Gabriel Eurípedes de Jesus Farias. GEOMETRIA HIPERBÓLICA PLANA O Modelo Projetivo

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Gabriel Eur´ıpedes de Jesus Farias

GEOMETRIA HIPERB ´OLICA PLANA O Modelo Projetivo

Texto referente ao Minicurso de Geometria Hi-perb´olica do III Simp´osio Nacional do PICME. Orientador: Prof. Dr. Heleno da Silva Cunha.

Belo Horizonte 2016

(2)

Sum´

ario

Resumo 3

1 Introdu¸c˜ao 3

2 Fundamentos de ´Algebra Linear 4

2.1 _R-espa¸cos vetoriais . . . 4

2.2 Mudan¸ca de Base . . . 6

2.3 Formas Bilineares . . . 7

3 Modelos de Geometria Hiperb´olica Plana 10 3.1 O Modelo Projetivo . . . 10

3.1.1 O Plano Projetivo . . . 10

3.1.2 O Plano Hiperb´olico . . . 11

3.2 O Modelo de Klein . . . 13

3.3 O Modelo do Hiperboloide . . . 14

4 Breve Estudo sobre o Plano Hiperbólico 16 4.1 Geodésicas do Plano Hiperbólico . . . 16

4.2 Retas do Plano Hiperb´olico . . . 19

5 Considera¸c˜oes Finais 20

(3)

Geometria Hiperb´

olica Plana: O Modelo Projetivo

Gabriel Eur´ıpedes de Jesus Farias1

Heleno da Silva Cunha2

Resumo

No presente trabalho, serão apresentados espa¸cos métricos que são modelos para a Geometria Hiperbólica Plana. Fundamentando-se principalmente na Álgebra Linear, o primeiro modelo que abordaremos será o projetivo e, a partir desse, cons-truiremos os modelos de Klein e do hiperboloide. Inicialmente, faremos uma revisão de Álgebra Linear, exibindo defini¸cões e alguns de seus resultados, os quais serão necessários para alicer¸car nossas constru¸cões. Em seguida, apresentaremos os três modelos supracitados. Ao final, faremos um sucinto estudo a respeito das geodésicas e das retas do plano hiperbólico e concluiremos com a demonstra¸cão da validade do postulado caracter´ıstico da Geometria Hiperbólica nesse espa¸co métrico.

Palavras-chave: Geometria hiperb´olica plana; Modelo projetivo; Retas do plano hiperb´olico.

1 Introdu¸

c˜

ao

A descoberta das geometrias não euclidianas foi um grande marco na história da ma-temática. Esse processo iniciou-se no próprio momento que Euclides apresentou a Geo-metria Euclidiana de forma axiomática em sua obra Elementos. Durante séculos, o quinto postulado gerou discussões e muitos matemáticos, acreditando tratar-se de um teorema, tentaram prová-lo. Esses esfor¸cos resultaram na descoberta de uma grande quantidade de proposi¸cões equivalentes ao quinto postulado de Euclides. Dentre elas, apresentaremos o Axioma de Playfair:

Postulado V. Por um ponto fora de uma reta pode-se tra¸car uma ´unica reta paralela `

a reta dada.

No século XIX, iniciou-se o estudo das implica¸cões da nega¸cão desse postulado. Tri-lhado por Gauss, Lobachewsky e Bolyai, esse caminho levou à descoberta da Geometria Hiperbólica. Visto que a existência de retas paralelas é consequência dos quatro primei-ros grupos de axiomas, essa geometria fundamenta-se na admissão dos quatro primeiros postulados da Geometria Euclidiana e da seguinte forma negativa do quinto postulado:

Postulado. Por um ponto fora de uma reta, podem ser tra¸cadas pelo menos duas retas que n˜ao interceptam a reta dada.

Visando a atribuir consistência à Geometria Hiperbólica, foram propostos modelos para a mesma. Neste trabalho, temos o objetivo de apresentar a constru¸cão de três deles: o projetivo, o de Klein e o do hiperboloide.

1_{Estudante do Curso de Matem´}_{atica da Universidade Federal de Uberlˆ}_andia.

2_{O presente trabalho foi desenvolvido tendo como orientador o Prof. Dr. Heleno da Silva Cunha,}

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2 Fundamentos de ´

Algebra Linear

O papel desta se¸cão é reunir defini¸cões e resultados de Álgebra Linear necessários para nossas futuras constru¸cões. Em especial, abordaremos as defini¸cões e algumas proprieda-des de espa¸cos vetoriais sobre R e de formas bilineares.

2.1 _R-espa¸

cos vetoriais

Defini¸cão 1. Um conjunto não vazio V ´_{e um R-espa¸co vetorial (ou espa¸co vetorial sobre} R) se em seus elementos, denominados vetores, estiverem definidas as duas opera¸cões abaixo.

(A) Soma, tal que ∀u, v, w ∈ V tem-se: (i) u + v ∈ V (fechamento da opera¸c˜ao); (ii) u + v = v + u (propriedade comutativa);

(iii) (u + v) + w = u + (v + w) (propriedade associativa);

(iv) ∃ 0 ∈ V tal que 0 + v = v, 0 ´e denomidado vetor nulo de V (existˆencia de elemento neutro);

(v) ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = 0 (existˆencia do elemento oposto para cada v ∈ V ). (M) Produto por escalar, tal que ∀α, β ∈ R e ∀u, v ∈ V tem-se:

(i) α · v ∈ V (fechamento da opera¸c˜ao);

(ii) (αβ) · v = α(β · v) (propriedade associativa); (iii) 1 · v = v;

(iv) α · (u + v) = α · u + α · v; (v) (α + β) · v = α · v + β · v.

Exemplo 1. Consideremos o conjunto Rn _{= {(x}

1, . . . , xn); x1, . . . , xn ∈ R} com as

opera¸c˜oes:

(i) (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+ y1, . . . , xn+ yn), ∀(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ Rn;

(ii) λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn), ∀λ ∈ R e ∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Essa estrutura é um espa¸_{co vetorial sobre R que será muito importante para as} cons-tru¸cões dos modelos para a Geometria Hiperbólica Plana que faremos adiante.

Defini¸c˜_{ao 2. Seja V um R-espa¸co vetorial e S ⊂ V . Dizemos que S é um subespa¸co} vetorial se, com as opera¸cões definidas em V , S ´_{e um R-espa¸co vetorial. Isso é equivalente} a dizer que S satisfaz às seguintes propriedades:

(i) 0 ∈ S;

(ii) u + v ∈ S, ∀u, v ∈ S;

(iii) α · v ∈ S, ∀α ∈ R e ∀v ∈ V .

Defini¸cão 3. Um vetor v ∈ V é uma combina¸cão linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se

existem escalares α1, . . . , αn ∈ R tais que

v = α1v1+ · · · + αnvn = n

X

i=1

αivi.

