica de energia. Como você sabe, o trabalho mecânico, medido em Joule, é resultado do produto escalar entre força e deslocamento; a potência mecânica, medida em Watt, é o resultado do produto escalar entre força e velocidade. Os transformadores, ou qualquer outro equipamento que não tenha parte móvel, não podem ser utilizados como conversores eletromecânicos de energia. Você já estudou os eletroímãs e pôde comprovar

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que apenas a existência de força não implica a existência de conversão de energia. É necessário que, simultaneamente, se tenha força e deslocamento não nulos.

Os geradores de tensão alternada são conversores eletromecânicos projetados para produzir uma forma de onda desejada de tensão elétrica mocional, em geral, forma senoidal de tensão. O princípio de funcionamento é obtido da força de Lorentz:

) (E u B q F ! ! ! ! ( ) $ [N] (2) onde u![m/s] é a velocidade relativa entre a carga elétrica q [C] e o campo densidade de indução magnética B![T].

Note que nesta relação temos duas parcelas de força1 de origem eletromagnética: a força eletrostática q

E

!

[N] , às vezes denominada força de Coulomb, e a parcela eletrodinâmica ) (u B q ! ! ( .

Podemos interpretar a força de Lorentz também pela existência de campos elétricos de duas origens distintas: o campo eletrostático E! [V/m] e o campo elétrico induzido pelo movimento. Este campo induzido E_i

!

é o que produzirá a tensão, ou força-eletromotriz dos geradores. De fato, para um condutor de comprimento L [m] podemos escrever a força-eletromotriz induzida como:

%

& $

%

( & $ L L i dl u B dl E e 0 0 ) (! ! ! ! ! [V] (3) note que esta expressão é uma integral de linha, ao passo que em (1) temos uma circuitação. Isso significa que a tensão induzida variacional se manifesta em um contorno fechado (espira) atravessado pelo fluxo magnético (e desde que esse fluxo varie no tempo), ao passo que a tensão induzida de origem mocional (3) pode ser calculada em um segmento, ou trecho de condutor.

Neste ponto, já temos duas conseqüências importantes:

1_{Fique atento para os diferentes significados da palavra força no contexto do eletromagnetismo. Temos a}

força (mecânica) medida em Newton; a força-eletromotriz medida em Volt e a força-magnetomotriz medida em Ampere-espira.

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!"

“O melhor aproveitamento da indução se dará quando o condutor (vetor

l d

!

), a velocidade e o vetor de campo forem ortogonais entre si. Por

exemplo, um gerador cilíndrico com condutores dispostos na direção

axial, movimento tangencial (rotação) e vetor de campo radial”.

!" “A forma de onda (no tempo) da tensão induzida é exatamente a mesma

forma de onda (no espaço) do campo magnético. Isto porque, sendo o

movimento relativo uniforme na direção y, a velocidade é constante.

Então, o condutor observará

B(t)

com a mesma forma de

B( y)

”.

Na situação de melhor aproveitamento, Fig.1, a tensão induzida pode ser escrita como:

e = BLu [V] (4)

pois temos (u(B)&dl $u.B.dl.(!y(z!)&x! $u.B.dl !

! !

Fig. 1 Condutores se movem em meio magnetizado. A forma e a posição de (b) são as mais adequadas.

A expressão (4) pode ser reescrita para deixar explícita a dependência da forma de onda de tensão com a forma de onda do campo de indução magnética:

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Note que esta é uma equação de grandezas escalares (u, B e L são módulos ou amplitudes). Embora o resultado de (3) sempre seja um escalar (tensão elétrica induzida), temos em (5) a expressão do máximo valor, pois os vetores estão na condição mais favorável, que é a de ortogonalidade. Vemos, também, que e(t) senoidal será possível apenas se B(t) for senoidal. Dois requisitos fundamentais do projeto de geradores de tensão alternada são: a produção (no espaço) da forma senoidal de B e a geração do valor eficaz desejado de tensão. O primeiro requisito deve ser atendido pelo projeto do circuito magnético, ou de magnetização do gerador. Quanto ao nível de tensão, vale lembrar que u e B são grandezas relativamente limitadas, ou de pequena capacidade de variação: os materiais ferromagnéticos saturam com valores de indução em torno de 1.8 [T]; em termos práticos,

B é da ordem de grandeza de 1 [T] e u é um número da ordem de 100 [m/s], definido pela

freqüência desejada para a tensão alternada. É o projeto do enrolamento do gerador, ou seja, de suas bobinas e das interligações entre elas, que define a quantidade L [m] da expressão (5) e, portanto, define os níveis de tensão disponíveis em um gerador e, como veremos mais adiante, a quantidade de fases de tensão que podem ser utilizadas.

