) sin( θ1. cos( θ1 ESTUDO DO PÊNDULO DUPLO

(1)

ESTUDO DO PÊNDULO DUPLO

O estudo do pêndulo simples serviu como base a este novo capítulo, cujos conhecimentos abordados serão extrapolados para esta secção. Considera-se que o pêndulo duplo é constituído por dois pêndulos simples ligados por uma junta adicional (dois graus de liberdade). O controlo das duas juntas para a execução de trajectórias é o objectivo final, introduzindo, neste capítulo, novas estratégias de planeamento que serão discutidas no momento oportuno.

Modelação matemática do pêndulo duplo ⁷

Para simplificação da modelação matemática, recorrer-se-á ao formalismo de Lagrange que evidencia que o binário a aplicar à junta i é igual a:

( )i a i L i

L i

E E dt

d

τ

θ

τ θ +

∂

− ∂

∂

= ∂

 ⁽⁸⁾

… em que τa é o binário de atrito da junta i e é igual a:

( )ⁱ ⁱ ⁱ ⁱ ⁱ

a cθ kθ

τ =  + (9)

EL é a energia conservativa do CoM i que relaciona a sua energia cinética (EC) com a energia potencial (EP):

(

C1 C2

) (

P1 P2

)

P C

L E E E E E E

E = − = + − + (10)

( ) ²

(

²( ) ²( )

)

2 1 2

1

i y i x i i

i i

C m v m v v

E = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +

( )ⁱ ⁱ ⁱ

P m g y

E = ⋅ ⋅

A partir das equações da cinemática directa (para cada CoM), e suas correspondentes velocidades:

( ) ( )

 



−

=

1 1 1

cos sin

θ θ r y

r

x ( )

 ( )

 

=

1 1 1 1

1 1

sin cos

θ θ

 

  r y

r x

( ) ( )

 



+

−

=

+ +

=

2 1 2 1 1 2

cos cos

sin sin

θ θ θ

r L

y

r L

x ( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ⁽ ⁾

 



+ +

+

=

+ +

+

=

2 1 2 1 2 1 1 1 2

2 1 2

1 2 1 1 1 2

sin sin

cos cos

θ θ θ

θ θ

θ

θ θ θ

θ θ

θ



 



 

r L

y

r L

x

Podemos determinar a Energia Cinética e Potencial do sistema:

2 1 2 1 1

1 2

1mr θ^

E_C =

[ ( )

2

⁽

2 1 2

⁾

1 2

]

2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2

2 2 cos 2 cos

2

1^m ^L ^r ^L^r θ θ^ ^r θ^ ^r ^r ^L θ θ^θ^

E_C = + + + + +

( )

[ ]

2 2( 2 1 2) 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2

1 cos

2 cos 1

2 2

1 ^m^r ^m^r ^m ^L ^L ^r θ θ^ ^m ^r θ^ ^m ^r ^r ^L θ θ^θ^

E E

E_C = _C + _C = + + + + + +

(11)

1 1 1

1 ^m^gr cos

θ

E_P =−

E

_P2

= − m

2

g [ L

1

cos θ

1

− r

2

cos ( θ

1

+ θ

2

) ]

( 11 2 1) 1 2 2 ( 1 2)

2

1⁺ ⁼⁻ ⁺ cosθ⁻ cosθ⁺θ

=E E g mr m L m gr

E_P _P _P (12)

Que por sua vez, permite obter a energia conservativa:

P C

L E E

E = −

(2)

( )

[ ] ( )

(

11 2 1

)

1 2 2

(

1 2

)

2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1

cos cos

2 cos cos 1

2 2 1

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

+ +

=

gr m L

m r m g

L r r m r

m r

L L m r m r m

E_L    

(13)

Pelo formalismo de Lagrange, conclui-se que:

 



 



+

∂ +

− ∂

∂

= ∂

+

∂ +

− ∂

∂

= ∂

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

θ θ θ

τ θ

θ θ θ

τ θ

k E c

E dt

d

k E c

E dt

d

L L

 

(14)

( )

[ ] ⁽ ⁾ ( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

(

1 2

)

2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1 1 1

1 1 1

2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1

sin sin

cos

sin sin

2 sin cos

cos 2

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ τ

θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ

θ τ

+ +

+ + +

+ +

=

+ +

− +

+ +

=

gr m k

c r

L m r

m L

r r m

gr m L

m r m g k c

r L m L

r r m r

L L m r m r m



(15)

Deste resultado podemos discernir das equações:

(

1 2 2

)

1 2 2 2 2 2 1 1

11 mr m r m L L 2r cos

θ

H

= + + +

^H21

=

^m2^r2

(

^r2

+

^L1cos

θ

2

)

(

2 1 2

)

2 2

12 m r r L cos

θ

H

= +

H22 =m2r2²

2 2 1 2

1 2^m ^L^r sin

θ

Cor =− Cor₂ =0

2 2 1 2

1 ^m ^L^r sinθ

Cen =− ^Cen₂ =^m₂^L₁^r₂sinθ₂

(

11 2 1

)

1 2 2

(

1 2

)

1

=

g mr

+

m L sin

θ +

m gr sin

θ + θ

G G2

=

m2gr2sin

( θ

1

+ θ

2

)

1 1 1 1

1 ^c

θ

^k

θ

B =  + ^B₂ =^c₂θ₂+^k₂θ₂

Em que:

Hii → Representa o momento de inércia total visto pela junta i com a outra imobilizada;

Hij → Representa o efeito do movimento do elo j sobre a junta i;

Cori → Força de Coriolis devida ao movimento de uma massa em relação a um sistema de coordenadas em rotação;

Ceni → Força centrífuga;

Gi → Termos gravitacionais: representam os momentos estáticos criados pelas massas m1 e m2 em torno dos seus eixos individuais.