(5)

(I) O subespa¸co gerado por B é o conjunto das combina¸cões lineares dos vetores de B, ou seja, é o conjunto {α1v1 + · · · + αnvn; α1, . . . , αn ∈ R}. O qual denotaremos por [B]

ou [v1, . . . , vn].

(II) Dizemos que B ´e um conjunto gerador de V (ou que B gera V ) se [B] = V . (III) Dizemos que B ´e linearmente independente (ou l.i.) se α1v1+ · · · + αnvn = 0,

para vi ∈ B e αi ∈ R, i ∈ {1, . . . , n}, implica que α1 = · · · = αn = 0. Caso contr´ario,

dizemos que B ´e linearmente dependente (ou l.d.).

(IV) Dizemos que B ´e base de V se B ´e um conjunto gerador de V e l.i.

Defini¸c˜_{ao 5. Um R-espa¸co vetorial ´e finitamente gerado se possui um conjunto gerador} finito.

Observa¸c˜ao 1. Todo espa¸co vetorial finitamente gerado possui uma base. A demons-tra¸c˜ao desse resultado pode ser encontrada no texto [CL].

Proposi¸c˜_{ao 1. Qualquer base de um R-espa¸co vetorial V , finitamente gerado, possui a} mesma quantidade de vetores.

Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos um R-espa¸co vetorial finitamente gerado V e suas bases} B = {u1, . . . , un} e B0 = {v1, . . . , vm}. Suponhamos que essas bases n˜ao tenham a

mesma quantidade de vetores; sem perda de generalidade, assumamos que m > n. Es-crevamos os vetores de B0 como combina¸c˜ao linear dos vetores de B, da seguinte forma: vj = α1ju1 + . . . + αnjun, ∀j ∈ {1, . . . , m}. Notemos que m P j=1 βjvj = 0 implica que m P j=1 βj _n P i=1 αijui = 0. Equivalentemente, n P i=1 m P j=1 αijβj ! ui = 0.

Como {u1, . . . , un} ´e base de V e, portanto, l.i., temos o sistema

     α11β1+ · · · + α1mβm = 0 .. . αn1β1+ · · · + αnmβm = 0

nas inc´ognitas βj e com coeficientes αij ∈ R, com i ∈ {1, . . . , n} e j ∈ {1, . . . , m}. Por

hipótese, temos que m > n, ou seja, nesse sistema, o número de incógnitas é estritamente maior que o número de equa¸cões. Desse modo, o sistema é poss´ıvel e indeterminado, admitindo pelo menos uma solu¸cão não nula. Portanto, existem γ1, . . . , γm ∈ R, não

todos nulos, tais que γ1v1+ · · · + γmvm = 0. Consequentemente, B0 ´e l.d., contradizendo

o fato de ser base. Logo, as bases B e B0 possuem a mesma quantidade de vetores. Defini¸cão 6. Seja V um espa¸co vetorial finitamente gerado. A dimensão de V , dim V , é a quantidade de vetores de qualquer base de V .

Observa¸c˜ao 2. Seja C um conjunto finito. Usaremos a nota¸c˜ao #C para a quantidade de elementos de C (cardinalidade).

Proposi¸c˜_{ao 2. Seja V um R-espa¸co vetorial finitamente gerado. Se U ´e um subespa¸co} de V , ent˜ao dim U ≤ dim V .

Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos V um R-espa¸co vetorial finitamente gerado e U um} su-bespa¸co de V . Sejam BU e BV bases de U e V , respectivamente. Podemos provar

(6)

essa proposi¸c˜ao supondo que #BU > #BV. Empregando argumentos an´alogos aos

uti-lizados na Demonstra¸cão da Proposi¸cão 1, essa suposi¸cão implicará que BU é um

con-junto linearmente dependente, contradizendo a hip´otese de BU ser uma base. Portanto,

#BU ≤ #BV.

Defini¸c˜_{ao 7. Consideremos V , um R-espa¸co vetorial, e seus subespa¸cos vetoriais W}1 e

W2. Definimos a soma de W1 com W2 como o subespa¸co vetorial

W1 + W2 = {w1+ w2; w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2}. Dizemos que a soma W1+ W2 ´e direta se

W1∩ W2 = {0} e, nesse caso, escrevemos W1⊕ W2.

Proposi¸c˜_{ao 3. Sejam V um R-espa¸co vetorial finitamente gerado, U e W subespa¸cos} vetoriais de V tais que U ⊕ W = V . Ent˜ao dim U + dim W = dim V .

Demonstra¸c˜ao. Sejam BU = {u1, . . . , un} e BW = {w1, . . . , wm} bases de U e W ,

respec-tivamente. Queremos mostrar que BU∪ BW ´e base de V .

Tomemos v ∈ V . Como V = U + W , temos que v = u + w, com u ∈ U e w ∈ W . Assim, existem α1, . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ R tais que u = α1u1 + · · · + αnun e

w = β1w1 + · · · + βmwm. Por consequência, v é uma combina¸cão linear dos vetores de

BU∪ BW, a saber, v = α1u1+ · · · + αnun+ β1w1 + · · · + βmwm. Logo, V = [BU∪ BW].

Agora, suponhamos que existem escalares reais α1, . . . , αn, β1, . . . , βm tais que

α1u1 + · · · + αnun + β1w1 + · · · + βmwm = 0; temos, equivalentemente, que

α1u1+· · ·+αnun= −β1w1−· · ·−βmwm. Logo, α1u1+· · ·+αnune −β1w1−· · ·−βmwm

per-tencem à U ∩ W . Visto que, por hipótese, U ∩ W = {0}, segue que α1u1 + · · · + αnun = 0 e β1w1 + · · · + βmwm = 0. Como BU e BW são l.i.,

α1 = · · · = αn = β1 = · · · = βm = 0. Portanto, BU ∪ BW ´e um conjunto linearmente

independente.

Conclu´ımos que BU ∪ BW = {α1, . . . , αn, β1, . . . , βm} ´e base de V , desse modo,

dim V = n + m. Visto que dim U = #BU = n e dim W = #BW = m, completamos

a demonstra¸c˜ao.

Proposi¸c˜_{ao 4. Sejam V um R-espa¸co vetorial e B = {v}1, . . . , vn} uma base ordenada de

V . Dado v ∈ V , os escalares tais que v é uma combina¸cão linear dos vetores de B são unicamente determinados por v.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que v = α1v1+ · · · + αnvn e v = β1v1+ · · · + βnvn. Ent˜ao,

(α1− β1)v1+ · · · + (αn− βn)vn = 0. Como, por hip´otese, {v1, . . . , vn} ´e base de V , segue

que αi = βi, ∀i ∈ {1, . . . , n}.

Defini¸c˜_{ao 8. Consideremos um R-espa¸co vetorial V e B = {v}1, . . . , vn} uma base

or-denada de V . Denotamos por [v]B a matriz de coordenadas de v na base B; temos que

[v]B =    α1 .. . αn  

 se, e somente se, v = α1v1+ · · · + αnvn.