Finalizando esta análise do princípio de funcionamento dos geradores, caberia mais uma interpretação da força-eletromotriz mocional: ela é o resultado da polarização de um meio condutor que se movimenta em relação a um campo de indução magnética. A Fig. 2 representa este conceito. Cargas livres positivas são deslocadas pela força de Lorentz em sentido oposto ao das cargas negativas, resultando na tensão de polarização e [V].

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Se o circuito se fechar pela chave K, haverá circulação de corrente induzida com densidade: ) (u B J ! ! ! ( $* [A/m2] (6) sendo *[S] a condutividade do meio. Esta equação é obtida aplicando-se a relação constitutiva de meios J E

! !

*

$ _{ao campo elétrico induzido pelo movimento, conforme a} expressão (3). Note nesta expressão que existirá tensão induzida mesmo sem suporte de meio condutor. A tensão induzida do tipo mocional é resultado apenas do movimento relativo entre um campo magnético e um referencial de medição, ou de observação, pois o campo elétrico é assim induzido. A existência de meio condutor possibilita a existência de correntes induzidas, porém, o campo elétrico pode ser induzido mesmo no vácuo.

Outro resultado fundamental, no qual se baseia a Conversão Eletromecânica de Energia, é que ao se fechar a chave K, Fig. 2, a corrente induzida estará sujeita novamente à força de Lorentz, mas agora como força de reação. Verifique: a corrente fluindo no sentido indicado na figura produzirá no condutor uma força contrária ao movimento. Assim, o movimento só poderá se manter pela ação de um agente externo que supere esta força resistente. O condutor estará operando como receptor de energia mecânica e, ao mesmo tempo, como fornecedor de energia elétrica. Em outras palavras, este condutor estará convertendo a energia mecânica em energia elétrica e, portanto, podemos afirmar que a Fig. 2 representa um gerador elementar de tensões elétricas.

3.3 Forma de onda senoidal

Vamos, inicialmente, imaginar um condutor retilíneo disposto segundo a direção x, movendo-se com velocidade constante na direção y e permanecendo imerso em um meio magnetizado segundo a direção z. Os três vetores que orientam condutor, velocidade e campo são ortogonais entre si, de maneira que a expressão (4) pode ser utilizada.

Imagine agora que o módulo do vetor densidade de fluxo magnético varie no espaço, ao longo da trajetória percorrida pelo condutor, ou seja, varie apenas com a coordenada y e de maneira senoidal: ) ( ) (y B_maxsen y B p + $ , [T] (7) a quantidade + [m] é denominada passo polar pois representa o tamanho de um pólo _p magnético, ou melhor, o intervalo necessário para que B(y) mude o sinal. Sendo esta função alternada, convencionamos chamar norte e sul as regiões que tenham B com sinais opostos,

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por exemplo, B > 0 [T] é propriedade do pólo norte. A linha que separa as duas regiões magnéticas é denominada linha neutra , caracterizando-se pela propriedade B = 0 [T]. A Fig. 3 ilustra esta situação. Na experiência anterior, com o eletroímã de torção, foi apresentada uma configuração de campo magnético com 4 pólos (2 pólos Norte e 2 pólos Sul, ou seja, dois pares de pólos).

Fig. 3 Condutores se movem em campo magnético senoidal

O condutor c₁está na posição y = ut [m] e, portanto, observa e medirá B como função

dependente do tempo, assim como a tensão nele induzida:

) ( ) ( _max 1 t B uL sen ut e p + & $ , [V] (8)

Neste ponto, podemos estabelecer duas importantes conclusões:

!" “O módulo e a freqüência da tensão induzida são proporcionais à

velocidade dos condutores”

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!" “Um sistema de tensões alternadas que tenham os mesmos valores de

amplitude e de freqüência, mas tensões que estejam defasadas no

tempo, tal sistema poderá ser obtido a partir da defasagem, no espaço,

entre condutores”.

Para ilustrar a última conclusão, considere um segundo condutor, c₂, em tudo semelhante

ao primeiro e se movimentando com a mesma velocidade u!$u&y! [m/s], mas adiantado de

c

+ [m] em relação ao primeiro, de maneira que sua posição seja y = ut + + [m]. Então, _c

)} ( { ) ( max 2 c p ut sen uL B t e )+ + & $ , [V] (9)

expressão que nos mostra que a defasagem espacial entre condutores resulta em defasagem temporal entre tensões induzidas. Poderíamos, desde já, projetar uma situação na qual se produzissem tensões trifásicas simétricas e equilibradas, ou seja, de mesma freqüência, mesmo módulo e com a mesma defasagem entre duas tensões “consecutivas”. Precisaríamos de, ao menos, três condutores, não é? A defasagem simétrica seria obtida impondo-se distância entre condutores de +_c $ +_p

3 2

[m], resultando em defasagem, no tempo, de 2!/3 [rd].

