ESTUDO DO PÊNDULO DUPLO
O estudo do pêndulo simples serviu como base a este novo capítulo, cujos conhecimentos abordados serão extrapolados para esta secção. Considera-se que o pêndulo duplo é constituído por dois pêndulos simples ligados por uma junta adicional (dois graus de liberdade). O controlo das duas juntas para a execução de trajectórias é o objectivo final, introduzindo, neste capítulo, novas estratégias de planeamento que serão discutidas no momento oportuno.
Modelação matemática do pêndulo duplo 7
Para simplificação da modelação matemática, recorrer-se-á ao formalismo de Lagrange que evidencia que o binário a aplicar à junta i é igual a:
( )i a i L i
L i
E E dt
d
τ
θ
τ θ +
∂
− ∂
∂
= ∂
(8)… em que τa é o binário de atrito da junta i e é igual a:
( )i i i i i
a cθ kθ
τ = + (9)
EL é a energia conservativa do CoM i que relaciona a sua energia cinética (EC) com a energia potencial (EP):
(
C1 C2) (
P1 P2)
P C
L E E E E E E
E = − = + − + (10)
( ) 2
(
2( ) 2( ))
2 1 2
1
i y i x i i
i i
C m v m v v
E = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +
( )i i i
P m g y
E = ⋅ ⋅
A partir das equações da cinemática directa (para cada CoM), e suas correspondentes velocidades:
( ) ( )
−
=
=
1 1 1
1 1 1
cos sin
θ θ r y
r
x ( )
( )
=
=
1 1 1 1
1 1
1 1
sin cos
θ θ
θ θ
r y
r x
( ) ( )
( ) ( )
+
−
−
=
+ +
=
2 1 2 1 1 2
2 1 2 1 1 2
cos cos
sin sin
θ θ θ
θ θ θ
r L
y
r L
x ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
+
=
+ +
+
=
2 1 2 1 2 1 1 1 2
2 1 2
1 2 1 1 1 2
sin sin
cos cos
θ θ θ
θ θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ
r L
y
r L
x
Podemos determinar a Energia Cinética e Potencial do sistema:
2 1 2 1 1
1 2
1mr θ
EC =
[ ( )
2(
2 1 2)
1 2]
2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 cos 2 cos
2
1m L r Lr θ θ r θ r r L θ θθ
EC = + + + + +
( )
[ ]
2 2( 2 1 2) 1 22 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2
1 cos
2 cos 1
2 2
1 mr mr m L L r θ θ m r θ m r r L θ θθ
E E
EC = C + C = + + + + + +
(11)
1 1 1
1 mgr cos
θ
EP =−
E
P2= − m
2g [ L
1cos θ
1− r
2cos ( θ
1+ θ
2) ]
( 11 2 1) 1 2 2 ( 1 2)
2
1+ =− + cosθ− cosθ+θ
=E E g mr m L m gr
EP P P (12)
Que por sua vez, permite obter a energia conservativa:
P C
L E E
E = −
( )
[ ] ( )
(
11 2 1)
1 2 2(
1 2)
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1
cos cos
2 cos cos 1
2 2 1
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
gr m L
m r m g
L r r m r
m r
L L m r m r m
EL
(13)
Pelo formalismo de Lagrange, conclui-se que:
+
∂ +
− ∂
∂
= ∂
+
∂ +
− ∂
∂
= ∂
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
θ θ θ
τ θ
θ θ θ
τ θ
k E c
E dt
d
k E c
E dt
d
L L
L L
(14)
( )
[ ] ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2(
1 2)
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2
2 1 2 2 1 1 2 1 1 1
1 1 1
2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1
sin sin
cos
sin sin
2 sin cos
cos 2
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ τ
θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ
θ τ
+ +
+ + +
+ +
=
+ +
+ +
+ +
+ +
− +
+ +
+ +
=
gr m k
c r
L m r
m L
r r m
gr m L
m r m g k c
r L m L
r r m r
L L m r m r m
(15)
Deste resultado podemos discernir das equações:
(
1 2 2)
1 2 2 2 2 2 1 1
11 mr m r m L L 2r cos
θ
H
= + + +
H21=
m2r2(
r2+
L1cosθ
2)
(
2 1 2)
2 2
12 m r r L cos
θ
H
= +
H22 =m2r222 2 1 2
1 2m Lr sin
θ
Cor =− Cor2 =0
2 2 1 2
1 m Lr sinθ
Cen =− Cen2 =m2L1r2sinθ2
(
11 2 1)
1 2 2(
1 2)
1
=
g mr+
m L sinθ +
m gr sinθ + θ
G G2
=
m2gr2sin( θ
1+ θ
2)
1 1 1 1
1 c
θ
kθ
B = + B2 =c2θ2+k2θ2
Em que:
Hii → Representa o momento de inércia total visto pela junta i com a outra imobilizada;
Hij → Representa o efeito do movimento do elo j sobre a junta i;
Cori → Força de Coriolis devida ao movimento de uma massa em relação a um sistema de coordenadas em rotação;
Ceni → Força centrífuga;
Gi → Termos gravitacionais: representam os momentos estáticos criados pelas massas m1 e m2 em torno dos seus eixos individuais.