2.2 Mudan¸

ca de Base

Consideremos V um R-espa¸co vetorial finitamente gerado e duas de suas bases: B = {u1, . . . , un} e B0 = {v1, . . . , vn}. Tomemos v ∈ V e suas matrizes de

coordena-das [v]B =    α1 .. . αn    e [v]B0 =    β1 .. . βn  

. Temos o objetivo de encontrar uma rela¸c˜ao entre essas matrizes.

(7)

Escrevamos os vetores de B como combina¸c˜ao linear dos vetores de B0: uj = γ1jv1 + · · · + γnjvn, ∀j ∈ {1, . . . , n}. Pela matriz de coordenadas de v na base

B, sabemos que v = n P j=1 αjuj = n P j=1 αj _n P i=1 γijvi = n P j=1 n P i=1 αjγijvi = n P i=1 n P j=1 αjγij ! vi.

Por outro lado, v = β1v1 + · · · + βnvn. Pela Proposi¸c˜ao 4, temos que

βi = α1γi1+ · · · + αnγin, ∀i ∈ {1, . . . , n}. Assim, a matriz

M =      γ11 γ12 · · · γ1n γ21 γ22 · · · γ2n .. . ... . .. ... γn1 γn2 · · · γnn     

´e tal que M · [v]B = [v]B0. Dizemos que M ´e a matriz de mudan¸ca de base de B para B0.

Notemos que M−1 ´e a matriz de mudan¸ca de base de B0 para B, pois se temos que M · [v]B = [v]B0, multiplicando os dois lados por M−1 `a esquerda, obtemos

M−1· [v]B0 = [v]_B.

2.3 Formas Bilineares

Defini¸c˜_{ao 9. Seja V um R-espa¸co vetorial. A fun¸c˜ao} h , i : V × V → _R

(u, v) 7→ hu, vi

é uma forma bilinear sobre V se for linear em cada uma das variáveis quando deixarmos a outra fixa, isto é:

(i) hαu1+ u2, vi = αhu1, vi + hu2, vi;

(ii) hu, αv1+ v2i = αhu, v1i + hu, v2i.

Se, al´em dessas propriedades, tivermos: (iii) hu, vi = hv, ui,

dizemos que a forma bilinear ´e sim´etrica.

No presente trabalho, as formas bilineares que trataremos ser˜ao as sim´etricas sobre R-espa¸cos vetoriais finitamente gerados.

(8)

Exemplo 2. Consideremos o R-espa¸co vetorial Rn+1_{, os vetores u = (u}

1, . . . , un+1) e

v = (v1, . . . , vn+1) em Rn+1 e as fun¸c˜oes h , i1, h , i2, h , i3 : Rn+1× Rn+1 → R, tais

que:

hu, vi1 = u1v1+ u2v2+ · · · + unvn− un+1vn+1;

hu, vi2 = u1vn+1+ u2v2+ · · · + unvn+ un+1v1;

hu, vi3 = u1vn+1+ u2vn+ · · · + unv2+ un+1v1.

Essas fun¸cões são formas bilineares simétricas.

Defini¸c˜_{ao 10. Consideremos um R-espa¸co vetorial V com uma forma bilinear h , i e sua} base B = {b1, . . . , bn}. A matriz da forma bilinear h , i em rela¸cão à base ordenada B é

a matriz J = [hbi, bji]n×n.

Consideremos um R-espa¸co vetorial V com uma forma bilinear h , i, sua base B = {b1, . . . , bn} e u, v ∈ V . Sejam    u1 .. . un    e    v1 .. . vn    as matrizes de coordenadas de u e v na base B, respectivamente.

Ao calcularmos hu, vi, obtemos

hu, vi = * n P i=1 uibi, n P j=1 vjbj + = n P i=1 ui * bi, n P j=1 vjbj + = n P i=1 n P j=1 uivj hbi, bji = [v]t B J [u]B,

onde J é a matriz da forma bilinear h , i com rela¸cão à base ordenada B.

Notemos que se a forma bilinear h , i for simétrica, então a matriz J é simétrica, pois hbi, bji = hbj, bii, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}.

Exemplo 3. Referindo-se às fun¸cões definidas no Exemplo 1, as matrizes das formas bilineares h , i1, h , i2 e h , i3 com rela¸cão à base canônica do Rn+1 são, respectivamente,

J1 =        1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 −1        , J2 =        0 0 · · · 0 1 0 1 · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 0 1 0 · · · 0 0        e J3 =        0 0 · · · 0 1 0 0 · · · 1 0 .. . ... . .. ... ... 0 1 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0        .

Proposi¸cão 5. Se J e J0 são matrizes de uma mesma forma bilinear, então det J e det J0 possuem o mesmo sinal.

Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos o R-espa¸co vetorial V com a forma bilinear h , i e suas} bases B e B0. Sejam M a matriz de mudan¸ca de base de B0 para B, J e J0 as matrizes da forma bilinear em rela¸cão às bases B e B0, respectivamente. Tomemos u, v ∈ V , então

(9)

hu, vi = [v]t

B J [u]B

= (M [v]B0)t J (M [u]_B0)

= [v]t

B0 (Mt J M ) [u]_B0.

Por outro lado, hu, vi = [v]t

B0 J0 [u]_B0. Logo, J0 = MtJ M e, consequentemente,

det J0 = (det M )2_{· det J. Segue que det J e det J}0 _tˆ_{em o mesmo sinal.}

Defini¸c˜_{ao 11. Consideremos V um R-espa¸co vetorial com uma forma bilinear h , i e} seu subconjunto S. Definimos o complemento ortogonal de S, o qual denotamos por S⊥, como o conjunto {v ∈ V ; hv, si = 0, ∀s ∈ S}.

Proposi¸c˜_{ao 6. Seja S um subconjunto de um R-espa¸co vetorial V . S}⊥ ´e um subespa¸co vetorial.

Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos V um R-espa¸co vetorial e S ⊂ V . Notemos que o vetor} nulo 0 = 0 · v, ∀v ∈ V . Assim, ∀s ∈ S, h0, si = h0 · v, si = 0 · hv, si = 0; ou seja, 0 ∈ S⊥. Sejam u, v ∈ S⊥, então hu + v, si = hu, si + hv, si = 0; segue que u + v ∈ S⊥. Tomemos α ∈ R e v ∈ S⊥, então hα · v, si = α · hv, si = α · 0 = 0; desse modo, α · v ∈ S⊥. Logo, S⊥ é um subespa¸co vetorial.

Defini¸c˜_{ao 12. Seja V um R-espa¸co vetorial munido da forma bilinear h , i. Uma} base B = {b1, . . . , bn} de V ´e dita ortonormal se hbi, bii ∈ {−1, 0, 1} e hbi, bji = 0,

com i 6= j, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}. Desse modo, a matriz de uma forma bilinear em rela¸cão à uma base ortonormal é diagonal e seus termos são -1, 0 ou 1.