Um sistema de translação, teórico como este que analisamos, nos ajuda a compreender o processo de indução de força-eletromotiz mocional. Porém, exigiria para sua implementação um meio magnetizado de extensão indefinida. Os geradores são equipamentos eletromecânicos de rotação, com geometria cilíndrica que permite manter, indefinidamente, o movimento relativo entre condutores e campo de indução magnética. Temos apenas que adaptar as equações (7), (8) e (9) para o novo sistema de coordenadas, tendo em vista a Fig. 4, que representa um gerador com estator cilíndrico e rotor com dois pólos salientes. Note nesta figura que o enrolamento do rotor está concentrado em uma única bobina. É a geometria que determina a variação senoidal do campo de indução magnética ao longo do entreferro da máquina. Atenção especial deve ser dada à região de menor entreferro que concentrará a maior parte das linhas de força do campo magnético, exatamente por ter a menor relutância. O eixo direto marca a posição de mínima relutância e, portanto, o ponto em que o campo é máximo. Embora não esteja representado na figura, é possível imaginar outro eixo, deslocado

2

,

[rd] do direto e denominado eixo em

quadratura, que coincide com a linha neutra – ponto em que o campo magnético se anula, B = 0 [T].

(9)

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Fig. 4 Variação senoidal do campo magnético no entreferro de um gerador com rotor de 2 pólos salientes e estator cilíndrico

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!" Preservamos a condição favorável de ortogonalidade com o seguinte arranjo: os condutores estão dispostos segundo a direção z, de maneira que dl dl z!

! &

$ [m]; o movimento de rotação resulta em velocidade tangencial u $! u-![m/s]; o

circuito de magnetização produz B Br!

! $ [T]. Assim, e u B dl ! ! ! & ( $( ) [V] será um número positivo quando sua polaridade apontar para dentro da página, conforme marcado na Fig. 4; a densidade de corrente induzida será J J z!

! & $ [A/m2].

!" O vetor densidade de indução magnética é radial. Seu módulo varia senoidalmente no entreferro, em função do ângulo -, devido à geometria do rotor que tem pólos salientes. Em termos de relutância magnética, vemos que o comprimento de entreferro é variável ao longo da interface estator-rotor. As linhas de campo tendem a se concentrar na região de menor entreferro (Eixo Direto), resultando em um campo magnético de módulo não-uniforme, mais precisamente, em uma distribuição senoidal de indução magnética.

!" O valor de indução magnética medido por um observador que esteja no estator dependerá da posição do próprio observador, marcada como - [rd], e também da posição do rotor, marcada como . [rd]. Então, a equação (7) se transforma em r sen B B ! ! & ' $ ( ) ) , (- . _max - . [T] (10)

Façamos uma verificação: com o rotor em

.

= 0 [rd] a distribuição de indução magnética no entreferro será B(-)$B_maxsen(-) [T]; os condutores c1 e c3 não observarão nenhuma indução magnética, pois se localizam, respectivamente, em

0 $

- [rd] e em - $ [rd], exatamente a posição da linha neutra, ou eixo em ,

quadratura. Os condutores c2 e c4 observarão a indução máxima, pois se localizam em - $,/2 [rd] e - $3,/2 [rd], exatamente a posição do eixo direto. A rigor, o condutor c4 observará a indução máxima com sinal negativo, contrário ao sentido do versor r!, pois se localiza na região do pólo sul. O condutor c2 se localiza na região do pólo norte, ao passo que c1 e c3 estão na linha (B = 0 [T]) que demarca os limites dos pólos norte e sul. Se o rotor se movimentar toda a distribuição B(-,.)se movimenta, incluindo-se, é claro, os pólos norte e sul.

***Relatório Q1: Faça um desenho, análogo à Fig. 4, para . $,/2 [rd] e determine o valor da indução magnética na posição dos condutores.

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!" Se o rotor se deslocar em movimento circular uniforme de velocidade / [rd/s], sua posição será marcada por . $/t[rd]. Então, as equações (8) e (9) se

transformam em (foi adotado um valor de raio médio r [m] ):_m

e₁(t)$'B_max/rmL&sen(/t)

e₃(t)$B_max/rmL&sen(/t) ) 2 ( ) ( max 4 t B r L sen t e $' / _m & , '/ [V] (11)

Estas são as tensões induzidas nos condutores da Fig. 4. Note que o movimento relativo existe se o rotor girar em sentido horário e os condutores permanecerem estacionados, ou se imaginarmos o rotor estacionário e os condutores se movendo com velocidade periférica

-!