Bi → Efeito do atrito no espaço das juntas (atrito viscoso e de flexibilidade);
Deste modo:
2 2 2 1 2 2
22 1 21 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 12 1 11 1
B G Cen
H H
B G Cen Cor
H H
+ + +
+
=
+ + +
+ +
=
θ θ
θ τ
θ θ
θ θ
θ τ
(16)
Inclusão de Forças externas
Pretende-se adicionar a aplicação de uma força externa em cada elo no espaço cartesiano, ou seja, com componentes Fext=(Fx,Fy). Como as equações da dinâmica (equações 16) incluem binários e não forças cartesianas é necessário relacionar de alguma forma forças com binários. Isso é feito com recurso ao Jacobiano (equação 17):
ext T
ext =J ×F
τ
(17)
( ) ( )
=
ext ext ext
2 1
τ
τ τ
=
y x
ext F
F F
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=
⇔
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=
=
2 2
1 1
2 1
2 1
θ θ
θ θ θ
θ θ θ
y x
y x y J
y x x Jacobiano
J
T (18)Note que τ1(ext) e τ2(ext) são componentes equivalentes à força externa aplicada, mas em forma de binário, e que são adicionadas às equações 16. Além disso o Jacobiano depende do ponto aplicação da força (em que elo e em que ponto do elo: coordenadas (x,y)), pelo que terá de ser sempre determinado quando o ponto de aplicação é alterado. Considerando apenas dois Jacobianos (um para cada elo), podemos determinar a matriz correspondente em função do ponto de aplicação.
Aplicação de uma força F1 no elo 1:
Sendo rf a distância da junta anterior ao ponto de aplicação, as coordenadas (x,y) são:
( ) ( )
−
=
=
1 1 1
1 1 1
cos sin
θ θ
f f
r y
r x
(19)
Logo, o Jacobiano é:
=
0 sin
0 cos
1 1
1 1
1
θ
θ
f f
r
J r (20) => τext =J1T ×F1
Aplicação de uma força F2 no elo 2:
( ) ( )
( ) ( )
+
−
−
=
+ +
=
2 1 2 1 1 2
2 1 2 1 1 2
cos cos
sin sin
θ θ θ
θ θ θ
f f
r L
y
r L
x
(21)
O Jacobiano é, por isso:
( ) ( )
( ) ( )
+ +
+
+ +
= +
2 1 2 2 1 2 1 1
2 1 2 2 1 2 1 1
2
sin sin sin
cos cos
cos
θ θ θ
θ θ
θ θ θ
θ θ
f f
f f
r r
L
r r
J L
(22) => τext =J2T ×F2Como o binário externo total é igual à soma dos resultantes da aplicação em cada elo, então:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ×
+ +
+ +
+ + +
×
=
× +
×
=
2 2 2
1 2 2
1 2
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 1 1
sin cos
sin sin
cos cos
0 0
sin cos
y x f
f
f f
y f x
f ext
T T
ext
F F r
r
r L
r L
F r F
r
F J F J
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ θ θ θ
τ θ
τ
( ) ( )
( )
( ) ( ( ) )
( ) ( )
+ +
+
+ +
+ + +
+
= +
2 1 2 2 2 1 2 2
2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
1
sin cos
sin sin
cos cos
sin cos
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ
τ τ
f y f
x
f y
f x
f y f
x ext
ext
r F r
F
r L
F r
L F r
F r
F
(23)
E aqui temos as equações finais da dinâmica do pêndulo duplo:
( )
(ext)
ext
B G Cen
H H
B G Cen Cor
H H
2 2 2 2 1 2 2
22 1 21 2
1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 12 1 11 1
τ θ
θ θ
τ
τ θ
θ θ θ
θ τ
− + + +
+
=
− + + +
+ +
=
(24)
Generalização para N graus de liberdade
Para o estudo de pêndulos com mais do que dois graus de liberdade torna-se importante a automatização do processo de dedução das equações da dinâmica por meio do MatLab. O formalismo de Lagrange permite essa automatização, dado que o processo de cálculo é sempre o mesmo.