Proposi¸c˜_{ao 7. Todo R-espa¸co vetorial munido de uma forma bilinear h , i possui uma} base ortonormal.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja V um R-espa¸co vetorial, de dimensão n, dotado de uma forma} bili-near h , i. Se hv1, v2i = 0, ∀v1, v2 ∈ V , então qualquer base de V é ortonormal. Agora,

avaliaremos o caso em que existe v ∈ V tal que hv, vi 6= 0. Assim, podemos escrever hv, vi = λ2_{, com ∈ {−1, 1} e λ ∈ R \ {0}. Tomemos o vetor v}

1 = λ−1v em V ;

note-mos que v1 ´e tal que hv1, v1i = ±1. De maneira indutiva, repetimos esse processo para

encontrar uma base ortonormal {v2, . . . , vn} do subespa¸co vetorial [v1]⊥. Claramente, o

conjunto {v1, . . . , vn} ´e base ortonormal de V .

Defini¸c˜ao 13. Um subespa¸_{co euclidiano de um R-espa¸co vetorial V dotado de uma forma} bilinear h , i ´e um subespa¸co E de V tal que he, ei > 0, ∀e ∈ E \ {0}.

Teorema 1 (Teorema de Sylvester). Seja V um R-espa¸co vetorial com a forma bi-linear h , i. Em qualquer base ortonormal B = {b1, . . . , bn} de V , as quantidades

p = #{bi ∈ B; hbi, bii > 0}, q = #{bi ∈ B; hbi, bii < 0} e r = #{bi ∈ B; hbi, bii = 0} n˜ao

se alteram.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos V um _R-espa¸co vetorial munido de uma forma bilinear h , i e B = {b1, . . . , bn} uma base ortonormal de V . Seja U o subespa¸co vetorial

de V gerado pelo conjunto linearmente independente {b ∈ B; hb, bi = −1 ou hb, bi = 0}, cuja cardinalidade é n − p. Notemos que se u ∈ U , então hu, ui ≤ 0. Assim, temos que U ∩ E = {0}, para qualquer subespa¸co euclidiano E de V . Além disso, sabemos que a soma U + E é um subespa¸co vetorial de V . Pelas Proposi¸cões 2 e 3, temos que dim U + dim E ≤ dim V = n. Como dim U = n − p, segue que dim E ≤ p; portanto, sup {dim E; E é um subespa¸co euclidiano de V } = p. Desse modo, o número p inde-pende da base. Similarmente, prova-se que o número q também é independente da base ortonormal. Assim, fixa-se a quantidade r pela rela¸cão r = n − p − q.

(10)

Defini¸cão 14. A assinatura de uma forma bilinear é a tripla (p, q, r), onde p, q e r são as quantidades definidas no enunciado do Teorema de Sylvester.

Defini¸c˜_{ao 15. Consideremos V um R-espa¸co vetorial com uma forma bilinear h , i.} Dize-mos que essa forma bilinear ´e degenerada se V⊥ 6= {0} ou, equivalentemente, se existe u ∈ V \ {0} tal que hu, vi = 0, para todo v ∈ V .

Proposi¸c˜ao 8. A forma bilinear ´e degenerada se, e somente se, r > 0.

Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos V , um R-espa¸co vetorial, com a forma bilinear h , i e} B = {b1, . . . , bn}, uma base ortonormal de V .

Suponhamos que a forma bilinear h , i ´e degenerada. Assim, existe um vetor u ∈ V \{0} tal que hu, vi = 0, ∀v ∈ V . Sejam α1, . . . , αn∈ R tais que u = α1b1+ · · · + αnbn. Como

u 6= 0, existe i ∈ {1, . . . , n} tal que αi 6= 0. Pela propriedade do vetor u, temos que

hu, bii = n

P

j=1

αjhbj, bii = 0. Visto que B ´e base ortonormal, hbj, bii = 0, ∀i 6= j; logo,

αihbi, bii = 0. Por tomarmos i ∈ {1, . . . , n} tal que αi 6= 0, temos que hbi, bii = 0; isto ´e,

r ≥ 1.

Reciprocamente, suponhamos que r > 0. Assim, existe bi ∈ B tal que hbi, bii = 0.

Observemos que bi 6= 0, pois B ´e um conjunto linearmente independente. Seja v ∈ V ,

desse modo, existem escalares reais β1, . . . , βn tais que v = β1b1+ · · · + βnbn. Notemos

que hbi, vi = n

P

j=1

βjhbi, bji. Por B ser uma base ortonormal e pela propriedade do vetor bi,

temos que hbi, bji = 0, ∀j ∈ {1, . . . , n}. Consequentemente, hbi, vi = 0, ∀v ∈ V ; ou seja,

a forma bilinear h , i ´e degenerada.

3 Modelos de Geometria Hiperb´

olica Plana

Nesta se¸cão, abordaremos alguns modelos para a geometria hiperbólica. O primeiro modelo que trataremos será o projetivo, o qual fundamentará a constru¸cão dos demais. Primeiramente, como teremos contato com espa¸cos métricos, introduziremos esse conceito. Defini¸cão 16. Seja M um conjunto. Uma métrica em M é uma fun¸cão

d : M × M → _R

(x, y) 7→ d(x, y) que satisfaz `as seguintes propriedades para todo x, y, z ∈ M : (i) d(x, x) = 0;

(ii) se x 6= y, ent˜ao d(x, y) > 0; (iii) d(x, y) = d(y, x) (simetria);

(iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular).

Um espa¸co métrico é o par (M, d), onde M é um conjunto e d é uma métrica em M .

3.1 O Modelo Projetivo

3.1.1 O Plano Projetivo

Em R3 _{\ {0}, consideremos a seguinte rela¸c˜}_{ao de equivalˆ}_encia:

(11)

A classe de equivalˆencia do vetor v ´_{e o conjunto v = {u ∈ R}3 _{\ {0}; u ∼ v}, isto ´e,}

o subespa¸co unidimensional gerado por {v} subtra´ıdo do conjunto unit´ario que cont´em o vetor nulo. Definimos o plano projetivo, denotado por P2

R, como o espa¸co das classes de

equivalˆ_{encia, a saber, {v; v ∈ R}3_{\ {0}}.}

Consideremos a proje¸c˜_{ao natural de R}3 _{\ {0} em P}2_R: P : R3\ {0} → P2_R

v _{7→ P(v) = v.}

A classe v ´_{e denominada ponto do plano projetivo e um vetor pertencente a P}−1(v), representante ou levantamento de v. Devido `a necessidade futura de utilizar coordenadas, convencionemos denotar P ((x, y, z)) por [x : y : z].

3.1.2 O Plano Hiperb´olico

Denotaremos por R2,1 _{o R}3 _{dotado da seguinte forma bilinear de assinatura (2, 1, 0):}

h , i : R3_{× R}3 _→

R

(u, v) 7→ hu, vi = u1v1+ u2v2− u3v3,

onde u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3). Essa forma decomp˜oe o R3 nos conjuntos dos

vetores negativos, isotr´opicos e positivos, definidos, respectivamente, por: V−= {v ∈ R3; hv, vi < 0};

V0 = {v ∈ R3; hv, vi = 0};

V+= {v ∈ R3; hv, vi > 0}.

