MAT0231 - ´ Algebra II para Licenciatura Lista 2 - 2012
1. Seja (A,+,·) um anel. Usando o fato de que a multiplicac¸˜ao em A ´e associativa, definimos as potˆencias de um elementox ∈ Ada seguinte forma:
x1=x x2=x·x
xn = (xn−1)·x, ∀n ≥2
Prove que as seguintes propriedades valem, para todom,n∈ N∗: (a) xm+n =xm·xn
(b) (xy)m =xmym, se xy=yx (c) (xm)n =xm·n
(d) (x+y)n = ∑n
i=0
n i
xiyn−i, desde quexy=yx.
2. Seja pum inteiro primo, positivo e considereZ√ p
= a+b√
p|a,b ∈ Z . Definimos emZ√
p
as seguintes operac¸ ˜oes.
+: Z√ p
×Z√ p
→ Z√ p a+b√
p, c+d√ p
7→ a+b√ p
+ c+d√ p
= (a+c) + (b+d)√ p
·: Z√ p
×Z√ p
→ Z√ p a+b√
p, c+d√ p
7→ a+b√ p
· c+d√ p
= (ac+pbd) + (ad+bc)√ p Verifique que Z√
p
,+,· ´e um dom´ınio de integridade.
3. Seja Sum conjunto n˜ao vazio. SejaP(S)o conjunto formado por todos os subconjun- tos deS. Definimos emP(S)as seguintes operac¸ ˜oes:
+: P(S)×P(S) →P(S)
(A,B)7→ A+B= (A−B)∪(B−A)
·: (A,B)7→ A·B =A∩B
Mostre que(P(S),+,·) ´e um anel comutativo com unidade. Esse anel ´e ou n˜ao um dom´ınio de integridade?
[Observa¸c˜ao:SeCeDs˜ao subconjuntos deS, ent˜aoC−D ={x∈ C | x∈/ D}.]
4. Mostre que o anelC([0, 1])n˜ao ´e um dom´ınio de integridade.
5. Seja A um anel tal que x2 = x, para todo x ∈ A. Mostre que A ´e comutativo. Vocˆe conhece algum exemplo de anel satisfazendo tal condic¸˜ao?
6. Seja A um anel. Um elemento x ∈ A ´e nilpotentese existe n ∈ Z, n ≥ 1, tal que xn =0.
(a) Dˆe exemplos de elementos nilpotentes em diferentes an´eis.
(b) Se x e y s˜ao elementos nilpotentes de A, o que podemos dizer sobre (x+y) e sobre(xy)?
(c) Sejax ∈ Aum elemento nilpotente e suponhamos que Atenha unidade. Mostre que(1−x) ´e invers´ıvel e determine uma f ´ormula para seu inverso.
7. Seja Aum anel. Um elementox∈ A ´eidempotentesex2 =x.
(a) Mostre que se A ´e um dom´ınio de integridade ent˜ao os ´unicos idempotentes de As˜ao 0 e 1.
(b) Dˆe exemplos de elementos idempotentes n˜ao triviais ( isto ´e 6= 0, 1) no anel M2(R).
8. DetermineU(Z[√
2])eU(Z[i]).
9. Seja p > 0 um n ´umero primo e seja Q[√
p] = {a+b√
p | a,b ∈ Q}. Defina as operac¸ ˜oes+e· emQ[√
p] como no exerc´ıcio 2. Mostre queQ[√
p] ´e um corpo. De- termine o inverso de um elemento n˜ao nuloa+b√
p∈ Q[√ p].
10. Seja Aum dom´ınio de integridade e seja 06=a ∈ A. Considere a func¸˜aoφa : A → A definida porφa(x) = ax. Mostre queφa ´e uma func¸˜ao injetora.
11. Use o exerc´ıcio anterior para provar que todo dom´ınio de integridade finito ´e um corpo.