!

m

r

u$'/ [m/s], ou seja, no sentido anti-horário. É o movimento dos condutores que

devemos considerar para aplicação de (3), u [m/s] é a velocidade dos condutores do estator em relação ao rotor (ao qual o campo magnético é solidário).

A Fig. 5 é uma representação retificada da interação entre condutor e campo no entreferro do gerador, no instante / & $ 1 4 ,

t [s]. Confira a polaridade das tensões induzidas neste

instante. Nesta figura, " e u representam, é claro, o mesmo movimento relativo entre condutores e campo.

***Relatório Q2: Reproduza a Fig.5 para o instante

/ & $ 1 4 3, t [s] marcando a

polaridade das tensões induzidas.

) 2 ( ) ( _max 2 t B r L sen t e $ / m & '/ ,

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Fig. 5 Força-eletromotriz induzida nos condutores pelo campo girante de indução, B( t-, ).

De maneira semelhante ao sistema de translação, confirmamos também no caso rotativo que a defasagem espacial de condutores produz defasagem temporal entre as tensões induzidas e que o módulo e a freqüência das tensões induzidas são proporcionais à velocidade, seja velocidade tangencial ou velocidade angular.

Outro ponto importante a se observar na Fig.5 é que o gráfico B(!) se move no sentido # > 0 com velocidade constante " [rd/s]. A equação (10) pode ser escrita, em módulo, como: ) ( ) , ( t Bmaxsen t B- $ - '/ [T] (12)

que é a equação de uma onda que se propaga com amplitude constante, ou seja, sem atenuação, no sentido de # positivo. Na teoria das máquinas elétrica, a expressão (12) é denominada campo girante de induções.

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3.4 Influência do número de pólos

O passo polar, nas máquinas rotativas, é medido em ângulo: no exemplo que analisamos temos +p $,[rd], pois o gerador tem 2 pólos e dizemos que cada pólo tem o “tamanho” !

[rd]. Comparando (8) e (11) vemos que ,/+p $1. Em um gerador com 4 pólos teríamos

,

$

+_p /2 [rd], ou seja, cada um dos pólos “mediria” !/2 [rd]. Nos geradores com 4 pólos, a expressão (10) se modifica para

)} ( 2 { ) , (- . $B_maxsen - '. B [T] (13)

pois temos ,/+p $2, conforme visto na experiência anterior com os eletroímãs de torção. O movimento do rotor produz o campo girante de induções com 4 pólos. A expressão (12) modifica-se para ) 2 2 ( ) , ( t B_maxsen t B- $ - ' / [T] (14)

A multiplicidade de pólos tem efeito direto na freqüência das tensões induzidas. Vemos em (14) que a freqüência angular da tensão induzida será o dobro da velocidade angular do rotor. Utilizando a letra minúscula para diferenciar as duas grandezas, temos:

$ = 2% [rd/s] (15)

Quanto à defasagem entre as tensões induzidas, podemos ver em (14) que haverá a mesma proporção dupla, ou seja, o condutor c1, localizado em # = 0 [rd], e o condutor c3, localizado em # = ! [rd], observam exatamente o mesmo campo magnético em qualquer instante de tempo, Fig. 6. É como se a “volta magnética” inteira ocorresse com apenas meia “volta geométrica”. Mais precisamente: o período da distribuição espacial B(!) se reduziu à metade, e isso independe do instante de observação

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Fig. 6 Distribuição senoidal da densidade de indução magnética com 4 pólos.

Vemos em (15) que um gerador com 4 pólos deve girar com velocidade % = 60! [rd], que corresponde a 1800 rotações por minuto, para gerar tensão na freqüência 60 [Hz]. Um gerador com 2 pólos deveria girar a 3600 [rpm].

É fácil estabelecer a proporção entre as grandezas elétricas $ [rd/s] e f [Hz] e as grandezas mecânicas % [rd/s] e n [rotações/s]. Como você sabe, os pólos magnéticos sempre existem aos pares, então, denominando p como número de pares de pólos temos:

$ = p%

f = pn (16) A escolha do número de pólos de um gerador é uma das etapas de seu projeto e depende de diversos fatores. Há casos em que se impõe um limite para a velocidade: máquinas de grande porte não devem girar em altas rotações, pois os esforços mecânicos seriam muito

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intensos. Por exemplo, os hidrogeradores da usina de Itaipu produzem tensão em 60 [Hz] girando a 90 [r.p.m]. Quantos pólos?