Quando analisamos a igualdade h(x, y, z), (x, y, z)i = 0, notamos que se trata do cone de equa¸c˜ao x2+y2−z2 _{= 0. Portanto, geometricamente, o conjunto dos vetores isotr´}_opicos

é essa superf´ıcie, os vetores negativos são aqueles que estão no interior do cone e os vetores positivos são aqueles externos ao cone.

Figura 1: Superf´ıcie cˆonica de equa¸c˜ao x2_{+ y}2_{− z}2 _{= 0.}

Defini¸c˜_{ao 17. Seja P a proje¸c˜ao natural de R}2,1 _{em P}2

R. Definimos:

(I) o plano hiperb´_{olico, H}2 _{= P(V} −);

(II) a fronteira ideal, ∂H2 = P(V0\ {0});

(III) o plano polar, `H2 _{= P(V} +).

(12)

Observemos que, geometricamente, o plano hiperbólico é o espa¸co das retas situadas no interior do cone de equa¸cão x2 + y2− z2 _{= 0.}

Agora, dirigiremo-nos à métrica do plano hiperbólico.

Consideremos u e v pontos distintos de H2 _{e K o subespa¸co [u, v], onde u ∈ P}−1_(u)

e v ∈ P−1(v). Notemos que K ´e um plano que passa por dentro do cone, assim, a forma bilinear de R2,1 _{restrita a K tem assinatura (1, 1, 0). Pela Proposi¸c˜}_{ao 5, temos que}

det hu, ui hu, vi hv, ui hv, vi

= hu, uihv, vi − hu, vihv, ui < 0,

ou seja, hu, vihv, ui hu, uihv, vi > 1.

Observemos que se u = v, ent˜_{ao existe λ ∈ R \ {0} tal que v = λu. Assim,} hu, vihv, ui

hu, uihv, vi =

hu, λuihλu, ui hu, uihλu, λui =

λ2_{hu, uihu, ui}

λ2_{hu, uihu, ui} = 1.

Logo, de modo geral, hu, vihv, ui

hu, uihv, vi ≥ 1. Esse fato garante a existência e unicidade de um número real não negativo d(u, v) tal que

cosh2 d(u, v) = hu, vihv, ui hu, uihv, vi.

Figura 2: Unicidade do n´umero positivo d(u, v).

Seja d a fun¸c˜_{ao que associa a cada par (u, v) ∈ H}2_{× H}2 _{o n´}_{umero real n˜}_{ao negativo}

d(u, v) tal que cosh2d(u, v) = hu, vihv, ui

hu, uihv, vi. Essa fun¸cão é a métrica do plano hiperbólico. Uma demonstra¸cão de que d é uma m´_{etrica em P(V}−) pode ser encontrada no texto [I].

Observa¸cão 3. Notemos que a fun¸cão d está bem definida. De fato. Sejam u e v pontos de H2_{. Tomemos u}

1, u2 ∈ P−1(u) e v1, v2 ∈ P−1(v);

ent˜_{ao, existem α, β ∈ R \ {0} tais que u}1 = αu2 e v1 = βv2. Dessa forma,

hu1, v1ihv1, u1i

hu1, u1ihv1, v1i

= hαu2, βv2ihβv2, αu2i hαu2, αu2ihβv2, βv2i

= α 2_β2_hu 2, v2ihv2, u2i α2_β2_hu 2, u2ihv2, v2i = hu2, v2ihv2, u2i hu2, u2ihv2, v2i .

(13)

Portanto, a fun¸c˜ao d aplicada no par (u, v) independe dos representantes dos pontos u e v de H2.

Considerando o exposto, o plano hiperb´_{olico, denotado por H}2_{, ´}_{e o conjunto P(V} −)

munido da m´etrica d.

3.2 O Modelo de Klein

Consideremos o disco D = {(x, y) ∈ R2_{; x}2 _{+ y}2 _{< 1}. Aqui, temos o intuito de}

estabelecer uma identifica¸c˜ao entre o plano hiperb´_{olico, H}2_{, e o disco D. Primeiramente,}

para isso, obteremos a interse¸cão entre um ponto do plano hiperbólico e o plano de equa¸cão z = 1.

Sejam π o plano {(x, y, 1) ∈ R2,1_{; x, y ∈ R} e [v}

1 : v2 : v3] um ponto de H2. Assim,

v₁2+ v₂2− v2

3 < 0, ou seja, v3 6= 0. Sabemos que

[v1 : v2 : v3] = {(v1λ, v2λ, v3λ) ∈ V−; λ ∈ R \ {0}}.

Tomemos P ∈ [v1 : v2 : v3] ∩ π. Dessa forma, temos λ =

1 v3 e, consequentemente, P = v1 v3 ,v2 v3 , 1 .

Figura 3: Interse¸c˜ao entre um ponto do plano hiperb´olico e o plano π.

Observemos que os números reais v1, v2 e v3 satizfazem à rela¸cão v21 + v22 − v32 < 0, a

qual equivale a v 2 1 v2 3 +v 2 2 v2 3

< 1. Dado isso, P pertence ao disco {(x, y, 1) ∈ R3; x2+ y2 < 1}. Com base no obtido, podemos fazer uma identifica¸c˜_{ao entre H}2 _{e D atrav´}_{es da seguinte}

fun¸c˜ao: ϕ : _H2 _→ _D [x : y : z] 7→ x z, y z _.

(14)

Proposi¸cão 9. A fun¸cão ϕ é bijetora.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, mostremos que ϕ est´a bem definida. Seja [x : y : z] um ponto de H2. Tomemos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ [x : y : z]. Assim, existe λ ∈ R \ {0} tal

que (x1, y1, z1) = (x2λ, y2λ, z2λ). Desse modo,

ϕ([x1 : y1 : z1]) = ϕ([x2λ : y2λ : z2λ]) = x2λ z2λ ,y2λ z2λ = x2 z2 ,y2 z2 = ϕ([x2 : y2 : z2]).

Agora, verifiquemos se ϕ ´e sobrejetora. Seja (x, y) ∈ D, ent˜_{ao existe [x : y : 1] ∈ H}2

tal que ϕ([x : y : 1]) = (x, y).

Por fim, analisaremos se ϕ ´e injetora. Sejam [x1 : y1 : z1], [x2 : y2 : z2] ∈ H2 tais que

ϕ([x1 : y1 : z1]) = ϕ([x2 : y2 : z2]). Assim, x1 z1 ,y1 z1 = x2 z2 ,y2 z2 , ou seja, x1 = z1 z2 · x2 e y1 = z1 z2 · y2; al´em disso, z1 = z1 z2

· z2. Em outras palavras, existe o n´umero real n˜ao nulo

z1 z2 tal que (x1, y1, z1) = z1 z2 · (x2, y2, z2). Logo, [x1 : y1 : z1] = [x2 : y2 : z2].

