LISTA DE EXERC´ICIOS 02 – v. 1.0 Assuntos:

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UFPE — MA054 — 2013.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 02 – v. 1.0

Assuntos: Vetores no plano; sua aplica¸cão às equa¸cões da reta no plano.

Orienta¸c˜ao: Redigir solu¸c˜oes justificadas, fornecendo os passos, detalhes e propriedades relevantes.

Nota¸cão: Está fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (xP, yP) no plano euclidiano será denotado por P(xP, yP). A origem é O(0,0). Já um vetor ~v no plano de coordenadas (vx, vy) com rela¸cão a uma base fixada¹ será denotado por

~v= (vx, vy), evitando confus˜ao com os pontos, apesar de valer−→OP = (xP, yP).

Recordar que estudamos os conceitos e as opera¸c˜oes abaixo, e sua expres- s˜ao em coordenadas. Para todos os vetores ~v = (vx, vy) e w~ = (wx, wy) no plano, o escalar real c, e os pontosP (xP, yP) e Q(xQ, yQ) no plano:

Vetor: Formalmente, ~v simboliza uma magnitude ||~v|| e, exceto pelo vetor nulo~0, uma dire¸cão e um sentido (desta dire¸cão). Discutimos quatro modelos para vetores, especialmente o modelo de vetores como classes de equipolência. Nele, cada segmento orientado (P, Q) representa um vetor−→P Qe pertence a ele. Em coordenadas,−→P Q= (xQ−xP, yQ−yP);

Vetor nulo: ~0 = (0,0) age de forma trivial sobre pontos (P+~0 =P), e ´e re- presentado pelos segmentos orientados degenerados: (P, P)∈−→P P =~0;

Norma (euclidiana) de um vetor: E a magnitude´ ||~v||=p

v_x²+v_y² ≥0.

Em particular, ~0 ´e o ´unico vetor de norma nula. Se ~v = −→

P Q, ent˜ao

||~v|| é igual ao comprimento P Q do segmento de reta P Q, e é igual à distância euclidiana entre os pontos P e Q. Um vetor unitário é um vetor de norma igual a 1;

A¸cão de um vetor sobre um ponto por transla¸cão: O ponto P+~v é o resultado da transla¸cão de P por ~v, e tem coordenadas cartesianas (xP +vx, yP +vy), o que justifica a nota¸cão P +~v;

Adi¸cão de vetores: ~v+w~ é o vetor no plano cujas coordenadas são dadas por (vx+wx, vy+wy). Geometricamente, ele pode ser obtido pela “lei

1Nesta lista de exerc´ıcios e na maior parte deste curso, usaremos a base canˆonica.

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do paralelogramo”. Seu efeito sobre qualquer ponto é a resultante das a¸cões sucessivas de~v ew, ou seja,~ P + (~v+w) = (P~ +~v) +w. O vetor~ nulo é elemento neutro para a adi¸cão de vetores;

Vetor oposto: −~v ´e o elemento oposto (inverso aditivo) de~v. Se ~v =−→P Q, ent˜ao −~v =−→QP. Em coordenadas,−~v = (−vx,−vy);

Multiplica¸c˜ao de vetor por escalar: Se c = 0 ou ~v = ~0, ent˜ao c~v =~0;

senão, c~v é o vetor de magnitude |c| ||~v|| com a dire¸cão de ~v, e o sentido de~v (respectivamente, oposto ao de~v) se c >0 (resp., c <0).

Em particular, 1~v = ~v, −1~v = −~v e, se ~v 6= ~0, ent˜ao: 1

||~v||~v é o vetor unitário com a dire¸cão e o sentido de ~v; e os múltiplos de~v são os vetores com a dire¸cão de ~v e o vetor nulo, cada um deles igual ac ~v para um único escalar real c;

Produto escalar de vetores: ~v ·w~ = vxwx +vywy ∈ ^R. Se os vetores não são nulos, então ~v·w~ = ||~v|| ||w~|| cosθ, onde θ é o ângulo entre os vetores, ou seja, é o ângulo geométrico entre segmentos que repre- sentam ~v e w~ a partir de uma mesma extremidade inicial, ângulo este cuja medida ∡θ em radianos pertence a [0, π].

