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aLISTA DE ´ ALGEBRA LINEAR II
Coordenadas de um vetor em rela¸c˜ ao a uma base, Matriz de transi¸c˜ ao Profa. Anna Regina Corbo
1. Seja v = (1, 2, 3) e α = {(1, 0, 3), (−1, 7, 5), (2, −1, 6)}. Indique [v]
α.
2. Considere α = {(1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 2, −1)} uma base para R
3. Encontre as coordena- das de v = (3, 5, −2) em rela¸c˜ ao ` a esta base.
3. Seja α = {(1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 0, −1)} e [v]
α=
−2 0 3
. Determine o vetor v.
4. Encontre as coordenadas do vetor v =
1 2 0 3
em rela¸c˜ ao ` a base
β =
1 2 2 1
,
0 1
−1 0
,
0 0 1 2
,
0 3 0 0
.
5. Sejam α = {(−1, 0, 2), (0, 1, 0), (0, 0, 2)} e β = {(0, 0, 1), (0, −2, 1), (1, 0, −1)} bases do R
3.
a) Determine [I]
αβ;
b) Considerando [v]
α=
−1 2 3
, calcule [v ]
β.
6. Determine a matriz de transi¸c˜ ao da base abaixo para a base canˆ onica:
a) β = {(2, −9), (1, 8)}
b) β = {(3, −1, 4), (2, 0, −5), (8, −2, 7)}
7. Sejam [I]
αβ=
1 −2 0 −3
e β = {(1, −2), (2, 0)} uma base do R
2. Determinar a base α.
8. Considere α = {(1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 2, −1)} e β = {(1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 0, 1)}. Deter- mine as matrizes mudan¸ca de base.
9. O conjunto β = {1 + t
2, t + t
2, 1 + 2t + t
2} ´ e uma base para ℘(2). Determine a matriz de p(t) = 1 + 4t + 7t
2∈ ℘(2) com respeito ` a base β.
10. Em ℘(2), obtenha a matriz mudan¸ca de base da base α = {1 − 3t
2, 2 + t − 5t
2, 1 + 2t}
para a base canˆ onica de ℘(2), c = {1, t, t
2}. Em seguida, determinar [v]
α= [−1 + 2t]
na base canˆ onica.
GABARITO:
1. v
α=
5 0
−2
2. v
α= (3, −1, 2).
3. v = (−2, −2, −5).
4. v
β=
1 3 1
−1
5. a) [I ]
αβ=
1
120 0 −
120
−1 0 0
b) [v]
β=
0
−1 1
6. a) [I ]
βC=
2 1
−9 8
b) [I]
βC=
3 2 8
−1 0 −2
4 −5 7
7. α = {(1, −2), (−8, 4)}
8. [I ]
βα=
1 1 0
−
14−
12 141
4
−
12−
14
e [I ]
αβ=
1 1 1
0 −1 −1
1 3 −1
9. [I ]
βC=
1 0 1 0 1 2 1 1 1
; [I]
Cβ=
1
2
−
12 12−1 0 1
1 2
1 2