Bi → Efeito do atrito no espaço das juntas (atrito viscoso e de flexibilidade);

Deste modo:

2 2 2 1 2 2

22 1 21 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 12 1 11 1

B G Cen

H H

B G Cen Cor

H H

+ + +

+

=

+ + +

+ +

=

θ θ

θ τ

θ θ

θ τ



(16)

(3)

Inclusão de Forças externas

Pretende-se adicionar a aplicação de uma força externa em cada elo no espaço cartesiano, ou seja, com componentes Fext=(Fx,Fy). Como as equações da dinâmica (equações 16) incluem binários e não forças cartesianas é necessário relacionar de alguma forma forças com binários. Isso é feito com recurso ao Jacobiano (equação 17):

ext T

ext =J ×F

τ

(17)

( ) ( )





 



= 

ext ext ext

2 1

τ

τ τ

_



 



=

y x

ext F

F F

 





 





∂

∂ ∂

∂

=

⇔

 





 





∂

∂ ∂

∂

=

2 2

1 1

2 1

θ θ

θ θ θ

y x

y x y J

y x x Jacobiano

J

^T (18)

Note que τ1(ext) e τ2(ext) são componentes equivalentes à força externa aplicada, mas em forma de binário, e que são adicionadas às equações 16. Além disso o Jacobiano depende do ponto aplicação da força (em que elo e em que ponto do elo: coordenadas (x,y)), pelo que terá de ser sempre determinado quando o ponto de aplicação é alterado. Considerando apenas dois Jacobianos (um para cada elo), podemos determinar a matriz correspondente em função do ponto de aplicação.

Aplicação de uma força F1 no elo 1:

Sendo rf a distância da junta anterior ao ponto de aplicação, as coordenadas (x,y) são:

( ) ( )

 



−

=

1 1 1

cos sin

θ θ

f f

r y

r x

(19)

Logo, o Jacobiano é:



 



=

0 sin

0 cos

1 1

1

θ

f f

r

J r (20) => τ_ext =J₁^T ×F₁

Aplicação de uma força F2 no elo 2:

( ) ( )

 



+

−

=

+ +

=

2 1 2 1 1 2

cos cos

sin sin

θ θ θ

f f

r L

y

r L

x

(21)

O Jacobiano é, por isso:

( ) ( )

( ) ( ) ^ _ ^

 



+ +

+

+ +

= +

2 1 2 2 1 2 1 1

2

sin sin sin

cos cos

cos

θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ θ

f f

r r

L

r r

J L

(22) => τ_ext =J₂^T ×F₂

Como o binário externo total é igual à soma dos resultantes da aplicação em cada elo, então:

( ) ( )

( ) ( ) ^ _ ^ ^× ^ _ ^ ^ _ ^

 



+ +

+ + +

 

 



× 

 

 



= 

× +

×

=

2 2 2

1 2 2

1 2

2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 1 1

sin cos

sin sin

cos cos

0 0

sin cos

y x f

f

f f

y f x

f ext

T T

ext

F F r

r

r L

F r F

r

F J F J

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ θ θ θ

τ θ

τ

(4)

( ) ( )

( )

( ) ( ⁽ ⁾ )

( ) ( )

^_^





+ +

+

+ +

+ + +

+

= +



 





2 1 2 2 2 1 2 2

2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2

1

sin cos

sin sin

cos cos

sin cos

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ θ

τ τ

f y f

x

f y

f x

f y f

x ext

ext

r F r

F

r L

F r

L F r

F r

F

(23)

E aqui temos as equações finais da dinâmica do pêndulo duplo:

( )

(^ext)

ext

B G Cen

H H

B G Cen Cor

H H

2 2 2 2 1 2 2

22 1 21 2

1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 12 1 11 1

τ θ

θ θ

τ

τ θ

θ θ θ

θ τ

− + + +

+

=

− + + +

+ +

=



(24)

Generalização para N graus de liberdade

Para o estudo de pêndulos com mais do que dois graus de liberdade torna-se importante a automatização do processo de dedução das equações da dinâmica por meio do MatLab. O formalismo de Lagrange permite essa automatização, dado que o processo de cálculo é sempre o mesmo.

Considere as seguintes variáveis descritoras das propriedades do sistema:

Aceleração da gravidade: g

Massas:













=

mN

m m m ...

2 1

Distância dos CoM:













=

rN

r r r ...