Recordar os dois tipos de equa¸c˜ao de uma reta no plano que adicionamos

`aqueles da Lista de Exerc´ıcios 1. Dados vetores n˜ao-nulos~v= (vx, vy)6=~06=

~n= (a, b) e um pontoP⁰(x⁰, y⁰) no plano:

Vetorial: Os pontos sobre a reta r incidente a P⁰ e que admite ~v como vetor normal (isto é, r tem dire¸cão ortogonal a ~v) são os pontos P (x, y) que satisfazem −−→P⁰P = t ~v, ou seja, P = P⁰ + t ~v para al- gum escalar real t. Em coordenadas, uma equa¸cão vetorial para r é (x, y) = (x0, y0) +t(vx, vy), onde t ∈ ^R. Observamos que um sistema de equa¸cões paramétricasparar consiste das equa¸cões correspondentes a cada coordenada de (x, y) = (x⁰+t vx, y⁰+t vy). A equa¸cão vetorial também equivale a uma equa¸cãosimétricase, e somente se,vx 6= 0 6=vy

(cf. Exerc´ıcio 4 da Lista de Exerc´ıcios 1);

Plückeriana: Os pontos sobre a reta r incidente a P⁰ e que admite~n como vetor normal (isto é, r tem dire¸cão ortogonal a ~n) são os pontos

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P (x, y) que satisfazem 0 = −→n · −−→PoP. Em coordenadas, tal equa-

¸cão é 0 = (a, b)·(x−x⁰, y−y⁰), a qual equivale à equa¸cão cartesiana 0 = ax+by+c, ondec=−(ax0+by0). Da equa¸cão cartesiana², obtemos a equa¸cão reduzida e, se a reta admitir, a equa¸cão segmentária.

A equa¸cão plückeriana³ está conectada à reta enquanto linha de n´ıvel: a fun¸cão de n´ıvel f(P) =f(x, y) =ax+by, constante ao longo de r, nada mais

´e do quef(P) =~n·−→

OP. É fácil ver que ela é constante a partir disto: como

−→OP =−−→

OP⁰+−−→

P⁰P, temos quef(P) =~n·−−→

OP⁰+−−→

P⁰P

=~n·−−→

OP⁰+~n·−−→

PoP = f(P⁰) + 0. Logo, f(P) = f(P⁰) = −c.

As equa¸cões vetorial e plückeriana podem ser obtidas uma da outra facil- mente porque ~v ⊥~n. Por exemplo, dado um vetor ~n = (a, b) normal a r, o vetor (b,−a) é um dos vetores diretores de r.

Quest˜ao 1. Sejam os vetores −u→¹ = (1,2), −u→² = (4,−3) e −→u³ = (5,1) no plano.

1.a. Numa mesma figura, representar os vetores acima por segmentos orientados com extremidade inicial na origem;

1.b. Para cada vetor dado, calcular: a norma dele; as coordenadas de seu vetor oposto; as coordenadas do vetor unitário com a dire¸cão e o sentido dele; as coordenadas do vetor unitário com a dire¸cão dele e o sentido oposto ao dele;

e as coordenadas de trˆes vetores n˜ao-nulos ortogonais a ele;

1.c. Calcular o cosseno do ˆangulo entre cada par de vetores distintos acima;

1.d. Calcular o n´umero realpque torna os vetores−→w = (1, p) e−u→2 paralelos (isto

´e, de mesma dire¸c˜ao);

1.e. Calcular o número real p que torna os vetores −→w = (1, p) e −→u² ortogonais (isto é, com dire¸cões ortogonais);

1.f. Calcular as coordenadas da combina¸c˜ao linear −→u =−u→1 −2−u→2 + 2−→u3 ;

2Observemos queaebnuma equa¸cão cartesiana determinam um vetor (a, b) normal à reta descrita pela equa¸cão.

3Este nome é adotado por alguns, mas não é muito difundido.