Portanto, ϕ ´e uma bije¸c˜_{ao entre H}2 _{e D.}

A métrica do plano hiperbólico induz uma métrica no disco D por meio da identifica¸cão entre (x, y), pertencente a D, e [x : y : 1], de H2_{. Dessa forma, uma m´}_{etrica em D ´}_{e a}

fun¸cão dD que associa a cada par ((x1, y1), (x2, y2)) ∈ D × D o número real não negativo

dD((x1, y1), (x2, y2)) tal que cosh2dD((x1, y1), (x2, y2)) = h(x1, y1, 1), (x2, y2, 1)ih(x2, y2, 1), (x1, y1, 1)i h(x1, y1, 1), (x1, y1, 1)ih(x2, y2, 1), (x2, y2, 1)i = (x1x2+ y1y2− 1) 2 (x2 1+ y12− 1)(x22+ y22− 1) .

Considerando essa constru¸cão, o disco de Klein é o espa¸co métrico (D, dD).

Exemplo 4. Calculemos a distˆancia hiperb´olica entre os pontos −3 4, 0 e 3 4, 0 de D. Notemos que dD − 3 4, 0 , 3 4, 0

´e tal que cosh2dD

−3 4, 0 , 3 4, 0 = 25 2 72 , isto ´e, dD − 3 4, 0 , 3 4, 0 = arccosh 25 7

≈ 1, 946. A t´ıtulo de compara¸cão, a distância euclidiana entre os dois pontos do exemplo é igual a 1, 5.

3.3 O Modelo do Hiperboloide

A seguir, construiremos o modelo do hiperboloide por meio de uma identifica¸c˜ao similar `

a anterior, desta vez, porém, entre o plano hiperbólico e uma das folhas do hiperboloide de equa¸cão x2_{+ y}2_{− z}2 _{= −1.}

Escolhamos a folha superior desse hiperboloide para fazer tal identifica¸c˜ao. Assim, consideremos o conjunto F = {(x, y, z) ∈ R2,1_{; x}2 _{+ y}2 _{− z}2 _{= −1 e z > 0} e o ponto}

[v1 : v2 : v3] de H2. Vejamos que, equivalentemente, podemos definir a folha

superior F como o conjunto {(x, y,px2_{+ y}2_{+ 1) ∈ V}

−}. Al´em disso, lembremo-nos

(15)

Tomemos P ∈ [v1 : v2 : v3] ∩ F . Seque que λ = 1 p−(v2 1+ v22− v23) e, portanto, P = 1 p−(v2 1 + v22 − v32) (v1, v2, v3).

Figura 4: Interse¸c˜ao entre um ponto do plano hiperb´olico e a superf´ıcie F .

Desse modo, a fun¸c˜ao seguinte fornece uma identifica¸c˜_{ao entre H}2 _{e F :}

ρ : _H2 _→ _F

[x : y : z] 7→ 1

p−(x2_{+ y}2 _{− z}2₎(x, y, z)

.

Proposi¸cão 10. A fun¸cão ρ é uma bije¸cão.

Demonstra¸c˜ao. A princ´ıpio, provaremos que ρ est´a bem definida. Seja [x : y : z] um ponto de H2. Tomemos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), representantes de [x : y : z]. Assim,

existe λ ∈ R \ {0} tal que (x1, y1, z1) = (x2λ, y2λ, z2λ). Logo, temos que

ρ([x1 : y1 : z1]) = ρ([x2λ : y2λ : z2λ]) = 1 p−(x2 2λ2+ y22λ2− z22λ2) (x2λ, y2λ, z2λ) = 1 p−(x2 2+ y22− z22) (x2, y2, z2) = ρ([x2 : y2 : z2]).

Agora, verificaremos se a fun¸cão ρ é sobrejetora. Seja (x, y, z) ∈ F . Desse modo, os números reais x, y e z satisfazem à rela¸cão x2 _{+ y}2 _{− z}2 _{= −1. Dado isso, notemos que}

existe [x : y : z] ∈ H2 tal que ρ([x : y : z]) = 1

p−(x2_{+ y}2_{− z}2₎(x, y, z) =

1

(16)

Para concluir a prova, analisaremos se ρ ´e injetora. Consideremos [x1 : y1 : z1] e

[x2 : y2 : z2] pontos de H2 tais que ρ([x1 : y1 : z1]) = ρ([x2 : y2 : z2]). Equivalentemente,

1 p−(x2 1+ y12− z12) (x1, y1, z1) = 1 p−(x2 2+ y22− z22)

(x2, y2, z2). Isso implica que existe o

n´umero real n˜ao nulo s x2 1+ y12− z12 x2 2+ y22− z22 tal que (x1, y1, z1) = s x2 1 + y21− z21 x2 2 + y22− z22 · (x2, y2, z2). Logo, [x1 : y1 : z1] = [x2 : y2 : z2].

Portanto, a fun¸c˜ao ρ ´e uma bije¸c˜_{ao entre H}2 _{e F .}

Podemos induzir a métrica hiperbólica em F por meio da identifica¸cão entre (x, y, z), pertencente a F , e [x : y : z], de H2. Desse modo, uma métrica em F é a fun¸cão dF que associa a cada par (u, v) ∈ F × F o número real não negativo dF(u, v) tal que

cosh2dF(u, v) =

hu, vihv, ui

hu, uihv, vi = hu, vi

2_.

Em suma, o modelo do hiperboloide ´e o espa¸co m´etrico (F, dF).

4 Breve Estudo sobre o Plano Hiperb´

olico

4.1 Geod´

esicas do Plano Hiperb´

olico

Defini¸c˜_{ao 18. Consideremos I um intervalo aberto de R. Uma curva no plano hiperb´olico} ´e uma aplica¸c˜_{ao γ : I → H}2_{. A imagem direta γ(I) ⊂ H}2 _´_{e dita tra¸}_{co da curva γ.}

Defini¸c˜_{ao 19. Consideremos uma curva γ : I → H}2_{. Dizemos que γ ´}_{e uma geod´}_esica

quando d(γ(a), γ(b)) = |a − b|, ∀a, b ∈ I.

Visto que |a − b| é a distˆ_{ancia entre os pontos a e b de R em sua métrica usual, uma} geodésica no plano projetivo é uma aplica¸c˜_{ao de R em H}2 _{que preserva distˆ}_ancias.

Defini¸c˜_{ao 20. O plano tangente a um ponto v de H}2_{, denotado por T}

vH2, ´e o subespa¸co

v⊥_{, ou seja, {p ∈ R}2,1_{; hp, vi = 0}; sendo v um representante de v. Se p ´}_{e um elemento de}

TvH2, dizemos que p é um vetor tangente ao ponto v. Se, além disso, temos que hp, pi = 1, chamamos p de unitário.