***Relatório Q3: Reproduza a Fig.6 para uma distribuição de indução magnética com

6 pólos. Calcule a velocidade de rotação que induzirá tensão de 60 [Hz].

3.5 Circuito magnético e controle da tensão induzida

A expressão (10) mostra que a distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro não é uniforme. Na verdade, planejamos isso para obter tensão induzida com forma de onda senoidal. Em termos de mapa de campo, há uma concentração de linhas (de campo) em torno do eixo direto por ser esta região a que tem menor comprimento de entreferro, ou seja, oferece a menor relutância na passagem do fluxo magnético.

O eixo em quadratura, que está separado do eixo direto por &# = !/2 [rd] nas distribuições com dois pólos, marca os limites das regiões de pólos norte (B > 0 [T]) e sul (B < 0 [T]). Sendo a função B(!) contínua, temos no eixo em quadratura B = 0 [T], por este motivo também chamado linha neutra.

Então, do eixo direto ao eixo em quadratura, o módulo de B varia do valor B_maxao valor

nulo, 0 [T], senoidalmente. A Fig. 7 mostra, por meio do mapa de campo, esta situação. Lembre-se que a unidade de B é Tesla ou ₂

m

Wb , portanto, é representado como uma densidade de linhas. Os mapas de campo são desenhados para representar a mesma

quantidade de fluxo magnético [Wb] entre quaisquer duas linhas de campo vizinhas. Lembre-se, também, que estamos representando em duas dimensões um mapa de campo que é tri-dimensional, ou seja, existe a dimensão de profundidade que é perpendicular ao plano desta página. Então, duas linhas de campo vizinhas delimitam um tubo de fluxo, do qual vemos no desenho apenas o corte transversal. Todos os tubos de um mapa contêm a mesma quantidade de fluxo magnético. Se o tubo é “grande”, ou “largo”, então a densidade de fluxo em seu interior é “pequena”.

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Fig. 7 Produção da forma senoidal de B(-): em (a), rotor de pólos salientes com enrolamento concentrado; em (b), rotor de pólos lisos com enrolamento distribuído.

A concentração de fluxo magnético em torno do eixo direto deverá ser obtida pela variação do entreferro, quando se tem uma única bobina de excitação: menor o entreferro, menor a relutância, maior a quantidade de fluxo magnético e maior a densidade de linhas de campo. As máquinas com este tipo de geometria são denominadas geradores com pólos salientes. É possível obter-se distribuição senoidal da densidade de indução mesmo que o entreferro seja uniforme, ou seja, constante. Isto ocorre nos geradores com pólos lisos, nos quais o rotor é um cilindro ferromagnético. Para tanto, deverá haver mais de uma bobina de excitação; distribuindo-se as bobinas no rotor de maneira que as suas forças-magnetomotrizes se concentrem no eixo direto. Neste caso, ilustrado pela Fig. 7 (b), o conceito é: mais força-magnetomotriz atuando na região, maior a quantidade de fluxo magnético que passa por essa região. O projeto do enrolamento, ou seja, do arranjo de bobinas, considerando interligações e localização das bobinas, este projeto procura obter a melhor forma B(-).

A escolha entre gerador com pólos lisos ou salientes é uma das etapas de projeto, dependendo de diversos fatores. Um dos fatores é a velocidade de rotação do eixo: em altas rotações, para máquinas de grande porte, os geradores de rotor cilíndrico são mais recomendados por produzirem menor esforço mecânico no eixo. Os de pólos salientes têm concentração de massa nos pólos, aumentando a força centrífuga. As usinas hidroelétricas utilizam geradores com grande número de pólos salientes, já nas usinas térmicas a rotação das turbinas deve ser alta para se obter o rendimento ótimo, então, a escolha recai sobre os geradores de pólos lisos com dois ou quatro pólos.

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Finalmente, devemos observar que a corrente de excitação, que circula nas bobinas do rotor, determina o estado de magnetização dos geradores: a amplitude B_maxé função

crescente de i_exc. A relação é não-linear, devido à saturação do material ferromagnético,

como mostra a Fig. 8. Este efeito você já pôde examinar no estudo dos transformadores: todo circuito magnético estruturado sobre material ferromagnético estará sujeito à saturação.