2 1

Comprimentos dos elos:













=

LN

L L L ...

2 1

Pontos de aplicação das forças externas:

















=

fN f f

f

r r r r ...

2 1

Forças externas:

















=

yN xN

y x

F F

F ... ...

2 2

1 1

Coeficientes de atrito das juntas:













=

kN

k k k ...

2 1













=

cN

c c c ...

2 1

E as variáveis dependentes do tempo:













=

θ

N

θ θ θ

...

2 1

 







 







=

θ

N

θ θ θ



 ...

2 1

 







 







=

θ

N

θ θ θ



...

2 1

Determinando as equações da cinemática directa para o CoM (x, y) e para o ponto de aplicação da Força externa (xf , yf):













=

xN

x x x ...

2 1













=

yN

y y y ...

2 1

















=

fN f f

f

x x x x ...

2 1

















=

fN f f

f

y y y y ...

2 1

(5)

Basta seguir uma sequência de operações idêntica, qualquer que seja N:

1) Cálculo das velocidades correspondentes a ( x, y ) pela derivada temporal :













=

xN

x x x



 ...

2 1













=

yN

y y y



 ...

2 1

De modo a evitar a introdução da variável tempo no resultado, utilizou-se uma técnica denominada por expansão pela regra da cadeia que diz o seguinte:

( )

(

^t

)

^f

( ( )

^t

) ( )

^t

dt f

d θ θ θ ⋅θ^

∂

= ∂ (25)

Na existência de N graus de liberdade, apenas se efectua a soma entre as várias derivadas parciais para cada junta:

Seja













=

N

q

θ

θ θ

...

2 1

:

( ) ∑ ( )

= 



 



 ⋅

∂

= ^N ∂

i

i i

q f q

dt f d

1

θ θ^

No caso de f não só depender de θ(t), mas também das suas derivadas temporais (de ordem máxima M):

Seja ^p ⁼

(

^q^,^q^^,...,^q^{[ ]}^M

)

^:

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑

_{[ ]}

( )

^[ ^]

=

+

=





 



 ⋅

∂ + ∂

 +



 



 ⋅

∂ + ∂

 

 



 ⋅

∂

= ∂

^N

i

M M i

i N

i

i i

N

i

i i

p f p

f p

dt f d

1

1 1

1

...

θ

θ θ θ θ

θ



 

Logo, a expressão final é:

(

[ ]

) _∑∑

_{[ ]}

(

^{[ ]}

)

^{[ ]}

= =

+





 



 ⋅

∂

=

^M

∂

j N

i

j i M j

i

M f q q q

q q q dt f

d

1 1

,..., 1

, ,...,

,

θ

^



(26)

No caso da derivação da posição M=1, pelo que:

( ) ∑ ( )

= 



 



 ⋅

∂

= ^N ∂

i

i i

q x q

x

1

θ θ^



( ) ∑ ( )

= 



 



 ⋅

∂

= ^N ∂

i

i i

q y q

y

1

θ θ^

 (27)

Como se pode observar, já não se verificam derivações em ordem ao tempo, mas em ordem às variáveis θ definidas inicialmente.

2) Cálculo da Energia Cinética:

(

^.² ^.²

)

2 .

1 m x y

E_C = ⋅ ∗  + 

(6)

3) Cálculo da Energia Potencial:

y g m E_P = .∗ .∗ 4) Cálculo da Energia Conservativa:

P C

L E E

E = −

5) Iterativamente, para o binário de cada junta τ i:

a) De acordo com as equações 14, determinar a derivada parcial de EL em ordem a

θ

i e a

θ

^i, e pela expansão referida pela equação 26 determinar

i

EL

dt d

θ

^

∂

com M=2:

Seja

( )

i L i

q E q

f ^

∂ θ

^

= ∂

, _:

( ) ∑ ( ) ∑ ( )

=

= 



 



 ⋅

∂ + ∂



 



 ⋅

∂

= ∂ ^N

k

k i

k N

k

k i

k

i q q f q q f q q

dt f d

1 1

, ,

,

θ

θ θ

θ

^ ^ ^ ^ ^



b) Calcular o binário τi (equações 14).

6)

(7)

7 teoria\pendulo duplo\modelo\2 DOF (teachor)

) sin( θ1. cos( θ1 ESTUDO DO PÊNDULO DUPLO

τ

θ

τ θ +

∂

− ∂

∂

= ∂

(

) (

)

(

)

( ) ( )

 



−

=

=

cos sin

θ θ r y

r

x ( )

 ( )

 

=

=

sin cos

θ θ

θ θ

 

  r y

r x

( ) ( )

( ) ( )

 



+

−

−

=

+ +

=

cos cos

sin sin

θ θ θ

θ θ θ

r L

y

r L

x ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

 



+ +

+

=

+ +

+

=

sin sin

cos cos

θ θ θ

θ θ

θ

θ θ θ

θ θ

θ





 





 

r L

y

r L

x

[ ( )

(

x ( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ⁽ ⁾

⁽

⁾

[ ] ⁽ ⁾ ( )