Observa¸c˜_{ao 4. Notemos que o plano tangente a um ponto v, pertencente a H}2_{, independe}

do representante de v.

De fato. Sejam v1, v2 ∈ v. Assim, existe λ ∈ R \ {0} tal que v1 = λv2. Ent˜ao,

Tv1H 2 _{= {p ∈ R}2,1_{; hp, v} 1i = 0} = {p ∈ R2,1; hp, λv2i = 0} = {p ∈ R2,1_{; λhp, v} 2i = 0}.

Como λ 6= 0, segue que Tv1H

2

= {p ∈ R2,1; hp, v2i = 0} = Tv2H

2_.

Proposi¸c˜_{ao 11. Seja v ∈ H}2. Se p ∈ TvH2\ {0}, ent˜ao hp, pi > 0.

Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos v um ponto de H}2. Segue que hv, vi < 0; logo, existe λ ∈ R \ {0} tal que hv, vi = −λ2_{. Seja v}

1 ∈ v tal que v1 = λ−1v. Notemos que v1 satisfaz

hv1, v1i = −1.

Tomemos os vetores p1 e p2 em TvH2 tais que {v1, p1, p2} ´e uma base ortonormal de

(17)

{p1, p2} ´e base ortonormal de TvH2. Desse modo, se p ´e vetor de TvH2, existem escalares

α, β ∈ R tais que p = αp1+ βp2. Segue que

hp, pi = hαp1+ βp2, αp1+ βp2i

= α2hp1, p1i + 2αβhp1, p2i + β2hp2, p2i

= α2_{+ β}2_.

Logo, hp, pi ≥ 0. Para concluir, mostraremos que hp, pi = 0 se, e somente se, p = 0. Evidentemente, p = 0 implica que hp, pi = 0. A rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira. De fato, seja p um vetor de TvH2 tal que hp, pi = 0; assim, α = β = 0 e, consequentemente, p = 0 · p1+ 0 · p2 = 0.

Portanto, TvH2 ´e um subespa¸co euclidiano de R2,1.

Proposi¸c˜_{ao 12. Consideremos u e v dois pontos distintos de H}2 _{e K = [u, v]. Existe um}

vetor unit´ario p ∈ K ∩ TuH2 tal que v = cosh d(u, v) · u + senh d(u, v) · p.

Demonstra¸c˜_{ao. Sejam u e v pontos distintos de H}2. Sem perda de generalidade, tomemos u ∈ u e v ∈ v tais que hu, ui = −1 e hv, vi = −1. Consideremos K o espa¸co gerado pelo conjunto {u, v}. Notemos que a forma bilinear de R2,1 _{restrita a K possui assinatura}

(1, 1, 0). Logo, existe um vetor p em K ∩ TuH2 tal que {u, p} ´e base ortonormal de K.

Figura 5: Representantes u, v e p.

Assim, existem escalares reais x e y tais que v = xu + yp. Dado isso, −1 = hv, vi

= hxu + yp, xu + ypi

= x2_{hu, ui + 2xyhu, pi + y}2_{hp, pi}

= −x2_{+ y}2_.

Desse modo, existe um n´umero real positivo z tal que x = cosh z e y = senh z. Agora, queremos mostrar que z = d(u, v). Notemos que

cosh2d(u, v) = hu, vihv, ui hu, uihv, vi

= hu, cosh z · u + senh z · ti2

(18)

Portanto, z = d(u, v) e, consequentemente, v = cosh d(u, v) · u + senh d(u, v) · p. Proposi¸c˜_{ao 13. Consideremos v um ponto de H}2 e p, pertencente a TvH2, um vetor tangente unit´ario. Seja v um representante de v tal que hv, vi = −1. Ent˜ao, a curva

γ : R → H2

t 7→ cosh t · v + senh t · p

´e uma geod´esica. Em adi¸c˜_{ao a isso, γ(R) = P(K \ {0}) ∩ H}2_{; sendo K = [v, p].}

Demonstra¸c˜_{ao. Notemos que para qualquer t ∈ R, o vetor cosh t · v + senh t · p ´e um} representante de γ(t) tal que hcosh t · v + senh t · p, cosh t · v + senh t · pi = −1, pois

hcosh t · v + senh t · p, cosh t · v + senh t · pi = cosh2t · hv, vi + senh2 t · hp, pi = senh2 t − cosh2t

= −1.

Sejam a, b ∈ R. Tomemos os representantes cosh a · v + senh a · p e cosh b · v + senh b · p de γ(a) e γ(b), respectivamente. Desse modo,

cosh2d(γ(a), γ(b)) = hcosh a · v + senh a · p, cosh b · v + senh b · pi2

= (cosh a · cosh b · hv, vi + senh a · senh b · hp, pi)2 = (− cosh a · cosh b + senh a · senh b)2

= (cosh a · cosh b − senh a · senh b)2

= cosh2(a − b).

Portanto, d(γ(a), γ(b)) = |a − b|, ou seja, a curva γ ´e uma geod´esica.

Provaremos que os conjuntos γ(R) e P(K \ {0}) ∩ H2 s˜ao iguais. Previamente, perce-bamos que P(K \ {0}) ∩ H2 _{= {αv + βp; α, β ∈ R e hαv + βp, αv + βpi < 0}.}

Consideremos o ponto γ(t) = cosh t · v + senh t · p ∈ γ(R). Analisemos seu repre-sentante cosh t · v + senh t · p. Claramente, cosh t, senh t ∈ R. Al´em disso, pelo in´ıcio desta prova, esse representante satisfaz hcosh t · v + senh t · p, cosh t · v + senh t · pi < 0. Logo, γ(t) ∈ P(K \ {0}) ∩ H2_.

Reciprocamente, seja u ∈ P(K \ {0}) ∩ H2. Tomemos um representante u de u tal que hu, ui = −1. Notemos que u ∈ K, isto é, existem x, y ∈ R tais que u = xv + yp. A rela¸cão hxv + yp, xv + ypi = −1 implica que x e y satisfazem à equa¸cão y2 _{− x}2 _{= −1; ent˜}_ao,

existe um n´umero real z tal que x = cosh z e y = senh z. Assim, u = cosh z · v + senh z · p ou, equivalentemente, u = γ(z) ∈ γ(R). Portanto, γ(R) = P(K \ {0}) ∩ H2_.

Proposi¸c˜_{ao 14. Dados u e v pontos distintos de H}2_{, existe uma geod´}_{esica γ : R → H}2

tal que u, v ∈ γ(R).

Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos u, v ∈ H}2_{, um representante u de u tal que hu, ui = −1 e}

K = [u, v]. Pela Proposi¸c˜ao 12, sabemos que existe um vetor unit´ario p ∈ K ∩ TvH2 tal

que v = cosh d(u, v) · u + senh d(u, v) · p. Assim, de acordo com a Proposi¸c˜ao 13, a curva

γ : R → H2

t 7→ cosh t · u + senh t · p ´e uma geod´esica. Observemos que u, v ∈ γ(R), pois γ(0) = u e γ(d(u, v)) = v.