Fig. 8 A corrente de excitação determina a amplitude do campo de indução magnética

A amplitude da tensão induzida nos condutores, conforme (11), é ) ( max max m c B L r E $ /& [V] (17)

Sendo a velocidade / definida pela freqüência desejada para a tensão induzida (por exemplo, dois pólos e 60 Hz determinam rotação de 3600 rpm), restará para o controle do nível de tensão apenas a corrente de excitação: modificando B_max mas sem modificar a

forma senoidal da distribuição B(!) ao longo do entreferro do gerador. Estes são os dois tipos de controle de um gerador de tensão alternada: o controle de freqüência, que atua na velocidade do eixo; e o controle de tensão, que atua na corrente de excitação.

Existem geradores nos quais se utilizam imãs permanentes em substituição à bobina de excitação. Nestas máquinas não há controle de tensão.

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3.6 Tensão induzida em bobinas: fases de um gerador

Nas análises feitas até aqui, consideramos os condutores separadamente para investigar a amplitude, a freqüência e a forma de onda da tensão induzida. Vamos agora interligá-los para formar as bobinas do estator e para que a corrente elétrica induzida possa circular. Considerando a situação da Fig. 4, podemos obter duas bobinas ligando em série c1_c3 e c2_c4. A Fig. 9 representa a bobina c1_c3 e as polaridades das tensões induzidas em seus condutores, durante o intervalo 00 t/ 0,/2 [rd].

Estas duas bobinas terão a mesma amplitude de tensão induzida: m

Lr B

Emax $2 max/ [V] (18)

pois temos, de acordo com (11), e₁(t)$'e₃(t) e e2(t)$'e4(t). Note que estas são as

“melhores” bobinas possíveis, ou seja, as que produzem a máxima tensão. Isso se deve ao fato de existir entre as tensões em cada lado da bobina a defasagem de ! [rd]. Verifique, com ajuda da expressão (11), que a interligação de c1 com c2 também produziria uma bobina, porém a amplitude da tensão nela induzida seria menor que o valor dado em (18).

***Relatório Q4: Mostre que a amplitude da tensão induzida se reduziria a

m

Lr B

Emax $1.4( max/ caso a bobina fosse construída interligando-se c1_c2. Mostre

também que para o caso da Fig.6 a tensão na bobina c1_c3 é nula.

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Com estas duas bobinas, c1_c3 e c2_c4, e de acordo com a Fig. 4 – distribuição de campo de indução magnética com dois pólos, podemos configurar um gerador bifásico elementar, que apresenta as duas tensões de fase :

) 2 ( ) ( ) ( ) ( max 24 max 13 t sen E t e t sen E t e / ' $ / ' $ , [V] (19)

Com os seus 4 terminais, poderíamos alimentar impedâncias elétricas como se fossem dois geradores independentes; ou com as suas duas bobinas interligadas por um ponto comum, formar um sistema difásico de tensões.

Um gerador trifásico elementar é obtido de maneira semelhante: 6 condutores, simetricamente espaçados por !/3 [rd], e interligados para formar 3 bobinas. A interligação deve ser feita para se obter a maior amplitude possível de tensão na bobina, ou seja, devemos interligar condutores diametralmente opostos, quando se tem configuração de campo magnético com 2 pólos . A Fig. 10 mostra um corte transversal do gerador trifásico, no qual as ranhuras estão identificadas por letras. As suas três bobinas são A-A’, B-B’ e C-C’, com as três tensões de fase:

) 3 4 ( ) ( ) 3 2 ( ) ( ) ( ) ( max ' max ' max " t sen E t e t sen E t e t sen E t e CC BB AA / ' $ / ' $ / ' $ , , _{[V] (20)}

(20)

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Fig. 10 Corte transversal de um gerador trifásico elementar.

As interligações usuais para as bobinas de um gerador trifásico são duas: a ligação estrela, também chamada ligação Y; e ligação triângulo, também chamada ligação delta ( "). A Fig. 11 representa estas duas ligações. A ligação do ponto neutro da carga ao ponto neutro do gerador em estrela (ponto N na Fig. 11a) nem sempre ocorre, em condições de equilíbrio e simetria das correntes trifásicas não circula corrente pelo neutro e, portanto, não há necessidade desta ligação. Com o ponto neutro do gerador acessível, tem-se o sistema trifásico a 4 fios que permite que se utilizem as tensões de fase de maneira independente. Como você sabe, nos circuitos elétricos trifásicos são definidas tensões de linha e tensões

de fase; e também correntes de linha e correntes de fase. A palavra linha deve ser

(21)

___________________________________________________

!"

“Na ligação estrela, a corrente de linha é a mesma que circula nas

fases do gerador. A tensão de linha vale

VLinha $ 3&VFase

”

!" “Na ligação delta, a tensão de linha é a mesma induzida nas fases do

gerador. A corrente de cada linha se divide entre duas fases do

gerador, de acordo com

Ilinha $ 3&IFase

”

***Relatório Q5: Para verificar a relação entre tensões, calcule a partir de (20) a

tensão vAB(t)$eAA'(t)'eBB'(t). Confirme que sua amplitude é VABmax $ 3&Emax.