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1.g. Calcular todos os poss´ıveis pares ordenados (a, b) de escalares reais tais que

~0 = a−→u¹+b−u→² ;

1.h. Calcular todas as poss´ıveis triplas ordenadas (a, b, c) de escalares reais tais que ~0 =a−u→1+b−→u2+c−u→3 ;

1.i. Calcular todos os poss´ıveis pares ordenados (a, b) de escalares reais tais que

−→

u³ =a−u→¹+b−→u² ;

1.j. Sejam−→me−→n vetores no plano que satisfazem: −→m·−→n =−3√

3; ||−→m||=√ 2;

e a medida do ˆangulo entre −→m e−→n ´e 5π/6 (radianos). Calcular ||−→n||; 1.k. Sejam −→m e−→n vetores no plano que satisfazem: −→m· −→n = 3√

3; ||−→m||=√ 2;

e a medida do ˆangulo entre −→m e−→n ´eπ/3 (radianos). Calcular ||−→n||.

Quest˜ao 2. Consideremos os pontos e retas no plano dados na Quest˜ao 1 da Lista de Exerc´ıcios 1.

2.a. Dar as coordenadas do pontoP tal que o segmento orientado (O, P) ´e equi- polente ao segmento orientado (B, C);

2.b. Dar as coordenadas do ponto Qtal que o segmento orientado (O, Q) ´e congruente e paralelo ao segmento orientado (B, C) e tem sentido oposto ao de (B, C);

2.c. Dar as coordenadas de pontosReSdistintos tais que cada um dos segmentos de reta OR e OS ´e congruente e ortogonal ao segmentoBC;

2.d. Dar equa¸cões vetorial, paramétricas, simétricas, plückeriana, cartesiana, reduzida e segmentária para as retas: ←→BC; a paralela a ←→BC pelo ponto D; e a perpendicular a ←→BC pelo ponto D;

2.e. Dar duas equa¸cões vetoriais distintas para cada reta dada, e convertê-las para sistemas de equa¸cões paramétricas;

2.f. Dar duas equa¸cões plückerianas distintas para cada reta acima, e convertê- las para equa¸cões cartesianas.

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Quest˜ao 3. (Exerc´ıcios mais sofisticados que os anteriores).

3.a. Consideremos o triângulo△BCEde vérticesB(6,−2), C(2,5) e E(−1,3) da questão anterior nesta ordem c´ıclica. Dar três pares desordenados distintos{P, Q} de pontosP eQ no plano (∈ {1,2,3}) de modo que cada par constitua um triângulo △OPQ congruente a △BCE (ou seja, os pontosO, P e Q correspondem, respectivamente, a B, C eE);

3.b. Utilizando vetores normais e fun¸cões de n´ıvel, descrever as três poss´ıveis posi¸cões relativas entre duas retas no plano, partindo de suas equa¸cões cartesianas r : ax+by+c= 0 e s: ãx+ ˜by+ ˜c= 0. Testar sua resposta em alguns pares de retas da Lista de Exerc´ıcios 1;

3.c. Provar que, dados os vetores n˜ao-nulos −→u¹ e −→u² no plano, se

−→u1

=

−→u2

, ent˜ao os vetores −→u1+−→u2

e −u→1− −→u2

s˜ao ortogonais;

3.d. Provar que, para todo par de vetores n˜ao-nulos e n˜ao-opostos −→v₁ e −→v₂ no plano, o vetor −→v = 1

||−→v₁||−v→₁ + 1

||−v→₂||−v→₂ forma ˆangulos congruentes (ou seja, ˆangulos de mesma medida) com os vetores −v→₁ e−v→₂ ;

3.e. Provar que dois vetores −→w¹ e −w→² no plano s˜ao iguais, sabendo-se sobre eles apenas que eles satisfazem a seguinte propriedade:

Para todo vetor −→q no plano, −→w¹· −→q =−→w² · −→q.

Dica: Escolher alguns vetores −→q convenientes para serem usados, indivi- dualmente, na propriedade acima. Um caminho para se solucionar o pro- blema é escolher vetores −→q cujos produtos internos com qualquer vetor no plano são, conjuntamente, suficientes para determinar (identificar) aquele vetor. Um outro caminho é escolher vetores −→q que permitam mostrar que

−→w¹ − −→w² ´e o vetor nulo do plano atrav´es do uso de propriedades gerais do produto escalar e da norma.