(19)

4.2 Retas do Plano Hiperb´

olico

Já temos a no¸cão de pontos do plano hiperbólico. Agora, vamos conhecer suas retas. Seja K um subespa¸co de assinatura (1, 1, 0) de R2,1_. _{Chamaremos de reta do plano}

hiperb´_{olico o conjunto P(K \ {0}) ∩ H}2.

Proposi¸cão 15. No plano hiperbólico, existe uma única reta que passa por dois pontos distintos.

Demonstra¸c˜ao. (Existˆ_{encia) Consideremos u e v pontos distintos de H}2 e K = [u, v]. Desse modo, K ´e um plano que passa por dentro do cone e possui assinatura (1, 1, 0). Seja r a reta P(K \ {0}) ∩ H2_{, isto ´}_{e, r = {αu + βv; α, β ∈ R e hαu + βv, αu + βvi < 0}.}

Vejamos que u = 1 · u + 0 · v e v = 0 · u + 1 · v, al´em disso, u, v ∈ V−. Logo, u, v ∈ r.

(Unicidade) Suponhamos que existe uma reta r0 que passa pelos dois pontos u e v. Assim, r0 _{= P(K}0_\{0})∩H2_{, sendo K}0

um subespa¸co de assinatura (1, 1, 0) de R2,1_{. Como}

u, v ∈ r0, em particular, u e v s˜_{ao pontos de P(K}0 \ {0}). Logo, os representantes u e v s˜ao elementos de K0\ {0}. Como u 6= v, o conjunto {u, v} ´e uma base de K0_{. Portanto,}

K = K0 e, consequentemente, as retas r e r0 s˜ao iguais.

Agora, introduziremos um novo conceito. Seja r a reta P(K \ {0}) ∩ H2_{, dizemos que}

ω ´_{e um ponto ideal da reta r se ω ∈ P(K \ {0}) ∩ ∂H}2.

Proposi¸c˜ao 16. Qualquer reta do plano hiperb´olico possui exatamente dois pontos ideais. Demonstra¸c˜_{ao. Consideremos a reta r que passa pelos pontos u e v, pertencentes a H}2_,

e u ∈ u tal que hu, ui = −1. Seja K = [u, v], tomemos p ∈ K ∩ TuH2 tal que o conjunto {u, p} ´e uma base ortonormal de K.

Notemos que P(K \ {0}) ∩ ∂H2 _{= {αu + βp; α, β ∈ R \ {0} e hαu + βp, αu + βpi = 0}.}

A condi¸cão hαu + βp, αu + βpi = 0 implica que β = α ou β = −α; visto que α 6= 0, essas duas possibilidades para o valor de β são distintas. Então, podemos reescrever P(K \ {0}) ∩ ∂H2 = {u + p, u − p}.

Resta mostrarmos que esses dois elementos obtidos s˜_{ao diferentes. Sejam x, y ∈ R,} obsevemos que a suposi¸c˜ao de que x(u + p) + y(u − p) = 0 implica que x = y = 0. Assim, o conjunto {u + p, u − p} ´e l.i. e, consequentemente, u + p 6= u − p. Portanto, #P(K \ {0}) ∩ ∂H2 = 2.

Observa¸c˜_{ao 5. Notemos que, dados os pontos u ∈ H}2 _{e ω ∈ ∂H}2_{, existe uma ´}_{unica reta}

que passa por u e tem ω como ponto ideal. Essa afirma¸cão pode ser demonstrada de forma análoga à Proposi¸cão 15.

Observemos que a interse¸c˜ao entre dois subespa¸cos de dimens˜_{ao 2 em R}3 _´_{e um}

su-bespa¸co de dimensão 1, cuja projetiviza¸cão é um único ponto. Por consequência, se r = P(K1\ {0}) ∩ H2 e s = P(K2\ {0}) ∩ H2 são duas retas distintas do plano hiperbólico,

ent˜_{ao #(P(K}1 \ {0}) ∩ P(K2 \ {0})) = 1. Dado isso, classificaremos a posi¸c˜ao relativa

entre duas retas no plano hiperb´olico.

Defini¸c˜_{ao 21. Sejam r = P(K}1\ {0}) ∩ H2 e s = P(K2\ {0}) ∩ H2 duas retas distintas

do plano hiperb´olico, dizemos que r e s s˜ao:

(I) concorrentes se P(K1\ {0}) ∩ P(K2\ {0}) ∈ H2;

(II) assint´_{oticas se P(K}1 \ {0}) ∩ P(K2\ {0}) ∈ ∂H2;

(20)

Observa¸cão 6. Notemos que as retas r e s não se interceptam se, e somente se, são assintóticas ou ultra-paralelas.

Finalmente, provaremos que o postulado particular da Geometria Hiperbólica é valido no plano hiperbólico.

Proposi¸cão 17. No plano hiperbólico, por um ponto fora de uma reta, existem pelo menos duas retas que não interceptam a reta dada.

Demonstra¸c˜ao. Considermos r uma reta e v um ponto, ambos pertencentes ao plano hiperb´olico. Sejam ω1 e ω2 os dois pontos ideais de r. Tracemos s, a reta que passa por v

e tem ω1 como ponto ideal, e t, a reta que passa por v e tem ω2 como ponto ideal. Desse

modo, o par r e s e o par r e t são de retas assintóticas. Logo, encontramos duas retas que não interceptam r.

Figura 6: Retas s e t, tra¸cadas por v e assint´oticas `a r.

Existem infinitas retas com essa propriedade. De fato, notemos que as retas s e t dividem o plano hiperbólico em quatro regiões, sendo que r está contida em uma delas. Todas as retas que estão contidas no par de regiões que interceptam-se unicamente em v, nenhuma das quais contendo r, também não interceptam r.

5 Considera¸

c˜

oes Finais

Como pudemos perceber, o plano hiperbólico é um exemplo de espa¸co métrico onde os axiomas de Geometria Hiperbólica encontram validade. Consequentemente, esse espa¸co métrico herda os resultados dessa geometria enquanto fornece interpreta¸cões à mesma.

Objetivando concluir apresentando uma possibilidade de aprofundamento sobre o as-sunto abordado, deixamos registrado que as constru¸cões feitas neste trabalho para modelos de Geometria Hiperbólica Plana podem ser adaptadas e, posteriormente, estendidas para a obten¸cão de modelos em dimensões superiores.

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Referˆ

encias

[AB] ANDRADE, P.; BARROS, A. Introdu¸c˜ao `a Geometria Projetiva. Rio de Janeiro: SBM, 2010.

[B] BARBOSA, J. L. M. Geometria Hiperb´olica. 1. ed. Goiˆania: Editora da UFG, 2002.

[CL] COELHO, F. U.; LOURENÇ O, M. L. Um Curso de Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2013.

[I] IVERSEN, B. Hyperbolic Geometry. London Mathematical Society Student Texts, 25. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.