Calcule as demais tensões de linha, na ligação estrela, mostrando que se tem um sistema de tensões trifásicas simétricas e equilibradas, respectivamente, mesma defasagem e mesma amplitude.

Fig. 11 Formas de ligação de um gerador: (a) ligação estrela; (b) ligação triângulo.

Finalmente, vejamos que a tensão induzida nas bobinas de um gerador, embora seja uma tensão induzida de natureza mocional, também pode ser obtida da Lei de Faraday-Lenz, ou da equação (1), exatamente como no caso dos transformadores. Para isso, precisamos calcular o fluxo concatenado com uma bobina e derivá-lo em relação ao tempo. Tomemos como exemplo a bobina AA’ que tem os seus extremos nas posições # = 0 [rd] e # = ! [rd]:

(22)

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!" A bobina é plana, e sobre seu plano se apóia uma calha cilíndrica de altura L [m] que é a profundidade do desenho, como mostra a Fig. 12.

!" O plano da bobina e a calha cilíndrica formam uma superfície fechada, de maneira que o fluxo magnético que atravessa a bobina é o mesmo que atravessa a calha (não há fluxo pelas “tampas”, pois B!é um vetor radial). !" A vantagem de se calcular o fluxo na calha cilíndrica é que B! é normal a

essa superfície, resultando em B&dS$B&dS

! !

[Wb].

!" Então o fluxo que atravessa a bobina, de acordo com a orientação da superfície cilíndrica é,

_%

' ' $ 0 max '( ) ( ) , -. -. #AA B sen Lrmd [Wb], pois o

elemento de área cilíndrica é dS $Lr_md- [m ] e a integração deve ser feita 2

no sentido positivo de #.

Fig. 12 Superfície de integração para cálculo do fluxo magnético concatenado com a bobina AA’ da Fig.10

(23)

___________________________________________________

O fluxo concatenado com qualquer bobina do estator depende da posição ' [rd] do rotor, pois o mapa de campo está “fixado” ao rotor. Com o rotor em movimento, o fluxo concatenado dependerá do tempo:

) ( 2 ) ( ) cos( ) cos( 2 ) ( ) ( ) ( max ' ' max max ' 0 max ' t sen Lr B dt d t e t t Lr B t d t sen Lr B t m AA AA m AA m AA / ' / $ ' $ / ' $ / ' $ & / ' $

_%

' # # # -# , (22)

O resultado é o mesmo das expressões anteriores, mas devemos lembrar que tratamos de uma força-eletromotriz de natureza mocional: a variação do fluxo magnético concatenado com a bobina se deve ao movimento do rotor.

Podemos verificar, ainda, a natureza reativa da tensão induzida: no instante inicial, t = 0 [s], representado na Fig. 4, vemos que a bobina A-A’ concatena o seu máximo fluxo magnético, porém com sinal negativo, em desacordo com a orientação dada à bobina. O movimento do rotor provocará, portanto, um aumento do fluxo concatenado, se considerarmos o sinal do fluxo magnético. A tensão é induzida na bobina para reagir a esse aumento de fluxo. Será uma tensão que cresce negativamente a partir do valor inicial nulo, como mostra (22). Em outras palavras, a corrente induzida circulará no sentido A’-A para impedir a variação do fluxo magnético concatenado.

Note, ainda, que a escolha da “melhor bobina possível” aparece agora nos extremos de integração de (22). A bobina que produz a maior amplitude de tensão induzida é denominada bobina de passo pleno, pois tem exatamente o mesmo “tamanho” de um pólo

,

$

+p [rd]. Bobinas menores têm passo encurtado e, por serem menores que o pólo, concatenam menor quantidade de fluxo magnético, reduzindo-se assim a amplitude da tensão induzida.

***Relatório Q6: Encurte o passo da bobina AA’ da Fig. 10, reduzindo-o à sua

metade. Calcule a amplitude da tensão induzida, utilizando (22), e verifique que ela se reduziria a Emax $1.4(Bmax/Lrm como ocorreu na questão anterior Q4. Desenhe uma

figura semelhante à Fig. 10 para esse gerador trifásico com bobinas de passo encurtado em

2

,

(24)

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3.7 Representação geométrica e fasorial dos fluxos e das tensões

O fluxo magnético que atravessa as bobinas do gerador pode ser calculado como sendo o fluxo de um vetor girante através da superfície plana das bobinas. É um procedimento bastante simples que resume os resultados das deduções anteriores e produz resultado equivalente. Veja como o raciocínio é mais simples, observando a Fig. 13:

!" A distribuição senoidal e girante de indução magnética no entreferro do gerador pode ser representada por um vetor de módulo B_max[T] que gira

com velocidade angular / [rd/s].