Considere as seguintes variáveis descritoras das propriedades do sistema:
Aceleração da gravidade: g
Massas:
=
mN
m m m ...
2 1
Distância dos CoM:
=
rN
r r r ...
2 1
Comprimentos dos elos:
=
LN
L L L ...
2 1
Pontos de aplicação das forças externas:
=
fN f f
f
r r r r ...
2 1
Forças externas:
=
yN xN
y x
y x
F F
F F
F F
F ... ...
2 2
1 1
Coeficientes de atrito das juntas:
=
kN
k k k ...
2 1
=
cN
c c c ...
2 1
E as variáveis dependentes do tempo:
=
θ
Nθ θ θ
...2 1
=
θ
Nθ θ θ
...
2 1
=
θ
Nθ θ θ
...
2 1
Determinando as equações da cinemática directa para o CoM (x, y) e para o ponto de aplicação da Força externa (xf , yf):
=
xN
x x x ...
2 1
=
yN
y y y ...
2 1
=
fN f f
f
x x x x ...
2 1
=
fN f f
f
y y y y ...
2 1
Basta seguir uma sequência de operações idêntica, qualquer que seja N:
1) Cálculo das velocidades correspondentes a ( x, y ) pela derivada temporal :
=
xN
x x x
...
2 1
=
yN
y y y
...
2 1
De modo a evitar a introdução da variável tempo no resultado, utilizou-se uma técnica denominada por expansão pela regra da cadeia que diz o seguinte:
( )
(
t)
f( ( )
t) ( )
tdt f
d θ θ θ ⋅θ
∂
= ∂ (25)
Na existência de N graus de liberdade, apenas se efectua a soma entre as várias derivadas parciais para cada junta:
Seja
=
N
q
θ
θ θ
...
2 1
:
( ) ∑ ( )
=
⋅
∂
= N ∂
i
i i
q f q
dt f d
1
θ θ
No caso de f não só depender de θ(t), mas também das suas derivadas temporais (de ordem máxima M):
Seja p =
(
q,q,...,q[ ]M)
:( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑
[ ]( )
[ ]=
+
=
=
⋅
∂ + ∂
+
⋅
∂ + ∂
⋅
∂
= ∂
Ni
M M i
i N
i
i i
N
i
i i
p f p
f p
f p
dt f d
1
1 1
1
...
θ
θ θ θ θ
θ
Logo, a expressão final é:
(
[ ]) ∑∑
[ ](
[ ])
[ ]= =
+
⋅
∂
=
M∂
j N
i
j i M j
i
M f q q q
q q q dt f
d
1 1
,..., 1
, ,...,
,
θ
θ
(26)
No caso da derivação da posição M=1, pelo que:
( ) ∑ ( )
=
⋅
∂
= N ∂
i
i i
q x q
x
1
θ θ
( ) ∑ ( )
=
⋅
∂
= N ∂
i
i i
q y q
y
1
θ θ
(27)
Como se pode observar, já não se verificam derivações em ordem ao tempo, mas em ordem às variáveis θ definidas inicialmente.
2) Cálculo da Energia Cinética:
(
.2 .2)
2 .
1 m x y
EC = ⋅ ∗ +
3) Cálculo da Energia Potencial:
y g m EP = .∗ .∗ 4) Cálculo da Energia Conservativa:
P C
L E E
E = −
5) Iterativamente, para o binário de cada junta τ i:
a) De acordo com as equações 14, determinar a derivada parcial de EL em ordem a
θ
i e aθ
i, e pela expansão referida pela equação 26 determinari
EL
dt d
θ
∂
∂
com M=2:Seja
( )
i L i
q E q
f
∂ θ
= ∂
, :
( ) ∑ ( ) ∑ ( )
=
=
⋅
∂ + ∂
⋅
∂
= ∂ N
k
k i
k N
k
k i
k
i q q f q q f q q
dt f d
1 1
, ,
,
θ
θ θ
θ
b) Calcular o binário τi (equações 14).
6)
7 teoria\pendulo duplo\modelo\2 DOF (teachor)