!" O valor instantâneo da indução B medido em um ponto P, situado na posição P

- [rd] é obtido com a projeção (produto escalar) deste vetor na direção do vetor raio em P. Com isso recuperamos a função (12), ao considerar que a posição inicial do vetor girante é # = !/2 [rd]. Verifique para os pontos da Fig.13 quais seriam as funções B(t). Por exemplo, se -P $0 [rd], ponto A, temos que o ângulo entre o vetor girante e o vetor raio em A vale )

2

(, )/t ,

portanto, a projeção do vetor será ) ( ) 2 cos( ) , 0 ( t B_max t B t B $ )/ $ A , _{. É o}

mesmo valor que se obtém com (12). O ângulo entre r!_A - vetor posição do

ponto A – e o campo girante varia com o tempo, exatamente porque B_max

! é girante.

!" O fluxo concatenado com uma bobina será obtido pela projeção do vetor girante na direção normal ao plano da bobina, o que significa executar o produto escalar B dS

! !

& em cada bobina. Assim, por simples inspeção, podemos escrever: #AA_'(t)$#_maxcos(, '1t) [Wb] ) 3 2 cos( ) ( _max ' , 1 , # #BB t $ ' t) [Wb] ) 3 4 cos( ) ( _max ' , 1 , # #CC t $ ' t) [Wb] (23)

(25)

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com a freqüência angular $ = p% [rd/s], para o caso mais geral de gerador com 2p pólos. O valor #_maxé obtido com o vetor girante na posição normal à superfície da bobina, resultando #_max $B_maxS $B_maxL(2r_m) [Wb], como em (22).

Fig. 13 Vetor girante de indução, fluxos concatenados com as bobinas e tensões induzidas.

Derivando (23), de acordo com a lei de Faraday-Lenz, obtemos as tensões trifásicas do gerador, com as bobinas equilibradas, ou seja, de mesmo número de espiras N:

) 3 4 ( ) ( ) 3 2 ( ) ( ) ( ) ( max ' max ' max " t sen N t e t sen N t e t sen N t e CC BB AA 1 , 1# 1 , 1# 1 1# ' $ ' $ ' $ (24)

(26)

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!" Fluxo magnético concatenado com as bobinas de cada fase do gerador # $#max32

"

[Wb]

Para o exemplo analisado, as fases (temporais) dos fluxos concatenados com as bobinas são: 2AA' $,[rd]; 2BB' $',/3[rd] e 2CC' $,/3 [rd].

!" Tensão induzida nas bobinas de cada fase do gerador

4 3 $Emax E " [V]

para o exemplo analisado, as fases (temporais) das tensões induzidas são: 4_AA_' $,/2 [rd]; 6

/ 5

' ,

4_BB $' [rd] e 4_CC_' $',/6 [rd]. Outra representação, mais usual para as tensões em diagramas de fasores é utilizar o valor eficaz da grandeza em lugar do valor máximo. O conceito é o mesmo, apenas escreveríamos: E $Eef34

"

[V]. Ou, ainda, E$ E34

"

[V], pois, na ausência de índice, subentende-se que o valor eficaz foi considerado.

A Fig.13 contém o diagrama de fasores que representa os fluxos concatenados e as tensões induzidas no gerador trifásico elementar da Fig. 10. Note que os valores instantâneos de (23) e (24) podem ser obtidos também pela projeção dos fasores na direção do eixo de referência de fase2.

Finalmente, podemos calcular o valor eficaz das tensões induzidas nas fases do gerador 2

/

max

E

E $ . Substituindo $ por 2!f em (24), temos:

max

44 . 4 fN#

E $ [V] (25)

Nesta expressão vemos, mais uma vez, que o valor eficaz da tensão induzida depende (em

f) da velocidade de rotação do gerador e do nível de magnetização (em#_max). Observe no

diagrama de fasores da Fig. 13 a relação entre valores de fase e valores de linha: por exemplo, desenhe o vetor correspondente à tensão VAB EAA' EBB'

" " "

'

$ e verifique que ele será o lado oposto ao ângulo de

3 2,

[rd] de um triângulo isósceles. Portanto seu módulo será 3 vezes maior que os lados iguais, lados que representam a tensão de fase.

2_{A palavra “fase” é utilizada tanto para se referir a um conjunto de bobinas do gerador quanto para o}